Ứng dụng tích phân

MC LC
Trang
Mc lc: ..............................................................................................................................................1
Đặt vấn đề .....................................................................................................................................3
Giải quyết vấn đề.......................................................................................................................3
1. Cơ sở lý luận....................................................................................................................................3
2. Cơ sở thực tiễn.................................................................................................................................3
2.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HỒNH........................4
2.1.1. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
..............................................................................................................................................................4
2.1.2.Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .................................4
2.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành ...............................5
2.1.4. Diện tích hình trịn, hình elip.....................................................................................................9
2.1.4.1.Diện tích hình trịn...................................................................................................................9
2.1.4.2.Diện tích của elip.....................................................................................................................9
2.2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ............................................10
2.2.1.Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.....................................................................10
2.2.2 Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số......................10
2.2.3.Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số........................................10
2.3.HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ HÀM SỐ............................................................14
3. Giải pháp thực hiện........................................................................................................................14
4. Kết quả thực nghiệm......................................................................................................................14
KẾT LUẬN .......................................................................................................................................15
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................................................16

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1


Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

2


ĐẶT VẤN ĐỀ
Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình tốn
giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học
của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số,tính
thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hồnh hoặc trục
tung. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II, đề thi TN THPT, đề
thi CĐ,ĐH. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi )
thường gặp những khó khăn, sai lầm sau:
­ Nếu khơng có hình vẽ thi học sinh thường khơng hình dung được hình phẳng (hay vật thể
trịn xoay ).
­ Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập cịn ít “ chưa đủ” để giúp
học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng. Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi
và thấy tính thực tế của các hình phẳng, vật trịn xoay đang học.
­ Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này, trái lại học
sinh có cảm giác nặng nề,khó hiểu.
­ Học sinh thường chỉ nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng (thể tích vật trịn xoay ) một
cách máy móc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét
dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừ diện tích;
cộng, trừ thể tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải. Do đó tơi
chọn đề tài: “Sử dụng phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng”

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

3

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận
+ Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn a ; b để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó.
 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hồnh thì
f ( x)  0 , x  a ; b

 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hồnh thì
f ( x)  0 , x  a ; b

+ Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) và y  g (x) trên đoạn a ; b để suy ra dấu của f(x)g(x)
trên đoạn đó.
 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” đồ thị hàm số y=g(x) thì
f ( x)  g ( x)  0 , x  a ; b

 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” đồ thị hàm số y=g(x) thì
f ( x)  g ( x)  0 , x  a ; b

2. Cơ sở thực tiễn:
­ Qua những bài tốn tính diện tích hình phẳng trong chương trình sách giáo khoa 12 cơ
bản, tơi nhận thấy học sinh có thể khơng cần vẽ hình. Tuy nhiên nếu học sinh vẽ hình thì bài
tốn sẽ đực giải nhanh và trực quan hơn
­ Đối với hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số trở lên thì học sinh buộc phải vẽ hình
mới làm chính xác được.(Có trong các đề thi đại học cao đẳng)

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

4

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
2.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HỒNH
2.1.1. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b
Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a ; b .
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo cơng thức:
b

S



f ( x ) dx

(1)

a

Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt
đối.
b

b

 Nếu f ( x)  0 , x  a ; b thì S   f ( x) dx   f ( x)dx
a

a

b

b

 Nếu f ( x)  0 , x  a ; b thì S   f ( x) dx    f ( x) dx
a

a

Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x). Thường có hai cách
làm như sau:
-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất”, định lí “dấu của tam thức bậc hai” để
xét dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên
đoạn a ; b
­Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn a ; b để suy ra dấu của f(x)
trên đoạn đó.
 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hồnh thì
f ( x)  0 , x  a ; b 

 Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hồnh thì
f ( x)  0 , x  a ; b
b

-Cách 3: Nếu f(x) khơng đổi dấu trên [a; b] thì ta có: S   f ( x) dx 
a

b

 f ( x)dx
a

2.1.2. Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
0

Ví dụ 1: Tính I 

 2 x  4 dx

2

Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4
x
­∞
f(x)=2x + 4
­
Suy ra 2 x  4  0 , x  ­ 2;0
0

Do đó I 



0

2 x  4 dx   (2 x  4)dx  ( x 2  4 x )

2

2

­2
0
0
2

0
+ 



+∞
+



 0  (2) 2  4(2)  4

2

Ví dụ 2: K   x 2  3 x  2 dx
0

Cách 1: Xét dấu tam thức f(x) = x2 – 3x + 2, có a = 1 > 0; và
x  1
x 2  3x  2  0  
x  2

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

5

x

­∞
+∞

0

1

2

+
2
+
0
f(x)= x2 ­ 3x + 2
Suy ra f ( x)  0 , x  0;1 và f ( x)  0 , x  1;2

0

+

2

1

2

­

Do đó: K   x  3 x  2 dx   ( x  3 x  2)dx   ( x 2  3 x  2)dx
2

2

1

0

0

3

2

2 5
1
3x
x
x 3 3x 2
1
( 
 2 x)  ( 
 2 x) = ­ ( ) =1
1 6
0
3
2

3
2
6
2

Cách 2

1

2

K   x 2  3 x  2 dx   ( x 2  3 x  2)dx   ( x 2  3 x  2)dx 
0

0

1

5 1

1
6
6

2.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hồnh.
Bài tốn 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = x2, trục hoành và hai
đường thẳng x = 0, x = 2.
y
f x = x2

4

3

O
-2

A

x

1B

Hình 1
Giải
2

Cách 1: Diện tích S của hình phẳng trên là S   x 2 dx
0

Vì x 2  0 , x  0;2
2

2

S   x 2 dx   x 2 dx  (
0

0

x 3 2 23 03 8


) 
3 0 3
3 3

(đvdt)

Cách 2: Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2, trục hoành và hai đường
thẳng x = 0, x = 2.(phần tô màu)
Dựa vào đồ thị ta có:
2

S   x 2 dx 
0

8
3

Bài tốn 2
Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0, x = 0 và x = 3.
Hãy tính diện tích hình thang đó.

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

6


y

-2 -1

A
O

1

2

3
B

x

f x  = -x-2

-4

Hình 2
Giải
3

Diện tích S của hình phẳng trên là S    x  2 dx
0

Từ hình vẽ, suy ra  x  2  0 , x  0;3
3

3

S    x  2 dx   ( x  2)dx  (
0

0

3 32
02
 9
x2
21
 2 x) 
 2.3    2.0   6 
0 2
2
2
2
 2

(đvdt)

Bài tốn 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x)   x  2 , trục
x 1

hoành và các đường thẳng x = ­1; x = 0.
y

f x =

-x-2

x-1

x

B
-2 -1 A O

1

2

3

-4

Hình 3
Giải
0

Diện tích S của hình phẳng trên là S 
Từ hình vẽ, suy ra
0

S

0

 x2
dx
x 1

1



x2
 0 , x  ­ 1;0
x 1
0

0

x2
 x2
 ( x  1)  3
3
1 x  1 dx  1( x  1 )dx  1 x  1 )dx  1(1  x  1)dx


 ( x  3 ln x  1 )

0
 (0  3 ln 1)  (1  3 ln 2)  0  3. ln 1  1  3 ln 2  3 ln 2  1 (đvdt)
1

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

7


Ghi nhớ:

Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1, x2, …, x k thuộc (a; b) thì trên mỗi
khoảng (a; x1 ), (x 1; x2), …, (xk; b) biểu thức f(x) có dấu khơng đổi.
b

Khi đó để tính tích phân S   f ( x) dx ta có thể tính như sau:
a

x1

b

\S 



f ( x) dx 

a

x2

f ( x)dx 


a



b

f ( x) dx  ... 

x1

 f ( x)dx
xk

Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 ­ 3x2 + 2 có đồ thị (C ) (Hình 12).
y
4
f x =  x 3-3x2 +2

A
-2

-1

O1

2
B

x
3

(C)

Hình 4
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường
thẳng x = 2.

Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành và hai đường thẳng
x = 0, x = 2 được tính bởi cơng thức:
2

S   x 3  3x 2  2 dx
0

Cách 1
Dựa vào đồ thị, suy ra trên đoạn [ 0; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hồnh tại một điểm có hồnh độ
x = 1.
Hơn nữa x3 ­3x2 + 2 ≥ 0  x  [ 0; 1 ] và x3 ­3x2 + 2 ≤ 0 x [ 1; 2 ]
1

2

2

Do đó S   x 3  3x 2  2 dx   ( x 3  3x 2  2)dx   ( x 3  3x 2  2)dx
0

0
4

(

1

4

1
2 1
 24

x
x
1
 x 3  2 x)  (  x 3  2 x)   1  2  0    2 3  2.2  (  1  2) 
0
1 4
4
4
4
4


1
1
5
1 4  8  4  1 2 
4
4
2
Cách 2



(đvdt)

2

1

2

S   x 3  3 x 2  2 dx   ( x 3  3x 2  2)dx   ( x 3  3x 2  2)dx
0

4

(

0

1

4

1
2
5 5 5 5 5
x
x
 x 3  2 x)  (  x 3  2 x)
 
  
0
1
4

4
4
4
4 4 2

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(đvdt)
8


Bài tốn 5 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành,
trục tung và đường thẳng x = e.
y

Gi aoDiem

f x = xln x 

A

O

3
1

x

e

Hình 5
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Từ hình vẽ ta có:
e

Diện tích S cần tìm là S   x ln xdx
1

1

du  x dx
u  ln x

Đặt 

2
dv  xdx v  x

2

e
2
e e
e e x2 1
x2
e2 x 2 e e2 1
x
Do đó S   x ln xdx  ln x   . d x  ln x   xdx  
(đvdt)


1 1
1 1 2 x
4 1
4
2
2
2
1

Bài tốn 6.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  3x  2 , trục hoành , trục
tung và đường thẳng x = 3
y
f x  =

4

 x2-3x +2

(C)

x
-2

-1

O

1

2

Hình 6
Giải
3

Ta có S   x 2  3 x  2 dx
0

Vì x  3x  2  0 x   ;1  2; và x 2  3x  2  0  x  1;2
2

3

3

1

2

3

S   x 2  3 x  2 dx   x 2  3 x  2 dx   ( x 2  3 x  2)dx   ( x 2  3 x  2)dx   ( x 2  3 x  2)dx
0

0

0

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1

2

9




5  1 5 11
(đvdt)
 

6 6 6 6

2.1.4.Diện tích hình trịn, hình elip:
2.1.4.1.Diện tích hình trịn: Trong hệ toạ độ Oxy cho đường trịn có phương
x2 + y2 = r2 ( r > 0)
Khi đó hình trịn đó có diện tích là: S  r 2
2
2
2
2
2
Giải: Ta có x  y  r  y   r  x

y
(P)

4

2

x

-2
-r

-1

O

2

1

r

3

-1

Hình 7

r 2  x 2 có đồ thị là nửa đường trịn phía trên trục hồnh.

Với y ≥ 0 ta có: y 
r

Và có diện tích S1 

r



r 2  x 2 dx  2  r 2  x 2 dx 

r

0

 .r 2
2

2

Do đó S  2 S1   .r
2.1.4.2.Diện tích của elip

Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình:

x2 y2

1 , 0  b  a
a2 b2

y
4

b (P)

x
-a

-2

-1

O

1

2

a

r

-1
-b

Hình 8
Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là: S  a.b

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(đvdt)

10


2. 2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
2.2.1Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).
Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x0; y0) thì cặp số (x0; y0) là nghiệm
 y  f ( x)
 y  g ( x)

của hệ phương trình 

(1)

Hồnh độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x) (*)
Giải phương tình (*) ta sẽ được hồnh độ x0 của giao điểm của hai đồ thị.
Phương trình (*)được gọi là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị.
Thay x = x0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao
điểm.
2.2.2. Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Ví dụ 1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  x 2  3x và y  x  3
Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là: x 2  3x  x  3
 y  2
x  1

 x 2  3 x  ( x  3)  0  x( x  3)  ( x  3)  0  ( x  3)( x  1)  0  
x  3  y  0

Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ lần lượt là:

(1; ­ 2) và (3; 0)
Ví dụ 2: Tìm hồnh độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = xlnx và y = x
Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:
x ln x  x  x ln x  x  0  x(ln x  1)  0
Vì x > 0 nên x(ln x  1)  0  ln x  1  0  ln x  1  x  e

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e.
2.2.3. Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số:
Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x =b (aHình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng
x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức:
b

S   f ( x)  g ( x) dx .
a

Bài tốn 8 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số:
y  x 3  3x 2  x  3 , y   x 3  4 x 2  x  4 và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
2

2

Giải: S   x 3  3 x 2  3  ( x 3  4 x 2  x  4) dx   (2 x  1)( x 2  1) dx
0

0

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình:
x 3  3 x 2  x  3   x 3  4 x 2  x  4  2 x 3  x 2  2 x  1  0  x 2 ( 2 x  1)  ( 2 x  1)  0

1

 x  2  0;2
2 x  1  0

 (2 x  1)( x 2  1)  0   2
  x  1  0;2
x 1  0
 x  1  0;2


1

2

S   (2 x  1)( x 2  1)dx   (2 x  1)( x 2  1)dx 
0

1

7 35
7

6 6

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(đvdt)

11

Bài toán 9 Cho hàm số y = ­ x4 + 5x2 – 4 có đồ thị ở hình trên.
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đó với trục hồnh.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.
y

(C)

x
-1

-2

f x  =  -x 4+5x 2 -4

1

O

B

-4

Hình 9
x 2  1
Giải: Xét phương trình:  x  5 x  4  0   2

x  4


2

4

 x  1
 x  2


Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại bốn điểm có toạ độ lần lượt là:
(­2;0), (­1;0), (1; 0), (2; 0).
2

Diện tích hình phẳng cần tìm là: S   ( x 4  5 x 2  4) dx
0

Từ hình đồ thị suy ra:  x  5x  4  0 , x  0;1 và  x 4  5 x 2  4  0 , x  1;2
4

2

2

2

1

S   ( x 4  5 x 2  4) dx   ( x 4  5 x 2  4)dx   ( x 4  5 x 2  4)dx =
0

1

0

38 22
+
4
15 15

Bài tốn 10
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 ­3x + 2 và đường thẳng
y = x – 1.
y
(C)

4
3
2
1
x

-3

-2

-1

O
-1

1

2

3

4

-2
d
-3

x
Hình 10
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 ­3x + 2 và đường thẳng
x  1
x  3

y = x – 1 là: x 2  3x  2  x  1  x 2  4 x  3  0  

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

12


3

3

Suy ra diện tích của hình phẳng trên là: S   x 2  3x  2  ( x  1) dx   x 2  4 x  3 dx

1

1

2

Cách 1: Dựa vào đồ thị ta có x – 3x + 2 ≤ x – 1  x  [1; 3 ].
Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0  x  [1; 3]
3

S    ( x 2  4 x  3)dx  (
1

3
x3
4 4
(đvdt)
 2 x 2  3x)  

1
3
3
3

Cách 2: Xét dấu tam thức x2 - 4x + 3 ta có:
x
­∞
1
2
x – 4x + 3

+
0
2
Do đó x – 4x + 3 ≤ 0  x  [1; 3]
3

S    ( x 2  4 x  3)dx  (
1

­

3
0

+∞
+

3
4 4
x3

 2 x 2  3x)  
1
3
3
3

3

3

2

Cách 3: S   x  4 x  3 dx   ( x 2  4 x  3)dx  (
1

1

3
x3
 2 x 2  3 x)
1
3



4 4

3
3

Bài toán 11. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C ) tại điểm có hồnh độ bằng 2.
b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến .
y

3

(C)
2
1

-3

-2

x

-1 -1 O 1

2

3

4

-2
-3

-5

H
i
Hình 11
Giải:
a/ y = x3 – 3x + 2
Khi x = 2 ta có y(2) = 8 – 6 + 2 = 4
y’ = 3x2 ­ 3
y’(2) = 12 – 3 = 9
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm (2; 4 ) là y = 9(x ­2) + 4 hay y = 9x ­ 14
b/ Diện tích của hình phẳng cần tìm là:
2

2

2

S   x 3  3 x  2  (9 x  14) dx   x 3  12 x  16 dx   ( x 3  12 x  16)dx 
1

1

1

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

7
4

13


Bài toán 12: Cho hàm số y 

x2  x 1
có đồ thị (C )
x 1

a/ Tìm tiệm cận xiên  của đồ thị hàm số đó.
b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), tiệm cận xiên  và các đường
thẳng x = 2 , x = 3.
y

4
3
2
1
x

O
-3
d

-2

-1

-1

1

2 3

-2
-3

(C)

Hình 12
Giải:
x 2  x  1 x( x  1)  1
1
 x


x 1
x 1
x 1
1
1
lim ( y  x)  lim ( x 
 x)  lim (
)0
x 
x
x 
x 1
x 1

a/ Ta có y 

Đồ thị (C ) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x
3

3

b/Diện tích của hình phẳng cần tìm là: S   y  x dx   
2

  (ln x  1 )

2

1

dx 
x 1

3

1

 x  1 dx
2

3
  ln 2  ln 1   ln 2  0  ln 2 (đvdt)
2

Hoặc dựa vào đồ thị ta có ngay kết quả trên

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

14


2.3. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ
Bài tốn 13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  2 x  3, y  x 2 , y  0 trên [ 2;3] .
y

x

Hình 13
Như vậy nhìn vào đồ thị ta nhận thấy: Trong đoạn [­2;3] nếu ta vẫn để đồ thị như vậy thì

chưa tính được. Ở đây chúng ta phải chia đồ thị thành 2 phần ứng với trên [­2;­1] và [­1;3]
1

3

2

1

Dựa vào đồ thị ta có: S   ( x 2  2 x  3)dx   ( x 2  2 x  3)dx
x3
x3
 (  x 2  3 x) | 1  (  x 2  3 x) | 31
2

3
3
5

Bài tốn 14: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y  2 x  2, y  x 2 , y   x  2

Hình 14
Bài tốn này nếu ta khơng vẽ đồ thị thì giải rất phức tạp
Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

15


Nhìn vào đồ thị ta thấy nếu để nguyên đồ thị như vậy thì ta chưa tính được. Ở đây ta phải

chia đồ thị ra thành 2 phần
Dựa vào đồ thị ta có: S  

0

1 3

1

( x 2  2 x  2)dx   (  x 2  x  2)dx
0

Trên đây là một số bài toán tính diện tích hình phẳng. Học sinh thường thường sử dụng
phương pháp phá dấu giá trị tuyệt đối. Nhưng nếu ta sử dụng bẳng phương pháp đồ thị thì
ta thấy bài giải rõ ràng dễ hiểu và trực quan hơn. Nhiều bài tốn khó vẫn giải được dễ dàng
3. Giải pháp thực hiên:
­ Giúp học thành thạo kỹ năng vẽ đồ thị hàm số
­ Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy trái buổi
và để học sinh tham khảo. Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng
vào giải tốn. Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng.
4. Kết quả thực nghiệm
Sau thời gian thực hiện
Lớp thực hiện: 12B4
Lớp đối chứng: 12B5
Tôi thấy tỉ lệ % học sinh yếu kém, trung bình của các lớp thực nghiệm thấp hơn so với lớp
đối chứng. Tỉ lệ % học sinh đạt khá giỏi của các lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối
chứng, chứng tỏ ở lớp thực nghiệm với sự đổi mới phương pháp học sinh hiểu bài và vận
dụng kiến thức để giải bài tập tốt hơn lớp đối chứng.

KẾT LUẬN

Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng việc sử dụng
phương pháp đồ thị để tính diện tích hình phẳng đã giúp tơi thu được nhiều kết quả khả
quan. Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài tốn tính diện
tích của hình phẳng ở chương trình giải tích 12. Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực
quan, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học. Từ đó, các em học sinh rất
thích thú và học tốt vấn đề này.
Chắc chắn rằng sẽ cịn có nhiều bài tốn mà ta có thể giới thiệu cho học sinh, nhưng
do điều kiện và kinh nghiệm chưa nhiều nên tơi chỉ đưa ra một số ví dụ mà trong q trình
giảng dạy tơi đã giới thiệu cho học sinh. Vì vậy rất mong được sự đóng góp của các đồng
nghiệp để cho đề tài của tơi thêm hồn chỉnh và có thể ứng dụng cho các năm học sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

16


D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
­
­

Các bài giảng luyện thi môn Toán­ NXB Giáo Dục
Đại số sơ cấp –Trần phương

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

17


ư

Trang

Aư Đặt vấn đề ....................................................................................................................1
B- Giải quyết vấn đề.....................................................................................................1
I. HNG KHẮC PHỤC....................................... ..............................................................1
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG...................2
II.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HỒNH.............2

II.1.1. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a,
x = b ………………………………………………………………………...…..2
II.1.2. Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối.......... 2
II.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hồnh...... 3
II.1.4 Diện tích hình trịn, hình elip:.............................................................................. 7
II.1.4.1.Diện tích hình trịn:............................................................................................7
II.1.4.2.Diện tích của elip...............................................................................................7
II.1.4.3 Bài tập tương tự:................................................................................................8
II. 2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ .......................9
II.2.1Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số..................................................9
II.2.2. Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
II.2.3.Bài tập tương tự:..................................................................................................12
C. KẾT LUẬN ............................................................................................................13
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ MỤC LỤC.............................................................13

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

18


.........4
3. Phương pháp đưa về hai luỹ thừa cùng bậc...................................................10

4. Phương pháp dùng hệ số bất định.................................................................11
5. Phương pháp đánh gi¸...................................................................................12
III. C¸c biƯn ph¸p tỉ chøc thùc hiƯn..................................................................13
C­ kÕt ln...................................................................................................18
D­ Tài liệu tham khảo và mục lục..................................................19

Giỳp hc sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

19


B. Giải quyết vấn đề.
I. HNG KHC PHC

1

II. CC PHNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG

2

II.1. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH

II.1.1. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng
x = a, x = b
II.1.2. Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2
II.1.3. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hồnh. 3
7
II.1.4 Diện tích hình trịn, hình elip:
II.1.4.1.Diện tích hình trịn:
II.1.4.2.Diện tích của elip

8
II.1.4.3 Bài tập tương tự:
II. 2. HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 9
II.2.1Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
II.2.2. Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
II.2.3.Bài tập tương tự: 12

C. KẾT LUẬN 13
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO VÀ MỤC LỤC

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

20


III
THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY
I. Cơng thức tính vật thể tròn xoay
1 / Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hồnh.
Chú ý
 Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và
hai đường thẳng x = a , x = b, trong đó ( a < b).
Quay hình phẳng (H) quanh trục hồnh ta được một vật thể trịn xoay.
Thể tích của vật thể này được tính theo cơng thức:
2

b

V     f ( x) dx
a

Bài
tốn
37
Tính
thể
tích
của vật
thể
trịn

xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox.
y  ln x , y = 0 , x = 1 , x = e.
e

e
2

V    (ln x) dx    ln 2 xdx
1

(đvtt)

1

1

du  2 ln x. dx

x

dv  dx
v  x

u  ln 2 x

Đặt 

e

e

e

e

e

e

Do đó  ln 2 xdx  uv   vdu  x ln 2 x ­  x2lnx. 1 dx  e ln 2 e  ln 2 1  2  ln xdx  e  2 I
1

1

1

1

1

x

1

e

I   ln xdx
1

1

u  ln x du  dx

x
dv  dx v  x

e
e e
e
I   ln x  ( x ln x)   dx  e ln e  ln 1  ( x)  e  (e  1)  1
1 1
1
1

Đặt 

e

e

Suy ra V    (ln x) 2 dx    ln 2 xdx = (e – 2)
1

(đvtt)

1

Bài tốn 39
Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường sau
quanh trục hoành Ox.
y  x 2  4 , y = 2x ­4 , x = 0 , x = 2.

Giải

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

21


y
4
3

(C)

2
1
-3

-2

-1

x

1

O

2 3

-1
-2
-3
-4

d

Hình 42
Gọi V1 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường
y = 2x ­ 4 , y = 0 , x = 0 , x = 2 quanh trục hoành Ox.
2
2
2 32
4x3
2
(đvtt)
V1    ( 2 x  4) dx    ( 4 x 2  16 x  16) dx   (
 8 x 2  16 x) 
0

3

0

0

3

Gọi V2 là thể tích của vật thể trên tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn
đường y = x2 – 4 , y = 0 , x = 0 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
2
2
256
2
2
(đvtt)
V2    ( x  4) dx    ( x 4  8 x 2  16) dx 
15

0

0

Thể tích của vật thể trịn xoay cần tính là: V  V2  V1 

256 32 32


15

3
5

(đvtt)

Bài toán 40
Gọi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 –x2 , trục hoành và đường thẳng y =
x + 2.
y
4
3
(C)

d

2
1

-3

x

2

-2
-1

O

1

-1

3

-2

Hình 43
Giải
Gọi V1 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn đường
y = x + 2 , y = 0 , x = ­2 , x = 1 quanh trục hoành Ox.
1

1
2

V1    ( x  2) dx    ( x 2  4 x  4)dx   (
2

2

1
x3
 2 x 2  4 x)
 9
2
3

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(đvtt)

22


Gọi V2 là thể tích của vật thể trên trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi bốn
đường y = 4­ x2 , y = 0 , x = 1 và x = 2 quanh trục hoành Ox.
2
2
53
(đvtt)
V2    (4  x 2 ) 2 dx    (16  8 x 2  x 4 )dx 
1

1

15

Thể tích của vật thể trịn xoay cần tính là: V  V2  V1 

53
188
 9 
15
15

(đvtt)

Bài tập tương tự
Bài 1 Cho hình phẳng sau giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng d.
a/ Viết phương trình của parabol (P) và của đường thẳng d.
b/ Tính diện tích của hình phẳng đó.

c/ Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng trên quanh trục hồnh.
Bài 2 Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng sau quanh trục hồnh.
Bài 3. Tính thể tích của vật thể trịn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới bởi các đường sau
đây quanh trục Ox:
a/ y = 0, y = 2x ­ x2
b/ y = sin2x , y = 0, x = 0 , x = 1
Bài 4 Cho hàm số y 

x2  x 1
có đồ thị (C )
x 1

Hình phẳng sau giới hạn bởi đồ thị (C ), tiệm cận xiên  và các đường thẳng x = 2 ,
x = 3.
Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục hồnh.
Bài 5 Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C ) tại điểm có hồnh độ bằng 2.
c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến .
d/ T ính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng trên quanh trục hồnh.
2/ Vật thể trịn xoay khi quanh một hình phẳng quanh trục tung
 Giả sử (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y), trục tung và hai
đường thẳng y = m , y = n, trong đó ( m < n).
Quay hình phẳng (H) quanh trục hồnh ta được một vật thể trịn xoay.
Thể tích của vật thể này được tính theo cơng thức:
n

2

V    g ( y ) dy

m

Bài toán 42. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C ): x 2  4 y 2  4
, trục tung, hai đường thẳng x = 2 , y = 2.
Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng trên quanh trục tung.

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

23


y

2
(E)
-2

1
O

x
2

1

Hình 48
Giải
Ta có (C ) : x 2  4 y 2  4  4 y 2  4  x 2  y 

1

4  x2
2

,y0

Gọi V1 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi nửa elip
(E ), trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung.
1

1


 11 11
1
V1    (
4  x 2 ) 2 dx   (4  x 2 )dx  . 
2
40
4 3 12
0

(đvtt)

Gọi V2 là thể tích của vật thể trịn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
thẳng y = 2, trục tung và hai đường y = 0 , y = 1 quanh trục tung.
2

2
2

V 2    2 dx    4dx  8
0

(đvtt)

0

11 85

(đvtt)
12 12
3/ Thể tích của khối cầu, khối trụ,khối nón, khối nón cụt
a/ Thể tích của khối cầu
Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường trịn có phương trình (P ): x2 + y2 = r2
với r > 0 và y ≥ 0. (hình 49)
Quay nửa hình trịn đó quanh trục hồnh ta được một mặt cầu có bán hính bằng r.
Thể tích của vật thể cần tính là: V  V2  V1  8 

Thể tích của mặt cầu này là: V 

4 3
 .r
3

(đvtt)

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

24

y
(P)

4

2

x

-2
-r

-1

O

1

2

3

r

-1

Hinh 49
Thật vậy: Giải: Ta có x 2  y 2  r 2  y   r 2  x 2
Với y ≥ 0 ta có: y  r 2  x 2 có đồ thị là nửa đường trịn phía trên trục hồnh.

r

r
2

2

Và có diện tích V    ( r  x ) dx  2  (r 2  x 2 )dx  2 (r 2 x 
r

3

2

0

x3 r
)
3 0

3

r
4 .r
)
(đvtt)
3
3
b/ Thể tích của khối trụ:
Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn bởi đường thẳng y = r ( r > 0) ; trục hoành và

các đường thẳng x = 0; x = h ( h > 0).
Quay hình phẳng trên quanh trục hồnh ta được một khối trụ có bán kính đáy bằng r và
chiều cao h.
Thể tích của vật thể tròn xoay ( khối trụ )này là:
h
h
V    r 2 dx  ( .r 2 .x)   .r 2 .h   .r 2 .0   .r 2 .h (đvtt).
0
0
 2 (r 3 

c/ Thể tích khối nón trịn xoay.
Cho hình phẳng (H) ( tam giác vuông ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

r
x (r  0 , h  0) ;
h

trục hoành và hai đường thẳng x = 0 ; x = h. (hình 50).
Quay hình phẳng (H ) quanh trục hồnh ta được một khối nón có bán kính đáy bằng r và
chiều cao bằng h.
Khi đó thể tích của khối nón đó là:
h
h
r
r2
r 2 x 3 h  .r 2 .h 3  .r 2 .h
V    ( x) 2 dx  2   x 2  ( 2  . ) 

h

3
3 0
h 0
h
3.h 2
0

Giúp học sinh 12 học tốt vấn đề: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

(đvtt).

25