Phương trình lượng giác và ứng dụng

Ths. Lê Văn Đoàn
Ths. Lê Văn ĐoànThs. Lê Văn Đoàn
Ths. Lê Văn Đoàn

MỤC LỤC
MỤC LỤCMỤC LỤC
MỤC LỤC



Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững 1
A – Phương trình lượng giác cơ bản
4
Bài tập áp dụng 4

Bài tập rèn luyện 7
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác
9
Bài tập áp dụng 10
Bài tập rèn luyện 12
C
– Phương trình bậc nhất theo sin và cos
15
Bài tập áp dụng 16
Bài tập rèn luyện 18
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp
20
Bài tập áp dụng 21
Bài tập rèn luyện 23
E – Phương trình lượng giác đối xứng
24
Bài tập áp dụng 25
Bài tập rèn luyện 26
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối
28
Bài tập áp dụng 28
Bài tập rèn luyện 30
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực
32
Bài tập áp dụng 32
Bài tập rèn luyện 35
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương
37
Bài tập áp dụng 37
Bài tập rèn luyện 43

I – Hệ phương trình lượng giác
47
Bài tập áp dụng 47
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác
52
Bài tập áp dụng 53
Bài tập rèn luyện 56








Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC

Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•
••
•

b
bb
b•
••
•

t
tt
th
hh
h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§º
ºº
º Page - 1 -
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNGCÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG







Công thức cơ bản

Công thức cơ bảnCông thức cơ bản
Công thức cơ bản


●
2 2
sin x cos x 1
+ =
●
tan x.cotx 1
=
●
sin x
tan x
cos x
=

●
cos x
cotx
sin x
=
●
os
2
2
1
1 tan x
c x
+ =

●
2
2
1
1 cot x
sin x
+ =





Công thức cung nhân đôi
Công thức cung nhân đôiCông thức cung nhân đôi
Công thức cung nhân đôi

–
––
–

Công thức hạ bậc
Công thức hạ bậcCông thức hạ bậc
Công thức hạ bậc

–
––
–

Công thức cung nhân ba
Công thức cung nhân baCông thức cung nhân ba

Công thức cung nhân ba


●
sin2x 2 sin x.cos x
=

●
2 2
2 2
cos x sin x
cos2x
2 cos x 1 1 2 sin x

−

=

− = −



●
os
2
1 c 2x
sin x
2
−
=

●
os
os
2
1 c 2x
c x
2
+
=

●
3
sin 3x 3 sin x 4 sin x
= −
●
3
cos 3x 4 cos x 3 cos x
= −





Công thức cộng cung
Công thức cộng cungCông thức cộng cung
Công thức cộng cung


●
(

)
sin a b sin a.cos b cos a.sin b
± = ±
●
(
)
os
c a b cos a.cos b sin a.sin b
± =
∓

●
( )
tan a tan b
tan a b
1 tan a.tan b
+
+ =
−
●
( )
tan a tan b
tan a b
1 tan a.tan b
−
− =
+

●
π

1 tan x
tan x
4 1 tan x
 
+



+ =





−
 
●
π
1 tan x
tan x
4 1 tan x
 
−



− =






+
 





Công thức biến đổi tổng thành tích
Công thức biến đổi tổng thành tíchCông thức biến đổi tổng thành tích
Công thức biến đổi tổng thành tích


●
a b a b
cosa cos b 2 cos .cos
2 2
+ −
+ =
●
a b a b
cosa cos b 2sin .sin
2 2
+ −
− = −

●
a b a b
sin a sin b 2sin .cos

2 2
+ −
+ =
●
a b a b
sin a sin b 2cos .sin
2 2
+ −
− =

●
(
)
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
+
+ =
●
(
)
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
−
− =





Công thức biến đổi tích thành tổng
Công thức biến đổi tích thành tổngCông thức biến đổi tích thành tổng
Công thức biến đổi tích thành tổng


●
(
)
(
)
cos a b cos a b
cos a.cos b
2
+ + −
=
●
(
)
(
)
sin a b sin a b
sin a.cos b
2
+ + −
=

●
(
)

(
)
cos a b cos a b
sin a.sin b
2
− − +
=





Một số công thức thông dụng khác
Một số công thức thông dụng khácMột số công thức thông dụng khác
Một số công thức thông dụng khác


●
π π
sinx cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
   
 
 
 
+ = + = −
 
 
 
 

 
   
●
π π
sinx cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
   
 
 
 
− = − = +
 
 
 
 
 
   


●
4 4 2
1 cos4x
cos x sin x 1 s
3 1
in 2x
2
4
+
+ = − =
●

6 6 2
3 cos4x
cos x sin x 1 s
5 3
in 2x
4
8
+
+ = − =

Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng




Page - 2 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”







Một số lưu ý
Một số lưu ýMột số lưu ý
Một số lưu ý
:
 Điều kiện có nghiệm của phương trình
sin x
cos x

= α


= α


là:
1 1− ≤ α ≤
.
 Khi giải phương trình có chứa các hàm số
tan
hoặc

cot
, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết
phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
 Phương trình chứa
tan x
, điều kiện:
( )
cos x 0 x k k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π ∈ 
.

 Phương trình chứa
cotx
, điều kiện:
( )
sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ 
.
 Phương trình chứa cả
tan x
và
cotx
, điều kiện:
( )
x k. k
2
π
≠ ∈ 
.

 Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để
kiểm tra điều kiện:
 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của
x
vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị
ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.
 Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của
nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận
nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác

AM
có
số đo là
k2
n
π
α +


0
0
k.360
hay a
n
 



+






 
với k ,n
+
∈ ∈  thì có
n
điểm
M
trên đường tròn
lượng giác cách đều nhau".
Ví dụ 1: Nếu sđ

AM k2
3
π
= + π thì có một điểm
M
tại vị trí
3
π
(ta chọn
k 0=
).
Ví dụ 2: Nếu sđ

AM k

6
π
= + π
thì có 2 điểm
M
tại vị trí
6
π
và
7
6
π
(ta chọn
k 0, k 1= =
).
Ví dụ 3: Nếu sđ

2
AM k.
4 3
π π
= +
thì có 3 điểm
M
tại các vị trí
11
;
4 12
π π
và

19
12
π
,
( )
k 0;1;2=
.
Ví dụ 4: Nếu sđ

k2
AM k.
4 2 4 4
π π π π
= + = +
thì có 4 điểm
M
tại các vị trí
4
π
,
3
4
π
,
5
4
π
;
7
4

π

(ứng với các vị trí
k 0,1,2,3=
).
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung
x k
6
π
= − + π
và
x k
3
π
= + π

Biểu diễn cung
x k
6
π
= − + π
trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
6
π
−
và
5
6
π

Để giải được phương tr˜nh lượng giŸc cũng như cŸc
ứng dụng của n‚, cŸc bạn học sinh cần nắm vững
tất cả những c“ng thức lượng giŸc. Đ‚ lš hšnh
trang, lš c“ng cụ cần thiết nhất để chinh phục thế
giới mang t˚n: "Phương tr˜nh lượng giŸc"
Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC
Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•
••

•

b
bb
b•
••
•

t
tt
th
hh
h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§
§§

§§
§§
§§
§§
§§
§§
§º
ºº
º Page - 3 -
Biểu diễn cung
x k
3
π
= + π
trên đường tròn thì có
2 điểm tại các vị trí:
3
π
và
4
3
π
.
Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
cung tổng hợp là:
x k
3 2
π π
= +

 Đối với phương trình
2
2
1 1
cos x cos x
2 2
1 1
sin x sin x
2 2
 
 
= = ±
 
⇔
 
 
= = ±
 
 

ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4
nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:
2
2
2
2
1
cos x
2 cos x 1 0 cos2x 0
2

1 cos2x 0
2 sin x 1 0
sin x
2



=

− = =



⇔ ⇔



=
− =




=



. Tương tự đối với phương trình
2
2

sin x 1 sin x 1
cos x 1
cos x 1


= = ±


⇔


= ±
=




ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức
2 2
sin x cos x 1
+ =
. Lúc đó:
2 2
2 2
sin x 1 cos x 0 cos x 0
sin x 0
cos x 1 sin x 0
 

= = =

 

⇔ ⇔
 

=
= =
 


 

 Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''
 Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là
một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.
 Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là
(
)
cos cos
−α = α
, còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
(
)
(
)
(
)

sin sin , tan tan , cot tan

−α = − α −α = − α −α = − α

 Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là
(
)
sin sin
π − α = α
, còn các cung
góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó:
(
)
(
)
(
)

cos cos , tan tan , cot tan
π − α = − α π − α = − α π − α = − α

 Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 90
0
) thì sin góc này bằng cos góc kia và
ngược lại, tức là:

sin cos , cos sin , tan cot , cot tan
2 2 2 2
       
π π π π
   
   

   
− α = α − α = α − α = α − α = α
   
   
   
   
   
       

 Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này:
Giải phương trình lượng giác:
sin u cos v
=

Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình
sin u sin v
=
, vậy còn phương trình
sin u cos v
=
thì sao ?
Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi:
sin u cos v sin u sin v
2
 
π



= ⇔ = −






 


( )
u v k2 u v k2 , k
2 2
π π
= − + π ∨ = + + π ∈

.

π/3
5
π
/6
4π/3
–π/6
O
Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Page - 4 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như
2
sin x cos x
3
 
π



= −





 

thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.
 Một số cung góc hay dùng khác:

( )
( )
sin x k2 sin x
cos x k2 cos x


+ π =




+ π =



và
( )
( )
( )

sin x k2 sin x
k
cos x k2 cos x


+ π + π = −


∈



+ π + π = −




.


A

–
––
–

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢNPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN






Dạng
DạngDạng
Dạng:
: :
:

u v k2
sin u sin v
u v k2

= + π

= ⇔

= π − + π


Đặc biệt:
sin x 0 x k
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2



= ⇒ = π




π

= ⇒ = + π





π


= − ⇒ = − + π








Dạng
DạngDạng
Dạng:
: :
:
u v k2
cos u cos v
u v k2

= + π

= ⇔

= − + π



Đặc biệt:
cos x 0 x k
2
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2


π

= ⇒ = + π




= ⇒ = π



= − ⇒ = π + π










Dạng

DạngDạng
Dạng:
::
:

tan u tan v u v k
Ðk : u,v k
2
= ⇔ = + π
π
≠ + π
Đặc biệt:
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4


= ⇔ = π




π

= ± ⇔ = ± + π









Dạng
DạngDạng
Dạng:
: :
:
cotu cot v u v k
Ðk : u,v k
= ⇔ = + π
≠ π
Đặc biệt:
cot x 0 x k
2
cot x 1 x k
4


π

= ⇔ = + π





π


= ± ⇔ = ± + π








BA
BABA
BAI TÂ
I TÂI TÂ
I TÂP A
P AP A
P AP DU
P DUP DU
P DUNG
NGNG
NG


Bài1
Bài1Bài1
Bài1. Giải phương trình:
(
)

cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14
 

− + − = ∗ ∀ ∈
 
 

Bài2
Bài2Bài2
Bài2. Giải phương trình:
( )( ) ( )
2 cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗

Bài3
Bài3Bài3
Bài3. Giải phương trình:
( )
cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗

Bài4
Bài4Bài4
Bài4. Giải phương trình:
( )
sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0+ + + + = ∗

Bài5
Bài5Bài5
Bài5. Giải phương trình:
( ) ( )
2 sin x 1 cos 2x sin 2x 1 cos x+ + = + ∗

Bài6
Bài6Bài6

Bài6. Giải phương trình:
( )

1 1 7
4 sin x
sin x 4
3
sin x
2
 
π



+ = − ∗



 


π
 



−






 

Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC
Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•
••
•

b
bb
b•
••
•

t
tt
th
hh
h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§
§§
§§

§§
§§
§§
§§
§§
§º
ºº
º Page - 5 -
Bài7
Bài7Bài7
Bài7. Giải phương trình:
( )

4 4
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
   
π π
 
 
 
+ = + − ∗
 
 
 
 
 
   

Bài8
Bài8Bài8
Bài8. Giải phương trình:
( )

4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
   
π π
 
 
 
− +
 
 
 
 
 
   

Bài9
Bài9Bài9
Bài9. Giải phương trình:
( )

3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
   
π π
 
 
 
− = +
 
 
 
 
 
   

Bài10
Bài10Bài10
Bài10. Giải phương trình:
( )

sin 3x sin 2x sin x 1
4 4
   
π π
 
 
 
− = +

 
 
 
 
 
   

Bài11
Bài11Bài11
Bài11.
( )

3
8 cos x cos 3x 1
3
 
π



+ =





 

Bài12
Bài12Bài12

Bài12. Giải phương trình:
( )

3
2 sin x 2sin x 1
4
 
π



+ =





 

Bài13
Bài13Bài13
Bài13. Giải phương trình:
( )

3
sin x 2 sin x 1
4
 
π




− =





 

Bài14
Bài14Bài14
Bài14. Giải phương trình:
(
)

cos x cos2x cos 3x cos 4x 0
+ + + = ∗

Bài15
Bài15Bài15
Bài15. Giải phương trình:
( )

2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = ∗
.

Bài16
Bài16Bài16
Bài16. Giải phương trình:
(
)

2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2
+ + = ∗
.
Bài17
Bài17Bài17
Bài17. Giải phương trình:
(
)

2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
+ = + ∗

Bài18
Bài18Bài18
Bài18. Giải phương trình:
(
)

2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
− = − ∗

Bài19
Bài19Bài19
Bài19. Giải phương trình:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2 cos
4 2 2
 
π



+ = + − ∗





 

Bài20
Bài20Bài20
Bài20. Giải phương trình:
(
)

2 2 2
sin x cos 2x cos 3x

= + ∗

Bài21
Bài21Bài21
Bài21. Giải phương trình:
(
)

2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x
+ − = ∗

Bài22
Bài22Bài22
Bài22. Giải phương trình:
(
)

sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos2x
+ + = + + ∗

Bài23
Bài23Bài23
Bài23. Giải phương trình:
(
)

3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x
+ = ∗

Bài24
Bài24Bài24
Bài24. Giải phương trình:
(
)

2 3
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x
+ + = + ∗

Bài25
Bài25Bài25
Bài25. Giải phương trình:
(
)

3 3 2
4 sin x 3 cos x 3 sin x sin x cos x 0
+ − − = ∗

Bài26
Bài26Bài26
Bài26. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)

2
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3
+ + − + = ∗

Bài27
Bài27Bài27
Bài27. Giải phương trình:
(
)
(
)

6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗

Bài28
Bài28Bài28
Bài28. Giải phương trình:
(
)
( )

8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗

Bài29
Bài29Bài29
Bài29. Giải phương trình:
(
)
(
)

3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗

Bài30
Bài30Bài30
Bài30. Giải phương trình:
(
)

4 2 2 4
3 cos x 4 cos x sin x sin x 0
− + = ∗

Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng




Page - 6 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
Bài31
Bài31Bài31
Bài31. Giải phương trình:
( )

3 3
2 3 2
cos 3x cos x sin 3x sin x
8
−
− = ∗

Bài32
Bài32Bài32
Bài32. Giải phương trình:
( )

1
cos x cos2x cos4x cos 8x
16

= ∗

Bài33
Bài33Bài33
Bài33. Giải phương trình:
(
)

3
4 sin 3x cos2x 1 6 sin x 8 sin x
= + − ∗

Bài34
Bài34Bài34
Bài34. Giải phương trình:
( )

1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x
2
+ + + + = − ∗

Bài35
Bài35Bài35
Bài35. Giải phương trình:
( )

sin2x 2 cos x sin x 1
0
tan x 3

+ − −
= ∗
+

Bài36
Bài36Bài36
Bài36. Giải phương trình:
( )

2
1 sin2x cos2x
2 sin x sin2x
1 cot x
+ +
= ∗
+

Bài37
Bài37Bài37
Bài37. Giải phương trình:
(
)
(
)

tan x cot x 2 sin 2x cos2x
+ = + ∗

Bài38
Bài38Bài38

Bài38. Giải phương trình:
(
)

2
tan x tan x tan 3x 2
− = ∗

Bài39
Bài39Bài39
Bài39. Giải phương trình:
( )

2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗

Bài40
Bài40Bài40
Bài40. Giải phương trình:
( )

2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
 
π




− − = ∗





 

Bài41
Bài41Bài41
Bài41. Giải phương trình:
(
)
(
)

2
sin2x cot x tan 2x 4 cos x
+ = ∗

Bài42
Bài42Bài42
Bài42. Giải phương trình:
( ) ( )

2 2
cot x tan x

16 1 cos 4x
cos2x
−
= + ∗

Bài43
Bài43Bài43
Bài43. Giải phương trình:
( )

1
2 tan x cot2x 2 sin 2x
2 sin 2x
+ = + ∗

Bài44
Bài44Bài44
Bài44. Giải phương trình:
(
)
( ) ( )

3 sin x tan x
2 1 cos x 0
tan x sin x
+
− + = ∗
−

Bài45

Bài45Bài45
Bài45. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
( ) ( )

2 2
2 2
1 cos x 1 cos x
1
tan x sin x 1 sin x tan x
2
4 1 sin x
− + +
− = + + ∗
−

Bài46
Bài46Bài46
Bài46. Giải phương trình:
(
)

cos 3x tan 5x sin 7x
= ∗

Bài
BàiBài
Bài47
4747
47. Giải phương trình:
( )

1 1
sin2x sin x 2 cot x
2 sin x sin 2x
+ − − = ∗

Bài48
Bài48Bài48
Bài48. Giải phương trình:
( ) ( )

4 4
sin x cos x 1
tan x cot2x
sin2x 2
+
= + ∗

Bài49
Bài49Bài49
Bài49. Giải phương trình:
(
)

2 2 2 2
tan x.cot 2x.cot 3x tan x cot 2x cot3x
= − + ∗

Bài50
Bài50Bài50
Bài50. Giải phương trình:
( )

x
cotx sin x 1 tan x tan 4
2
 



+ + = ∗





 

Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC
Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•
••
•

b
bb
b•

••
•

t
tt
th
hh
h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§
§§
§§
§§
§§
§§
§§

§§
§º
ºº
º Page - 7 -
BA
BABA
BAI TÂ
I TÂI TÂ
I TÂP
P P
P RE
RERE
REN
N N
N LUYÊ
LUYÊLUYÊ
LUYÊN
NN
N
Câu 1.
Câu 1.Câu 1.
Câu 1. Giải phương trình:
2 sin x cos x 2cos x 3 3 sin x
− + =
.
Câu 2.
Câu 2.Câu 2.
Câu 2. Giải phương trình:
2 tan x cos x 1 2cos x tan x
+ = +

.
Câu 3.
Câu 3.Câu 3.
Câu 3. Giải phương trình:
3 3
2
sin x cos x cos x sin x
8
− =
.
Câu 4.
Câu 4.Câu 4.
Câu 4. Giải phương trình:
2 2 2
cos x cos 2x cos 3x 1
+ + =
.
Câu 5.
Câu 5.Câu 5.
Câu 5. Giải phương trình:
2 2
17
sin 2x cos 8x sin 10x
2
 
π



− = +






 
.
Câu 6.
Câu 6.Câu 6.
Câu 6. Giải phương trình:
4 6
cos x sin x cos2x
+ =
.
Câu 7.
Câu 7.Câu 7.
Câu 7. Giải phương trình:
1 cos 4x sin 4x
0
2 sin 2x 1 cos 4x
−
− =
+
.
Câu 8.
Câu 8.Câu 8.
Câu 8. Giải phương trình:
2
2 1
sin x cos x cos x

2
+
+ =
.
Câu 9.
Câu 9.Câu 9.
Câu 9. Giải phương trình:
(
)
2
x
2 3 cos x 2 sin
2 4
1
2 cos x 1
 
π



− − −





 
=
−
.

Câu 10.
Câu 10.Câu 10.
Câu 10. Giải phương trình:
sin 4x 3sin 2x tan x
+ =
.
Câu 11.
Câu 11.Câu 11.
Câu 11. Giải phương trình:
2 3
cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x
+ + = +
.
Câu 12.
Câu 12.Câu 12.
Câu 12. Giải phương trình:
(
)
2 2 2
2 cos x 2 cos 2x 2 cos 3x 3 cos 4x 2 sin 2x 1
+ + − = +
.
Câu 13.
Câu 13.Câu 13.
Câu 13. Giải phương trình:

5x 7
sin 2x 3 cos x 1 2 sin x , ;3
2 2 3
     

π π
  
  
  
+ − − = + ∀ ∈ π
  
  
  
  
  
     
.
Câu 14.
Câu 14.Câu 14.
Câu 14. Giải phương trình:
( )

2 2
sin 4x cos 6x sin 10,5 10x , 0;
2
 
π



− = π + ∀ ∈






 
.
Câu 15.
Câu 15.Câu 15.
Câu 15. Giải phương trình:
tan2x tan 3x tan 5x tan 2x tan 3x tan 5x
− − =
.
Câu 16.
Câu 16.Câu 16.
Câu 16. Giải phương trình:
sin x sin2x sin 3x
3
cos x cos2x cos 3x
+ +
=
+ +
.
Câu 17.
Câu 17.Câu 17.
Câu 17. Giải phương trình:
2
1 cos x
tan x
1 sin x
+
=
−
.

Câu 18.
Câu 18.Câu 18.
Câu 18. Giải phương trình:
2
4
cos x cos x
3
=
.
Câu 19.
Câu 19.Câu 19.
Câu 19. Giải phương trình:
1 1
2 2 sin x
4 sin x cos x
 
π



+ = +





 
.
Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng




Page - 8 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
Câu 20.
Câu 20.Câu 20.
Câu 20. Giải phương trình:
2
2 tan x cot2x 3
sin2x
+ = +
.
Câu 21.
Câu 21.Câu 21.
Câu 21. Giải phương trình:
2
3 tan 3x cot2x 2 tan x
sin 4x

+ = +
.
Câu 22.
Câu 22.Câu 22.
Câu 22. Giải phương trình:
2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2
+ + =
.
Câu 23.
Câu 23.Câu 23.
Câu 23. Giải phương trình:
(
)
25 4x 3sin2 x 8 sin x 0
− π + π =
.
Câu 24.
Câu 24.Câu 24.
Câu 24. Giải phương trình:
sin2x
2 cos x 0
1 sin2x
+ =
+
.
Câu 25.
Câu 25.Câu 25.
Câu 25. Giải phương trình:
sin x cot5x

1
cos 9x
=
.
Câu 26.
Câu 26.Câu 26.
Câu 26. Giải phương trình:
2
3 tan6x 2 tan2x cot4x
sin 8x
− = −
.
Câu 27.
Câu 27.Câu 27.
Câu 27. Giải phương trình:
2
1 cos x
tan x
1 sin x
+
=
−
.
Câu 28.
Câu 28.Câu 28.
Câu 28. Giải phương trình:
3 3
2
cos x cos 3x sin x sin 3x
4

+ =
.
Câu 29.
Câu 29.Câu 29.
Câu 29. Giải phương trình:
4 4
x x 5
sin cos
3 3 8
   
 
 
 
+ =
 
 
 
 
 
   
.
Câu 30.
Câu 30.Câu 30.
Câu 30. Giải phương trình:
(
)
2
2 sin 3x 1 4 sin x 1
− =
.

Câu 31.
Câu 31.Câu 31.
Câu 31. Giải phương trình:
3 3 2
cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0
− − + =
.
Câu 32.
Câu 32.Câu 32.
Câu 32. Giải phương trình:
4 4
x x
sin cos 1 2 sin x
2 2
+ = −
.
Câu 33.
Câu 33.Câu 33.
Câu 33. Giải phương trình:
sin 3x sin2x sin x
4 4
   
π π
 
 
 
− = +
 
 
 

 
 
   
.
Câu 34.
Câu 34.Câu 34.
Câu 34. Giải phương trình:
(
)
2
4
4
2 sin x sin 3x
tan x 1
cos x
−
+ =
.
Câu 35.
Câu 35.Câu 35.
Câu 35. Giải phương trình:
2
x
tan x cos x cos x sin x 1 tan tan x
2
 



+ − = +






 
.
Câu 36.
Câu 36.Câu 36.
Câu 36. Giải phương trình:

2 2
x 7
sin x cos 4x 2sin 2x 4 sin x , x 1 3
4 2 2
 
π



− = − − ∀ − <





 
.
Câu 37.
Câu 37.Câu 37.

Câu 37. Giải phương trình:
sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x
+ + = + +
.
Câu 38.
Câu 38.Câu 38.
Câu 38. Giải phương trình:
2 2 2 2
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2
+ + + =
.
Câu 39.
Câu 39.Câu 39.
Câu 39. Giải phương trình:
(
)
( )
2
cos x cos x 1
2 1 sin x
sin x cos x
−
= +
+
.
Câu 40.
Câu 40.Câu 40.
Câu 40. Giải phương trình:
sin x sin2x sin 3x sin 4x sin 5x sin 6x 0
+ + + + + =

.
Câu 41.
Câu 41.Câu 41.
Câu 41. Giải phương trình:
cos x cos 3x 2 cos 5x 0
+ + =
.
Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC
Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc

c•
••
•

b
bb
b•
••
•

t
tt
th
hh
h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh

h§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§º
ºº
º Page - 9 -
Câu 42.
Câu 42.Câu 42.
Câu 42. Giải phương trình:
9 sin x 6 cos x 3 sin 2x cos2x 8
+ − + =
.
Câu 43.
Câu 43.Câu 43.
Câu 43. Giải phương trình:
(
)
cos x sin x cos x sin x cos x cos2x
− =
.
Câu 44.
Câu 44.Câu 44.
Câu 44. Giải phương trình:
(
)

(
)
2
2 sin x 1 3cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3
+ + − + =
.
Câu 45.
Câu 45.Câu 45.
Câu 45. Giải phương trình:
3 3
2 sin x sin x 2cos x cos x cos2x
− = − +
.
Câu 46.
Câu 46.Câu 46.
Câu 46. Giải phương trình:
2 3 4 2 3 4
sinx sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x
+ + + = + + +
.
Câu 47.
Câu 47.Câu 47.
Câu 47. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
sin x tan x 1 3 sin x cos x sin x 3
+ = − +

.
Câu 48.
Câu 48.Câu 48.
Câu 48. Giải phương trình:
2
tan2x cot x 8 cos x
+ =
.
Câu 49.
Câu 49.Câu 49.
Câu 49. Giải phương trình:
(
)
(
)
3 cot x cos x 5 tan x sin x 2
− − − =
.
Câu 50.
Câu 50.Câu 50.
Câu 50. Giải phương trình:
1 1
2 2 sin x
4 sin x cos x
 
π



+ = +






 
.


B

–
––
–

PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC
BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁCBẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC
BẬC HAI VÀ BẬC CAO ĐỐI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC




Dạng


Đặt ẩn phụ

Điều kiện

2
a sin x b sin x c 0
+ + =

t sin x
=

1 t 1
− ≤ ≤

2
a cos x b cos x c 0
+ + =

t cos x
=

1 t 1
− ≤ ≤


2
a tan x b tan x c 0
+ + =


t tan x
=

x k , (k )
2
π
≠ + π ∈


2
a cot x bcotx c 0
+ + =


t cotx
=

(
)
x k , k
≠ π ∈


Nếu đặt
2
t sin x
=
hoặc
t sin x
=
thì điều kiện là
0 t 1
≤ ≤

(tương tự cho
cos
)



Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ
Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệMột số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ
Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ


●
(
)
2
2 2
1 sin 2x sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos x
+ = + + = +

●
(
)
2
2 2
1 sin2x sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x
− = + − = −

●
sin2x

sin x cos x
2
=

●
(
)
(
)
3 3
sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x
+ = + −

●
(
)
(
)
x
3 3
sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos
− = − +

●
2 2
sin x cos x sin x cos x 2
tan x cot x
cos x sin x sin x cos x sin 2x
+
+ = + = =

●
2 2
cos x sin x cos x sin x 2 cos2x
cot x tan x 2cot x
sin x cos x sin x cos x sin 2x
−
− = − = = =

Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng




Page - 10 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
●
4 4 2 2
1 1 1 3 1cos 4x

sin x cos x 1 sin 2x cos 2x
2 2 2 4
+
+ = − = + =

●
(
)
(
)
4 4 2 2 2 2
cos x sin x sin x cos x cos x sin x cos2x
− = + − =

●
6 6 4 4 2 2 2
3 5 3 cos 4x
sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 sin 2x
4 8
+
+ = + − = − =

●
(
)
6 6 4 4 2 2
cos x sin x cos2x sin x cos x sin x cos x
− = + +

●

x 1
1 tan x tan
2 cos x
+ =

●
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
   
π π
 
 
 
± = ± =
 
 
 
 
 
   
∓

●
(
)
(
)
2 2
cos x cos x 1 sin x 1 sin x
1 sin x cos x

cos x 1 sin x cos x 1 sin x
− +
= = =
−
− −
(mối liên hệ giữa sinx và cosx)

BA
BABA
BAI TÂ
I TÂI TÂ
I TÂP A
P AP A
P AP DU
P DUP DU
P DUNG
NGNG
NG


Bài
BàiBài
Bài5
55
51
11
1. Giải phương trình:
(
)

2
cos 4x 12 sin x 1 0
+ − = ∗

Bài52
Bài52Bài52
Bài52. Giải phương trình:
(
)

4 4
cos x sin x cos 4x 0
− + = ∗

Bài53
Bài53Bài53
Bài53. Giải phương trình:
( ) ( )

cos 3x sin 3x
5 sin x 3 cos2x , x 0;2
1 2 sin2x
 
+



+ = + ∗ ∀ ∈ π






+
 

Bài54
Bài54Bài54
Bài54. Giải phương trình:
( )

sin 3x sin 5x
3 5
= ∗

Bài55
Bài55Bài55
Bài55. Giải phương trình:
( )

sin 5x
1
5 sin x
= ∗

Bài56
Bài56Bài56
Bài56. Giải phương trình:
(
)

2 2
cos 3x cos2x cos x 0 1
− =

Bài57
Bài57Bài57
Bài57. Giải phương trình:
( )

4 4
3
cos x sin x cos x sin 3x 0
4 4 2
   
π π
 
 
 
+ + − − − = ∗
 
 
 
 
 
   

Bài58
Bài58Bài58
Bài58. Giải phương trình:

( )

5 7
sin 2x 3 cos x 1 2 sin x; x ;2
2 2 2
     
π π π
  
  
  
+ − − = + ∀ ∈ π ∗
  
  
  
  
  
     

Bài59
Bài59Bài59
Bài59. Giải phương trình:
(
)
(
)

2
5 sin x 2 3 1 sin x tan x
− = − ∗

Bài60
Bài60Bài60
Bài60. Giải phương trình:
(
)
( )

2
sin2x 3 cos2x 5 cos 2x
6
 
π



+ − = − ∗





 

Bài61
Bài61Bài61
Bài61. Giải phương trình:
(
)
( )

6 6
2 cos x sin x sin x cos x
0
2 2 sin x
+ −
= ∗
−

Bài62
Bài62Bài62
Bài62. Giải phương trình:
( )
( )

1 sin x cos2x sin x
4
1
cos x
1 tan x
2
 
π



+ + +






 
= ∗
+

Bài63
Bài63Bài63
Bài63. Giải phương trình:
( )

1 1
2 sin 3x 2 cos 3x
sin x cos x
− = + ∗

Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC

Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•
••
•

b
bb
b•
••
•

t
tt
th
hh
h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§º
ºº
º Page - 11 -
Bài64
Bài64Bài64
Bài64. Giải phương trình:
(
)
( )

2
cos x 2sin x 3 2 2cos x 1
1
1 sin2x

+ − −
= ∗
+

Bài65
Bài65Bài65
Bài65. Giải phương trình:
( )

x 3x x 3x 1
cos x cos cos sin x sin sin
2 2 2 2 2
− = ∗

Bài66
Bài66Bài66
Bài66. Giải phương trình:
( )

4 4
sin x cos x 1 1
cot2x
5 sin 2x 2 8 sin2x
+
= − ∗

Bài67
Bài67Bài67
Bài67. Giải phương trình:
(

)
(
)

2 2
3cot x 2 2 sin x 2 3 2 cos x
+ = + ∗

Bài68
Bài68Bài68
Bài68. Giải phương trình:
(
)

6 2
3 cos 4x 8 cos x 2cos x 3 0
− + + = ∗

Bài69
Bài69Bài69
Bài69. Giải phương trình:
( )

2cos 4x
cotx tan x
sin 2x
= + ∗

Bài70
Bài70Bài70

Bài70. Giải phương trình:
( )

2
cot x tan x 4 sin2x
sin2x
− + = ∗

Bài71
Bài71Bài71
Bài71. Giải phương trình:
(
)

2 2
2 sin x tan x 2
+ = ∗

Bài72
Bài72Bài72
Bài72. Giải phương trình:
( )

8 8
1
sin x cos x
8
+ = ∗

Bài73

Bài73Bài73
Bài73. Giải phương trình:
( )

8 8 2
17
sin x cos x cos 2x
16
+ = ∗

Bài74
Bài74Bài74
Bài74. Giải phương trình:
( )

3
5x x
sin 5cos x sin
2 2
= ∗

Bài75
Bài75Bài75
Bài75. Giải phương trình:
(
)
(
)

2

sin2x cot x tan2x 4 cos x
+ = ∗

Bài76
Bài76Bài76
Bài76. Giải phương trình:
( )

2
6x 8x
2 cos 1 3cos
5 5
+ = ∗

Bài77
Bài77Bài77
Bài77. Giải phương trình:
( )

3
tan x tan x 1
4
 
π



− = − ∗






 

Bài78
Bài78Bài78
Bài78. Giải phương trình:
( )

4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
   
π π
 
 
 
− +
 
 
 
 
 
   

Bài79
Bài79Bài79
Bài79. Giải phương trình:
( ) ( )

4 2
1 2
48 1 cot2x cotx 0
cos x sin x
− − + = ∗

Bài80
Bài80Bài80
Bài80. Giải phương trình:
(
)
( )

8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗

Bài81
Bài81Bài81
Bài81. Giải phương trình:
( )

2
cos2x 1
cot x 1 sin x sin2x
1 tan x 2
− = + − ∗
+

Bài82
Bài82Bài82
Bài82. Giải phương trình:
(
)

sin2x 2 tan x 3
+ = ∗

Bài83
Bài83Bài83
Bài83. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)

1 tan x 1 sin2x 1 tan x
− + = + ∗

Bài84

Bài84Bài84
Bài84. Giải phương trình:
(
)
(
)

2
cos2x cos x 2 tan x 1 2
+ − = ∗

Bài85
Bài85Bài85
Bài85. Giải phương trình:
(
)
(
)
3
sin2x cosx 3 2 3 cos x 3 3 cos2x 8 3 cosx sinx 3 3
+ − − + − =

Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng




Page - 12 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
Bài86
Bài86Bài86
Bài86. Giải phương trình:
2
2
1 1
4 sin x 4 sin x 7 0
sin x
sin x
   
 
 
 
+ + + − =
 
 
 
 
 
   

(
)

∗

Bài87
Bài87Bài87
Bài87. Giải phương trình:
(
)

2
tan x tan x tan 3x 2
− = ∗

Bài
BàiBài
Bài88
8888
88. Giải phương trình:
( )

1 1
sin2x sin x 2 cot2x
2 sin x sin2x
+ − − = ∗

Bài89
Bài89Bài89
Bài89. Giải phương trình:

( )

1
2 cos2x 8 cos x 7
cos x
− + = ∗

Bài90
Bài90Bài90
Bài90. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)

4 sin 3x cos2x 5 sin x 1
− = − ∗

Bài91
Bài91Bài91
Bài91. Giải phương trình:
2
2
1 1
sin x sin x
sin x
sin x
− = −

(
)

∗

Bài92
Bài92Bài92
Bài92. Giải phương trình:
2
2
1 1
cos x 2 cos x 1
cos x
cos x
 



+ − + =





 
(
)

∗

Bài93
Bài93Bài93
Bài93. Giải phương trình:
1
2 tan x cot x 2sin 2x
sin2x
+ = +
(
)

∗

Bài94
Bài94Bài94
Bài94. Giải phương trình:
(
)
2 2
tan x cot x 2 1 tan x cot x 0
+ + + + =
(
)

∗

Bài95
Bài95Bài95
Bài95. Giải phương trình:
2 2
2 tan x 3 tan x 2 cot x 3 cot x 3 0

− + + − =
(
)

∗

Bài96
Bài96Bài96
Bài96. Giải phương trình:
5 5 2
4 sin x cos x 4 cos x sin x sin 4x
− =
(
)

∗

Bài97
Bài97Bài97
Bài97. Giải phương trình:
4
2 cos2x tan x
5
+ =
(
)

∗

Bài98

Bài98Bài98
Bài98. Giải phương trình:
2 2 2 2
3
cos x cos 2x cos 3x cos 4x
2
+ + + =
(
)

∗

Bài99
Bài99Bài99
Bài99. Giải phương trình:
6 6
2 2
sin x cos x 1
tan2x
4
cos x sin x
+
=
−
(
)

∗

Bài100

Bài100Bài100
Bài100. Giải phương trình:
6 6
sin x cos x sin2x
+ =
(
)

∗






BA
BABA
BAI TÂ
I TÂI TÂ
I TÂP
P P
P RE
RERE
REN LUYÊ
N LUYÊN LUYÊ
N LUYÊN
NN
N
Câu 51.
Câu 51.Câu 51.

Câu 51. Giải phương trình:
3
4 cos x 3 2 sin 2x 8 cos x
+ =

Câu 52.
Câu 52.Câu 52.
Câu 52. Giải phương trình:
2
6 sin 3x cos12x 14
+ =

Câu 53.
Câu 53.Câu 53.
Câu 53. Giải phương trình:
3 tan x cot x 1 3
+ = +

Câu 54.
Câu 54.Câu 54.
Câu 54. Giải phương trình:
tan x 3 cotx 1 3
− + =

Câu 55.
Câu 55.Câu 55.
Câu 55. Giải phương trình:
2 2
1 3
4

sin x cos x
sin x cos x
+ =

Câu 56.
Câu 56.Câu 56.
Câu 56. Giải phương trình:
2
1
4 tan x 2 0
cos x
− + =

Câu 57.
Câu 57.Câu 57.
Câu 57. Giải phương trình:
2
1
cot x 3
sin x
= +

Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC
Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•
••
•

b
bb
b•
••
•

t
tt
th
hh
h“

““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§º
ºº
º Page - 13 -
Câu 58.
Câu 58.Câu 58.
Câu 58. Giải phương trình:
(

)
2
2 2
1 2 2 sin x
1 cot x
− + = −
+

Câu 59.
Câu 59.Câu 59.
Câu 59. Giải phương trình:
2
4
cos x 9 0
1 tan x
+ − =
+

Câu 60.
Câu 60.Câu 60.
Câu 60. Giải phương trình:
( )
4 4
17
2 sin x cos x cos 2x 0
2
 
π




+ − − =





 

Câu 61.
Câu 61.Câu 61.
Câu 61. Giải phương trình:
sin 4x tan x
=

Câu 62.
Câu 62.Câu 62.
Câu 62. Giải phương trình:
4 4 4
9
sin x sin x sin x
4 4 8
   
π π
 
 
 
+ + + − =
 
 

 
 
 
   

Câu 63.
Câu 63.Câu 63.
Câu 63. Giải phương trình:
tan x cotx 4
+ =

Câu 64.
Câu 64.Câu 64.
Câu 64. Giải phương trình:
(
)
2
sin x 3 2 2 cos x 2 sin x 1
1
1 sin 2x
− − −
=
−

Câu 65.
Câu 65.Câu 65.
Câu 65. Giải phương trình:
4
4 cos x 3 2 sin2x 8 cos x
+ =

Câu 66.
Câu 66.Câu 66.
Câu 66. Giải phương trình:
1 1 2
cos x sin 2x sin 4x
+ =

Câu 67.
Câu 67.Câu 67.
Câu 67. Giải phương trình:
sin2x 2 sin x 1
4
 
π



+ − =





 

Câu 68.
Câu 68.Câu 68.
Câu 68. Giải phương trình:
( ) ( )

2 2 sin x 1 4 sin x 1 cos 2x sin 2x
4 4
   
π π
 
 
 
− = − − + − +
 
 
 
 
 
   

Câu 69.
Câu 69.Câu 69.
Câu 69. Giải phương trình:
2
4x
cos cos x
3
=

Câu 70.
Câu 70.Câu 70.
Câu 70. Giải phương trình:
x
tan cos x sin2x 0
2

+ =

Câu 71.
Câu 71.Câu 71.
Câu 71. Giải phương trình:
1 3 tan x 2sin2x
+ =

Câu 72.
Câu 72.Câu 72.
Câu 72. Giải phương trình:
2
3x 4x
2 cos 1 3 cos
5 5
+ =

Câu 73.
Câu 73.Câu 73.
Câu 73. Giải phương trình:
cotx tan x 2 tan2x
= +

Câu 74.
Câu 74.Câu 74.
Câu 74. Giải phương trình:
2
3x
2 cos 1 3cos2x
2

+ =

Câu 75.
Câu 75.Câu 75.
Câu 75. Giải phương trình:
2
3 cos 4x 2 cos 3x 1
− =

Câu 76.
Câu 76.Câu 76.
Câu 76. Giải phương trình:
x
cos x tan 1
2
+ =

Câu 77.
Câu 77.Câu 77.
Câu 77. Giải phương trình:
2
3 tan 2x 4 tan 3x tan 3x tan2x
− =

Câu 78.
Câu 78.Câu 78.
Câu 78. Giải phương trình:
2
3
cos x cos 4x cos2x cos 3x cos 4x

2
+ + =

Câu 79.
Câu 79.Câu 79.
Câu 79. Giải phương trình:
(
)
(
)
1 tan x 1 sin2x 1 tan x
− + = +

Câu 80.
Câu 80.Câu 80.
Câu 80. Giải phương trình:
6 6 2
13
sin x cos x cos 2x
8
+ =

Câu 81.
Câu 81.Câu 81.
Câu 81. Giải phương trình:
6 6
1
sin x cos x cos2x
16
+ = +

Câu 82.
Câu 82.Câu 82.
Câu 82. Giải phương trình:
(
)
2
5 sin x 2 3 tan x 1 sin x
− = −

Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng




Page - 14 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
Câu 83.
Câu 83.Câu 83.

Câu 83. Giải phương trình:
( )
4
4
1
sin x sin x 1
8
+ − =

Câu 84.
Câu 84.Câu 84.
Câu 84. Giải phương trình:
2
8x 2x
cos cos
3 3
=

Câu 85.
Câu 85.Câu 85.
Câu 85. Giải phương trình:
2
x
cos2x 3 cos x 4 cos
2
− =

Câu 86.
Câu 86.Câu 86.
Câu 86. Giải phương trình:

2
cos 5x cos x cos 4x cos2x 4 3sin x
= + −

Câu 87.
Câu 87.Câu 87.
Câu 87. Giải phương trình:
2 cos x cos2x 1 cos2x cos 3x
= + +

Câu 88.
Câu 88.Câu 88.
Câu 88. Giải phương trình:
(
)
sin 3x cos2x 2 sin2x cos x 1
+ = −

Câu 89.
Câu 89.Câu 89.
Câu 89. Giải phương trình:
(
)
4 4
2 cos 2x sin 2x cos 8x cos 4x 0
− + − =

Câu 90.
Câu 90.Câu 90.
Câu 90. Giải phương trình:

( )
2
x 5 17 1 9
2 cos 2 2x cos 10cos x sin x
2 2 2 2 2
   
π π
 
 
 
π − + − − − = −
 
 
 
 
 
   

Câu 91.
Câu 91.Câu 91.
Câu 91. Giải phương trình:
5
4 cos x cos 2x
3 3 2
   
π π
 
 
 
− + + =

 
 
 
 
 
   

Câu 92.
Câu 92.Câu 92.
Câu 92. Giải phương trình:
4 4
5
sin x cos x 2 sin x
2
+ = −

Câu 93.
Câu 93.Câu 93.
Câu 93. Giải phương trình:
6 6
1
sin x cos x sin2x
4
+ =

Câu 94.
Câu 94.Câu 94.
Câu 94. Giải phương trình:
2 2
3 sin 2x 8 sin x 11 3 cos2x

0
sin2x
+ − −
=

Câu 95.
Câu 95.Câu 95.
Câu 95. Giải phương trình:
(
)
2
cos2x 3 2 2sin x 3 2sin x
1 0
sin2x 1
+ + −
− =
+

Câu 96.
Câu 96.Câu 96.
Câu 96. Giải phương trình:
sin x 1
1
1 cos2x
+
=
+

Câu 97.
Câu 97.Câu 97.

Câu 97. Giải phương trình:
cos2x 3cot2x sin 4x
2
cot2x cos2x
+ +
=
−

Câu 98.
Câu 98.Câu 98.
Câu 98. Giải phương trình:
4 4
4
x x
sin cos
2 2
cos x
tan x tan x
4 4
+
=
   
π π
 
 
 
− +
 
 
 

 
 
   

Câu 99.
Câu 99.Câu 99.
Câu 99. Giải phương trình:
2
2
1 1
cos x cos x
cos x
cos x
+ = +

Câu 100.
Câu 100.Câu 100.
Câu 100. Giải phương trình:
(
)
(
)
cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x
+ = − −


Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP

Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC
Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•
••
•

b
bb
b•
••
•

t

tt
th
hh
h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§º
ºº
º Page - 15 -

C

–
––
–

PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ሺPT CỔ ĐIỂNሻ
BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ሺPT CỔ ĐIỂNሻBẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ሺPT CỔ ĐIỂNሻ
BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS ሺPT CỔ ĐIỂNሻ



Dạng:
( ) { }
( )
a sin x b cos x c , a,b \ 0+ = ∗ ∈ 



 Phương pháp 1
Phương pháp 1Phương pháp 1
Phương pháp 1:
 Điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
a b c
+ ≥

 Chia 2 vế phương trình cho

2 2
a b 0+ ≠
, ta được:
( )
2 2 2 2 2 2
a b c
sin x cos x
a b a b a b
∗ ⇔ + =
+ + +
.
 Đặt
( )

2 2 2 2
a b
sin ;cos , 0;2
a b a b
 
α = α = α ∈ π
 
 
+ +
. Phương trình trở thành:
2 2 2 2
c c
sin sin x cos cos x cos(x )
a b a b
α + α = ⇔ − α =
+ +

đã biết cách giải.
 Phương pháp 2
Phương pháp 2Phương pháp 2
Phương pháp 2:
 Kiểm tra xem
x x
cos 0 k x k2
2 2 2
π
= ⇔ = + π ⇔ = π + π
có phải là nghiệm hay không ? Nếu
phải thì ghi nhận nghiệm này.
 Với
x x
cos 0 k x k2
2 2 2
π
≠ ⇔ ≠ + π ⇔ ≠ π + π
, ta đặt:


2
2 2
x 2t 1 t
t tan sin x , cos x
2
1 t 1 t
−
= ⇒ = =
+ +

. Thay vào phương trình, ta được:
( ) ( )

2
(b c)t 2at c b 0∗ ⇔ + − + − = ∗ ∗
.
 Vì
x k2 b c 0≠ π + π ⇔ + ≠
nên
( )
∗ ∗
có nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' a (c b ) 0 a b c∆ = − − ≥ ⇔ + ≥
.
 Giải phương trình
( )
∗ ∗
, ứng với mỗi nghiệm
t
ta có phương trình:
x
tan t x
2
= ⇒


Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Page - 16 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
BA
BABA
BAI TÂ
I TÂI TÂ
I TÂP A
P AP A
P AP DU
P DUP DU
P DUNG
NGNG
NG


Bài101
Bài101Bài101

Bài101. Giải phương trình:
( )

2 6
cos7x 3 sin 7x 2 , x ;
5 7
 
π π



− = − ∗ ∀ ∈





 



Bài
BàiBài
Bài102
102102
102. Giải phương trình:
( )

2
x x

sin cos 3 cos x 2
2 2
 



+ + = ∗





 

Bài103
Bài103Bài103
Bài103. Giải phương trình:
( )

1
tan x sin2x cos2x 2 2 cos x 0
cos x
 



− − + − = ∗






 



Bài
BàiBài
Bài104
104104
104. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
( )

1 2 sin x cos x
3
1 2 sin x 1 sin x
−
= ∗
+ −

Bài105
Bài105Bài105
Bài105. Giải phương trình:
( )

3 1
8 sin x
cos x sin x
= + ∗

Bài106
Bài106Bài106
Bài106. Giải phương trình:
(
)
(
)

3
sin x cos x sin2x 3 cos 3x 2 cos 4x sin x
+ + = + ∗

Bài107
Bài107Bài107
Bài107. Giải phương trình:
(
)

3
3sin 3x 3 cos9x 1 4 sin 3x
− = + ∗

Bài108
Bài108Bài108

Bài108. Giải phương trình:
(
)

3 cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0
− − = ∗

Bài109
Bài109Bài109
Bài109. Giải phương trình:
(
)

9 sin x 6 cos x 3 sin2x cos2x 8
+ − + = ∗

Bài110
Bài110Bài110
Bài110. Giải phương trình:
(
)

sin2x 2 cos 2x 1 sin x 4 cos x
+ = + − ∗

Bài111
Bài111Bài111
Bài111. Giải phương trình:
(
)

2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2cos x 4
− = + − ∗

Bài112
Bài112Bài112
Bài112. Giải phương trình:
(
)

sin2x cos2x 3 sin x cos x 2
− = + − ∗

Bài113
Bài113Bài113
Bài113. Giải phương trình:
(
)

3
2 cos x cos2x sin x 0
+ + = ∗

Bài114
Bài114Bài114
Bài114. Giải phương trình:
( )

2
1 cos2x

1 cot2x
sin 2x
−
+ = ∗

Bài115
Bài115Bài115
Bài115. Giải phương trình:
(
)
(
)

4 4
4 sin x cos x 3 sin 4x 2
+ + = ∗

Bài116
Bài116Bài116
Bài116. Giải phương trình:
( )

3 3
1
1 sin 2x cos 2x sin 4x
2
+ + = ∗

Bài117
Bài117Bài117

Bài117. Giải phương trình:
(
)
(
)

tan x 3 cotx 4 sin x 3 cos x
− = + ∗

Bài118
Bài118Bài118
Bài118. Giải phương trình:
(
)

3 3
sin x cos x sin x cos x
+ = − ∗

Bài119
Bài119Bài119
Bài119. Giải phương trình:
( )

4 4
1
cos x sin x
4 4
 
π




+ + = ∗





 

Bài120
Bài120Bài120
Bài120. Giải phương trình:
(
)

3 3
4 sin x cos 3x 4 cos x sin 3x 3 3 cos 4x 3
+ + = ∗

Bài121
Bài121Bài121
Bài121. Giải phương trình:
(
)
2 2 sin x cos x cos x 3 cos2x
+ = +
(
)

∗

Bài122
Bài122Bài122
Bài122. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 cos x 1 sin x cos x 1
− + =
(
)

∗

Bài123
Bài123Bài123
Bài123. Giải phương trình:
(
)
2 cos 2x 6 cos x sin x
= −
(
)

∗

Chuy˚n đề 7.

Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC
Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•
••
•

b
bb
b•
••

•

t
tt
th
hh
h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§§

§º
ºº
º Page - 17 -
Bài124
Bài124Bài124
Bài124. Giải phương trình:
2 cos 3x 3 sin x cos x 0
+ + =
(
)

∗

Bài125
Bài125Bài125
Bài125. Giải phương trình:
cos x 3 sin x sin2x cos x sin x
+ = + +
(
)

∗

Bài126
Bài126Bài126
Bài126. Giải phương trình:
3
cos x 3 sin x
cos x 3 sin x 1
+ =

+ +
(
)

∗

Bài127
Bài127Bài127
Bài127. Giải phương trình:
sin x cos x cos2x
+ =
(
)

∗

Bài128
Bài128Bài128
Bài128. Giải phương trình:
3
4 sin x 1 3 sin x 3 cos 3x
− = −
(
)

∗

Bài129
Bài129Bài129
Bài129. Giải phương trình:

2
cos7x cos 5x 3 sin2x 1 sin x
− = +
(
)

∗

Bài130
Bài130Bài130
Bài130. Giải phương trình:
(
)
4 sin2x 3 cos2x 3 4 sin x 1
− = −
(
)

∗

Bài131
Bài131Bài131
Bài131. Giải phương trình:
2
tan x sin 2x cos2x 4 cos x
cos x
− − = − +
(
)

∗

Bài132
Bài132Bài132
Bài132. Giải phương trình:
(
)
2
x
2 3 cos x 2 sin
2 4
1
2 cos x 1
 
π



− − −





 
=
−
(
)

∗

Bà
BàBà
Bài133
i133i133
i133. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
3 cos x 4 sin x 6 2 3 3 cos x 4 sin x 6
− − + = − − −
(
)

∗

Bài134
Bài134Bài134
Bài134. Giải phương trình:
9 3
sin 2x 3 cos x 1 2 sin x
2 2
   
π π
 
 
 

+ − − = +
 
 
 
 
 
   
(
)

∗

Bài135
Bài135Bài135
Bài135. Giải phương trình:
(
)
2 2
sin x 1 .cos 3x cos x.sin 3x 2
+ + =
(
)

∗

Bài136
Bài136Bài136
Bài136. Giải phương trình:
( )

2
cos x sin2x
3
2 cos x sin x 1
−
= ∗
− −

Bài137
Bài137Bài137
Bài137. Giải phương trình:
( )

1
tan x 3
cos x
− = ∗

Bài138
Bài138Bài138
Bài138. Giải phương trình:
(
)

3
3sin 5x 3 cos15x 1 4 sin 5x
− = + ∗

Bài139
Bài139Bài139

Bài139. Giải phương trình:
( )

3 3
5
cos x cos 3x sin x sin 3x
8
− = ∗

Bài140
Bài140Bài140
Bài140. Giải phương trình:
(
)

10 cos x 3 cot x 4
= + ∗

Bài141
Bài141Bài141
Bài141. Giải phương trình:
(
)
(
)

cos3x sin x 3 cos x sin 3x
− = − ∗

Bài142

Bài142Bài142
Bài142. Giải phương trình:
( )

3
4 sin2x 3 cos2x 5cos 3x 0
2
 
π



− − + = ∗





 

Bài143
Bài143Bài143
Bài143. Giải phương trình:
(
)
(
)

4 sin2x 3cos2x 3 4 sin x 1
− = − ∗

Bài145
Bài145Bài145
Bài145. Giải phương trình:
( )

x 5 x 8
2 cos sin cos3x 1
2 2
   
+ π − π
 
 
 
= − ∗
 
 
 
 
 
   

Bài146
Bài146Bài146
Bài146. Giải phương trình:
(
)
(
)

3
sin x cos x sin2x 3 cos 3x 2 cos 4x sin x
+ + = + ∗

Bài147
Bài147Bài147
Bài147. Giải phương trình:
(
)
(
)

2
1 2 sin x cos x 1 sin x cos x
+ = + + ∗

Bài148
Bài148Bài148
Bài148. Giải phương trình:
(
)

3 cos5x 2sin 3x cos2x sin x 0
− − = ∗

Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Page - 18 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
Bài149
Bài149Bài149
Bài149. Giải phương trình:
(
)
(
)

2
2 cos x 3 sin 2x 1 3 sin x 3 cos x
+ + = + ∗

Bài150
Bài150Bài150
Bài150. Giải phương trình:
(
)

(
)

2
sin 5x 2 3 1 sin x tg x
− = − ∗





BA
BABA
BAI TÂ
I TÂI TÂ
I TÂP
P P
P RE
RERE
REN LUYÊ
N LUYÊN LUYÊ
N LUYÊN
NN
N
Câu 101.
Câu 101.Câu 101.
Câu 101. Giải phương trình:
1 3 9 1 3 5 2
cos x sin x
2 2 2

2 2 2 2
   
+ π − π
 
 
 
− + + =
 
 
 
 
 
   

Câu 102.
Câu 102.Câu 102.
Câu 102. Giải phương trình:
1 sin x 1
1 cos x 2
+
=
+

Câu 103.
Câu 103.Câu 103.
Câu 103. Giải phương trình:
3 cos2x sin 2x 2 sin 2x 2 2
6
 
π




+ + − =





 

Câu 104.
Câu 104.Câu 104.
Câu 104. Giải phương trình:
( )
2
21
sin 2x 3 sin 2x cos2x 2 sin x
2
 
π



+ + π − = +






 

Câu 105.
Câu 105.Câu 105.
Câu 105. Giải phương trình:
3 2
2 sin x sin x
4 4 2
   
π π
 
 
 
+ + − =
 
 
 
 
 
   

Câu 106.
Câu 106.Câu 106.
Câu 106. Giải phương trình:
cos x 3 sin x 2 cos x
3
 
π




− = −



 

Câu 107.
Câu 107.Câu 107.
Câu 107. Giải phương trình:
sin x 2 sin5x cos x
= −

Câu 108.
Câu 108.Câu 108.
Câu 108. Giải phương trình:
sin x cos x 2 2 sin x cos x
+ =

Câu 109.
Câu 109.Câu 109.
Câu 109. Giải phương trình:
sin 5x cos5x 2 cos13x
+ =

Câu 110.
Câu 110.Câu 110.
Câu 110. Giải phương trình:
(
)

cos7x sin 5x 3 cos5x sin7x
− = −

Câu 111.
Câu 111.Câu 111.
Câu 111. Giải phương trình:
(
)
sin 8x cos 6x 3 sin 6x cos 8x
− = +

Câu 112.
Câu 112.Câu 112.
Câu 112. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
sin x 1 1 cos x cos x
− + =

Câu 113.
Câu 113.Câu 113.
Câu 113. Giải phương trình:
5
12 cos x 5sin x 8 0
12 cos x 5sin x 14
+ + + =
+ +

Câu 114.
Câu 114.Câu 114.
Câu 114. Giải phương trình:
x x
2 cos x 3 sin x sin 3 cos
2 2
+ + = +

Câu 115.
Câu 115.Câu 115.
Câu 115. Giải phương trình:
cos x sin x
cotx tan x
sin x cos x
−
− =

Câu 116.
Câu 116.Câu 116.
Câu 116. Giải phương trình:
1
sin x tan x cos x
cos x
+ = −

Câu 117.
Câu 117.Câu 117.
Câu 117. Giải phương trình:
( )

1
4 sin x 3cos x 4 1 tan x
cos x
+ = + −

Câu 118.
Câu 118.Câu 118.
Câu 118. Giải phương trình:
sin 5x 3 cos5x 2sin 7x
+ =

Câu 119.
Câu 119.Câu 119.
Câu 119. Giải phương trình:
3 sin x cos x 1
+ =

Câu 120.
Câu 120.Câu 120.
Câu 120. Giải phương trình:
sin x 5 cos x 1
+ =

Câu 121.
Câu 121.Câu 121.
Câu 121. Giải phương trình:
(
)
(
)

(
)

1 3 sin x 1 3 cos x 2 , x 0;
+ + − = ∀ ∈ π

Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC
Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•

••
•

b
bb
b•
••
•

t
tt
th
hh
h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§

§§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§º
ºº
º Page - 19 -
Câu 122.
Câu 122.Câu 122.
Câu 122. Giải phương trình:
(
)

13
sin 3x 3 2 cos 3x 1 , x ;
9 9
 
π π



+ − = ∀ ∈






 

Câu 123.
Câu 123.Câu 123.
Câu 123. Giải phương trình:
(
)
(
)
3 2 sin x 3 2 cos x 20
− + + =

Câu 124.
Câu 124.Câu 124.
Câu 124. Giải phương trình:
(
)
(
)
sin x 1 sin x cos x 1 cos x
− = −

Câu 125.
Câu 125.Câu 125.
Câu 125. Giải phương trình:
2 2
3cos x sin x sin2x
= +

Câu 126.

Câu 126.Câu 126.
Câu 126. Giải phương trình:
3
3 sin 3x 3 cos9x 1 sin 3x
− = +

Câu 127.
Câu 127.Câu 127.
Câu 127. Giải phương trình:
cos7x cos5x 3 sin2x 1 sin 7x sin 5x
− = −

Câu 128.
Câu 128.Câu 128.
Câu 128. Giải phương trình:
3 sin x 4sin x 5 sin 5x 0
3 6 6
     
π π π
  
  
  
− + + + + =
  
  
  
  
  
     

Câu 129.
Câu 129.Câu 129.
Câu 129. Giải phương trình:
sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2
+ + + =

Câu 130.
Câu 130.Câu 130.
Câu 130. Giải phương trình:
1
3 sin x cos x 3
3 sin x cos x 1
+ = +
+ +

Câu 131.
Câu 131.Câu 131.
Câu 131. Giải phương trình:
6
3cos x 4 sin x 6
3 cos x 4 sin x 1
+ + =
+ +

Câu 132.
Câu 132.Câu 132.
Câu 132. Giải phương trình:
(
)
2

1 cos x cos2x cos 3x 2
3 3 sin x
3
2 cos x cos x 1
+ + +
= −
+ −

Câu 133.
Câu 133.Câu 133.
Câu 133. Giải phương trình:
(
)
cos2x 3 sin2x 3 sin x cos x 4 0
− − − + =

Câu 134.
Câu 134.Câu 134.
Câu 134. Giải phương trình:
3
3 sin 2x 3 cos 6x 1 4 sin 2x
− = +

Câu 135.
Câu 135.Câu 135.
Câu 135. Giải phương trình:
3
cos x 3 sin x 3
3 sin x cos x 1
+ = −

+ +

Câu 136.
Câu 136.Câu 136.
Câu 136. Giải phương trình:
cos9x 2cos 6x 2 0
− − =

Câu 137.
Câu 137.Câu 137.
Câu 137. Giải phương trình:
sin x sin 2x
3
cos x cos2x
−
=
−

Câu 138.
Câu 138.Câu 138.
Câu 138. Giải phương trình:
(
)
2
2 cos x 3 sin2x 1 3 sin x 3 cos x
+ + = +

Câu 139.
Câu 139.Câu 139.
Câu 139. Giải phương trình:

sin2x cos2x 3 sin x cos x 2 0
+ + − − =

Câu 140.
Câu 140.Câu 140.
Câu 140. Giải phương trình:
x 5 x 8
2 cos sin cos 3x 1
2 2
   
+ π − π
 
 
 
= −
 
 
 
 
 
   

Câu 141.
Câu 141.Câu 141.
Câu 141. Giải phương trình:
4 sin x cos 3x 2 sin2x 3 sin x cos x
+ = +

Câu 142.
Câu 142.Câu 142.

Câu 142. Giải phương trình:
2
1 3 cot x
2 3 cot x 1 cot x
sin x sin x
− = + −

Câu 143.
Câu 143.Câu 143.
Câu 143. Giải phương trình:
3 sin x 4sin x 5 sin 5x 0
3 6 6
     
π π π
  
  
  
− + + + + =
  
  
  
  
  
     

Câu 144.
Câu 144.Câu 144.
Câu 144. Giải phương trình:
cos2x 3sin2x 5 sin x 3 cos x 3
+ + − =

Câu 145.
Câu 145.Câu 145.
Câu 145. Giải phương trình:
(
)
(
)
3 2
2
4 cos x 2 cos x 2 sin x 1 sin 2x 2 sin x cos x
0
2 sin x 1
+ − − − +
=
−

Câu 146.
Câu 146.Câu 146.
Câu 146. Giải phương trình:
(
)
(
)
3
sin2x cosx 3 2 3 cos x 3 3 cos2x 8 3 cosx sinx 3 3
+ − − + − =

Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng




Page - 20 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
Câu 147.
Câu 147.Câu 147.
Câu 147. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
sin x 4sinx 3 sin2x 3cos x 2 1 2sinx sinx 3 cosx
+ + + − = + +

Câu 148.
Câu 148.Câu 148.
Câu 148. Giải phương trình:

2 2
cos x 3 sin2x 1 sin x
− = +

Câu 149.
Câu 149.Câu 149.
Câu 149. Giải phương trình:
2 3
cos x 3 sin2x sin x 1
− = +

Câu 150.
Câu 150.Câu 150.
Câu 150. Giải phương trình:
sin 3x 3 cos 3x sin 2x 3 cos2x sin x 3 cos x
+ + + = +



D

–
––
–

PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC
LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP

ĐẲNG CẤPĐẲNG CẤP
ĐẲNG CẤP



 Dạng 1
Dạng 1Dạng 1
Dạng 1.
(
)

2 2
a.sin X b.sin X cos X c.cos X d 1 a, b,c, d
+ + = ∀ ∈

.
 Phương pháp 1
Phương pháp 1Phương pháp 1
Phương pháp 1. Chia hai vế cho
2
cos X
(hay
2
sin X
).
 Bước 1. Kiểm tra xem
( ) ( )

2
cos X 0

X k , k Hay X k
sin x 1
2


=
π


= + π ∈ ⇔ = π


=




có phải là nghiệm
của phương trình
(
)
1
hay không ? Nếu phải thì ghi nhận nghiệm này.
 Bước 2. Khi
( ) ( )

2
cos X 0
X k , k Hay X k
sin x 1

2


≠
π


≠ + π ∈ ⇔ ≠ π


≠




. Chia hai vế của
(
)
1
cho
2
cos X
(hay
2
sin X
), ta được:
( )
2 2
2 2 2 2
sin X sin X cos X cos X d

1 a. b. c.
cos X cos X cos X cos X
⇔ + + =

(
)

2 2
a tan X b tan X c d 1 tan X
⇔ + + = +

(
)

2
a d tan X b tan X c d 0
⇔ − + + − =
.
 Bước 3: Đặt
t tan X
=
để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải.
 Phương pháp 2
Phương pháp 2Phương pháp 2
Phương pháp 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi
 Bước 1: Thế

2 2
1 cos2X 1 cos2X
sin X ; cos X

2 2
− +
= =
và
sin2X
sin X cos X
2
=
vào
(
)
1
và
rút gọn lại, ta được:
(
)
(
)

b sin2X c a cos2X 2d a c
+ − = − − ∗

 Bước 2: Giải phương trình
(
)
∗
, tìm nghiệm. Đây là phương trình bậc nhất đối với
sin2X
và
cos2X

(phương trình cổ điển) mà đã biết cách giải.
 Dạng
Dạng Dạng
Dạng 2
22
2.
(
)
(
)


3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
a.sin X b.sin X cos X c.sin X cos X d.cos X 0 2
a.sin X b.sin X cos X c.sin X cos X d.sin X cos X e.co
s X 3

+ + + =


+ + + +





Phương pháp
Phương phápPhương pháp
Phương pháp: Chia hai vế của

(
)
2
cho
3
cos X
(hay
3
sin X
) hoặc chia hai vế của
(
)
3
cho

4
cos X
(hay
4
sin X
) và giải tương tự như trên.


Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC
Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•
••
•

b
bb
b•
••
•

t
tt
th
hh

h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§§
§º
ºº
º Page - 21 -
BA
BABA
BAI TÂ

I TÂI TÂ
I TÂP A
P AP A
P AP DU
P DUP DU
P DUNG
NGNG
NG


Bài151
Bài151Bài151
Bài151. Giải phương trình:
(
)

2 2
cos x 3 sin2x 1 sin x
− = + ∗

Bài152
Bài152Bài152
Bài152. Giải phương trình:
(
)

3 3 2
cos x 4 sin x 3 cos x sin x sin x 0
− − + = ∗

Bài153
Bài153Bài153
Bài153. Giải phương trình:
(
)

4 2 2 4
3 cos x 4 sin x cos x sin x 0
− + = ∗

Bài154
Bài154Bài154
Bài154. Giải phương trình:
(
)

sin2x 2 tan x 3
+ = ∗

Bài155
Bài155Bài155
Bài155. Giải phương trình:
(
)

3
sin x sin2x sin 3x 6 cos x
+ = ∗

Bài156

Bài156Bài156
Bài156. Giải phương trình:
( )

2
cos2x 1
cotx 1 sin x sin2x
1 tan x 2
− = + − ∗
+

Bài157
Bài157Bài157
Bài157. Giải phương trình:
(
)

sin 3x cos 3x 2 cos x 0
+ + = ∗

Bài158
Bài158Bài158
Bài158. Giải phương trình:
( )

3
5 sin 4x cos x
6 sin x 2cos x
2 cos2x
− = ∗

Bài159
Bài159Bài159
Bài159. Giải phương trình:
3
sin x 4 sin x cos x 0
− + =

Bài160
Bài160Bài160
Bài160. Giải phương trình:
(
)
(
)

2 2
tan x sin x 2 sin x 3 cos2x sin x cos x
− = + ∗

Bài161
Bài161Bài161
Bài161. Giải phương trình:
(
)

3 2
cos x sin x 3 sin x cos x 0
+ − = ∗

Bài162
Bài162Bài162
Bài162. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)

2
sin x tan x 1 3 sin x cos x sin x 3
+ = − + ∗

Bài163
Bài163Bài163
Bài163. Giải phương trình:
(
)

2
2 cos x cos2x sin x 0
+ + = ∗

Bài164
Bài164Bài164
Bài164. Giải phương trình:
( )

3

2
3
1 cos x
tan x
1 sin x
−
= ∗
−

Bài165
Bài165Bài165
Bài165. Giải phương trình:
(
)

3 2 2 3
sin x 5 sin x cos x 3 sin x cos x 3 cos x 0
− − + = ∗

Bài166
Bài166Bài166
Bài166. Giải phương trình:
(
)

3 2
cos x sin x 3 sin x cos x 0
+ − = ∗

Bài167

Bài167Bài167
Bài167. Giải phương trình:
(
)

1 tan x 2 2 sin x
+ = ∗

Bài168
Bài168Bài168
Bài168. Giải phương trình:
(
)

3 3
sin x cos x sin x cos x
+ = − ∗

Bài169
Bài169Bài169
Bài169. Giải phương trình:
(
)

2 2
3 tan x 4 tan x 4 cot x 3cot x 2 0
+ + + + = ∗

Bài170
Bài170Bài170

Bài170. Giải phương trình:
( )

2 2
2
3 3 sin x x
3 tan x tan x 8cos 0
4 2
cos x
 
+ π



− + − − = ∗





 

Bài171
Bài171Bài171
Bài171. Giải phương trình:
(
)

3 3
4 cos x 2sin x 3 sin x 0

+ − = ∗

Bài172
Bài172Bài172
Bài172. Giải phương trình:
(
)

3
6 sin x 2 cos x 5sin 2x cos x
− = ∗

Bài173
Bài173Bài173
Bài173. Giải phương trình:
(
)

1 3 tan x 2sin2x
+ = ∗

Bài174
Bài174Bài174
Bài174. Giải phương trình:
(
)
(
)

3 3 5 5

sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗

Bài175
Bài175Bài175
Bài175. Giải phương trình:
(
)

4 4
3 sin x 5 cos x 3 0
+ − = ∗

Bài176
Bài176Bài176
Bài176. Giải phương trình:
( )

sin x cos x
1
sin2x
+
= ∗

Bài177
Bài177Bài177
Bài177. Giải phương trình:
(
)

3 3 2 2
sin x 3 cos x sin x cos x 3 sin x cos x
− = − ∗

Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng




Page - 22 -

¹
¹¹
¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”
Bài178
Bài178Bài178
Bài178. Giải phương trình:
(
)
(
)

2 3
cot x 2 2 sin x 2 3 2 cos x
+ = + ∗

Bài179
Bài179Bài179
Bài179. Giải phương trình:
( )

3
sin x 2 sin x
4
 
π



− = ∗





 

Bài180
Bài180Bài180
Bài180. Giải phương trình:
( )

3
8 cos x cos 3x
3
 
π



+ = ∗





 

Bài181
Bài181Bài181
Bài181. Giải phương trình:
( )

3
2 sin x 2sin x
4
 
π



+ = ∗






 

Bài182
Bài182Bài182
Bài182. Giải phương trình:
( )

3
2 2 cos x 3 cos x sin x 0
4
 
π



− − − = ∗





 

Bài183
Bài183Bài183

Bài183. Giải phương trình:
(
)
(
)

3 3
4 sin x cos x cos x 3sin x
+ = + ∗

Bài184
Bài184Bài184
Bài184. Giải phương trình:
( )

2 2
5
4 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x
2
+ = + ∗

Bài185
Bài185Bài185
Bài185. Giải phương trình:
(
)

2
sin x 3 sin x cos x 1 0
− + = ∗

Bài186
Bài186Bài186
Bài186. Giải phương trình:
( )

4 4 2
1
sin x cos x 2sin 2x cos2x cos 2x
2
+ = − ∗

Bài187
Bài187Bài187
Bài187. Giải phương trình:
( )

4 4 2
3 5 1
sin x cos x sin2x cos2x cos 2x
2 4 4
+ = − − ∗

Bài188
Bài188Bài188
Bài188. Giải phương trình:
( )

2 2
3 2

sin x 3 sin x cos x 2 cos x
2
+
+ + = ∗

Bài189
Bài189Bài189
Bài189. Giải phương trình:
2 2
sin x sin2x 3 cos x 3
+ + =

Bài190
Bài190Bài190
Bài190. Giải phương trình:
( )
15 17 9
2sin x cos x sin x cos x 3sin 7 x sin x
2 2 2
     
π π π
  
  
  
+ + + = π − −
  
  
  
  
  

     

Bài191
Bài191Bài191
Bài191. Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
13 5 3
4sin 3 x cos x 4sin x sin x 2sin x cos x 1
2 2 2
     
π π π
  
  
  
π− − + π+ − + − π+ =
  
  
  
  
  
     

Bài192
Bài192Bài192
Bài192. Giải phương trình:
( ) ( )

2 2
5 3
3sin 3 x 2 sin x cos x 5 sin x 0

2 2 2
     
π π π
  
  
  
π − + + + − + = ∗
  
  
  
  
  
     

Bài193
Bài193Bài193
Bài193. Giải phương trình:
( )

1
3 sin x cos x
cos x
+ = ∗

Bài194
Bài194Bài194
Bài194. Giải phương trình:
( )

1

4 sin x 6 cos x
cos x
+ = ∗

Bài195
Bài195Bài195
Bài195. Giải phương trình:
(
)

32 2
7 sin x 2 sin2x 3cos x 3 15 0
+ − − = ∗

Bài196
Bài196Bài196
Bài196. Giải phương trình:
(
)

3 3 2
4 sin x 3 cos x 3 sin x sin x cos x 0
+ − − = ∗

Bài197
Bài197Bài197
Bài197. Giải phương trình:
(
)

1 3 sin 2x 2 tan x
+ = ∗

Bài198
Bài198Bài198
Bài198. Giải phương trình:
( )

x
2 cos x 2 tan
2
+ = ∗

Bài199
Bài199Bài199
Bài199. Giải phương trình:
1 3 tan x 2sin2x
+ =
(
)
∗

Bài200
Bài200Bài200
Bài200. Giải phương trình:
cotx tan x 2 tan 2x
= +
(
)
∗

Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7.
Chuy˚n đề 7. P
PP
Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng
hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng

Ths. Lê Vn Đoàn


¹
¹¹
¹C
CC
Cầ
ầầ
ần
nn
n

c
cc
c•
••
•

b
bb

b•
••
•

t
tt
th
hh
h“
““
“n
nn
ng
gg
g

m
mm
mi
ii
in
nn
nh
hh
h§
§§
§§
§§
§§
§§

§§
§§
§º
ºº
º Page - 23 -
BA
BABA
BAI TÂ
I TÂI TÂ
I TÂP
P P
P RE
RERE
REN LUYÊ
N LUYÊN LUYÊ
N LUYÊN
NN
N
Câu 151.
Câu 151.Câu 151.
Câu 151. Giải phương trình:
2 2
sin x 2 cos x 3 sin x cos x
+ =

Câu 152.
Câu 152.Câu 152.
Câu 152. Giải phương trình:
2
sin x 3 sin x cos x 1

− = −

Câu 153.
Câu 153.Câu 153.
Câu 153. Giải phương trình:
2 2
2 sin x 3cos x cos2x 5 sin2x 0
+ − − =

Câu 154.
Câu 154.Câu 154.
Câu 154. Giải phương trình:
3 3 2
4 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0
+ − − =

Câu 155.
Câu 155.Câu 155.
Câu 155. Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
9 7
sin x 3 sin x cos x 4 cos 2 x 0
2 2
   
π π
 
 
 
π − + − + − π + =

 
 
 
 
 
   

Câu 156.
Câu 156.Câu 156.
Câu 156. Giải phương trình:
( )

2 2
3
2 cos x 3 3 sin x cos x cos 3 x 2 , x 0;
2 2
   
π π


 

− + − π − = ∀ ∈



 


 

 

Câu 157.
Câu 157.Câu 157.
Câu 157. Giải phương trình:

2 2
cos 2x 3 sin 4x 1 sin 2x , x ;2
3
 
π
 
− = + ∀ ∈ − π
 
 

Câu 158.
Câu 158.Câu 158.
Câu 158. Giải phương trình:

3 3
cos x 3 sin x cos x sin2x 0 , x ;3
4
 
π
 
− + = ∀ ∈ π
 
 

Câu 159.
Câu 159.Câu 159.
Câu 159. Giải phương trình:
2 sin 2x 3 tan x 5
+ =

Câu 160.
Câu 160.Câu 160.
Câu 160. Giải phương trình:
3 3
sin x 3 cos x sin x 0
+ + =

Câu 161.
Câu 161.Câu 161.
Câu 161. Giải phương trình:
2
cos x sin x 4 cos x sin x 0
− − =

Câu 162.
Câu 162.Câu 162.
Câu 162. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
sin x tan x 2 3 cos2x sin x cos x
− = +

Câu 163.
Câu 163.Câu 163.
Câu 163. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
sin x tan x 1 sin x cos x sin x 1 0
+ − − − =

Câu 164.
Câu 164.Câu 164.
Câu 164. Giải phương trình:
1 1
4 sin x
sin x cos x
= +

Câu 165.
Câu 165.Câu 165.
Câu 165. Giải phương trình:
(
)
(
)
4 2 4
3 cos x sin 2x sin 3 x 0
π − − + π − =

Câu 166.
Câu 166.Câu 166.
Câu 166. Giải phương trình:
7
sin 3x cos 3x 2 sin x 0
2
 
π



+ − − =





 

Câu 167.
Câu 167.Câu 167.
Câu 167. Giải phương trình:
(
)
3 sin2x 2cos x 1 2 cos 3x cos2x 3cos x
+ + = + −

Câu 168.
Câu 168.Câu 168.

Câu 168. Giải phương trình:
3
2 cos x sin 3x
=

Câu 169.
Câu 169.Câu 169.
Câu 169. Giải phương trình:
3 3
1
1 sin 2x cos 2x sin 4x
2
+ + =

Câu 170.
Câu 170.Câu 170.
Câu 170. Giải phương trình:
(
)
6 6
8 sin x cos x 3 3 sin 4x 3 3 cos2x 11sin2x 11
+ + = − +

Câu 171.
Câu 171.Câu 171.
Câu 171. Giải phương trình:
3 3 2
4 sin x 3 cos x 3 sin x sin x cos x 0
+ − − =