Nghiệm dừng của một số lớp phương trình đạo hàm riêng có trễ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN HOÀNG ANH TUẤN

NGHIỆM DỪNG CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG CÓ TRỄ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán

.

Phú Thọ, 2019


TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƢƠNG
KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-----------------------

NGUYỄN HOÀNG ANH TUẤN

NGHIỆM DỪNG CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠO HÀM RIÊNG CÓ TRỄ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sƣ phạm Toán học
Giảng viên hƣớng dẫn: TS.Đặng Thị Phƣơng Thanh

Phú Thọ, năm 2019


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian làm khóa luận tốt nghiệp, ngồi sự nỗ lực của bản thân,
tơi cịn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong
Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hùng Vương.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cô giáo TS. Đặng Thị Phương Thanh Giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương. Cô đã dành
nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tơi trong q trình thực hiện
khóa luận, đồng thời cơ đã giúp tơi lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và
rèn luyện cho tôi tác phong làm việc khoa học.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến các thầy cô giáo là
giảng viên của Khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hùng Vương, cùng gia
đình, bạn bè là những người luôn sát cánh, ủng hộ, động viên và tạo điều kiện cho
tơi trong suốt q trình học tập cũng như q trình thực hiện và hồn chỉnh khóa
luận.
Mặc dù đã cố gắng, song khóa luận khơng tránh khỏi những hạn chế và thiếu
sót. Vì vậy tơi rất mong nhận được sự góp ý của thầy cơ giáo và các bạn để khóa
luận được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Việt Trì, tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Hoàng Anh Tuấn


Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Phần I: MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Phần III: NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1. Các khơng gian hàm và tốn tử

. . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1. Không gian các hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2.

Không gian các hàm khả tích Lebesgue . . . . . . . . .

8

1.1.3.

Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4.

Không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2. Không gian chứa trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. Một số định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.1. Các bổ đề compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.2. Một số định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
CĨ TRỄ VƠ HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM . . . . . . . . . . . .

20

2.3. SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM DỪNG . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG . . . . . . . . . . . . .

28

Chương 3. NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG
CỔ ĐIỂN CĨ TRỄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1


3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM . . . . . . . . . . . .

32

3.3. SỰ TỒN TẠI CỦA NGHIỆM DỪNG . . . . . . . . . . . . . .

40

3.4. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG . . . . . . . . . . . . .

42

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2


Phần I: MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu vào giữa thế kỷ XVIII
và được phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỷ XIX cho đến nay. Nó được coi là
chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng. Rất nhiều phương trình đạo hàm
riêng là mơ hình tốn của các bài toán thực tế. Đặc biệt là lớp phương trình
đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến. Lớp phương trình này xuất hiện nhiều trong
các q trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn q trình truyền nhiệt
và khuếch tán, q trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các mơ hình quần
thể trong sinh học, . . . Vì vậy, nghiên cứu những lớp phương trình này có ý
nghĩa quan trọng trong khoa học và cơng nghệ.
Bài toán đặt ra khi nghiên cứu những lớp phương trình đạo hàm riêng tiến

hóa phi tuyến có ứng dụng là xét tính đặt đúng của bài tốn (bởi, một phương
trình đạo hàm riêng có ý nghĩa thực tiễn thì chắc chắn sẽ có nghiệm) và nghiên
cứu tính trơn hay dáng điệu tiệm cận nghiệm khi biến thời gian t → ∞. Đây
là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì nghiệm của phương trình đạo hàm
riêng thường miêu tả trạng thái của các mơ hình thực tế. Do đó, khi biết dáng
điệu nghiệm, ta có thể dự đốn được xu thế phát triển của hệ trong tương lai
và đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp.
Một phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến cụ thể, đóng vai trị
quan trọng, có nhiều ý nghĩa trong tự nhiên là phương trình phản ứng khuếch
tán. Phương trình phản ứng – khuếch tán là một trong những phương trình

3


đã được giới thiệu trong quá trình học tập của sinh viên và có dạng:
ut − ∆u + f (u) = g,

(1)

ở đó f, g tương ứng là hàm phi tuyến và hàm ngoại lực.
Lớp phương trình này có nhiều ứng dụng trong thực tế, nó xuất hiện nhiều
trong các q trình của vật lí và sinh học, chẳng hạn các q trình truyền
nhiệt và khuếch tán, các mơ hình quần thể trong sinh học,. . . trong các cơng
trình [1, 18, 26, 28]. Do đó, việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý
nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm
thông qua chứng minh tính ổn định nghiệm và sự tồn tại tập hút đã được
nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính có trễ và
nhiều lớp phương trình trong cơ học chất lỏng có trễ. Tuy nhiên, do những
khó khăn cơ bản xuất hiện do số hạng chứa trễ gây ra, phần lớn các kết quả

về tập hút đạt được là trong trường hợp trễ hữu hạn (xem[3, 5, 6, 7] và các tài
liệu tham khảo trong đó). Việc phát triển các kết quả này cho trường hợp trễ
vô hạn, trường hợp khó hơn rất nhiều do tính khơng bị chặn của trễ, mới chỉ
đạt được một số ít tiến bộ trong vài năm gần đây trong một vài trường hợp
đặc biệt của không gian pha là Cγ hoặc L1g (D(Aα )) [4, 8, 24]. Do đó, trong
khóa luận này, chúng tơi xét phương trình truyền nhiệt có trễ vơ hạn trên
không gian pha chứa trễ được giới thiệu trong [17] như sau:
{
}
BCL−∞ (L2 (Ω)) = φ ∈ C((−∞, 0]; L2 (Ω)) : ∃ lim φ(s) ∈ L2 (Ω) ,
s→−∞

là không gian Banach với chuẩn
∥φ∥B CL :=

sup

∥φ(s)∥L2 .

s∈(−∞,0]

Một lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến quan trọng cũng
được nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp phương trình khuếch
4


tán khơng cổ điển có dạng:
ut − ε∆ut − ∆u + f (u) = g, với ε ∈ (0, 1],

(2)

ở đó f là hàm phi tuyến và g là hàm ngoại lực. Chú ý rằng khi ε = 0, phương
trình khuếch tán khơng cổ điển trở thành phương trình phản ứng-khuếch tán
cổ điển quen thuộc.
Lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển được giới thiệu trong [1] khi
E.C. Aifantis chỉ ra rằng phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển khơng
mơ tả được hết các khía cạnh của bài tốn phản ứng-khuếch tán. Nó bỏ qua
tính nhớt, sự đàn hồi, và áp suất của mơi trường trong q trình khuếch tán
chất rắn. Hơn nữa, E.C. Aifantis cũng chỉ ra rằng, năng lượng từ phương trình
phát ra trong quá trình khuếch tán chất rắn trong mơi trường khác nhau sẽ
có tính chất khác nhau. Ví dụ, năng lượng phát ra từ phương trình khi mơi
trường truyền dẫn có áp suất và có độ nhớt hay khơng có độ nhớt là khác
nhau. Do đó, ơng đã xây dựng mơ hình tốn học qua một số ví dụ cụ thể,
trong đó có chứa tính dẻo, đàn hồi, với áp lực trung bình và đưa ra lớp phương
trình khuếch tán khơng cổ điển. Lớp phương trình này thường sử dụng để mơ
tả các hiện tượng vật lí như dịng chảy khơng Newton, các hiện tượng trong
cơ học chất lỏng, cơ học chất rắn và sự tỏa nhiệt (xem [1, 14, 15, 18, 26, 27]).
Gần đây, E.C. Aifantis đã đưa thêm một mơ hình mới về bài toán này, xin
xem trong [2]. Trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận
của nghiệm đối với phương trình khuếch tán khơng cổ điển đã được nghiên
cứu rộng rãi trong cả trường hợp ôtônôm và trường hợp khơng ơtơnơm. Mặt
khác, có những tình huống mà mơ hình sẽ mơ tả tốt hơn nếu một hàm chứa
trễ xuất hiện trong phương trình. Hàm chứa trễ có thể xuất hiện, chẳng hạn
như khi muốn điều khiển hệ bằng cách sử dụng các lực khơng chỉ tính đến
hiện tại mà cả lịch sử của nghiệm. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi,
các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại tập hút đạt được đối với phương trình
khuếch tán khơng cổ điển chứa trễ chủ yếu là trong trường hợp trễ hữu hạn
5

[9, 10, 29], ngoại trừ 02 cơng trình rất gần đây, ở đó xét trễ vơ hạn và số hạng
phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev, kiểu đa thức đối với tập hút
toàn cục [19, 25].
2. Mục tiêu của khóa luận
- Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự tồn tại và tính ổn định của
nghiệm dừng của phương trình phản ứng - khuếch tán có trễ vô hạn trong
không gian pha BCL−∞ (L2 (Ω)).
- Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm, sự tồn tại và tính ổn định
của nghiệm dừng của phương trình khuếch tán khơng cổ điển có trễ vơ hạn
trong trường hợp hàm phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức bằng
cách đặc biệt hóa nội dung bài báo [25].
3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả nghiên cứu trong đề tài là mới, có ý nghĩa khoa học, góp phần vào
việc hồn thiện lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều và lí thuyết phương trình
đạo hàm riêng phi tuyến, giải quyết một số vấn đề chưa được nghiên cứu mà
nhiều nhà khoa học trong và ngồi nước quan tâm.
Về mặt ứng dụng, có thể sử dụng các kết quả và ý tưởng của đề tài để
nghiên cứu những bài toán trong vật lý, cơ học, hóa học và sinh học.

6


Phần III: NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
• Để nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, chúng tôi sử dụng các phương
pháp và cơng cụ của Giải tích hàm phi tuyến: phương pháp xấp xỉ
Galerkin và phương pháp compact, bổ đề compact, các bổ đề xử lí số
hạng phi tuyến [16].
• Để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng, chúng tơi sử dụng các

phương pháp của lí thuyết ổn định Lyapunov.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu:
Phương trình phản ứng - khuếch tán và phương trình khuếch tán khơng
cổ điển có trễ.
• Phạm vi nghiên cứu:
Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và sự tồn tại, tính ổn định của
nghiệm dừng của phương trình phản ứng - khuếch tán và phương trình
khuếch tán khơng cổ điển có trễ.

7


Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1.

Các khơng gian hàm và tốn tử

Trong đề tài, chúng tơi có sử dụng một số khái niệm và không gian hàm sau:
1.1.1.

Không gian các hàm liên tục

Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho 0 < k < +∞.
Tập hợp tất cả các hàm liên tục và khả vi đến cấp k trong miền Ω ký hiệu
C k (Ω).
Không gian C(Ω) là tập hợp các hàm liên tục trên Ω. Không gian C ∞ (Ω) là

tập hợp các hàm u khả vi vô hạn lần trên Ω,
∞

C (Ω) =

∞
∩

C k (Ω).

k=0

Không gian C0k (Ω), 0 ≤ k ≤ ∞ là tập hợp các hàm trong C k (Ω) và có giá
compact trong Ω.
1.1.2.

Khơng gian các hàm khả tích Lebesgue

Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho 0 ≤ p < +∞ .
Khi đó Lp (Ω) là khơng gian bao gồm tất cả các hàm u(x) khả tổng tuyệt đối
cấp p theo Lebesgue trong Ω, tức là
∫
p
|u| dx < +∞.
Ω

8


Không gian Lp (Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn:

(∫
)1
p p
∥u(x)∥p = ∥u(x)∥Lp (Ω) =
|u|
.
Ω

Hơn nữa, Lp (Ω) là một không gian đầy đủ nên Lp (Ω) là không gian Banach.
Đặc biệt, với p = 2, không gian L2 (Ω) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng:
∫
(f, g) =

f (x)g(x)dx.
Ω

Cho Ω là một miền trong Rn .
Khi đó L∞ (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) đo được theo
Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω.
Ta kí hiệu: ess sup |u(x)| là cận dưới lớn nhất các hằng số k sao cho:
x∈Ω

|u(x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Ω.
Khi đó L∞ (Ω) cũng là không gian Banach với chuẩn:
∥u(x)∥∞ = ∥u(x)∥L∞ (Ω) = ess sup |u(t)| .
x∈Ω

Cho Ω là một miền trong Rn và cho 1 ≤ p < +∞.
Khi đó
Lploc (Ω) = {u : Ω → R|u ∈ Lp (U ) với mọi U ⊂⊂ Ω}.

1.1.3.

Không gian Sobolev

Giả sử Ω là một miền trong Rn . W k,p (Ω) là không gian bao gồm tất cả các
hàm u sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp k và tất cả các
đạo hàm đó thuộc khơng gian Lp (Ω).
Không gian W k,p (Ω) được gọi là không gian Sobolev với chuẩn sau:
∥u∥W k,p (Ω) =

k
( ∑
∥α∥=0

9

∥Dα u∥pLp

) p1

.


Không gian Sobolev là một không gian Banach tách được. Trong trường hợp
p = 2, không gian Sobolev W k,2 (Ω) thường được ký hiệu là H k (Ω) .
H k (Ω) là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng được sinh ra từ chuẩn:
((u, v))H k =

k
∑

(Dα u, Dα v).

∥α∥=0

Không gian H0k (Ω) là bổ sung đủ của không gian Cc∞ (Ω) trong không gian
H k (Ω). Đặc biệt, H01 (Ω) là tập hợp các hàm trong không gian H 1 (Ω) và bằng
0 trên biên ∂Ω.
Không gian H01 (Ω) là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng xác định bởi:
((u, v))H01 =

∑

(Dα u, Dα v),

∥α∥=1

và chuẩn tương ứng là:
∥u∥2H 1 =
0

1.1.4.

∑

|Dα u|2 .

∥α∥=1

Không gian đối ngẫu

Không gian đối ngẫu của không gian Lp (Ω) là không gian Lq (Ω), với
1 1
+ = 1, 1 ≤ p, q ≤ +∞.
p q
Không gian đối ngẫu của không gian H0s (Ω) ký hiệu là không gian H −s (Ω).
Bổ đề 1.1. Nếu u ∈ H k (Ω), với k ∈ Z thì Dα u ∈ H k−|α| (Ω).

1.2.

Khơng gian chứa trễ

Khi nghiên cứu các phương trình vi phân chứa trễ vơ hạn, việc chọn khơng
gian pha đóng một vai trị rất quan trọng. Một cách chọn khơng gian pha
thường thấy là một không gian nửa chuẩn thỏa mãn một số tiên đề được giới
thiệu bởi J.K. Hale và J. Kato [11], sau đó được F. Kappel và W. Schappacher
10


[13], và K. Schumacher [20] phát triển. Những thảo luận chi tiết về vấn đề này,
ta có thể tham khảo trong cuốn sách chuyên khảo của Y. Hino và các cộng sự
[12]. Trước tiên, chúng tôi giới thiệu các tiên đề về không gian pha B.
Cho E là một không gian Banach thực với chuẩn ∥ · ∥E . Giả sử khơng gian
pha B là một khơng gian tuyến tính gồm các ánh xạ từ (−∞, 0] vào E, được
trang bị nửa chuẩn ∥ · ∥B và thỏa mãn các tiên đề cơ bản sau:
(A1) Nếu x : (−∞, σ + a) → E, a > 0, sao cho xσ ∈ B và x(·) liên tục
trên [σ, σ + a), thì với mọi t thuộc [σ, σ + a) các kết luận sau là đúng:
• (i) xt ∈ B,
• (ii) ∥x(t)∥E ≤ H∥xt ∥B ,
• (iii) ∥xt ∥B ≤ K(t − σ) sup ∥x(s)∥E + M (t − σ)∥xσ ∥B ,

σ≤s≤t

ở đây H là một hằng số, các hàm K(∆), M (∆) : [0, +∞) → [0, +∞), với K
liên tục và M bị chặn địa phương, và chúng đều độc lập đối với x.
(A2) Với hàm x(·) trong (A1), t → xt là một hàm liên tục với giá trị
trong B với t thuộc [σ, σ + a).
(B) Không gian B là không gian đầy đủ.
Nhận xét 1.1. [12] Từ các tiên đề trên, ta thấy:
• Tiên đề (A1)(ii) tương đương với
∥φ(0)∥E ≤ H∥φ∥B , với mọi φ ∈ B.
• Do ∥ · ∥B chỉ là một nửa chuẩn, nên với hai phần tử φ, ψ ∈ B thỏa mãn
∥φ − ψ∥B = 0 ta có φ(0) = ψ(0), và chưa thể kết luận φ(θ) = ψ(θ) với
mọi θ ≤ 0.
• Tiên đề (B) tương đương với điều kiện không gian thương
Bˆ = B/∥ · ∥B = {φˆ : φ ∈ B}
là một không gian Banach.
11


Tiếp theo, ta sẽ đưa ra một số ví dụ về các không gian pha cụ thể thỏa
mãn các tiên đề (A1), (A2) và (B).
Ví dụ 1.1. Cho g : (−∞, 0] → (0, +∞) là một hàm liên tục bất kì, đặt
{
}
∥φ(θ)∥E
0
Cg := φ ∈ C((−∞, 0]; E) : lim
=0 ,
θ→−∞
g(θ)

với chuẩn
∥φ∥g :=

∥φ(θ)∥E
.
g(θ)
−∞<θ≤0
sup

Định lí 1.3.2 và Định lí 1.3.6 trong [12] chứng tỏ rằng nếu g là hàm không
tăng, thì (Cg0 , ∥ · ∥g ) thỏa mãn các tiên đề (A1), (A2) và (B).
Ví dụ 1.2. Xét khơng gian Cγ xác định như sau:
Cγ := {φ ∈ C((−∞, 0]; E) : lim eγθ φ(θ) tồn tại trong E}, γ > 0,
θ→−∞

với chuẩn
∥φ∥γ :=

sup

−∞<θ≤0

eγθ ∥φ(θ)∥E ,

với φ ∈ Cγ .

Lấy H = 1, K(t) = 1, và M (t) = e−γt , chứng minh tương tự như trong [12,
Định lí 3.7, tr. 23], ta thấy khơng gian Cγ cũng thỏa mãn các tiên đề (A1),
(A2) và (B).
Ví dụ 1.3. Cho A là toán tử quạt xác định dương với giải thức compact trên

không gian Banach (E, ∥ · ∥), 0 < α < 1 và g thỏa mãn các điều kiện sau:
(g1) tồn tại một hàm bị chặn địa phương G : (−∞, 0] → [0, +∞) thỏa mãn
g(ξ + θ) ≤ G(ξ)g(θ), với mọi ξ ≤ 0và θ ∈ (−∞, 0] \ Nξ ,
trong đó Nξ ⊆ (−∞, 0] là tập có độ đo Lebesgue bằng 0;
∫ 0
(g2) k1 :=
g(θ)dθ < ∞;
−∞

∫
(g3) k2 :=

0

−∞

g(θ)e−λθ dθ < ∞ với λ > 0 trong Mệnh đề ?? (4);

(g4) G(−t) → 0 khi t → +∞.
12


Ta có thể lấy hàm g(θ) := eρθ , trong đó ρ > λ. Xét khơng gian L1g (D(Aα )) là
khơng gian tuyến tính gồm tất cả các lớp hàm φ : (−∞, 0] → D(Aα ) sao cho
φ là hàm đo được Lebesgue và g(·)∥φ(·)∥α khả tích Lebesgue trên (−∞, 0], ở
đây g : (−∞, 0] → R là hàm có độ đo Lebesgue dương. Chuẩn trong khơng
gian L1g (D(Aα )) được định nghĩa như sau:
∫
∥φ∥L1g :=

0
−∞

g(θ)∥φ(θ)∥α dθ.

Định lí 1.3.8 trong [12] khẳng định rằng L1g (D(Aα )) là một không gian pha
thỏa mãn các tiên đề (A1), (A2) và (B). Ngoài ra, nếu {φn } là một dãy
Cauchy trong L1g (D(Aα )) và nếu φn hội tụ compact tới φ trên (−∞, 0], thì
φ ∈ L1g (D(Aα )) và ∥φn − φ∥L1g → 0 khi n → ∞.
Cho C00 là tập các hàm liên tục từ (−∞, 0] vào D(Aα ) với giá compact,
và kí hiệu supp (φ) là giá của φ trong C00 . Từ một kết quả trong [12, Chương
1], ta có
Nhận xét 1.2. Cho hàm φ ∈ C00 thuộc L1g (D(Aα )). Nếu supp (φ) chứa trong
[−r, −s], 0 ≤ s ≤ r < ∞, thì tồn tại một hằng số δ(r, s) sao cho
∥φ∥L1g ≤ δ(r, s)
1.3.

sup

∥φ(θ)∥α .

θ∈[−r,−s]

Một số bất đẳng thức thường dùng

• Bất đẳng thức Cauchy:
ab ≤

a2
b2

+ .
2
2

• Bất đẳng thức Cauchy với ϵ:
ab ≤ ϵa2 +

b2
, (ϵ > 0).
4ϵ

• Bất đẳng thức Young:
1 1
Cho 1 < p, q < ∞, + = 1. Khi đó
p q
ap
bq
ab ≤
+ , (a, b > 0).
p
q
13


• Bất đẳng thức Young với ϵ:
ab ≤ ϵap + C(ϵ)bq , (a, b, ϵ > 0),
với C(ϵ) = (ϵp)

−q
p

q −1 .

• Bất đẳng thức Holder:
Giả thiết 1 < p, q ≤ ∞,

1 1
+ = 1. Khi đó nếu u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lq (Ω) thì
p q

ta có
∫
|uv|dx ≤ ∥u∥Lp (Ω) .∥v∥Lq (Ω) .
Ω

• Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn Lp :
1
η 1−η
Giả thiết 1 ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞ và = +
.
r
s
t
Giả sử u ∈ Ls (Ω) ∩ Lt (Ω). Khi đó u ∈ Lr (Ω) và
∥u∥Lr (Ω) ≤ ∥u∥tLs (Ω) ∥u∥1−η
Lt (Ω) .
• Bất đẳng thức Gronwall dạng vi phân
Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0, T ] và thỏa mãn
dx
≤ g(t)x + h(t), với hầu khắp t,

dt
trong đó g(t), h(t) là các hàm khả tích trên [0, T ]. Khi đó :
∫t
x(t) ≤ x(0)eG(t) +

eG(t)−G(s) h(s)ds,
0

với 0 ≤ t ≤ T , ở đó

∫t
G(t) =

g(r)dr.
0

Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và
dx
≤ ax + b,
dt
14


thì
a
a
x(t) ≤ (x(0) + )eat − .
b
b
• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân

Cho ξ(t) là một hàm khả tích, không âm trên [0, T ] và thỏa mãn hầu
khắp t bất đẳng thức tích phân:
∫t
ξ(t) ≤ C1

ξ(s)ds + C2 ,
0

với C1 , C2 là các hằng số không âm. Khi đó
ξ(t) ≤ C2 (1 + C1 teC1 t ) với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T.
• Bất đẳng thức Gronwall đều
Giả sử x, a, b là các hàm dương thỏa mãn
dx
≤ ax + b,
dt
với

∫t+r
∫t+r
∫t+r
x(s)ds ≤ X,
a(s)ds ≤ A,
b(s)ds ≤ B,
t

t

t

với r > 0 nào đó với mọi t ≤ t0 .

Khi đó
x(t) ≤ (

X
+ B)eA ,
r

với mọi t ≤ t0 + r.
1.4.
1.4.1.

Một số định lí cơ bản
Các bổ đề compact

Trước tiên ta nhắc lại khái niệm về hội tụ yếu và hội tụ ∗ −yếu. Một dãy
{un } ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến một phần tử u ∈ X nếu ⟨un − u, f ⟩ → 0
15


khi n → ∞ với mọi phần tử f thuộc khơng gian đối ngẫu X ∗ và ta kí hiệu là
un ⇁ u (n → ∞).
Một dãy fn trong X ∗ được gọi là hội tụ ∗ −yếu tới f ∈ X ∗ nếu với mọi u ∈ X
ta có ⟨u, fn − f ⟩ → 0 khi n → ∞. Nếu X là không gian phản xạ, nghĩa là
X = (X ∗ )∗ , thì sự hội tụ ∗ −yếu trong không gian phản xạ trùng với sự hội tụ
yếu.
Ta biết rằng sự hội tụ yếu có tính chất sau đây: Nếu un ⇁ u khi n → ∞ trong
X, thì
∥u∥X ≤ lim inf ∥un ∥X .
n→∞

Tương tự, nếu fn ⇁ f ∗ −yếu trong X ∗ khi n → ∞, thì
∥f ∥X ∗ ≤ lim inf ∥fn ∥X ∗ .
n→∞

Các định lí sau rất hữu ích (xem [1, 7, 10, 16])
Bổ đề 1.2 (Bổ đề Aubin-Lions). ([16, Chương 1]) Cho X0 , X và X1 là ba
không gian Banach với X0 và X1 là không gian phản xạ. Giả sử X0 nhúng
compact trong X và X nhúng liên tục trong X1 . Với 1 < p, q < +∞, ta đặt:
W = {u ∈ Lp ([0, T ]; X0 ) |∂t u ∈ Lq ([0, T ]; X1 )}.
Khi đó W nhúng compact trong Lp ([0, T ]; X).
Bổ đề 1.3. [16, Bổ đề 1.3, tr.12] Giả sử O là một tập mở bị chặn trong
Rt × Rnx và {gj } là một dãy các hàm trong Lp (O), 1 < p < ∞, thoả mãn:
∥gj ∥Lp (O) ≤ C với mọi j ∈ N∗ .
Khi đó, nếu g ∈ Lp (O) và gj → g h.k.n trong O thì gj ⇀ g trong Lp (O).
Định lí 1.1 (Bổ đề compact ∗ − yếu Alaoglu). Nếu không gian X là phản xạ
thì có thể chọn một dãy con hội tụ yếu từ một dãy bị chặn bất kì trong X. Nếu
X ∗ là đối ngẫu của một không gian tách được thì mọi dãy bị chặn trong X ∗
đều chứa một dãy con hội tụ ∗ −yếu.
Bổ đề 1.4. Cho O là một miền bị chặn trong Rd , X ⊂ E là các khơng gian
Banach, trong đó phép nhúng trên là compact. Xét 1 ≤ p < q ≤ +∞. Giả sử
16


F ⊂ Lp (O; E) thỏa mãn
(i) ∀w ⊂⊂ O, lim sup ∥τh f − f ∥Lp (w;E) = 0 (ở đó τh f là tốn tử chuyển
h→0 f ∈F

τh f (x) = f (x + h)),
(ii) F bị chặn trong Lp (O; E) ∩ L1 (O; E).
Khi đó, F compact tương đối trong Lp (O; E).

Mệnh đề sau suy ra từ định lí Hahn - Banach:
Mệnh đề 1.1. Giả sử X là một không gian Banach với đối ngẫu X ∗ . Khi đó
∥u∥X =

max

⟨u, f ⟩,

f ∈X ∗ , ∥f ∥X ∗ ≤1

và maximum là đạt được.
Định lí 1.2. Cho E ⊂ E0 là các không gian Banach, trong đó phép nhúng là
liên tục. Giả sử u ∈ L∞ (τ, T ; E) và u(t) ∈ E0 với mọi t ∈ [τ, T ], hơn nữa, với
bất kì φ ∈ E0∗ , ⟨u(t), φ⟩ là một hàm liên tục đối với t ∈ [τ, T ] (tức là u(t) là
một hàm liên tục yếu từ [τ, T ] vào E0 ). Khi đó
a) u(t) ∈ E với mọi t ∈ [τ, T ],
∥u(t)∥E ≤ ∥u∥L∞ (τ,T ;E) ,

∀ t ∈ [τ, T ],

và u(t) là hàm liên tục yếu từ [τ, T ] vào E;
b) hàm ∥u(t)∥E là nửa liên tục dưới trên [τ, T ], tức là
∥u(t)∥E ≤ lim inf ∥u(t)∥E ,
s→t

∀ t ∈ [τ, T ].

Nhận xét
Như vậy, nếu ∂t u ∈ Lp1 (τ, T ; E0 ), p1 ≥ 1 thì u ∈ C([τ, T ]; E0 ). Nếu u ∈
L∞ (τ, T ; E) và E ⊂ E0 thì u(t) ∈ E được xác định một cách duy nhất với bất

kì t ∈ [τ, T ].
Định lí 1.3 (Compact yếu). Cho X là khơng gian Banach phản xạ và giả sử
∞
∞
dãy {uk }∞
k=1 là bị chặn. Khi đó tồn tại một dãy con {ukj }j=1 ⊂ {uk }k=1 và
u ∈ X sao cho ukj ⇀ u. Tức là, dãy bị chặn trong không gian Banach phản
xạ là tiền compact yếu. Nói riêng, một dãy bị chặn trong không gian Hilbert
chứa một dãy con hội tụ yếu.
17


Định lí 1.4 (Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue). Cho X là một không gian độ
đo, và {fn } là một dãy các hàm đo được trên X sao cho lim fn (x) = f (x)
n→∞

với mọi x ∈ X. Nếu tồn tại hàm khả tích Lebesgue g sao cho |fn (x)| ≤ g(x)
với mọi n và mọi x ∈ X thì
∫
∫
lim
fn (x)dx =
f (x).
n→∞

1.4.2.

X

X

Một số định lí quan trọng

Định lí 1.5 (Nguyên lí ánh xạ co Banach). Giả sử (X, d) là một không gian
metric đủ và A : X → X là ánh xạ thỏa mãn
d(Ax, Ay) ≤ kd(x, y), x, y ∈ X;
với hằng số k < 1. Khi đó A có một điểm bất động duy nhất.
Định lí 1.6. (Định lí điểm bất động Schauder). Giả sử X là không gian
Banach thực. Giả sử K ⊂ X là lồi, compact và toán tử A : X → X là liên tục.
Khi đó A có một diểm bất động trong K.
Hệ quả 1.1. (Định lí điểm bất động Brower). Giả thiết u : B(0, 1) → B(0, 1)
là liên tục, trong đó B(0, 1) là hình cầu đơn vị đóng trong RN . Khi đó u có
điểm bất động.
Định lí 1.7 (Định lí Pacard-Lipschitz). Giả sử f thỏa mãn
|f (x) − f (y)| ≤ L(B)|x − y|,
với mọi x, y trong một lân cận của B. Khi đó, tồn tại T = T (x0 ) sao cho
phương trình
dx
= f (x), x(0) = x0 ,
dt
có một nghiệm duy nhất trên đoạn [0, T ].
Định lí 1.8 (Định lí Peano). Giả sử f là hàm liên tục. Khi đó tồn tại hàm
T > 0 sao cho phương trình
dx
= f (x),
dt
có ít nhất một nghiệm trên đoạn [0, T ].

18

x(0) = x0 ,


Chương 2

NGHIỆM DỪNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
CĨ TRỄ VƠ HẠN

Trong chương này, ta xét phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính với trễ
vơ hạn, trong đó số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức và số
hạng chứa trễ thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Đầu tiên, sử dụng phương pháp
Galerkin, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài tốn.
Sau đó, chúng tơi nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng.
Cuối chương là nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng.
2.1.

ĐẶT BÀI TỐN

Ta xét phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính với trễ vơ hạn trong miền bị
chặn với biên trơn Ω trong RN :


 ∂ u(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) = F (ut ) + g(x), t > 0, x ∈ Ω,
∂t

u(s, x) = ϕ(s, x), s ∈ (−∞, 0], x ∈ Ω,

(2.1)

trong đó ut là hàm trên (−∞, 0] xác định bởi ut (s) = u(t + s), s ∈ (−∞, 0].

Chúng ta đã biết, khơng gian pha đóng vai trị quan trọng khi nghiên cứu
phương trình đạo hàm riêng với trễ vô hạn (xem e.g. [12]). Ở đây chúng ta xét
không gian chứa trễ như sau:
{
}
2
2
2
BCL−∞ (L (Ω)) = φ ∈ C((−∞, 0]; L (Ω)) : ∃ lim φ(s) ∈ L (Ω) ,
s→−∞

là không gian Banach với chuẩn
∥φ∥BCL :=

sup
s∈(−∞,0]

19

∥φ(s)∥L2 .


Để nghiên cứu bài toán (2.1), chúng ta giả thiết:
(H1) A là một tốn tử nửa tuyến tính dương xác định trù mật trên miền
D(A) ⊂ L2 (Ω) có giải thức compact, và ta cũng giả sử rằng C0∞ (Ω) hay
C ∞ (Ω) được chứa và trù mật trong D(A1/2 ).
(H2) f : R → R là hàm liên tục thỏa mãn
C1 |u|p − C0 ≤ f (u)u ≤ C2 |u|p + C0 , với p ≥ 2,

(2.2)

(f (u) − f (v))(u − v) ≥ −ℓ|u − v|2 , ∀u, v ∈ R,

(2.3)

trong đó C0 , C1 , C2 và ℓ là các hằng số dương;
(H3) F : BCL−∞ (L2 (Ω)) → L2 (Ω) thỏa mãn
(i) F (0) = 0,
(ii) Tồn tại hằng số LF > 0 sao cho với mọi ξ, η ∈BCL−∞ (L2 (Ω)),
|F (ξ) − F (η)| ≤ LF ∥ξ − η∥BCL ;
(H4) ngoại lực g ∈ L2 (Ω).
Trong chương này, để thuận tiện, ta ký hiệu H = L2 (Ω), V = D(A1/2 ), V ′ =
D(A−1/2 ), BCL−∞ (H) = BCL−∞ (L2 (Ω)), và | · |, (·, ·), ∥ · ∥, ((·, ·)) tương ứng
là chuẩn và tích vơ hướng trong H và V . Ta cũng ký hiệu |.|p là chuẩn trong
không gian Lp (Ω) và sử dụng ký hiệu ⟨·, ·⟩ cho tích đối ngẫu giữa V và V ′ ,
′

giữa Lp (Ω) và Lp (Ω) với 1/p + 1/p′ = 1.
2.2.

SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Ký hiệu
ΩT = (0, T ] × Ω,
W = L2 (0, T ; V ) ∩ Lp (0, T ; Lp (Ω)),
′

′

W ∗ = L2 (0, T ; V ′ ) + Lp (0, T ; Lp (Ω)),

với p′ là liên hợp của p, tức là , 1/p + 1/p′ = 1.
20


Định nghĩa 2.1. Một nghiệm yếu trên khoảng (0, T ) của bài toán (2.1) với
điều kiện ban đầu ϕ ∈ BCL−∞ (H) là một hàm u ∈ C((−∞, T ]; H) ∩ W thỏa
du
mãn u0 (θ) = ϕ(θ) với mọi θ ≤ 0,
∈ W ∗ , và
dt
d
(u(t), v) + ((u(t), v)) + ⟨f (u(t)), v⟩ = (F (ut ), v) + (g, v)
dt

(2.4)

với mọi v ∈ V ∩ Lp (Ω) và mọi t ∈ (0, T ).
Nhận xét 2.1. Nếu u là một nghiệm cổ điển của bài toán (2.1) thì u là một
nghiệm yếu theo định nghĩa nghiệm 2.1. Thật vậy, nó chỉ cần thỏa mãn (2.4).
Để chứng minh, ta nhân phương trình đầu của (2.1) với v ∈ V ∩ Lp (Ω), lấy
tích phân trên Ω và chú ý
du
d
(t), v) = (u(t), v) vì v phụ thuộc thời gian t,
dt
dt
(Au(t), v) = (A1/2 u(t), A1/2 v) = ((u(t), v)),
(

Ta được (2.4) với mọi hàm v ∈ V ∩ Lp (Ω) và mọi t ∈ (0, T ).

Định lí 2.1. Với các giả thiết (H1)-(H4), thì với mỗi T > 0 và ϕ ∈
BCL−∞ (H) cho trước, bài tốn (2.1) có duy nhất nghiệm yếu u trên khoảng
(0, T ).
Chứng minh. (i) Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục. Giả sử u, v là
hai nghiệm của bài toán (2.1) với cùng điều kiện ban đầu ϕ, ψ ∈ BCL−∞ (H).
Đặt w = u − v ta có
dw
+ Aw + f (u) − f (v) = F (ut ) − F (vt )
dt
w(0) = ϕ − ψ.
Nhân phương trình đầu với w và lấy tích phân trên miền Ω, ta được
∫
(
)(
)
(
)
1 d
2
2
|w| + ∥w∥ +
f (u) − f (v) u − v dx = F (ut ) − F (vt ), w .
2 dt
Ω

Sử dụng giả thiết (H2), ta được
∫
∫
(
)(

)
f (u(t)) − f (v(t)) u(t) − v(t) dx ≥ −ℓ (u(t) − v(t))2 dx
Ω

Ω

≥ −ℓ sup |w(θ)|2 .
θ∈[0,t]

21


Ta có
∥wt ∥γ = sup eγθ |w(t + θ)| ≤ ∥w0 ∥γ e−γt + sup |w(θ)|.
θ≤0

θ∈[0,t]

Sử dụng giả thiết (H3-ii) và bất đẳng thức Cauchy, ta được
(
)
F (ut ) − F (vt ), w(t) ≤ LF ∥(ut ) − (vt )∥BCL |w(t)|
≤

2L2F
λ1
∥(ut ) − (vt )∥2BCL + |w(t)|2 .
λ1
2

Do đó,
d
4L2F
|w(t)|2 + 2∥w(t)∥2 ≤ 2ℓ sup |w(θ)|2 +
∥(ut ) − (vt )∥2BCL + λ1 |w(t)|2 .
dt
λ
1
θ∈[0,t]
Lấy tích phân từ 0 đến t, ta nhận được
∫t
|w(t)| ≤ |w(0)| + 2ℓ
2

2

4L2F
sup |w(θ)| ds +
∥(ut ) − (vt )∥2BCL
λ
1
θ∈[0,s]
2

0

(

4L2F )
≤ |w(0)|2 + 2ℓ +

λ1

∫t
sup |w(θ)|2 ds +
0

θ∈[0,s]

4L2F
|w0 ∥2BCL .
λ1

Vì vậy,
(
4L2F )
sup |w(θ)|2 ≤ |w(0)|2 + 2ℓ +
λ1
θ∈[0,t]

∫t
sup |w(θ)|2 ds +
0

θ∈[0,s]

4L2F
|w0 ∥2BCL .
λ1

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có

(
)
4L2
4L2F
(2ℓ+ λ F )t
2
2
2
1
sup |w(θ)| ≤ |w(0)| +
∥w0 ∥BCL e
.
λ1
θ∈[0,t]

(2.5)

Ta nhận được tính duy nhất của nghiệm (nếu ϕ = ψ) và sự phụ thuộc liên tục
của nghiệm vào dữ kiện ban đầu.
(ii) Sự tồn tại nghiệm. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán
bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.
p
Bước 1: Lược đồ xấp xỉ Galerkin. Ta xét cơ sở {vj }∞
j=1 của V ∩ L (Ω), là
một hệ trực chuẩn trong L2 (Ω). Ký hiệu Vm = span{v1 , . . . , vm } và xét phép
∑m
chiếu Pm u = j=1 (u, vj )vj . Đặt
m

u (t) =

m
∑
j=1

22

γm,j (t)vj ,