bài toán các hình chóp tứ giác khác

Bài 04: Các hình chóp tứ giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 4

BÀI 04: CÁC HÌNH CHÓP TỨ GIÁC KHÁC

Cũng như các khối chóp tam giác. Một số phương pháp xác định chiều cao chúng ta
cũng áp dụng được với các khối chóp tứ giác. Nhưng đối với các hình chóp khác này, thầy xin
nêu lại 3 phương pháp xác định chiều cao như sau:
I. Các phương pháp xác định chiều cao:
1. Tính chất 1: Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau
thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
2. Tính chất 2: Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của
các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp
đáy
3. Tính chất 3: Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với
một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ từ
đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.
Sau đây sẽ là các ví dụ áp dụng các tính chất trên trong quá trình tính thể tích:
II. Các ví dụ minh họa:
1.Ví dụ 1: (ĐH Khối A – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM.Biết
SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH =
3
a
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM.
Giải:
Ta có:
( ) ( )
1
.

.
3
SH ABCD CDMN V SH S
S CDMN CDMN
⊥ ≡ ⇒ =


Mặt khác trong hình vuông ABCD ta có:
2 2 2
5
2
8 4 8
S S S S
CDNM ABCD AMN BCM
a a a
a
= − −
= − − =
   

Cách khác: Ta thấy CN
⊥
DM vì:
∆DAM và ∆CDN có:
0
90
2
A D
DA CD a
a

AM DN


= =

= =



= =

 

Vậy ∆DAM = ∆CDN =>
1 1
D C
=
 
mà
0
1 1
90
C D+ =
 

Nên
0
1 1
90
N D CN DM

+ = ⇒ ⊥
 
và lúc này:
Bài 04: Các hình chóp tứ giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4
2
2
2 2 2 2
1 5
4
.
2 2 2 2 8
S
CDNM
a
a
CM CD DN a
CM DN
=
+
+
= = = =


V
ậ
y
2 3
1

.
3
5 5 3
. 3.
8 24
V
S CDMN
a a
a
=
=

Chú ý:

Đ
ây là bài toán yêu c
ầ
u các em bi
ế
t phát hi
ệ
n các y
ế
u t
ố
c
ủ
a hình h
ọ
c gi

ả
i tích ph
ẳ
ng.
Bài toán này có th
ể
s
ử
a
đề
bài thành “ M, N l
ầ
n l
ượ
t n
ằ
m trên AB và AD sao cho: AM = k AB
và DN = k DA. Trong
đ
ó
(
)
0;1
k ∈
thì lúc
đ
ó mình v
ẫ
n có
CN DM

⊥
. Phát hi
ệ
n y
ế
u t
ố
này
qu
ả
là r
ấ
t quan tr
ọ
ng trong nhi
ề
u bài toán. Mong các em l
ư
u ý!

2. Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang v
ớ
i
đ
áy l
ớ
n AB = 2,


ACB = 90
o
.
∆
SAC và
∆
SBD là các tam giác
đề
u có c
ạ
nh b
ằ
ng
3
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
S.ABCD

Giải:
Ta có
∆
SAC và
∆
SBD là các tam giác
đề

u nên:
SA = SB = SC = SD. Gi
ả
s
ử
H là chân
đườ
ng
vuông góc h
ạ
t
ừ
S xu
ố
ng
đ
áy ABCD ta xét 4 tam
giác SHA, SHB, SHC và SHD có:
-

SH chung
-


SHA =

SHB =

SHC =


SHD = 90
0

-

SA = SB = SC = SD
V
ậ
y
∆SHA = ∆SHB = ∆SHC = ∆SHD nên:
HA = HB = HC = HD vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Mặt khác: ABCD là hình thang có AC = BD =
3

=> ABCD là hình thang cân và có

ACB =

ADB = 90
0

=> H chính là trung điểm của AB.
Và AB là đường kính đường tròn tâm H bán kính HA.
Ta thấy chiều cao của hình thang là:
2 2 2
1 1 1 1 1 4 3
1 3 3 2
h
h DA DB
= + = + = ⇒ =

2 2
3 1
1 2 1
4 2
AP AD h DC PQ AB AP
⇒ = − = − = ⇒ = = − =
Vậy
( )
1 3 3 3 3
.
2 2 2 4
ABCD
S DC AB h= + = =


Mà
2 2
3 1 2
SH SA AH= − = − =
.
1 1 3 3 6
. . 2.
3 3 4 4
S ABCD ABCD
V SH S⇒ = = =


Bài 04: Các hình chóp tứ giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 4
3. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh =
2a, BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính thể tích hình chóp
S.ABCD.
Giải:
- Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)
- Vì các mặt bên lập với đáy các góc
bằng nhau nên dễ dàng chứng minh
được H là tâmđường tròn nội tiếp
đáy
- Gọi K là hình chiếu của H lên AD
- Ta có DH và AH là các đường
phân giác của các góc vuông A và
D nên

HAD+

HAD = 90
0
, vậy
tam giác AHD vuông cân tại H nên
HK =
2
AD
a
=

- Tam giác vuông SHK có HK = a
SK =
3

a
(vì
∆
SAD
đề
u)
⇒
SH =
23
22
aaa =−

Vì
⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
⇒SABCD =
(
)
2
5 .2
5
2 2
AB CD AD
a a
a
+
= =

⇒VSABCD =
2
2

1 1 5 2
. .5 . 2
3 3 3
ABCD
a
S SH a a= =


4. Ví dụ 4: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SC. Mặt phẳng (P)
chứa AM và song song với BD chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần
đó.
Giải:
Giả sử
{
}
SO AM I
∩ =
. Ta thấy:

(
)
(
)
( )
/ /
/ /
P SBD d
I d
d BD
BD P

∩ =
∈


⇒
 



=> Trong (SBD)
dựng đường thẳng qua I và // BD cắt SB và SD lần
lượt tại B’ và D’.
Bài 04: Các hình chóp tứ giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 4
O
C
B
A
D
S
H
Đặt:
' '
' '
1 . ' ' 1 .
1 2
' '
2 . ' ' 2 . 1 2
. ' ' .

1 2
'
;
'
2
S AB D S SBD
S MB D S CBD
S AB MD S ABCD
V V V V
V V V
V V V V V V V
V
V V V V
V V

 
= =

= +
 

= = ⇒ = +
  
  
= =
 

= =


Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:

'
'
1
1 1
1
' ' 2 2 4 4 4 1 2
. . . .
3 3 9 9 9 2 9
V SA SB SD
V V V V
V SA SB SD
= = = ⇒ = = =


'
'
2
2 2
2
' ' 1 2 2 2 2 2 1 1
. . . . .
2 3 3 9 9 9 2 9
V SM SB SD
V V V V
V SC SB SD
= = = ⇒ = = =

(vì I là trọng tâm ∆SAC)

2 1
' 1 ' 2
9 9
1
3 3
V V
V V
T
V V V
+
= = ⇒ = − =


5. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x < 3 ) các cạnh còn lại đều bằng
1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x.
Giải:

Ta có
( . . )
SBD DCB c c c SO CO
∆ = ∆ ⇒ =

Tương tự ta có SO = OA
vậy tam giác SCA vuông tại S.

2
1
CA x
⇒ = +

Mặt khác ta có
2 2 2 2 2 2
AC BD AB BC CD AD
+ = + + +


2
3 ( 0 3)
BD x do x⇒ = − < <


2 2
1
1 3
4
ABCD
S x x
⇒ = + −

G
ọ
i H là hình chi
ế
u c
ủ
a S xu
ố
ng (CAB). Vì SB = SD nên HB = HD
⇒

H
∈
CO
Mà
2 2 2
2
1 1 1
1
x
SH
SH SC SA
x
= + ⇒ =
+
. V
ậ
y V =
2
1
3
6
x x
−


====================Hết===================



Giáo viên: Trịnh Hào Quang

Nguồn:

Hocmai.vn