Ứng dụng tích phân

Gv: Trần Quốc Nghóa 1
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Vấn đề 8: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
① Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b],
trục hoành và hai đường x = a, x = b.
② Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hai hàm số y = f
1
(x) và y = f
2
(x)
liên tục trên [a ; b] và hai đường x = a, x = b.
③ Nếu hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f
1
(y) và x = f
2
(y) liên tục
trên [a ; b] và hai đường y = a, y = b.
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a
1
c
2
c
3
c
= ( )y f x
y
O
b
x
∫

b
a
S = f(x) dx

=

=


=


=

( )
( )
y f x
y 0
H
x a
x b
a
1
c
y
O
b
x
1 2
∫

b
a
S = f (x) f (x) dx−

=

=


=


=

1 1
2 2
( ): ( )
( ): ( )
( )
C y f x
C y f x
H
x a
x b
1
( )C
2
( )C
a
1

c
y
O
b
x
2
c
1 2
∫
b
a
S = f (y) f (y) dy−

=

=


=


=

1 1
2 2
( ): ( )
( ): ( )
( )
C x f y
C x f y

H
y a
y b
Toán 12 – Tích phân 2
1) y = 2x – x
2
, x + y = 2
2) y = x
3
– 12x, y = x
2
3) x + y = 1, x + y = –1, x – y = 1, x – y = –1
4) y =
2
1
1 x+
, y =
1
2
5)
2
x
y 4
4
= −
,
2
x
y
4 2

=
6)
3x 1
y
x 1
− −
=
−
, x = 0 và y = 0
7)
2
y x 4x 3= − +
và y = x + 3
8) y = x
2
, x = – y
2
9)
y x=
,
2
y 2 x= −
10)
2
y x 5 0+ − =
,
x y 3 0+ − =
11)
ln x
y

2 x
=
, y = 0, x = e, x = 1
12) y = x
2
– 2x, y = – x
2
+ 4x
13) y =
2
3 3
x x
2 2
+ −
, y =
x
14) y = e
x
, y = 2, x = 1
15) y
2
= 2x + 1, y = x – 1
16) y =
2
4 x− −
, x
2
+ 3y = 0
17) Trục Ox, Oy và đồ thò của hàm số (C): y =
2x 1

x 1
+
−
18) Đồ thò của hàm số (C): y = − x + 3 −
1
x 1−
, tiệm cận xiên của (C) và hai
đường thẳng x = 2, x = 3.
19) Đồ thò (C): y = x
4
– x
2
, trục Oy và tiếp tuyến với đồ thò tại A(1 ; 0).
20) Đồ thò (C): y = x
3
– 1 và tiếp tuyến với (C) tại điểm (−1 ; −2).
Gv: Trần Quốc Nghóa 3
Vấn đề 9: TÍNH THỂ TÍCH
① Thể tích vật thể: Thể tích V được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông
góc với trục hành tại hai điểm có hành độ x = a ; x = b (a ≤ b). S(x) là
diện tích thiết diện của V vuông góc với trục Ox tại x ∈ [a ; b]
② Thể tích khối tròn xoay:
ⓐ Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = f(x) liên tục trên
đoạn [a ; b], trục hoành và hai đường x = a, x = b quay quanh trục
Ox.
ⓐ Nếu hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số x = g(y) liên tục trên
đoạn [a ; b] và hai đường y = a, y = b quay quanh trục Oy.
Bài 2.Tính thể tích các vật thể sau:
∫
b

a
= S(x)dx
V
x
O
a
b
( )
V
S(x)
x
a
= ( )y f x
y
O
b
x
 
 
∫
x
b
2
a
V = f(x) dx
π
( ) : ( )
( ) :

=


=


=


=

C y f x
Ox y 0
x a
x b
c
y
O
d
x
 
 
∫
y
d
2
c
V = g(y) dx
π
( ) : ( )
( ) :


=

=


=


=

C x g y
Oy x 0
y c
y d
Toán 12 – Tích phân 4
1) Có đáy là một tam giác cho bởi y = x, y = 0 và x = 1. Mỗi thiết diện
vuông góc với trục Ox là một hình vuông.
2) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x
2
+ y
2
= 1. Mỗi thiết diện vuông
góc với trục Ox là một hình vuông.
Bài 3.Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác đònh bởi:
1) y = 2 – x
2
, y = 1, quay quanh trục Ox
2) y = 2x – x
2
, y = x, quay quanh trục Ox

3) y =
3
2x 1+
, x = 0, y = 3, quay quanh trục Oy.
4) y = x
2
+ 1, x = 0 và tiếp tuyến với y = x
2
+ 1 tại (1 ; 2), quanh trục Ox
5) y = lnx, y = 0, x = e, quanh trục Oy.
6) y = x
2
+ x − 5 = 0, x + y − 3 = 0, quay quanh trục Ox.
7) y =
x
, y = 2 − x, y = 0, quay quanh trục Oy.
8) y =
x
, y = − x, x = 5, quay quanh trục Ox.
9)
2
y (x 2)= −
, y = 4, quay quanh trục Ox.
10)
2
y (x 2)= −
, y = 4, quay quanh trục Oy.
11)
2 2
4 ; 2y x y x= − = +

, quay quanh trục Ox.
12)
2
2
1 x
y ;y
2
x 1
= =
+
, quay quanh trục Ox.
13) y = 2x
2
, y = 2x + 4, quay quanh trục Ox.
14) y = y
2
= 4x , y = x, quay quanh trục Ox.
15) y =
1 x
2 2
x .e
; y = 0 ; x = 1 ; x = 2, quay quanh trục Ox.
16) y = x
x
2
e
, y = 0, x = 0, x = 1, quay quanh trục Ox.
17) y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e, quay quanh trục Ox.
18) y = lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2, quay quanh trục Ox.
19) y = x

)1ln(
3
x
+
; y = 0 ; x = 1, quay quanh trục Ox.
20) y = sinx, y = 0, x = 0, x =
4
π
, quay quanh trục Ox.
21) y = cosx, y = 0, x = 0, x =
4
π
, quay quanh trục Ox.
22) y = sin
2
x, y = 0, x = 0, x = π, quay quanh trục Ox.
Gv: Trần Quốc Nghóa 5
23) y =
2
x
2
, y = 2, y = 4, x = 0, quay quanh trục Oy.
24) y =
1
x
2
, y = x, y = 2, quay quanh trục Oy.
25) y = 0, y =
6 6
cos x sin x+

, x = 0, x =
2
π
, quay quanh trục Ox.
26) y = 0, y =
4 4
1 cos x sin x+ +
, x = 0, x =
2
π
, quay quanh trục Ox.
27) y = 0, y =
2
cos x xsinx+
, x = 0, x =
2
π
, quay quanh trục Ox.
Bài 4.Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên [0 ; 3], cho bởi qui tắc sau:
x nếu 0 x 1
y f(x) 1 nếu 1 x 2
3 x nếu 2 x 3

≤ ≤

= = ≤ ≤


− ≤ ≤


1) Vẽ đồ thò của hàm số y = f(x).
2) Tính diện tích hình (H) chắn bởi đồ thò hàm số y = f(x) và tục Ox.
3) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox.
Bài 5.Gọi (C) là đồ thò của hàm số y = f(x) cho bởi:
2
2
2 x nếu 2 x 1
y f(x)
x 5x
3 nếu 1 x
2 2

− − ≤ ≤

= =

− + ≤


Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox