Đề toán kiểm tra chất lượng

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐẦU VÀO LỚP 9
Mơn: Tốn Chuyên
Ngày thi: 12/06/2022
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 (5.0 điểm).
2c D 0 và a2 C b 2 C c 2

a) Cho các số thực a; b; c thỏa mãn đồng thời các điều kiện a C b
Chứng minh rằng a D b D c:

3ab D 0:

b) Chứng minh rằng biểu thức
P D

.a

a2
b/.a

c/

C

.b

b2
c/.b

a/

C

.c

c2
a/.c

b/

có giá trị là số nguyên, trong đó a; b; c là ba số thực đôi một phân biệt.
c) Tìm tất cả các cặp số nguyên .x; y/ thỏa mãn
x 2 C 5xy C 6y 2 D 2x C 4y C 7:
Bài 2 (5.0 điểm).
a) Cho các số thực không âm a; b; c thỏa mãn a C b C c D 3: Chứng minh rằng
p
p
p
8a C b C 8b C c C 8c C a 6 9:
b) Cho các số thực không âm a; b; c thỏa mãn a C b C c D 6: Chứng minh rằng
p
p
p
a2 C 4a C 13 C b 2 C 4b C 13 C c 2 C 4c C 13 > 15:
c) Cho các số thực không âm a; b; c thỏa mãn ab C bc C ca > 3: Chứng minh rằng
1
1
1
C
C
6 1:

a2 C b 2 C 1 b 2 C c 2 C 1 c 2 C a2 C 1
Bài 3 (6.0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC .AB < AC /; có các đường cao BE; CF cắt nhau tại điểm H:
Tia phân giác của góc BAC cắt đường thẳng CF tại điểm M:
MF
AE
D
:
a) Chứng minh rằng
AB
MC
b) Gọi N là giao điểm của các đường thẳng AM và BE: Đường thẳng qua điểm H song song với đường
thẳng AM cắt các đường thẳng EF; BC lần lượt tại các điểm I và K: Chứng minh rằng H N D HM
và hai tam giác HEI; H CK đồng dạng.
c) Gọi L là giao điểm của các đường thẳng AM và CI: Chứng minh rằng đường thẳng FL vng góc
với đường thẳng AH:
Bài 4 (4.0 điểm).
a) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x C

2
và x 4 đều là số hữu tỉ. Chứng minh rằng x là số hữu tỉ.
x

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương .x; y/ thỏa mãn 4x 2 C 6y

1 và 4y 2 C 5x đều là số chính phương.

c) Hỏi có thể chia tất cả các ước dương của 69Š thành hai nhóm có cùng số phần tử sao cho tích các
phần tử trong mỗi nhóm là bằng nhau hay khơng? (Ở đây nŠ được ký hiệu là tích của tất cả các số
nguyên dương từ 1 đến n.)
— HẾT —