Bài toán hình chóp tam giác khác LTĐH

Bài 04: Hình chóp tam giác tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 1 of 4

BÀI 04: HÌNH CHÓP TAM GIÁC KHÁC
Ngoài các khối chóp đặc biệt dễ xác định được chiều cao chúng ta đã biết, còn rất nhiều hình
chóp tam giác khác mà việc xác định và tính chiều cao của hình chóp cũng như diện tích của đáy
rất khó khăn. Bài hôm nay thầy chỉ xin tổng kết lại các kiến thức cần nhớ của cả chương và nêu lên
các ví dụ điển hình nhất và hay xuất hiện trong các kì thi cũng như các kì kiểm tra của các trường
THPT cả nước. Sau đây là các kiến thức cần nhớ trong chương “Thể tích khối chóp tam giác này”:
I. Các kiến thức cần nhớ:
Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đường
cao trên đáy. Ta có một số nhận xét sau:
1. Khi hình chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy nó chính là chiều cao.
2. Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là
đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
3. Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường
cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
4. Khi hình chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của
2 mặt kề nhau đó.
5. Nếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường cao của khối chóp sẽ
song song hoặc nằm trùng với đường thẳng đó.
6. Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên
xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy
7. Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt
phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh
vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.
8. Sử dụng các giả thiết mở:
- Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh
sẽ rơi vào đường phân giác góc tạo bởi 2 cạnh nằm trên mặt đáy của 2 mặt bên
- Hình chóp có 2 cạnh bên bằng nhau hoặc hai cạnh bên đều tạo với đáy một góc α thì
chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 đỉnh của 2

cạnh nằm trên mặt đáy của 2 mặt bên mà hai đỉnh đó không thuộc giao tuyến của 2
mặt bên.
Bài 04: Hình chóp tam giác tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4
II. Các ví dụ minh họa:
1. Ví dụ 1: (Thử ĐH – Thanh Hóa) :
Tính thể tích của tứ diện ABCD biết rằng: AB=CD=a
AC=BD=b; AD=BC=c. ( Hình tứ diện gần đều).
Giải:
Qua các đỉnh của tam giác BCD ta dựng các đường
thẳng song song với các cạnh đối của tứ diện. chúng sẽ
tạo thành tam giác B’C’D’ có diện tích bằng 4 lần diện tích tam giác BCD. Ta có:
' '
' ' 2 2 2 ' '
2
C D
C D CD AB a AB AC AD
= = = ⇒ = ⇒ ⊥

Chứng minh tương tự ta cũng có:
' '
' '
AD AB
AB AC
⊥


⊥


Đặt:
' ; ' ; '
AB x AC y AD z
= = =
ta có:
(
)
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
4
4
4 2
4
4
2
4
x y z a b c

x b c a
x y c
x y c
y z a y a c c
y z a
z x b
z a b c
z x b

+ + = + +

= + −

+ = 




+ =
+ = ⇔ ⇔ = + −
  
+ =
  
+ =
= + −

 

+ =


( )( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
' ' '
1 1 1 1
. 2
4 4 6 12
ABCD AB C D
V V xyz a b c a c c b c a
⇒ = = = + − + − + −

2. Ví dụ 2: Tính thể tích khối tứ diện S.ABC biết SA=a, SB=b, SC=c. và các góc
; ;
ASB BSC CSA
  
đều bằng 60
0
.
Giải
Không mất tính tổng quát ta giải sử
{
}
min , ,
a a b c
=

Trên SB và SC lần lượt lấy các điểm B’ và C’ sao cho:

' '
SB SC a

= =

Do các góc
; ;
ASB BSC CSA
  
đều bằng 60
0
nên lúc này
S.ABC là tứ diện đều cạnh a. Gọi O là tâm của đáy AB’C’ ta
có:
2
2 2 2
2 3 6
.
3 2 3
a a
SO SA AO a
 
= − = − =
 
 
 

Bài 04: Hình chóp tam giác tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 4
Lúc này:
2 3
. ' ' ' '

1 1 6 3 2
. . .
2 3 3 4 12
S AB C AB C
a a a
V SO S= = =


Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
2 3
. ' '
. . ' '
2 2
.
' ' 2 2
. . . . .
12 12
S AB C
S ABC S AB C
S ABC
V
SA SB SC a a a a bc bc a
V V abc
V SA SB SC a b c bc a a
= = = ⇒ = = =
3. Ví dụ 3: Cho SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60
0
BSC = 90
0
, CSA = 120

0
.
Tính thể tích hình chóp S.ABC.
Giải
Trong tam giác ABC ta có:

2 2 2 2 2 2
2 3 2
3
AB a
BC a a CA AB BC a a
CA a
=


= ⇒ = = + = +


=



ABC
⇒

vuông tại B.
Do hình chóp S.ABC có các cạnh bên đều bằng a nên nếu gọi h là chân đường vuông góc hạ từ
đỉnh S thì H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC => H chính là trung điểm của
AC.

( )
0
2 3
.
2
cos 60
1 2 2
2
3 2 2 12
. 2
2 2
S ABC
ABC
a
h SH a
a a a
SH ABC V
AB AC a
B S

= = =


⇒ ⊥ ⇒ ⇒ = =


= = =




4. Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a; BC=6a; CA=7a. Các mặt bên SAB,
SBC và SCA cùng tạo với đáy góc 60
0
.Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Giải
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống đáy (ABC).
Và gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống
AB, BC và CA ta có:
( )
( ) ( )
0
( );( ) ; 60
SH AB
AB SHM
HM AB
SM AB SAB ABC SM HM SMH
⊥

⇒ ⊥

⊥

⇒ ⊥ ⇒ = = =
  

Chứng minh tương tự ta có:
(
)
( )

( );( )
( );( )
SBC ABC SNH
SCA ABC SPH

=


=


 
 

Bài 04: Hình chóp tam giác tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 4
Xét 3 tam giác vuông SHM, SHN và SHP ta có:
SH chung
SMH SNH SPH

⇒

= =

  
Chúng bằng
nhau
HM HN HP
⇒ = = ⇒

H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Áp dụng CT Herong ta có:
2
( )( )( ) 9 .4 .3 .2 6 6
ABC
S p p a p b p c a a a a a= − − − = =


Nhưng
2 2
6 6 2 6
9 3
ABC
ABC
S
a a
S pr r MH
p a
=
⇒
= = = =



2
0 2
2 2 3
2 6
tan .tan 60 2 2
3

1 1
. . 2 2.6 6 8 3
3 3
ABC
a
h SH HM SMH a
V SH S a a a
⇒ = = = =
⇒ = = =



5. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có SB=SC=AB=AC=a; BC=b và SA=c. Tính thể tích hình
chóp S.ABC. Giải:
Ta thấy các tam giác SBC và ABC cân lần lượt tại S và A nên
nếu gọi M là trung điểm của BC ta có:
( )
AM BC
BC SAM
SM BC
⊥

⇒ ⊥

⊥

.
Vậy trong tam giác SAM ta chỉ cần dựng
(
)

SH AM H AM
⊥ ∈

Ta có
( )
ABC
h SH
SH AM
SH ABC
B S
SH BC
=
⊥


⇒ ⊥ ⇒
 
=
⊥




Ta có:
2
2 2 2
4
b
SM AM a
= = −

mà
2
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
.
2 2
. 4
. .
4 2 4
4
1 4
. . . 4
3 4 2 4 12
S ABC
MK SA c b c a b c
SH a c
AM a b
b
a
a b c b b bc
V c a a b c
a b
− −
 
⇒ = = − − =

 
−
 
−
− −
⇒ = − = − −
−
(
)
2 . . ;
SAM
S SH AM MK SA MK SA K SA
= = ⊥ ∈



====================Hết===================
Giáo viên: Trịnh Hào Quang
Nguồn: Hocmai.vn