TÍCH vô HƯỚNG và ỨNG DỤNG câu hỏi TOÁN 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (392.25 KB, 22 trang )
Bài 2. TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
• Chương 2. TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Góc giữa hai vectơ
• Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0 .
Từ điểm O bất kì, ta vẽ các vectơ OA a và OB b .
Khi đó
AOB được gọi là góc giữa hai vectơ a và b ,
kí hiệu là a, b .
• a, b 900 a b .
a
b
b
a
2. Định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ
Tích vơ hướng của hai vectơ a và b là một số,
kí hiệu là a.b , được xác định bởi công thức
a.b a . b .cos a, b .
3. Tính chất của tích vơ hướng :
Với mọi vectơ a, b, c và mọi số thực k, ta có:
1) a.b b.a (Tính chất giao hóan) ;
2) k a b k ab ;
3) a. b c a.b a.c (Tính chất phân phối đối với phép cộng) ;
a. b c a.b a.c (Tính chất phân phối đối với phép trừ) ;
4) a.b 0 a b .
5) Bình phương vơ hướng: Bình phương vơ hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó :
2
2
a a .
• Các hằng đẳng thức về bình phương vơ hướng :
2 2
2
2 2
2
a b a 2ab b ; a b a 2ab b ;
2 2
a b (a b)(a b) .
B
b
6) Cơng thức hình chiếu :
O
Cho OA a , OB b . Tích vơ hướng của hai vectơ a và b bằng tích vơ hướng
của a với OB ' b ' là hình chiếu của b lên a :
a.b a.b ' hay OA.OB OA.OB ' .
• Chú ý: Cho đường trịn (O) và một điểm M.
Dựng cát tuyến MAB với (O), ta định nghĩa:
Phương tích của điểm M đối với đường trịn (O),
d
kí hiệu là PM / O là số được xác định bởi biểu thức:
A
PM / O MA.MB d 2 R 2 d MO ;
M
B’
b'
a
A
B
O
R
T
Nếu M nằm ngồi đường trịn (O) và MT là tiếp tuyến của (O) thì
2
PM / O MT MT 2 .
4. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng
Trang 1
Trong mặt phẳng Oxy, cho a ( x; y ) và b ( x '; y ') . Khi đó :
(1) a.b xx ' yy ' ;
(2) a x 2 y 2 ;
(3) cos (a, b)
xx ' yy '
a 0, b 0 ;
x 2 y 2 x '2 y '2
(4) Khoảng cách giữa hai điểm M xM ; yM và N xN ; y N :
MN = MN ( xN xM ) 2 ( yN yM ) 2 ;
(5) a b xx ' yy ' 0 .
PHẦN 1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1. TÍNH TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, TÍNH GĨC GIỮA HAI VECTƠ
a) Để tính tích vơ hướng của hai vectơ, ta có thể sử dụng:
+ Nếu có độ dài hai vectơ và góc giữa chúng, ta dùng định nghĩa a.b a . b cos a, b
+ Nếu là tích của tổng, hiệu các vectơ ta dùng tính chất của tích vơ hướng
+ Nếu biết độ dài hai vectơ và độ dài của tổng hay hiệu của chúng, ta bình phương tổng hay hiệu
của chúng
+ Nếu một vectơ cố định và một vectơ thay đổi ta có thể dùng định lý hình chiếu.
a.b
b) Để tính góc của hai vectơ, ta sử dụng công thức: cos a, b
a.b
A. Bài tập tự luận
Câu 1.
Cho tam giác ABC đều cạnh a , tâm O . Hãy tính:
a). AB. AC
b). AB.BC
c). OB OC AB AC
d). AB 2 AC AB 3BC
Câu 2.
Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O . Hãy tính:
a). AB.BC ; AB.BD; AB AD BD BC ; AB AC AD DA DB DC
b). ON . AB; NA. AB với N là điểm trên cạnh BC .
c). MA.MB MC.MD với M nằm trên đường trịn nội tiếp hình vng.
Câu 3.
Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC 3a , đáy nhỏ AD a , đường cao AB 2a
a). Tính AB.CD; BC.BD; AC.BD
b). Gọi I là trung điểm của CD . Hãy tính góc giữa AI và BD .
Câu 4.
Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường cao AH . Tính:
a). AB. AC ; BA. AH .
b). CB CA 2CA 3 AH
Câu 5.
Trang 2
600 . Tính:
Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh bằng 7 , góc BAC
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
AB. AC ; AB.OA; AC.BD; AB.OB
Cho các vectơ a, b có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện 2a 3b 3 . Tính cos a, b .
Cho các vectơ a, b có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai vectơ bằng 600 . Xác định cosin góc giữa
hai vec tơ u và v với u a 2b, v a b .
Cho hai vectơ a và b . Cho biết a 6, b 3, a, b 45o . Hãy tính các tích vơ hướng
a 2a b , 3a 4b 2a 3b .
Câu 9.
Cho a 3, b 2, a 3b 3 . Tính 2a b
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy cho A 1;1 , B 2; 4 , C 10; 2
a). Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b). Tính BA.BC suy ra cosB
Câu 11. Cho hai vectơ đơn vị a, b thỏa mãn điều kiện 2a b 3 . Tính a.b; a b
DẠNG 2. TÍNH ĐỘ DÀI CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
Ta thường sử dụng:
2
+ Quy tắc biến đổi: BC 2 BC AC AB
+ Công thức tọa độ: AB AB
2
xB x A y B y A
2
2
A. Bài tập tự luận
600 . Cho điểm M thỏa MB 2 MC 0 . Tính dộ
Câu 12. Cho tam giác ABC có AB 2, AC 3, BAC
dài AM .
Câu 13. Cho tam giác ABC có AB a 2, BC 5a,
ABC 1350 . Gọi điểm M thuộc AC sao cho
3
MC
2
a). Tính BA.BC
AM
b). Tìm x, y sao cho BM xBA yBC và tính BM .
1200
Câu 14. Cho tam giác ABC có AB 2, AC 3, BAC
a). Tính AB. AC và độ dài trung tuyến AM .
b). Gọi AD là phân giác trong của góc A của tam giác ABC . Phân tích AD theo hai vectơ
AB, AC . Suy ra độ dài đoạn AD .
Câu 15. Cho tam giác ABC có AB 2a, BC a 7, AC 3a . Gọi M trung điểm của AB, N thuộc AC
sao cho AN 2 NC và D thuộc MN sao cho 2DM DN
a). Tìm x, y sao cho AD x AB y AC .
b). Tính AB. AC và độ dài đoạn AD theo a .
DẠNG 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VỀ TÍCH VƠ HƯỚNG
Sử dụng định nghĩa a.b a . b cos a, b
Trang 3
Sử dụng quy tắc chèn điểm, quy tắc công trừ các vectơ và một số quy tắc trung điểm, trọng tâm,
tính chất hình bình hành…
Tính chất giao hốn và phân phối về tích vơ hướng.
Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng, ta chú ý có thể chuyển về vectơ
2
nhờ đẳng thức AB 2 AB
A. Bài tập tự luận
Câu 16. Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh AC a 2 , gọi O là giao điểm của AC và BD .
a). Tính tích vơ hướng AD. AC theo a .
b). Gọi M là trung điểm cạnh BC . Chứng minh rằng AB.OC 2 OC 2 OM 2
Câu 17. Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a 3 . Gọi I là trung điểm của AD và M là điểm bất kỳ.
a). Tính IB.IC
b). Chứng minh rằng MA.MC MB.MD
Câu 18. Cho H là trung điểm của AB và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng MA.MB HM 2 HA2
Câu 19. Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C , D ta có:
AB.CD AC.DB AD.BC 0 (hệ thức Ơ – le).
Câu 20. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:
1
a). AB. AC AB 2 AC 2 BC 2
2
b). BC 2 AB 2 AC 2 2 AB. AC.cos A
Câu 21. Cho tam giác ABC có I trung điểm của BC . Chứng minh:
BC 2
a). AB AC 2 AI
2
2
2
b). AB AC 2 BC.IH (Với H là hình chiếu của A xuống BC).
2
2
2
Câu 22. Cho tam giác ABC , trung tuyến AM . Chứng minh rằng
1
a). AB. AC AM 2 BC 2
4
b). AM
2
2 AB 2 AC 2 BC 2
4
Câu 23. Cho tam giác ABC , biết AB c, B C a, AC b . Có trọng tâm G . Chứng minh rằng
1 2 2 2
a b c (hệ thức Lep – nit).
3
Câu 24. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có
MA2 MB 2 MC 2 GA2 GB 2 GC 2 3MG 2
GA2 GB 2 GC 2
Câu 25. Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Chứng minh với điểm M bất kỳ ta ln có:
1
1
MG 2 MA2 MB 2 MC 2 AB 2 BC 2 CA2
3
9
Câu 26. Cho hai điểm M , N nằm trên đường tròn đường kính AB 2 R . Gọi I là giao điểm hai đường
thẳng AM và BN . Chứng minh:
a). AM . AI AB. AI ; BN .BI BA.BI
b). AM . AI BN .BI 4 R 2
Câu 27. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và M là một điểm tùy ý. Chứng minh:
Trang 4
a). MA.MC MB.MD
2
b). MA MB.MD 2 MA.MO
Câu 28. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R .
a). Chứng minh MA2 MB 2 MC 2 6 R 2 khi và chỉ khi M thuộc (O) .
b). Chứng minh với mọi điểm M :
AM 2 2 MB 2 3MC 2 2 MO MA 2 MB 3MC
Câu 29. Cho tứ giác ABCD . Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm của AC , BD . Chứng minh rằng
AB 2 BC 2 CD 2 DA2 AC 2 BD 2 4 IJ 2
Câu 30. Cho tam giác ABC , biết AB c, BC a, CA b , các đường trung tuyến tương ứng AA ', BB ', CC '
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Chứng minh rằng với mọi M bất kì, ta có
a 2 b2 c2
2 MA.MA ' MB.MC 3MG 2
6
Câu 31. Cho tam giác ABC , gọi H là trực tâm, M là trung điểm của cạnh BC . Chứng minh rằng
1 2
MH .MA BC
4
Câu 32. Cho tam giác ABC , có AD, BE , CF lần lượt là các đường trung tuyến. Chứng minh rằng
AB.CF BC. AD CA.BE 0
DẠNG 4. CHỨNG MINH SỰ VNG GĨC CỦA HAI VECTƠ, HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Điều kiện a b a.b 0 .
Điều kiện AB CD AB.CD 0 .
Lưu ý chọn gốc, chọn hệ cơ sở để biểu diễn và chứng minh vng góc.
A. Bài tập tự luận
Câu 33. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M , N là các điểm sao cho 3BM 2 BC , 5 AN 4 AC .
a). Tính AB. AC ; BC. AC
b). Chứng minh AM vng góc với BN .
Câu 34. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẻ bên ngồi tam giác ABC các tam giác vuông cân đỉnh A
là ABD và ACE . Gọi M trung điểm của đoạn BC . Chứng minh rằng AM vng góc với DE .
Câu 35. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AH và
HC . Chứng minh BI AJ
Câu 36. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi H là trung điểm của đoạn BC , D là hình chiếu vng góc
của H trên AC , M trung điểm của đoạn HD . Chứng minh AM vng góc với DB .
Câu 37. Cho tứ giác ABCD có E là giao của hai đường chéo AC và BD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm
của BC , AD và H , K là trực tâm của các tam giác ABE , CDE .
a). Chứng minh HK .BD AC.BD
b). Chứng minh HK IJ
Câu 38. Cho tứ giác ABC có hai đường chéo AC và BD vng góc với nhau và cắt nhau tại M . Gọi P
là trung điểm của cạnh AD . Chứng minh MP vng góc với BC khi và chỉ khi
MA.MC MB.MD
Câu 39. Cho hình chữ nhật ABCD , vẽ BH AC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AH và DC .
Chứng minh BM MN .
Trang 5
Câu 40. Cho hình vng ABCD , điểm M thuộc đoạn thẳng AC sao cho AM
AC
. Gọi N là trung
4
điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh rằng DMN là tam giác vuông cân.
Câu 41. Cho tứ giác ABC D có hai đường chéo cắt nhau tại O . Gọi H , K lần lượt là trực tâm của các tam
giác ABO và CDO . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh HK IJ .
Câu 42. Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy M , N , P lần lượt trên 3 cạnh BC , CA, AB sao cho
BM a, CN 2a, AP x . Tìm x để AM vng góc với PN .
Câu 43. Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn O . D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam
giác ACD . Chứng minh OE CD
DẠNG 5. TẬP HỢP ĐIỂM
Dạng 1: MA.MB k 1 (A, B là hai điểm cố định).
k 0 : Tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính AB .
k 0 : Gọi I trung điểm của AB .
AB 2
2
2
2
1
MI
IA
MI
IA
k
MI
IA
k
MI
k
4
AB 2
AB 2
0k
: Tập hợp các điểm M là đường trịn tâm I, bán kính
Nếu k
4
4
AB 2
k
4
AB 2
AB 2
0k
: Tập hợp điểm M là điểm I.
Nếu k
4
4
AB 2
AB 2
0k
: Tập hợp các điểm M là rỗng.
4
4
Dạng 2: AM .v k 2 (A cố định, v có hướng, độ dài xác định).
Nếu k
k 0 : Tập hợp các điểm M là đường thẳng qua A và vuông góc với giá của v
k 0 : Gọi A ' M ' là hình chiếu của AM trên giá của vectơ v ; ta có: 2 A ' M '.v k (định lí
k
hình chiếu). A’ cố định M ' cố định (M’ nằm trên giá của v định bởi A ' M ' ). Tập hợp các
v
điểm M là đường thẳng vuông góc với giá của vectơ v tại M’.
M
A
A
v
v
M'
A'
k≠0
k=0
Dạng 3: MA2 MB 2 k 3 (A, B cố định , là hằng số và 0 ).
Gọi I là điểm thỏa IA IB 0 I là điểm cố định.
2
2
3 MI IA MI IB k
MI 2 2 IA IB MI IA2 IB 2 k
MI 2 k IA2 IB 2
MI
2
Trang 6
k IA2 IB 2
Nếu
k IA2 IB 2
k IA2 IB 2
Nếu
Nếu
0 k IA2 IB 2 : Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán kính
.
k IA2 IB 2
k IA2 IB 2
0 k IA2 IB 2 : Tập hợp điểm M là điểm I.
0 k IA2 IB 2 : Tập hợp điểm M là rỗng.
Chú ý:
Để giải các bài toán thuộc loại trên, ta nên thu gọn biểu thức đã cho bằng cách sử dụng công thức
thu gọn vec tơ dưới đây:
Cho hai điểm A, B cố định , là hằng số thỏa 0 thì tồn tại duy nhất một điểm I sao
cho IA IB 0 . Nếu với điểm M tùy ý trong mặt phẳng thì ta có: MA MB MI .
Cho ba điểm A, B, C cố định , , là hằng số thỏa 0 thì tồn tại duy nhất một
điểm I sao cho IA IB IC 0 . Nếu với điểm M tùy ý trong mặt phẳng thì ta có:
MA MB MC MI .
A. bài tập tự luận
Câu 44. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M sao cho AM . AB AB. AC
Câu 45. Cho tam giác ABC , tìm tập hợp điểm M thỏa:
a). MA.MB MA.MC 0
b). MB MA MB MC 0
c). MA 3MB MA 2 MB 3MC 0
d). MA.MB MA.MC 9 MB.MC 3MB 2 4 MC 2
Câu 46. Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn điều kiện sau: MA.MB MA.MC
Câu 47. Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M sao cho: MA MB MC AC AB AB 2
Câu 48. Cho tam giác ABC cân tại A có AB AC a, BC 3a . Tìm tập hợp những điểm M sao cho
2 MA2 3MB 2 MC 2 2 MB.MC 0
Câu 49. Cho A, B, C , D là bốn điểm cố định cho trước, tìm tập hợp những điểm M sao cho:
MA 2 MB 3MC MA MD 0
Câu 50. Cho đoạn AB a 0 và số k . Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2 MB 2 k
Câu 51. Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M sao cho
a) MA MB MC 0 ;
b) MA MC MA MB MC 0 .
Câu 52. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a) MA.MB 0 ;
b) MA MC MB 0 ;
c) MA MB MA MB MC 0 ;
Trang 7
d) MA.MB MA.MB .
Câu 53. Cho hai điểm A, B và k là một số không đổi. Tìm tập hợp những điểm M thoả điều kiện:
MA2 MB 2 k 2 .
Câu 54. Cho tam giác ABC. Tìm tâp hợp điểm M sao cho MB MC MA 2 MB 3MC 0
Câu 55. Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho:
a). MB 2 MC 2 MA2 0
b). MB 2 MC 2 2 MA2 0
Câu 56. Cho hai điểm A, B cố định và số k cho trước. Tìm tập hợp những điểm M sao cho MA.MB k
Câu 57. Cho tam giác ABC , tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn MB.MC MB.MG AB 2 (với G là
trọng tâm tam giác ABC).
Câu 58. Trong mặt phẳng Oxy cho cho tam giác ABC có trọng tâm G .
a). Xác định vị trí điểm P thỏa PA PB 4 PC 0 .
b). Chứng minh C , G, P thẳng hàng.
c). Tìm tập hợp diểm M thỏa mãn MA MB 4 MC CA CB
Câu 59. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC và M là một điểm
thay đổi:
2
a). Chứng minh BM .CM AM . AD AM khơng đổi.
b). Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn BM .CM AM . AD k (k là số thực cho trước).
Câu 60. Cho tam giác ABC . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn:
a). AM .BC 2 BM .CA 2CM . AB k
b). BM .CM 2CM . AM 2 AM .BM k
(với k là một số cho trước).
Câu 61. Cho tam giác ABC số a . Tìm tập hợp các điểm M sao cho 3MA2 MB 2 4 MC 2 a .
Câu 62. Cho tam giác ABC và số k . Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 MA2 3MB 2 5MC 2 k 2 .
DẠNG 6. BÀI TOÁN TỌA ĐỘ
Trong mặt phẳng Oxy, cho a ( x; y ) và b ( x '; y ') . Khi đó:
(1) a.b xx ' yy ' ;
(2) a x 2 y 2 ;
(3) cos (a, b)
xx ' yy '
x 2 y 2 x '2 y '2
a 0, b 0 ;
(4) Khoảng cách giữa hai điểm M xM ; yM và N xN ; y N :
MN = MN ( xN xM ) 2 ( yN yM ) 2 ;
(5) a b xx ' yy ' 0 .
A. Bài tập tự luận
Câu 63. Cho ba điểm A 4 3; 1 , B 0;3 , C 8 3;3 .
a) Tìm đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD .
b) Tìm AD. AB , AD.BC
Trang 8
1
Câu 64. Cho u i 5 j và v ki 4 j . Tìm k để
2
a) u v b) u v
Câu 65. Cho các véc-tơ a 2;3 , b 4;1 .
a) Tìm các số k và m sao cho c k a mb vng góc với véc-tơ a b .
b) Tìm véc-tơ d biết a.d 4 và b.d 2 .
Câu 66. Tính góc giữa hai véc-tơ và a và b trong các trường hợp sau
a) a 1; 2 , b 2; 6
b) a 3; 4 , b 4;3 .
c) a 2;5 , b 3; 7 .
Câu 67. Cho u 4;1 và v 1; 4 .
a) Tìm m để a u m.v vng góc với trục hồnh.
b) Tìm n để b n.u v tạo với véc-tơ c i j một góc 45 .
Câu 68. Cho các điểm A 4 3; 1 , B 0;3 , C 8 3;3 .
a) Tính các cạnh của tam giác ABC .
b) Tính các góc của tam giác ABC .
Câu 69. Cho các điểm A 1; 1 , B 3;1 , C 6;0 .
a) Chứng minh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng.
b) Tính góc B và diện tích tam giác ABC .
Câu 70. Cho các điểm A 1;3 , B 4; 2 .
a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox và cách đều hai điểm A và B .
b) Tính chu vi và điện tích tam giác OAB .
Câu 71. Cho các điểm A 4;6 , B 5;1 , C 1;3 . Tìm tọa độ tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam
giác ABC .
Câu 72. Cho tam giác ABC có ba đỉnh A 3;0 , B 3;0 , C 2;6 . Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm
H của tam giác.
Câu 73. Cho điểm A 1;3 và B 4; 2 .
a) Đường thẳng AB cắt các trục Ox và Oy lần lượt tại M và N . Các điểm M và N chia đoạn
thẳng AB theo các tỉ số nào ?
b) Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E . Tìm tọa độ điểm E .
Câu 74. Cho điểm A 1;1 , B 2; 4 và C 10; 2 .
a) Chứng minh tam giác ABC vng tại A .
b) Tính tích vơ hướng BA . BC và tính cos B , cos C .
Câu 75. Cho hai điểm A 2; 4 và B 1;1 . Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác vuông
cân tại B .
Câu 76. Cho bốn điểm A 7; 3 , B 8; 4 , C 1;5 , D 0; 2 . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình
vng.
Trang 9
Câu 77. Biết A 1; 1 và B 3;0 là hai đỉnh của hình vng ABCD . Tìm tọa độ các đỉnh C và D .
Câu 78. Cho tam giác ABC với A 2; 4 , B 3;1 , C 3; 1 .
a) Tìm điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
b) Tìm chân A ' của đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC .
DẠNG 7. ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TÍCH ĐƯỜNG TRỊN
Bài tốn. Cho đường trịn O; R và điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua M cắt
đường tròn tại hai điểm A , B . Chứng minh rằng MA.MB MO 2 R 2 .
Chứng minh.
Vẽ đường kính BC của đường trịn O; R .
Ta có MA là hình MC lên đường thẳng MB .
Theo cơng thức hình chiếu, ta có
MA.MB MC.MB MO OC MO OB MO OB MO OB MO 2 OB 2 MO 2 R 2 .
Từ bài tốn trên ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1. Cho đường tròn O; R và điểm M cố định. Một đường thẳng thay đổi đi qua M
cắt đường tròn tại hai điểm A , B . Khi đó MA.MB MO 2 R 2 là đại lượng không đổi được gọi
là phương tích của điểm M đối với đường trịn O; R , ký hiệu là PM / O .
Lưu ý: Nếu M ở ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MT . Khi đó PM / O MT 2 MO 2 R 2 .
Tính chất 1. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M . Điều kiện cần và đủ để bốn điểm
A , B , C , D nội tiếp được đường tròn là MA.MB MC.MD .
Tính chất 2. Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ở M và điểm C trên đường thẳng
C M . Điều kiện cần và đủ để
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C
là MA.MB MC 2 .
A. Bài tập tự luận
Câu 79. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA , BB , CC cắt nhau tại H . Chứng minh rằng
HA.HA HB.HB HC.HC .
Câu 80. Cho đường tròn O; R và một điểm P cố định ở bên trong đường trịn đó. Hai dây cung thay
đổi AB và CD ln đi qua điểm P và vng góc với nhau.
a) Chứng minh rằng AB 2 CD 2 không đổi.
b) Chứng minh rằng PA2 PB 2 PC 2 PD 2 khơng phụ thuộc vị trí điểm P .
Câu 1.
Trang 10
PHẦN 2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a.b a . b .
B. a.b 0 .
C. a.b 1 .
D. a.b a . b .
Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc giữa hai vectơ a và b khi a.b a . b .
A. 180o .
B. 0o .
A. 30o .
B. 45o .
C. 90o .
D. 45o .
Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a 3, b 2 và a.b 3. Xác định góc giữa hai vectơ a và
b.
C. 60o .
D. 120o .
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vơ hướng AB. AC.
a 2
a2
a2 3
A. AB. AC 2a 2 .
B. AB. AC
C. AB. AC
D. AB. AC
2
2
2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 4i 6 j và b 3i 7 j. Tính tích vơ hướng a.b
A. a.b 30 .
B. a.b 3 .
C. a.b 30 .
D. a.b 43 .
Cho M , N , P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
A. MN NP PQ MN .NP MN .PQ .
B. MP.MN MN .MP .
C. MN .PQ PQ.MN . D. MN PQ MN PQ MN 2 PQ 2 .
Câu 7.
Cho hình vng ABCD cạnh a. Đẳng thức nào sau đây đúng?
2 2
A. AB. AC a 2
B. AB. AC a 2 2
C. AB. AC
a
2
Câu 8.
Cho hình vng ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Đẳng thức nào sau đây
đúng?
A. AE. AB 2a 2 .
B. AE. AB 3a 2 .
C. AE. AB 5a 2 .
D. AE. AB 5a 2 .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a 2;3 , b 4;1 và c k a mb với k , m .
Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ a b . Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 9.
A. 2k 2m
1
D. AB. AC a 2
2
B. 3k 2m
C. 2k 3m 0
D. 3k 2m 0.
Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u 3; 4 và v 8;6 . Khẳng định nào sau đây
đúng?
A. u v .
1
B. M 0; . và v cùng phương.
2
C. u vng góc với v . D. u v .
Câu 11. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC 0 là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường tròn.
3
Câu 12. Trong mp Oxy cho A 4;6 , B 1; 4 , C 7; . Khảng định nào sau đây sai
2
9
A. AB 3; 2 , AC 3; .
B. AB. AC 0 .
2
13
C. AB 13 .
D. BC
.
2
Câu 13. Cho các vectơ a 1; 2 , b 2; 6 . Khi đó góc giữa chúng là
A. 45o .
B. 60o .
C. 30o .
D. 135o .
Trang 11
OM 2; 1 ON 3; 1
Câu 14. Cho
,
. Tính góc của OM , ON
2
.
2
Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy cho a 1;3 , b 2;1 . Tích vơ hướng của 2 vectơ a.b là:
A. 135o .
B.
A. 1.
B. 2.
2
.
2
Câu 16. Cặp vectơ nào sau đây vng góc?
A. a 2; 1 và b 3; 4 .
C. a 2; 3 và b 6; 4 .
C. 135o .
D.
C. 3.
D. 4.
B. a 3; 4 và b 3; 4 .
D. a 7; 3 và b 3; 7 .
Câu 17. Cho 2 vec tơ a a1 ; a2 , b b1 ; b2 , tìm biểu thức sai:
A. a.b a1.b1 a2 .b2 .
B. a.b a . b .cos a, b .
1 2
1 2
C. a.b a 2 b 2 a b .
D. a.b a b a 2 b 2 .
2
2
Câu 18. Cho tam giác đều ABC cạnh a 2 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A. AB. AC BC 2 BC . B. BC.CA 2 .
C. AB BC . AC 4 . D. BC AC .BA 2 .
ˆ 120o
A
ABC
AB
a
Câu 19. Cho tam giác
cân tại A ,
và
. Tính BA.CA
A.
a2
.
2
B.
a2
.
2
C.
a2 3
.
2
A 1; 2 B 1;1 C 5; 1
Câu 20. Cho tam giác ABC có ,
,
.Tính cos A
2
1
1
A.
.
B.
.
C.
.
5
5
5
D.
D.
a2 3
.
2
2
.
5
Câu 21. Cho hình vng ABCD tâm O . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
1
A. OA.OB 0 .
B. OA.OC OA. AC .
2
C. AB. AC AB.CD . D. AB. AC AC. AD .
Câu 22. Trong mặt phẳng Oxy cho A 1; 1 , B 3;1 , C 6;0 . Khảng định nào sau đây đúng.
135o .
A. AB 4; 2 , AC 1;7 .
B. B
C. AB 20 .
D. BC 3 .
Câu 23. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
A. DA.CB a 2 .
B. AB.CD a 2 .
C. AB BC . AC a 2 . D. AB. AD CB.CD 0 .
Câu 24. Cho hình thang vng ABCD có đáy lớn AB 4a , đáy nhỏ CD 2a , đường cao AD 3a ; I là
trung điểm của AD . Khi đó IA IB .ID bằng :
A.
Trang 12
9a 2
.
2
B.
9a 2
.
2
C. 0 .
D. 9a2 .
50o . Hệ thức nào sau đây là sai?
Câu 25. Tam giác ABC vng ở A và có góc B
A. AB, BC 130o . B. BC , AC 40o . C. AB, CB 50o . D. AC , CB 120o .
Câu 26. Trong mặt phẳng O; i, j cho 2 vectơ : a 3i 6 j và b 8i 4 j. Kết luận nào sau đây sai?
A. a.b 0.
B. a b .
C. a . b 0 .
D. a.b 0 .
?
Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy cho A 1; 2 , B 4;1 , C 5; 4 . Tính BAC
B. 45o .
C. 90o .
D. 120o .
Câu 28. Cho các vectơ a 1; 3 , b 2;5 . Tính tích vơ hướng của a a 2b
A. 60o .
A. 16 .
B. 26 .
Câu 29. Cho hình vng ABCD , tính cos AB, CA
A.
1
.
2
1
B. .
2
D. 16 .
C. 36 .
C.
2
.
2
D.
2
.
2
Câu 30. Cho hai điểm A 3, 2 , B 4,3 . Tìm điểm M thuộc trục Ox và có hồnh độ dương để tam giác
MAB vuông tại M
A. M 7; 0 .
B. M 5;0 .
C. M 3;0 .
D. M 9;0 .
Câu 31. Cho A 2; 5 , B 1; 3 , C 5; 1 . Tìm tọa độ điểm K sao cho AK 3BC 2CK
A. K 4;5 .
B. K 4;5 .
C. K 4; 5 .
D. K 4; 5
Câu 32. Cho tam giác ABC vng cân tại A có BC a 2 .Tính CA.CB
a 2
A. CA.CB a 2 .
B. CA.CB a .
C. CA.CB
.
Câu 33. Cho hình vng ABCD có cạnh a . Tính AB. AD
B. a .
A. 0 .
2
a2
C.
.
2
D. CA.CB a 2 .
D. a2 .
Câu 34. Trong mặt phẳng Oxy , cho a 2; 1 và b 3; 4 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Tích vơ hướng của hai vectơ đã cho là 10 . B. Độ lớn của vectơ a là 5 .
C. Độ lớn của vectơ b là 5 .
D. Góc giữa hai vectơ là 90o .
Câu 35. Cho M là trung điểm AB , tìm biểu thức sai:
A. MA. AB MA. AB . B. MA.MB MA.MB .
C. AM . AB AM . AB . D. MA.MB MA.MB .
Câu 36. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và H là trung điểm BC . Tính AH .CA
3a 2
3a 2
B.
.
C.
.
4
2
a
Câu 37. Biết , b 0 và a.b a . b . Câu nào sau đây đúng
3a 2
A.
.
4
A. a và
B. a và
C. a và
3a 2
D.
.
2
b cùng hướng.
b nằm trên hai dường thẳng hợp với nhau một góc 120o .
b ngược hướng.
Trang 13
D. A, B, C đều sai.
Câu 38. Cho 2 vectơ a và b có a 4 , b 5 và a , b 120o .Tính a b
A.
21 .
B.
61 .
C. 21 .
D. 61 .
C. 7 .
D. 5 .
Câu 39. Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B 1;1 , C 5; 1 .Tính AB. AC
A. 7 .
B. 5 .
Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy cho A 1;1 , B 1;3 , C 1; 1 . Khảng định nào sau đây đúng.
A. AB 4; 2 , BC 2; 4 .
B. AB BC .
C. Tam giác ABC vuông cân tại A .
D. Tam giác ABC vuông cân tại B .
Câu 41. Cho tam giác ABC vuông tại A có Bˆ 60o , AB a . Tính AC.CB
B. 3a 2 .
C. 3a .
D. 0 .
Câu 42. Cho 2 vectơ đơn vị a và b thỏa a b 2 . Hãy xác định 3a 4b 2a 5b
A. 3a2 .
A. 7 .
B. 5 .
C. 7 .
D. 5 .
Câu 43. Cho hình thang vng ABCD có đáy lớn AB 4a , đáy nhỏ CD 2a , đường cao AD 3a .Tính
DA.BC
A. 9a 2 .
B. 15a 2 .
D. 9a2
C. 0 .
ABC
C
AC
9
BC
5
Câu 44. Cho tam giác
vng tại
có
,
. Tính AB. AC
A. 9 .
B. 81 .
C. 3 .
D. 5 .
Câu 45. Cho hai vectơ a và b . Biết a =2, b = 3 và a , b 120o .Tính a b
A.
7 3 .
7 3 .
B.
C.
72 3 .
72 3 .
D.
2
Câu 46. Cho hai điểm B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M thỏa mãn CM .CB CM là :
A. Đường trịn đường kính BC .
B. Đường tròn B; BC .
C. Đường tròn C ; CB . D. Một đường khác.
Câu 47. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM .CB CA.CB là :
A. Đường trịn đường kính AB .
B. Đường thẳng đi qua A và vng góc với BC .
C. Đường thẳng đi qua B và vng góc với AC .
D. Đường thẳng đi qua C và vng góc với AB .
Câu 48. Cho hai điểm A 2, 2 , B 5, 2 . Tìm M trên tia Ox sao cho
AMB 90o
A. M 1, 6 .
B. M 6, 0 .
C. M 1, 0 hay M 6, 0 .
Câu 49. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai?
1 2 2 2
A. a.b
B.
a b a b
2
1 2 2
C. a.b
D.
a b a b
2
1
a.b
2
1
a.b
4
a
b
2 2 2
a b a b
2
2
a b
Câu 50. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vơ hướng AB.BC.
Trang 14
D. M 0,1 .
A. AB.BC a 2
a2
C. AB.BC
2
a 2 3
B. AB.BC
2
a 2
D. AB.BC
2
Câu 51. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau đây là sai?
a 2
a 2
A. AH .BC 0
B. AB, HA 1500
C. AB. AC
D. AC.CB
2
2
Câu 52. Cho tam giác ABC vng tại A và có AB c, AC b. Tính BA.BC.
A. BA.BC b 2
B. BA.BC c 2
C. BA.BC b 2 c 2
D. BA.BC b 2 c 2
Câu 53. Cho ba điểm A, B, C thỏa AB 2 cm, BC 3cm, CA 5cm Tính CA.CB
A. CA.CB 13
B. CA.CB 15
C. CA.CB 17
D. CA.CB 19
Câu 54. Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Tính P AB AC .BC
c2 b2 a 2
3
Câu 55. Cho hình vng ABCD cạnh a . Tính P AC. CD CA
A. P b 2 c 2
B. P
c2 b2
2
C. P
B. P 3a 2
A. P 1
D. P
c2 b2 a 2
2
C. P 3a 2
D. P 2a 2
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 3; 1 , B 2;10 , C 4; 2 Tính tích vơ hướng
AB. AC
A. AB. AC 40
B. AB. AC 40
C. AB. AC 26
D. AB. AC 26
Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 3; 2 và b 1; 7 . Tìm tọa độ vectơ c biết
c.a 9 và c.b 20
A. c 1; 3
B. c 1;3
C. c 1; 3
D. c 1;3
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a 1; 2 , b 4;3 và c 2;3 .
Tính P a. b c .
A. P 0
B. P 18
C. P 20
D. P 28
Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 2; 1 và b 4; 3 . Tính cosin của góc giữa
hai vectơ a và b
5
2 5
3
1
A. cos a, b
B. cos a, b
C. cos a, b
D. cos a, b
5
5
2
2
Câu 60. Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Đẳng thức nào
sau đây đúng?
b 2 c 2
c 2 b 2
. B. AM .BC
.
A. AM .BC
2
2
c 2 b 2 a 2
c 2 b 2 a 2
.
.
C. AM .BC
D. AM .BC
3
2
Câu 61. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vơ hướng
OA OB . AB 0 là
A. tam giác OAB đều. B. tam giác OAB cân tại O.
Trang 15
C. tam giác OAB vuông tại O.
D. tam giác OAB vng cân tại O.
Câu 62. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 8, AD 5. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB.BD 62.
B. AB.BD 64.
C. AB.BD 62.
D. AB.BD 64.
Câu 63. Cho hình thoi ABCD có AC 8 và BD 6. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. AB. AC 24.
B. AB. AC 26.
C. AB. AC 28.
D. AB. AC 32.
Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 7; 3 , B 8; 4 , C 1;5 và D 0; 2 . Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. AC CB.
B. Tam giác ABC đều.
C. Tứ giác ABCD là hình vng.
D. Tứ giác ABCD khơng nội tiếp đường trịn.
Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 2 và B 3;1 . Tìm tọa độ điểm C thuộc trục
tung sao cho tam giác ABC vuông tại A.
A. C 0;6 .
B. C 5;0 .
C. C 3;1 .
D. C 0; 6 .
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP vuông tại M . Biết điểm M 2;1 , N 3; 2 và
P là điểm nằm trên trục Oy . Tính diện tích tam giác MNP .
10
5
16
20
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 67. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB MC 0 là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường trịn.
Câu 68. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB MA MB MC 0 với A, B, C là ba đỉnh của tam
giác.
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường tròn.
Câu 69. Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm N thỏa mãn
AN . AB 2a 2 là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường tròn.
Câu 70. Cho hai điểm A, B cố định và AB 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.MB 16 là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
Câu 71. Cho tam giác ABC vuông tại
AB.BC BC.CA CA. AB
A. AB.BC BC.CA CA. AB 4a 2 .
C. AB.BC BC.CA CA. AB 4 a 2 .
A
C. đoạn thẳng.
D. đường trịn.
có AB a , BC 2 a .
Tính
tích
vơ
hướng
B. AB.BC BC.CA CA. AB a 2 .
D. AB.BC BC.CA CA. AB 2 a 2 .
Câu 72. Cho hình vng ABCD cạnh a .Tính giá trị của biểu thức ( AB AD)( BD BC )
A. ( AB AD)( BD BC ) 3a 2 .
B. ( AB AD)( BD BC ) 2 a 2 .
C. ( AB AD)( BD BC ) a 2 .
D. ( AB AD)( BD BC ) 4 a 2 .
Câu 73. Cho tứ giác ABCD có AB BC 2 5 , CD BD 5 2 , AD 3 10 , AC 10 . Tìm cơsin góc
giữa hai vectơ AC và DB
Trang 16
A.
4
5 2
B.
.
3
5 2
.
C.
4
5 2
.
D.
3
5 2
.
Câu 74. Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của DA, BC . Tính góc giữa hai đường
thẳng AB và CD biết AB CD 2 a , MN a 3 .
A. ( AB, CD) 50 0 .
B. ( AB, CD) 60 0 .
C. ( AB, CD) 80 0 .
Câu 75. Cho tam giác OAB vuông cân tại O , cạnh OA 4 . Tính 2OA OB .
A. 2OA OB 4 .
B. 2OA OB 2 .
C. 2OA OB 12 .
D. 2OA OB 4 5 .
D. ( AB, CD) 300 .
Câu 76. Cho hình thang vng ABCD vng tại A , D ; AB CD ; AB 2a ; AD DC a . O là trung
điểm của AD . Độ dài vectơ tổng OB OC bằng
A.
a
.
2
B.
3a
.
2
C. a .
D. 3a .
Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 1; 2 ; B 1;1 . Điểm M thuộc trục Oy thỏa mãn
tam giác MAB cân tại M . Khi đó độ dài đoạn OM bằng
5
3
1
A. .
B. .
C. .
2
2
2
D.
7
.
2
Câu 78. Cho ABC đều cạnh 2a với M là trung điểm BC . Khẳng định nào đúng?
a 3
a 3
A. MB MC .
B. AM
.
C. AM
.
D. AM a 3 .
2
2
Câu 79. Cho tam giác vuông cân ABC với AB AC a . Khi đó 2AB AC bằng
A. a 3 .
B. a 5 .
C. 5a .
D. 2a .
Câu 80. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 2;1 , B 2; 1 , C 2; 3 , D 2; 1 . Xét ba mệnh đề:
I ABCD
II ABCD
III AC
là hình thoi.
là hình bình hành.
cắt BD tại M 0; 1 .
Chọn khẳng định đúng
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ II đúng.
C. Chỉ II và III đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Câu 81. Tìm x để hai vectơ a ( x; 2) và b (2; 3) có giá vng góc với nhau.
A. 3.
B. 0.
C. 3 .
D. 2.
Câu 82. Cho tam giác ABC có A 1; 2 , B 0;3 , C 5; 2 . Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A của
tam giác ABC .
A. 0;3 .
B. 0; 3 .
C. 3;0 .
D. 3;0 .
Câu 83. Cho tam giác ABC có A 1;0 , B 4;0 , C 0; m , m 0 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .
Xác định m để tam giác GAB vuông tại G .
Trang 17
A. m 6 .
B. m 3 6 .
C. m 3 6 .
D. m 6 .
Câu 84. Cho tam giác ABC có A 1; 1 , B 3; 3 , C 6;0 . Diện tích DABC là
A. 6.
B. 6 2 .
C. 12.
D. 9.
Câu 85. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm B 1;3 và C 3;1 . Tìm tọa độ điểm A sao cho tam giác
ABC vuông cân tại A .
A. A 0;0 hoặc A 2; 4 .
B. A 0;0 hoặc A 2; 4 .
C. A 0;0 hoặc A 2; 4 .
D. A 0;0 hoặc A 2; 4 .
Câu 86. Tìm bán kính đường trịn đi qua ba điểm A 0; 4 , B 3; 4 , C 3;0 .
A.
5
.
2
B.
10
.
2
C. 5 .
D. 3 .
của tam giác ABC gần với giá trị nào
Câu 87. Tam giác ABC có A 1; 2 , B 0; 4 , C 3;1 . Góc BAC
dưới đây?
A. 90 .
B. 3652 .
C. 1437 .
D. 537 .
Câu 88. Cho hai véctơ a , b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a - b = 4 . Gọi là góc giữa hai véctơ a , b . Chọn
phát biểu đúng.
A. = 600 .
B. = 300 .
1
C. cos = .
3
Câu 89. Cho hai vectơ u 2; 1 , v 3; 4 . Tích u .v là
A. 11.
B. 10.
C. 5.
A. 8a 2 .
B. 8a .
C. 8 3a 2 .
3
D. cos = .
8
D. 2.
Câu 90. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4a .Tích vơ hướng của hai vectơ AB và AC là
D. 8 3a .
Câu 91. Cho ABC đều; AB 6 và M là trung điểm của BC . Tích vơ hướng AB.MA bằng
A. 18 .
B. 27 .
C. 18 .
D. 27 .
a
b
Câu 92. Cho hai vectơ và . Biết a 2, b 3 và a, b 300 . Tính a b .
A.
11 .
B.
13 .
C.
12 .
D.
14 .
30, AC 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính giá trị
Câu 93. Cho tam giác ABC vng tại A có B
của biểu thức P AM . BM .
A. P 2 .
B. P 2 3 .
C. P 2 .
D. P 2 3 .
60 . Điểm K thuộc AD thỏa mãn
Câu 94. Cho hình bình hành ABCD có AB 2a, AD 3a, BAD
AK 2 DK . Tính tích vơ hướng BK . AC
A. 3a 2 .
B. 6a 2 .
C. 0 .
D. a 2 .
Câu 95. Cho tam giác ABC có AB=5, AC=8, BC=7 thì AB. AC bằng:
A. -20.
B. 40.
C. 10.
D. 20.
Câu 96. Cho véc tơ a 1; 2 . Với giá trị nào của y thì véc tơ b 3; y tạo với véctơ a một góc 45
A. y 9 .
Trang 18
y 1
B.
.
y 9
y 1
C.
.
y 9
D. y 1 .
Câu 97. Cho hai vecto a , b sao cho a 2 , b 2 và hai véc tơ x a b , y 2a b vng góc với
nhau. Tính góc giữa hai véc tơ a và b .
A. 120 .
B. 60 .
C. 90 .
D. 30 .
Câu 98. Cho hình chữ nhật ABCD có AB a và AD a 2 . Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Đẳng
thức nào sau đây đúng?
A. BK . AC 0.
B. BK . AC a 2 2. C. BK . AC a 2 2.
D. BK . AC 2a 2 .
Câu 99. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A 1; 17 ; B 11; 25 . Tìm tọa độ điểm C thuộc tia
BA sao cho BC 13.
A. C 14; 27 .
B. C 8; 23 .
C. C 14; 27 và C 8; 23 .
D. C 14; 27 và C 8; 23 .
a 2
Câu 100. Cho tam giác ABC vuông tại A , BC a 3 , M là trung điểm của BC và có AM .BC
.
2
Tính cạnh AB, AC.
A. AB a, AC a 2 . B. AB a, AC a .
C. AB a 2, AC a . D. AB a 2, AC a 2 .
Câu 101. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 3;1 . Giả sử A a ;0 và B 0; b (với a, b là các số
thực không âm) là hai điểm sao cho tam giác MAB vng tại M và có diện tích nhỏ nhất. Tính
giá trị của biểu thức T a 2 b2 .
A. T 10 .
B. T 9 .
C. T 5 .
D. T 17 .
Câu 102. Cho hình vuông ABCD cạnh a . M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ADM . Tính
giá trị của biểu thức CG. CA DM
A.
21a 2
.
4
B.
11a 2
.
4
C.
9a2
.
4
D.
a2
.
4
Câu 103. Cho các véctơ a, b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện 2 a 3b 7 . Tính cos a, b
1
1
2
1
A. cos a , b
.
B. cos a , b .
C. cos a, b .
D. cos a , b .
4
3
4
2
Câu 104. Cho các véctơ a , b có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng 60 0 . Xác định cosin góc giữa
hai vectơ u và v với u a 2b , v a b
1
1
1
1
A. cos u; v .
B. cos u; v .
C. cos u; v .
D. cos u; v .
2
6
4
3
Câu 105. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM 1 , trên cạnh
.
CD lấy điểm N sao cho DN 1 và P là trung điểm BC . Tính cos MNP
A. cos MNP
C. cos MNP
13
5 10
13
10
.
. B. cos MNP
13
.
4 10
D. cos MNP
13
45 10
.
Trang 19
Câu 106. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 . M là điểm được xác định bởi AM 3 MB , G là trọng
tâm tam giác ADM . Tính MB.GC
5
3
3
1
A. MB.GC .
B. MB.GC .
C. MB.GC .
D. MB.GC .
8
8
7
8
Câu 107. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB a , BC 2 a và G là trọng tâm. Tính tích vơ hướng
GA.GB GB.GC GC.GA
a2
2a2
A. GA.GB GB.GC GC.GA .
B. GA.GB GB.GC GC.GA
.
3
3
4a2
5a 2
C. GA.GB GB.GC GC.GA
.
D. GA.GB GB.GC GC.GA
.
3
3
Câu 108. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 1 và B 3; 2 . Tìm M thuộc trục tung sao cho
MA2 MB 2 nhỏ nhất.
A. M 0;1 .
B. M 0; 1 .
1
C. M 0; .
2
1
D. M 0; .
2
Câu 109. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 8;0 , B 0; 4 , C 2;0 và D 3; 5 . Khẳng
định nào sau đây là đúng?
và BCD
phụ nhau.
A. Hai góc BAD
C. cos AB, AD cos CB, CD
là góc nhọn.
B. Góc BCD
và BCD
bù nhau.
D. Hai góc BAD
Câu 110. Cho hình vng ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM
AC
.
4
Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. MB.MN 4.
B. MB.MN 0.
C. MB.MN 4.
D. MB.MN 16.
Câu 111. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;1 , B 2; 4 , C 2; 2 . Tìm tọa độ
tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.
1
1
A. I ;1 .
B. I ;1 .
C.
4
4
1
I 1; .
4
1
D. I 1; .
4
Câu 112. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;0 , B 3;0 và C 2;6 . Gọi H a; b
là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a 6b.
A. a 6b 5 .
B. a 6b 6 .
C. a 6b 7 .
D. a 6b 8 .
Câu 113. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;3 , B 2;7 và C 3; 8 . Tìm toạ độ
chân đường cao A ' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
A. A ' 1; 4 .
B. A ' 1; 4 .
C. A ' 1; 4 .
D. A ' 4;1 .
Câu 114. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;0 , B 3;0 và C 2;6 . Gọi H a; b
là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a 6b.
A. a 6b 5 .
B. a 6b 6 .
C. a 6b 7 .
D. a 6b 8 .
Câu 115. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a . Tập hợp các điểm M
4 MA2 MB 2 MC 2
Trang 20
thỏa mãn đẳng thức
5a 2
nằm trên một đường trịn C có bán kính R . Tính R .
2
A. R
a
.
3
B. R
a
.
4
C. R
a 3
.
2
Câu 116. Cho tam giác đều ABC cạnh 18cm . Tập hợp các điểm M
2 MA 3MB 4 MC MA MB là
A. Tập rỗng.
a
.
6
D. R
thỏa mãn đẳng thức
B. Đường trịn cố định có bán kính R 2 cm .
C. Đường trịn cố định có bán kính R 3cm .
D. Một đường thẳng.
Câu 117. Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2; 3 , B 3; 4 . Tìm tọa độ điểm M trên trục hồnh sao
cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất.
18
A. M ;0 .
B. M 4;0 .
7
C. M 3;0 .
A. E 4;0 .
C. E 1;0 .
17
D. M ;0 .
7
Câu 118. Cho M 1; 2 , N 3; 2 , P 4; 1 . Tìm E trên Ox sao cho EM EN EP nhỏ nhất.
B. E 3;0 .
D. E 2;0 .
Câu 119. Cho tam giác ABC , điểm J thỏa mãn AK 3KJ , I là trung điểm của cạnh AB ,điểm K thỏa
mãn KA KB 2 KC 0 .
Một điểm M thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 3MK AK . MA MB 2 MC 0 .
Tập hợp điểm M là đường nào trong các đường sau.
A. Đường trịn đường kính IJ .
B. Đường trịn đường kính IK .
C. Đường trịn đường kính JK .
D. Đường trung trực đoạn JK .
Câu 120. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A 1;0 ; B 1;1 ; C 5; 1 . Tọa độ trực tâm
H của tam giác ABC là
A. H 1; 9 .
B. H 8; 27 .
C. H 2;5 .
D. H 3;14 .
Câu 121. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy ; cho tam giác ABC có A(1;1), B (1;3) và trọng tâm là
2
G 2; . Tìm tọa độ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M .
3
A. M 0; 3 .
B. M 0;3 .
C. M 0; 4 .
D. M 0; 4 .
Câu 122. Trên hệ trục tọa độ xOy , cho tam giác ABC có A 4;3 , B 2;7 , C 3; 8 .Tọa độ chân
đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là
A. 1; 4 .
B. 1; 4 .
C. 1; 4 .
D. 4;1 .
Câu 123. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Lấy M , N , P lần lượt nằm trên ba cạnh BC , CA, AB sao cho
BM 2 MC , AC 3 AN , AP x , x 0 . Tìm x để AM vng góc với NP .
A. x
5a
.
12
B. x
a
.
2
C. x
4a
.
5
D. x
7a
.
12
Câu 124. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A 3; 1 , B 1; 2 và I 1; 1 là trọng tâm
tam giác ABC. Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ a; b . Tính a 3b.
2
A. a 3b .
3
4
B. a 3b .
3
C. a 3b 1.
D. a 3b 2.
Trang 21
Câu 125. Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB 2a , các cạnh đáy AD a và BC 3a . Gọi
M là điểm trên đoạn AC sao cho AM k AC . Tìm k để BM CD
4
3
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
9
7
3
5
Câu 126. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2;0 , B 0; 2 và C 0;7 . Tìm tọa độ đỉnh thứ tư
D của hình thang cân ABCD.
A. D 7;0 .
B. D 7;0 , D 2;9 .
Trang 22
C. D 0;7 , D 9; 2 .
D. D 9; 2 .
