Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập - Phần 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.18 MB, 108 trang )
Chương IV
BÀI TỐN VẬN TẢI
§1 MĨ HÌNH TỐN HỌC CỦA BÀI TỐN VẬN TẢI
Tìm mn sơ thực 'X,)} thoả mãn các điểu kiện sau:
m
n
Zj5LC‘JXU ~► min(max)
(4.1)
i=l J = 1
= 3ị,i = l,ni
(4.2)
j=l
ỉxu =bpj = l,n
(4.3)
1=1
X.Ị > 0. i = l,m; j - l.n
ỉa- =Ẻbi
1-1
(4.4)
(4.5)
,j = l
Nhận xét Bài toán vận tải là một bài tốn'quy hoạch
tuyến tính dạng chính tác, vì vậy các định nghĩa , các định
lý đối với bài tốn quy hoạch tuyến tính đều có thê áp dụng
cho bài tốn vận tải và đương nhiên có thể giải nổ bàng
phương pháp đơn hình. Nhưng do cấu tạo đặc biệt của bài
toán vận tải, người ta đã xây dựng một số phương pháp
khác đê giải nó đơn giản và tiện lợi hơn.
Ta có thể mơ tả bài tốn vận tải dưói dạng bản như sau:
Ta xây dựng một bảng gồm m hàng, n cột. Mỗi hàng
đặc trưng cho một trạm phát, còn mỗi cột đặc trưng cho
một trạm thu.
182
- Hàng trên cùng ghi tên các trạm thu B,và nhu cẩu b,
tương ứng (i = l.w).
- Cột đầu ghi tên các trạm phát A, và khả năng cung
cấp a, tương ứng (i - ỉ.m ).
- Trong bảng, giao của hàng i và cột j gọi là ô (i, j) - đặc
trưng cho đoạn đường nối trạm phát A, tới trạm thu Bj, nên
ở góc trên bên trái mỗi ơ này ta ghi c,j (tính theo km hoặc
cước phí vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ trạm phát A,
đến trạm thu Bj). Mỗi ơ (i,j) cịn tương ứng với một biến X,J
(lượng hàng cần xác định để vận chuyển từ Aj đến Bj ),
đồng thời tương ứng VỚI một vectơ Aị/hệ sô của biến Xịj)
trong hệ ràng buộc (4.2) và (4.3). Như vậy mọi dữ liệu của
bài toán vận tải đều được thể hiện trên bảng 4.1, gọi là
bảng vận tải.
Bảng 4.1
\^Thu B,
B,
(bj)
hát
(b|)
A, (ã,) c„
c,2
x12
X,,
A2 (a2) C21
C22
X’2I
x.„
A, (a,)
cu
Cl2
Xi,
A,„ (a,„) c
v III1
C|,|2
Xrnl ___
(b)
B„
(b„)
1
Cũ
c,n
x,i
C2j
x,„
C'2n
x,i
x2u
Cịn
Cu
x12
1
x.i
Xin
r
c Hi.l
xm.
X
____________ ±1X111
Ta ký hiệu A là ma trận hệ số của các ẩn trong hệ (4.2)
và (4.3), thì A có dạng:
.1
11..
.1
11..
A=
.1
11..
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Véc tơ A,J - hệ số của Xịj có thành phần thứ i và (m+j)
bằng 1, còn (m + n - 2) thành phần cịn lại đều bằng 0.
0
0
0
0
0
§2. CÁC TÍNH CHÁT cơ BÀN CỦA BÀI TỐN VẬN TÀI
Ngồi những tính chất chung của bài tốn quy hoạch
tuyến tính, bài tốn vận tải cịn có những tính chất riêng
sau đây;
Dịnh lý 4.1. Bài toán vận tải cần bằng thu phát bao
giị cũng có phương án cực biên tơi ưu.
184
DỊnh lý 4.2. Ma trận hệ sô A cùa hệ ràng buộc (4.2) va
(4.3) có hạng bằng (m+n-1).
Nóị cách khác hệ (4.2) và (4.3) có m-ì- n- 1 ráng buộc
độc lập tuyên tính.
Từ đây liên hệ với phương án cực biên của bài tốn quy
hoạch tuyến tính ta suy ra:
- Phương án cực biên của bài tốn vận tải có không quá
(m + n - 1) thành phấn dương.
- Phương án cực biên của bài toán vận tải gọi là khơng
suy biến nếu nó có dũng (ni+n-1) thành phần dương và gọi
là suy biến nếu nó cỏ it hơn (m+n-1) thành phần dương.
- Mỗi phương rán cực biên đểu ứng vơi ít nhất một cơ sở
gồm (m+n-1) véctơ A„ độc lập tuyến tính. Nếu X = {x,jl là
phương án cực biên khơng suy biến, thì chi’ có một cơ sở
duy nhất, đó là hệ |A,.:Xij > OỊ gồm (m+n-l) vec tơ độc lập
tun tính.
Trị' lại bảng vận tải, ta tháy giữa các ô (1. j) và các véctơ
A„ của an xi; có sự tương ứng (1-1)
- O(i,j) dược gọi là ớ chọn nếu có lượng hàng phân phối
x„ > (ì và gọi la ô loại nếu xh = 0. Như vậy một'phương án
cực biên có khơng q (m+n-1) ó chọn.
- Phương án cực bièn dược gọi là không suy biến nếu nó
có dũng (m+n-1) ơ chọn và là suy biến nếu nó có ít hơn
(m+n-1) ỏ chọn.
Đê thay rỏ hơn tinh dộc lập hay phụ ihuộc của hệ véctơ
|A„| gắn với sự phan bị cùa các ơ tương ứng với chúng
trong bảng vặn tải. ta xét hệ vec tơ:
trong (16 tất ca các chi số thứ nhất (chí hàng) và các chỉ
sô thứ hai (chi cột) chi xuất hiện đúng 2 lần.
185
Nếu ta nôi những ô tương ứng cúa báng vơi hệ véctơ trên
bơi những đoạn nằm ngang và thang đứng, chúng ta sẽ
nhận ra được một chu trình khép kín hay cịn gọi là vịng.
Một sơ ví dụ về vịng được chỉ ra trên hình 4.1,2,3
Hình 4.1
Hình 4.2
Hình 4.3
đứng trưốc nó. đồng thịi nằm cùng cột (cùng hàng) chỉ vói
một ô đứng sau nó.
Từ dinh nghĩa trên ta thấy: Một hàng hoặc một cột mà
vòng đi qua bao giờ cũng chỉ có hai ơ thuộc vịng. Do đó
tổng sơ ơ trên vịng là một sơ chẵn và ít nhất là bôn ô.
Định lý 4.3. Điêu kiện cần và đủ để một tập hợp ơ đà
cho có chứa vịng là hệ vec tơ {AijỊ tương ứng phụ thuộc
tuyến tính.
Hệ quả 4.1. Một tập hợp gồm (m+n) ô của bảng vận tải
bao giò cũng chứa vòng.
Hệ quả 4.2. Một phương án của bài toán vận tải là
phương án cực biên khi và chỉ khi tập hợp ơ chọn của nó
khơng chứa vịng.
Định lý 4.4. Một phương án cực biên của bài toán vận
tài có đủ sơ tơì đa (m+n-1) ơ chọn, thì một ơ loại bất kỳ sẽ
tạo nên một vịng duy nhất vâi một sô ô chọn.
186
§3. XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN cực BIÊN
I. PHƯƠNG PHÁP GIÁ CƯỚC BÉ NHẤT
Nguyên tắc phân phối: ưu tiên phân phôi hàng vối mức
tơi đa vào ơ có giá cưâc c,j nhỏ nhất trong phạm vi các ơ
cịn xét.
Ban đầu tất cả các ô (i,j) trong bảng đều thuộc vào các ô
còn xét. Giả sử c,.k = min {Cự V(i,j), ta phân cho ơ (r,k) một
lượng x,.k lớn nhất có thể được, tức là xrk = min {a,., bk}.
- Nếu x,.k = bk thì nhu cầu của trạm Bk được thỏa mãn,
ta loại các ô ở cột Bk ra khỏi phạm vi các ơ cịn xét và sửa
lại khả năng của trạm phát A,:
a’r = ar - x,.k = a, - bk > 0
- Nếu x,.k = a,., thì ở trạm A,. đã phát hết hàng, ta loại
các ô trên hàng A,. ra khỏi phạm vi các ơ cịn xét và sửa lại
nhu cầu của trạm thu Bk:
b’k = bk-x,.k = bk - a, > 0.
- Nếu xkl = a,. = bk thì loại các ơ của hàng A,. và cột Bk ra
khỏi phạm vi câc ơ cịn xét .
Vổi các ô còn xét mới này, ta lại tiến hành như trên. Cứ
như thê tiếp tục cho đến khi tất cả các hàng và các cột của
bảng vận tải bị loại khỏi phạm vi các ơ cịn xét. Tất nhiên
khi đó mọi trạm phát dều phát hết hàng và nhu cầu của
mọi trạm thu đều được thoả mãn (do giả thiết bài tốn
dạng cân bằng thu phát). Khi đó các ơ được phân phối có
xM>0. ta có x„= 0 đối vỏi những ô không được phân phôi.
Người ta chứng minh được rằng: Hệ thống sô
X = ix,,Ị (/= l.m; / = l.n) xây dựng theo phương pháp
giá cước bé nhất là một phương án cực biên.
187
2. PHƯƠNG 1 HÁP PHỎGHEN
Ta gọi hiện c,r cùa ô có giá cước thấp nhi và ơ có giá cứức
thấp nhất cùa một hàng (cột) là giá cữỏc chênh lệch cua
hàng (cột) ày.
Ngun tắc phàn phối: Phân vào ơ có giá cưởc thấp
nhất của hàng hay cột có giá cước chênh lệch lớn nhất và
phân với lượng tơi đa có thể. Sau khi phân vào một ơ. ta
tính lại giá cước chênh lệch của các hàng và các cột trong
phạm vi còn xét để phân phối tiếp. Khi tất cả các hàng và
các cột đều thoả mãn, ta được một phương án cực biên.
Chú ý: Nếu dùng một trong hai phương pháp trẽn (lê
tìm phương án cực biên xuất phát mà sơ ơ chọn (ứng VĨI x„
>Ĩ) chưa đủ số tối đa (m+n-1) ơ. thì ta phải bơ sưng thêm
cho đủ (m+n-1) ô vôi điều kiện các õ ấy không tạo vịng.
Những ơ bơ sung thêm, ta ghi lượng hàng phân phôi bằng
0 và được gọi là ô chọn bô sung. Tất nhiên có nhiều cách
chọn ơ chọn bỏ sung, nhưng thõng í hường í a chọn những ơ
có giá cước thấp .
§4 PHƯƠNG PHÁP THỂ VỊ GIẢI BÀI TỐN VẬN TẢI
l. TIÊU CHUẨN TỐI ƯU
Xét bài tốn
ni
11
«X)=EXciixii ^min
(4.1)
i=l .1 = 1
n
______
Exu =ai,i = l,m
(4.2)
_i=l
ni
_____
Exu =bi,j = l,n
188
t-1
(4.3)
X „ > 0, i = 1, m; j = 1, n
(4.4)
ỉa.=£b,
(4.5)
1-1
1-1
Nếu ta ký hiệu Uị (i = 1,111),Vj(j = 1,11) là những biến
đối ngẫu ứng với hệ ràng buộc (4.2) và (4.3), u = {u}, V =
ịv}, G (U,V) là hàm mục tiêu cua bãi tốn đối ngầu.
Khi đó bài tốn đối ngẫu có dạng:
G(U,V) = ^a,Uị + ^bJvJ —>max
1~1
(4.6)
Í--1
u, 4-v,
dơi ngẫu:
x,, >0 và
U| + V, < Cỹ.(i = l,m;j = l,n)
Theo định lý đối ngẫu hai. thì điều kiện cần và đủ để
hai phương án X = iXịị} và (U, V) = (Uị, Vị} của cặp bài tốn
đơi ngẫu tương, ứng tốt nhất là: nếu X|j > 0 thì u,.+ Vị = Cjj
hoặc nếu u, + Vị< C.ịthì Xịj - 0, (i = l,m;j = l,n)
Từ đó ta có the suy ra tiêu chuẩn tôi ưu sau:
Định lý 4.5. Điều kiện cẩn và đủ dể phương án X = {x,,}
của bài tốn vận lải tối ưu là tồn tại hệ thơng sô ỊU,. V,}
thoả mãn.
a. u, + V, < cir V (i.j)
b. Uj + V, = c„ nếu Xjj > 0
2. THUẬT TOÁN CỦA PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ
Gia sừ bằng phương pháp gia cước bé nhất hav phương
I 'ú'- ĩ'11'ghen ta có một phương án t.ưc biên X - ỊXị)} có đủ
1 • )-<)-1) ơ chọn (kê cả ơ chọn bơ sungi
189
Bước 1. Xâ> dựng hệ thông thê vị.
Xét hệ phương trình:
Uị + Vj = c„ vơi (i,j) là các ơ chọn
(4.8)
' Hệ này gồm m+n-1 phương trình độc lập với m+n ẩn,
nên hệ vơ định. Vì vậy ta có thể cho bất cứ ẩn nào làm ẩn
tự do.
Quả trình xây dựng hệ thống thế vị được thực hiện như
sạu:
Cho một hàng hay một cột nào đó một thê vị tuỳ ý (tức
là chọn u, hay Vj tương ứng làm ân tự do) chẳng hạn cho
hàng i một thế vị u, = 0. Sau đó ta xác định thê vị của các
hàng, cột khác theo điều kiện b) của tiêu chuẩn tối ưu, tức
•là
1 Vị = Cjj - u, vởi u, đã biết,
u, = c,) - Vj với Vj đã biết,
(4.9)
(4.10)
đối với (i,j) là các ô chọn.
Thê vị u, ghi ở bên phải hàng i, thê vị Vị ghi phía dưới cột j.
Vì hệ (4.8) gồm(m-t-n-l) phương trình độc lập, nên ta
tính được (m+n-1) thế vị khác nhau theo (4.9),và (4.10).
cùng vâi thê vị u, cho trưởc, ta được toàn bộ thê vị của câc
hàng, cột.
Sau đó ta chuyển sang bưóc hai.
Bước 2. Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu.
Hệ thông kê vị xây dựng ở bước 1 đã thoả mãn điểu
kiện b) của tiêu chuẩn tôi ưu, nên ta chỉ cần kiểm tra điều
kiện a) đơi vói các ơ loại.
- Nếu u, + V, < Cu đôi với mọi ô loại, thì phương án
đang xét X tương ứng là tơi ưu.
190
- Nếu tồn tại ít nhất một ơ loại mà u, + Vj> c,|, thì
phương án X chưa tối ưu. Ta gọi những ơ này là những ơ vi
phạm. Tính Ajj = Uị+v,- c,j đôi với tất cả những ô vi phạm
(hiển nhiên Aịj >0). Chuyển sang bưổc 3.
Bước 3. Điều chỉnh phương án.
Giả sử maxAij = Ark, (Aij > 0) ta gọi (r,k) là ô điểu chỉnh.
Theo định lý 4.3, ơ loại (r,k) sẽ tạo nến một vịng duy
nhất với một số ơ chọn. Phát hiện vịng này, rồi đánh dấu
lẻ, chẵn cho các ơ trên vịng bắt đầu từ ơ điểu chỉnh.
Gọi 0 = min {Xij} đối vói (i,j) là các ơ chẵn trên vịng.
Điều.chỉnh từ X sang phương án mới X' như sau:
Xịj - 0 với (i, j)là ơ chẵn trê n vịng
X ii + 6 với (i, j)là ơ lẻ trê n vịng
X d với (i, j) khơng thuộc vịng
(4.11)
Như vậỵ ơ điều chỉnh (r.k) trở thành ơ chọn với x’lk= 0
cịn ơ chẵn trên vịng có X,) =0, sẽ trở thành ơ loại với x’,) = 0.
Nếu có nhiều ơ chẵn trên vịng cùng có Xij = 0, thì
ta chỉ đưa một trong các ơ đó làm ơ loại, cịn các ơ khác
vẫn xem là'ơ chọn mặc dầu x’,j = 0. Làm như vậy X' =
{x\jỉ vẫn có đủ (m+n-1) ơ chọn.
Ta có các khẳng định sau:
1. X' ={x’ij} là phương án cực hiên có đủ (m+n-1) ô chọn.
2. f(X')= f(X) - GArk. Như vậy từ X chuyển sang X' thì
giá trị của hàm f(X) giảm đi một lượng 0.Ark>0 nếu 0 > 0.
Đôi với phương án cực biên mới X', ta quay lại bước 1
và lặp lại q trình.
3. Nếu bài tốn vận tải không suy biến (tức là mọi
phương án cực biên của nó đều khơng suy biến), thì áp
191
dụng phương pháp thê vị sau một sô hữu hạn bước lập, ta
sẽ nhận được phương án tôi ưu của bài tốn.
Một sơ chú ý:
1. JỚ mỗi bước lặp, nếu có nhiều ơ loại vi phạm tiêu
chuẩn tối ưu, tức là Ajj >0 ở nhiều ô loại. Đối với mỗi ơ vi
phạm có thể tính tích Aij0(ij) tương ứng và chọn max Aịj0"JArk.0, thì ơ (r, k) được chọn là ô điều chỉnh. Khi đó hàm
mục tiêu sẽ giảm nhanh hơn.
2. Trường hợp bài tốn suy biến thì 0 có thể bằng 0.
Khi 6 = 0, ta vẫn thực hiện thuật tốn một cách bình
thường,, nghĩa là ơ điều chỉnh sẽ trở thành ơ chọn với lượng
hàng bằng 0, cịn ô ứng với Xjj = 0 ở trên vòng sẽ trở thành ô
loại trong phương án mởi. Tuy nhiên kết quả điều chỉnh
không làm thay đổi phương án cực biên mà chỉ thay đổi tập
véctơ cơ sở ứng với phương án cực biên.
Dấu hiệu xuất hiện phương án cực biên suy biến là:
Trong quá trình điều chỉnh 0 đạt tại nhiều ơ khác nhau,
những ơ này đều có thể loại khỏi tập ơ chọn. Nhưng theo
chuật tốn, khi đó ta có thể chỉ loại một trong những ơ ứng
với 0 theo qui tắc ngẫu nhiên, những ơ cịn lại ứng với 0
vẫn nằm trong tập ô chọn. Vối tư cách là các ô chọn bô
sung ( với x\j = 0 trong phương án cực biên mới).
3. Khi phương án cực biên X không suy biến thoả mãn
tiêu chuẩn tối ưu:
Ui+Vj < Cij đối với mọi ơ loại.
thì phương án tối ưu X tìm được là duy nhất.
Cịn nếu u, + Vj = Cịj đối với ít nhất một ơ loại, thì
phương án tốì ưu tìm được khơng duy nhất. Trong trường
hợp này, nếu cần thiết ta có thể tìm các phương án cực
biên tối ưu khấc và cả tập phương án tối ưu.
192
Ví dụ 4.1. Giải bài tốn vận tải sau:
Bảng 4.2
X. Thu
20
60
40
25
45
50
7
4
14
11
10
35
10
13
15
18
16
50
4
2
6
10
9
55
9
7
9
15
8
Phát\^
Kết luận vể phương ản tối ưu. Nếu không duy nhất,
hãy chỉ ra một phương án cực biên tối ưu khác và xây dựng
tập phương ản tối ưu.
Giải. Dùng phương pháp giá cước bé nhất xây dựng
phương án cực biên xuất phát. Đó là phương án cực biên
khơng suy biến cho ở bảng 4.3
Bảng 4.3
Thu
50
35
ị
50
55
7
4
14
[20]
10
.40
60
20
Phát
[20]
15
[30]
2
+1
[5]
6
10
9
9
15
8
[50]
7
9
16
18
+4
4
10
11
[10]
13
45
25
[45]
[10]
u
Vj
7
4
8
11
7
193
Cho U| = 0. lần lượt tính câc thê vị hàng và cột khác
theo (4.9) và (4.10). Kiểm tra tiêu chuẩn tốì ưu đơi vâi các ơ
loại. Đối vói các ô vi phạm, tính Ay = új + Vj - c,) >0 và ghi
nó vào ơ tương ứng với dấu + ở phía trước, cụ thể A21 = +4,
A31 = +1, max Ajj = A2l = +4 (Ad> 0).
0 (2,1) được chọn là ơ điểu chỉnh. Vịng tạo bởi ơ điểu
chỉnh vối các ơ chọn đó là (2,1), (1,1), (1,4), (2,4). ở đây 0
= min {40,10} = 10. Thực hiện phép biến đổi (4.11) cho các
ơ trên vịng, kết quả thu được phương án cực biên mới ghi
trong bảng 4.4
Bảng 4.4
Thu
20
PhÉưX^
50
35
50
55
40
60
7
14
4
[15]
10
15
6
+1
[50]
7
16
10
9
15
8
+4
9
i
7
18
[30]
2
9
+1
[25]
[5]
4
10
11
Ĩ1ỌJ
13
45
25
[10]
4
12
[45]
11
11
Có ba ơ Vi phạm tiêu chuẩn tối ưu vói A|5 = +1, A3l = +1,
A33 = +4, max Aij = +4 (Ajj > 0). ộ (3,3) là ô điều chỉnh. Vịng
tạo bởi ơ điều chỉhh Và cảc ơ chọn đi qùa các ô (3,3), (3,2),
(1,2), (1,1), (2,1), (2,3). ở đây G = min {30, 50, 15} = lõ.
Sau khi điều chỉnh, ta được phương án cực biên mới ở
bảng 4.5
194
Bảng 4.5
\Thu
20
Phál~'\
7
50
35
50
55
10
11
14
4
[20]
6
[35]
9
10
9
15
8
-2
[15]
9
7
7
+0
[15]
2
4
16
18
15
13.
0
[25]
[25]
10
45
25
40
60
1
[45]
[10]
3
4
8
Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu ta thấy:
7
11
Ui + Vj < Cịj V (i,j)
nên phương án cực biên ở bảng 4.5 là tơì ưu. Phương án
tối ưu tìm được khơngduy nhất vì A21 = 0 với (2,4) là ơ loại.
Để tìm một phương án cực biên khác, ta chọn ô (2,4)
làm ô,điều chỉnh. Vòng tạo bỏi ô (2,4) và cảc ô chọn đi qua
các ô: (2,4), (1,4), (1,2), (3,2),(3,3), (2,3). Ở đây e = min {25,
35, 15} = 15. Điều chỉnh vòng này ta được phương án cực
biên toi ưu mới cho ờ bảng 4.6.
Bâng 4.6
\Thu
20
Phát^\
7
50
35
50
55
10
60
40
14
4
11
[40]
13
45
25
10
[10]
15
18
[20]
16
[15]
4
2
9
7
6
10
9
15
8
[30]
[20]
9
[10]
[45]
195
Vì bài tốn chỉ có hai phương án cực biên tơi ưu, nên
tập phương án tổì ưu có dạng:
25 + d
0
25-d
15-d
d
15 + d
0
0
35-d
10
0
với 0 < d < 15
0
f(X) = 1410
§5. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT
I. BÀÌ TỐN KHƠNG CÂN BANG thu phát.
1. Trưịng hợp
/=1
7=1
Để chuyển về bài tốn cần bằng thư phát, ta đưa, vào
một trạm thu giả Bn^ với nhu cầu bnT, =
■ dây
chính là lượng hàng cịn tồn lại ở các trạm phất' sau khi
thoả mãn nhu cầu của tất cả các trạm thu. Lượng hàng
này không vận chuyển đi nên cước phí vận chuyển bằng 0.
Do đó trong bảng vận tải khi đã đưa thêm trạm thu giả
B11+1 ta ghi ci l)+1=o ơ = !,/») ”
2. Trường hợp ^ <
»=1
7=1
Để đưa vê bài tốn cân bằng thu phát, ta thêm vào
một trạm phát^iả A,ll+1 với khả năng cụng cấp:
a„„ì =
- đây là tổng lượng u cầu khơng nhận
được ở cầc trạtìl thu, nên ta ghi Clll+lj=0 ( / = l,n) vì thực
chất khơng có vận chuyển hàng từ trạm phát giả đến các
trạm thu.
196
BÀI TỐN CĨ DẠNG cực ĐẠI
Mơ hình bài tốn có dạng:
f(X) = Èẳcijxu ->max
i=i
(4.12)
)=I
=
ẳxij
(4.13)
j=l
£x„ =bj,j = l,n
(4.14)
i=l
X ii > 0,i = 1, m; j = 1, ĩĩ
(4.15)
(4.16)
1=1
i=l
Để giải bài toán này ta có thể chuyển vê giải bài tốn
min vơi hàm z = - f -> min hoặc có thể giải trực tiếp.
+ Đe xây dựng phương án cực biên xuất phát, ta có thể
dùng phương pháp "C,) lớn nhất", nghĩa là ưu tiên phàn
phối với mức tôi đa vào ô có hiệu quả lớn nhất trong phạm
vi các ô đang xét.
+ Việc xây dựng hệ thống thê VỊ giông như đơi với bài tốn
min bằng cách giải hệ: u+v, = Cjj đối với (m+n-1) ô chọn
+ Kiểm tra tiêu chuẩn tốì ưu:
Ui + Vj > Cịj đối với các ô loại.
- Nếu thoả mãn với mọi ô loại thì thuật toán dừng.
- Nếu chưa thoả mãn, tức là tồn tại ít nhất một ơ loại
(i,j) mà Uị+V) < c„ hay Ajj = Uị + Vj - Cij <0, thì chọn ơ (r,k)'
ứng với Ark =minAjj (Ajj<0) làní ơ điểu chỉnh. Sau đó xác
định vịng điều chỉnh, cịn cách điểu chỉnh giơng như đối
với bài tốn niiri.
197
III. BÀI TỐN CỒ Ị CẤM VÀ CÁC GIÁ THIẾT PHỤ
Trong thực tê ta có thể gặp các bài tốn vận tải, trong
dó có cấm vận ở một sơ nơi, nghĩa là do những điều kiện
thực tê đặt ra mà hàng từ A, khống chuyển tới Bj khi đó gọi
ơ (i,j) là ô cấm.
Sau đâv ta xét một sô trường hợp và cách xử lý.
1. Nếu A, không chuyển hàng cho B,, thì trong bảng vận
tải ở ơ(i,j) thay cho cước phí co ta ghi cước phí cấm M
(trong đó M là một số dương lớn tuỳ ý khi cần so sánh).
Làm như vậy khác nào ta đánh cước rất nặng ở ô (i, j),
khiến cho trong phương án tối ưu ô (i,j) không thể được
phân phối hàng.
2. Nếu Xịị > a (0 < a
hàng.
Vì vậy trước khi lập bảng vận tải ta trừ trước vào khả
năng cung cấp của A, và nhu cầu của Bj một lượng a. Đối
vối hai trạm này trong bảng vận tải ta ghi (ai - a) và (b, a), cịn ở ơ (i.j) ta vẫn ghi CM như đã có.
3. Nếu 0 s y < p (0 < p
tức là A, chuyển cho Bj không quá lượng p.
Trong trường hợp này khi lập bảng vận tải, tá tách Aị
(hoặc Bj) thành hai trạm: A’ị với khả năng phát p, A”j với
khả năng phát a, - p. Ghi cưốc phí Cij vào ơ tương ứng giữa
A\ và Bj, cước phí cấm M vào ơ tương ứng giữa A”, và Bj.
4. Nếu a < x,j < p
<=> 0 < X|| - a < p - a
Như vậy sau khi trừ trưởc vào khả năng phát và thu
của 2 trạm A,và B, một lượng CL. ta trở lại trường hợp 3, tức
198
là lượng hàng vận chuyển tiếp từ A, đến B, không vượt quá
(P - à).
5. Nếu X,, = a. tức là A, chuyên cho B, đúng lượng a.
Trước khi lập bảng, ta trừ trước vào khả nàng phát và
thu của hai trạm Aj, Bj một lượng a. Trong bảng vận tải ta
ghi cựâc phí cấm M và ơ (i,j) tương ứng.
II
tu
6. Khi
>5>,. có thêm giả thiết: ở một sơ trạm
phát khơng'được cíe hàng tồn kho (cần giải phóng kho
do u cầu ), thì trong bảng ta ghi cưóc phí cấm M vào
các ô tương ứng giữa các trạm phát cẩn giải phóng kho
và trạm thu giả Bll+|.
7.
> ^hị
mà Ai chỉ được chuyển đi từ a đến p, tức
'
là
a<ị^xn
(p
f=l
Như vậy lượng hàng (aị - p) khơng tham gia vào q
trình vận chuyển, nên không cần thiết đưa vào bảng.
Trong bảng ta tách A, thạnh hai trạm: A’i với khả năng
cung cấp a và A", với khả nặng cung cấp (P - a), sau dó ta
ghi cước phí cấm M vào ơ tương ứng giữa A'i và thu giả
B11+l. cưóc phí 0 giữa A", và B,l+I.
8. Khi
mà A, chuyển đi đúng a, tức là
X*. =a (a<al'>
■;=.T
Như vậy lượng (a, - a) không tham gia vào quá trình
vận chuyển. Trong bảng khả năng cung cấp của A, ta ghi a
thay cho a, và ghi CÍIỚC phí cấm M vào ơ tương ứng giữa A,
và thu giả Bll+I.
199
9. Khi
>
mà A, chuyển đi ít nhất a. Như vậy
lượng cịn lái' (a, - đ) vẫn có thể chuyển cho các trạm thu
thật hoặc tồn kho. Vì vậy trong bảng ta tách A, thành hai
trạm: A’, vói khả năng phát a và A”, vởi khả năng phát (a, a). Ta ghi cưâc phí cấm M vào ơ tương ứng giữa A’, và thu
giả Bn+I, cước ghí 0 giữa A”i và B11+1.
10. Khi
nià lượng hàng A, để tồn kho
nằm trong kirốảng ['à1, p], tức là
a < xi H^ < [3 <=> 0 < X i,n+ĩ -a< p -a
-ta trở về trường hợp 3. Như vậy sau khi đã bớt đi một
lượng a mà chắc chắn Aị phải để tồn kho, trong bảng ta
tách Aj thành hai trạm: A’i vói khả năng phát (a, - P) và A”i
với khả năng phát (P - a). ta ghi cước phí cấm M vào ơ
tương ứng giữa A’i và Bn+l.(/cưỏc phí 0 giữa A” và BI1+|.
mà có thêm các giá thiết
Tương tự khi
sau:'
a. Bj được ưu tiên nhận đủ hàng.
b. B, nhận được từ Pi đến p.j đơn vị hàng
/=l
c. B) nhận được đúng một lượng bằng p.
d. Bj nhận được ít nhất một lượng a.
e. Lượng hàng mà Bj nhận thiếu nằm trong khoảng
[a.pi
(a < x„iHj < P) thì cách xử lý hồn tồn tương tụ như
trên.
Chú ý.
200
- Khi xuất hiện các giả thiết, thì ta phải xử lý các giả
thiết trước khi tính tơng lượng phát và thu để chuyển vể
bài toán cân bằng thu phát.
- Đối vối bài toán f(X) -> max, khi xuất hiện ô cấm, ta
ghi cước phí cấm - M (với M là một số dương lớn tuỳ ý).
- Khi -xây dựng phương án cực biên xuất phát, ta nên
tránh phân vào ơ cấm, để hy vọng bớt bưóc lặp trong thuật
tốn.
Ví dụ 4.2. Cho bài tốn vận tải dạng bảng (cưóc phí
tính theo đơn vị nghìn đồng/tấn)
Thu
Phát/^^L
400
320
300
180
30
70
20
220
50
10
20
360
50
lõ
35
140
40
45
15
Biết rằng B:i nhận tối đa 260 tấn, B^được ưu-tiên nhận
đủhàng, Bị nhận thiếu không quá 20 tấn.
Hãy tìm phương án vận chuyển tối ưu và tính tơng chi
phí tương ứng.
GIẢI
Xử lý giả thiết:
- Vì B2 được ưu tiên nhân đủ hàng, nên trong bảng ta
ghi cước phí cấm M vào ơ tương ứng giữa phát giả A5 và B2.
- Bị nhận tôi đa 260, nên trong bảng ta thay nhu cầu
của B; bởi 260.
201
- B, nhận thiếu không qúa 20 nén ta tách B| thành hai
trạm:
B'| vơi nhu cầu 300 và B”| với nhu cầu 20. Trong bảng ta
ghi cưốc phí cấm giữa Ạ-, và B’|, cước phí 0 giữa Ạ-, và B”r
Ta tính tổng lượng thu, phát saụ khi đã xử lý giả thiết.
z a, = 180 + 220 + 360 + 140 = 900,
z bj = 320 + 400 + 260 = 980. Ta đưa thêm trạm phát
giả A5 với khả nàng cung cấp 80 tấn.
Dùng phương pháp giá cưỏc bé nhất, ta được phương án
cực biên cho trong bảng 4.7.
\Thu
B’1
B”,
b2
Phat\
300
20
400 ,
30
30
A.
180
11201: :
- - - - - -—-----A2
50
50 ■
10
B:<
260
20
^60]
20 ỉ
Chọn ô (2,4) là ơ điều chỉnh. Vịng tạo bơi ơ này với các
ô chọn gồm các ô : (2,4), (1,4), (1,1), (3.1), (3.3). (2,3). ở đây
0 = min {60. 180. 22O'( = 60. Điểu chinh trên vòng này ta
được một phương án cực biên mới cho ở bảng 4.8.
202
Bảng 4.8.
Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu, ta thấy
u,+ Vj < Cị, V(i.j), nên phương án cực biên ở bảng 4.8 là
tối ưu.
180
0
0
160
60
120
240
0
0
0
140
0
Vôi flllin = 19.900.
Vi dụ 4.3. Giải bài toán vận tải dạng cực đại sau:
B,
250
150
180
200
200
15
27
19
26
320
12
27
18
32
150
14
23
26
30
280
10
26
30
19
A,
ơ đây A, (/ = 1,4)
là các nguồn vốn khác nhau.
Bj (/■ = 1.4) là các mặt hàng cấn đầu tư vốn để sản xuất,
kinh doanh. Đơn vị vốn tính theo triệu đồng. Hiệu quả thu
được khi đầu tư một triệu đồng vốn tù nguộn A, vào kinh
doanh mặt hàng B, được cho trong bảng (đơn vị tính nghìn
đồng).
Biết rằng: A:: đầu tư hết sơ vơn hiện cós A2 đê tồn vôn
không quá 120 triệu.
Hãy lập kê hoạch phân phôi vôn đẩu tư, sao cho tông
hiệu quả thu được là lớn nhất;
GIÁ1
+ Xử lý già thiết:
- A2 để tồn vốn không quá 120 triệu, nên ta tách Aư
thành hai trạm: A’,(120) và A"., (200). Trong bảng ta ghi M vào ô tương ứng giữa A'\ và thu.giả B, và hiệu quâ 0 vào
ô tương ửng giữa
và B;,.
- Ạ; đầu tư hết vốn, nên trong bảng ta ghi - M vào ô
tương ứng giữa Ạ; và B-,.
Dùng phương pháp "hỉệu quả lớn nhất" để tìm phương
án cực biên xuất phát, ta dược phương án ở bảng 1.9
204
Bang 1.9
B2
150
250
A,
*
Loồl
0
>
)
í
27
12
19
26
0
18
32
0
10]
-3
27
12
32
18
200
[70]
-M
[200]
11
Aa
170
rì^oi
Ị5Ơ1
200
200
180
27
15
A|
B<’
150
23
26
30
-M
26
30
19
0
[150]
10
-2
280
Vj
12
21
[180]
30
[100]
32
0
Phương án cực biên xuất phát thiếu ơ chọn, ta đưa
thêm ô chọn bố sung (2.4) .
Kiểm tra tiêu chuẩn tơi ưu. ta thày cịn ơ (2,2) vi phạm,
ung với
=-3. ô (5.2) với \-bJ = -2. Ta chọn ô (2,2) làm ơ
diều chỉnh. Vịng tương ứng gồm các ơ (2.2). (1.2). (1.1),
(2.1) vói 0 = 50. Sau khi diều chình ta dược phương án ó
bàng 1.10.
205
Báng 1.10
B,
B,
«3
Ba
Bỳe’
250
150
180
200
170
Bi
A,
27
15
A,
200
A\
27
0
18
32
0
150]
120
27
12
A",
26
1100]
1100]
12
19
[200]
14
23
26
30
-M
26
30
19
0
[150]
150
Aa
-M
32
18
200
Ạj -.
[70]
[0]
10
[180]
280
v;
lõ
30
27
[100]
32
0
Kiểm tra tiêu chuẩn tơi ưu ta thấy phương án ở bàng
4.10 đã thoả mãn.
Phương árvrõi ưu X CP dạng:
ìoo
x=
100
0
0
0
ÕO
0
200
1Õ0
0
0
0
0
0
180
0
max f = 19.450 nghìn.
