TICH VO HUONG TICH VO HUONG CUA HAI VECTO VA UNG DUNG Ly thuyet Bai tap ung dung File word

CHƯƠNG II
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ
0
0
TỪ 0 ĐẾN 180
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ

a ( 0 £ a £ 180
0

0

Oxy

.Với mỗi góc

) , ta xác định điểm M trên trên đường nửa

·
đường tròn đơn vị tâm O sao cho a = xOM . Giả sử điểm
( x; y) .
M có tọa độ
Khi đó:
sina = y; cosa = x; tana =
sin a ,cos a , tan a ,cot b

Hình 2.1

y
x
(a ¹ 90 0 ); cota = (a ¹ 0 0 , a ¹ 180 0 )
x
y
Các

số

được gọi là giá trị lượng giác của góc a .

Chú ý: Từ định nghĩa ta có:

(

)

M OP; OQ
 Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó
.
0
0
0 £ sin a £ 1; - 1 £ cos a £ 1
 Với 0 £ a £ 180 ta có
 Dấu của giá trị lượng giác:
Góc a
00
900
1800

sin a
+
+
cosa
+
tan a
+
cot a
+
2. Tính chất
 Góc phụ nhau
 Góc bù nhau
0
sin(90 - a ) = cos a
sin(1800 - a ) = sin a
cos(900 - a ) = sin a

cos(1800 - a ) =- cos a

tan(900 - a ) = cot a

tan(1800 - a ) =- tan a

cot(90 0 - a ) = tan a
cot(1800 - a ) =- cot a
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt


Góc a
sin a

00

300

450

600

0

1
2

2
2

3
2

1

1

3
2

2
2

1
2

0

-

1
2

0

3
3

1

3



-

3

- 1



3

1

3
3

0

-

3
3

- 1

cosa

tan a

cot a

900 1200

1350

3
2

2
2

-

1500

1800
1
2

2
2

-

0

3
2

uuu
r uur
AB2 + EF 2 = AB + EF

(

-

3

4. Các hệ thức lượng giác cơ bản
sin a

1) tan a =
(a ¹ 90 0 ) ;
cos a
cos a
2) cot a =
(a ¹ 0 0 ; 180 0 )
sin a
3) tan a.cot a = 1 (a ¹ 0 0 ; 90 0 ; 180 0 )
4) sin 2 a + cos 2 a = 1
1
5) 1 + tan 2 a =
(a ¹ 900 )
2
cos a
1
6) 1 + cot 2 a =
(a ¹ 0 0 ; 180 0 )
2
sin a
Chứng minh:
- Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
- Ta có sin a = OQ , cos a = OP

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

–1

)

2

0




B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI.
DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
1. Phương pháp giải.
 Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc
 Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
2
0
2
0
2
0
a) A = a sin 90 + b cos 90 + c cos180
2
2
A. A = a - 2c

2
2
B. A = 2 a - c

2
2
C. A = 3a - c

2
2
D. A = a - c

C. B = 1

D. B = 0

2
0
2
0
2
0
b) B = 3 - sin 90 + 2 cos 60 - 3 tan 45

B. B = 3

A. B = 2

2
0

2
0
2
0
2
0
0
0
c) C = sin 45 - 2 sin 50 + 3 cos 45 - 2 sin 40 + 4 tan 55 .tan 35

A. C = 3

B. C = 4

C. C = 2
Lời giải:

a)

A = a 2 .1 + b 2 .0 + c 2 .( - 1) = a 2 - c 2
2

2
ổử
1ữ ổ
2ử
ữ
ỗ
ỗ
ữ

ỗ
B = 3 - ( 1) + 2 ỗ ữ
3
=1
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ2 ứ
ỗ
2
ữ
ố
ố
ứ
b)
2

c)

C = sin 2 450 + 3cos 2 450 - 2 ( sin 2 50 0 + sin 2 40 0 ) + 4 tan 550.cot 550
2

2

ổ2ử
ổ2ử
1 3
ữ
ữ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
C =ỗ
+
3
- 2 ( sin 2 500 + cos 2 400 ) + 4 = + - 2 + 4 = 4
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
2 2
ố2 ứ
ố2 ứ

D. C = 1


Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
2 0
2
0

2
0
2
0
a) A = sin 3 + sin 15 + sin 75 + sin 87

A.2

B.3

C.4

D.1

0
0
0
0
0
b) B = cos 0 + cos 20 + cos 40 +... + cos160 + cos180

A.2

B.3

C.4

D.0

C.4

D.0

0
0
0
0
0
c) C = tan 5 tan 10 tan 15 ...tan 80 tan 85

A.1

B.3

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

3. Bài tập luyện tập:
Bài 2.1: Tính giá trị các biểu thức sau:
0
0
0
0
0
a) A = sin 45 + 2 cos 60 - tan 30 + 5 cot 120 + 4 sin135

A.

C.

A=

5 2
- 2 3
2

A = 1+

5 2
- 2 3
2

2
2
0
0 2
0 2
b) B = 4a sin 45 - 3( a tan 45 ) +(2a cos 45 )

B.

D.

A = 1+

2
- 2 3

2

A = 1+

2
2

3


A. B = a

B. B = 3a

2

C. B = 4 a

2

2

1
B = a2
2
D.

2
0
2

0
2
0
2
0
c) C = sin 35 - 5 sin 73 + cos 35 - 5 cos 73

A. C =- 4
D=
d)

B. C =- 2

C. C =- 3

D. C =- 5

12
- 5 tan 850 cot 950 +12 sin 2 104 0
2
0
1 + tan 76

A. D = 18

C. D = 16

B. D = 17

D. D = 15

2 0
2 0
2
0
2
0
e) E = sin 1 + sin 2 +... + sin 89 + sin 90

A.

E=

901
2

B.

E=

101
2

C.

E=

91
2

D.

E=

3 0
3 0
3 0
3
0
3
0
f) F = cos 1 + cos 2 + cos 3 + ... + cos 179 + cos 180

Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu khối 11”
Gửi đến số điện thoại

e)
E = ( sin 2 10 + sin 2 89 0 ) +( sin 2 2 0 + sin 2 88 0 ) + ... +
+( sin 2 440 + sin 2 460 ) + sin 2 450 + sin 2 900
1
E = ( sin 2 10 + cos 2 10 ) +( sin 2 2 0 + cos 2 2 0 ) +... +( sin 2 44 0 + cos 2 44 0 ) + +1
2
1
91
E = 114444
+ 14+
...444

+413+ + 1 =
24
2
2
44 sô

9
2


f)

F = ( cos 3 10 + cos 3 179 0 ) + ... +( cos 3 89 0 + cos 3 910 ) + cos 3 90 0 + cos 3 180 0

F = cos 3 90 0 + cos 3 180 0 = 0 - 1 =- 1

Bài 2.2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P = 4 tan ( x + 4 ) .sin x.cot ( 4 x + 26 ) +
0

A.3

0

8 tan 2 ( 30 - x)
1 + tan ( 5x + 3
2

B.4

0

)

+ 8 cos 2 ( x - 30 )

C.5

P = 4 tan 34 .sin 30 .cot 146 +
0

0

Bài 2.2: Thay vào ta có:

0

0
khi x = 30

D.6
8 tan 2 ( - 27 0 )
1 + tan 153
2

0

+ 8 cos 2 27 0

1

P =- 4.tan 34 0. .cot 34 0 + 8 tan 2 27 0.cos 2 27 0 + 8 cos 2 27 0 =- 2 + 8 = 6
2
DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ
thuộc x, đơn giản biểu thức.
1. Phương pháp giải.
 Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
 Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
 Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
4
4
2
2
a) sin x + cos x = 1 - 2 sin x.cos x

1 + cottx an x +1
=
b) 1 - cottx an x - 1
cos x + sin x
= tan 3 x + tan 2 x + tan x + 1
3
cos x
c)
Lời giải
4
4
4
4
2

2
2
2
a) sin x + cos x = sin x + cos x + 2 sin x cos x - 2 sin x cos x


= ( sin 2 x + cos 2 x) - 2 sin 2 x cos 2 x
2

= 1 - 2 sin 2 x cos 2 x
1
tan x +1
1 + cottx
t anx = t anx = an x +1
=
1
tan x - 1 an x - 1
1 - cottx
1tan x
tan x
b)
1+

cos x + sin x
1
sin x
=
+
= tan 2 x +1 + tan x ( tan 2 x +1)
3

2
3
cos
x
cos
x
cos
x
c)
= tan 3 x + tan 2 x + tan x + 1

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
B
B
cos 3
2 +
2 - cos ( A + C ) .tan B = 2
ổA +C ử
ổA + C ữ
ử
sin B
ữ
cos ỗ
ữ sin ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ỗ
ố 2 ø
è 2 ø
sin 3

Lời giải:
0
Vì A + B + C = 180 nên

B
B
cos 3
cos ( 1800 - B)
2
2
VT =
+
.tan B
0
0
ổ
ử
ổ
ử
sin
B
180
B
180
B

ữ
ữ
ữ
ữ
cos ỗ
sin ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ 2
ữ
ữ
ố 2
ứ
ố
ứ
sin 3

B
B
cos 3
2+
2 - - cos B .tan B = sin 2 B + cos 2 B +1 = 2 = VP
=
B
B
sin B
2

2
sin
cos
2
2
sin 3

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
0
0
2
2
2
a) A = sin(90 - x) + cos(180 - x) + sin x(1 + tan x) - tan x

A.0

B.1

C.2

D. tanx


B=
b)

1
1

1
.
+
sin x 1 + cos x 1 - cos x

A.1

2
C. sinx

B.0

D. tan x

Lời giải:

a)

A = cos x - cos x + sin 2 x.

B=
b)

1
- tan 2 x = 0
2
cos x

1
1 - cos x + 1 + cos x

.
sin x ( 1 - cos x) ( 1 + cos x)

2

1
2
1
2
.
- 2=
.
2
sin x 1 - cos x
sin x sin 2 x
ỉ 1
ư
÷
= 2ỗ
1
= 2 cot 2 x
ữ
ỗ
2
ỗ
ữ
ốsin x ứ
=

2

Vớ d 4: Chng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
P = sin 4 x + 6 cos 2 x + 3 cos 4 x + cos 4 x + 6 sin 2 x + 3 sin 4 x
Lời giải
P=

( 1-

cos 2 x) + 6 cos 2 x + 3cos 4 x +
2

( 1-

sin 2 x) + 6 sin 2 x + 3sin 4 x
2

= 4 cos 4 x + 4 cos 2 x +1 + 4 sin 4 x + 4 sin 2 x +1
=

( 2 cos

2

x + 1) +
2

( 2 sin

2

x + 1)

2

= 2 cos 2 x + 1 + 2 sin 2 x +1
=3
Vậy P không phụ thuộc vào x .
3. Bài tập luyên tập.
Bài 2.3. Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)


2
2
2
2
a) tan x - sin x = tan x.sin x
6
6
2
2
b) sin x + cos x = 1 - 3 sin x.cos x

tan 3 x
1
cot 3 x
+
= tan 3 x + cot 3 x
2
2
c) sin x sin x cos x cos x

2
2
6
2
2
d) sin x - tan x = tan x(cos x - cot x)

tan 2 a - tan 2 b sin 2 a - sin 2 b
=
2
2
sin 2 a.sin 2 b
e) tan a.tan b
Lời giải:

Bài 2.3: a)

VT =

sin 2 x
- sin 2 x = sin 2 x ( 1 + tan 2 x) - sin 2 x = VP
2
cos x

sin 6 x + cos 6 x = ( sin 2 x + cos 2 x) - 3 sin 2 x.cos 2 x ( sin 2 x + cos 2 x)
3

b)

= 1 - 3 sin 2 x.cos 2 x

c)

VT = tan 3 x ( cot 2 x + 1) - tan x ( cot 2 x +1) + cott3 x ( an 2 x +1 )

= tan x + tan 3 x - cottx - an x +cot x +cot 3 x = VP
6
2
6
2
4
2
4
d) VP = tan x cos x - tan x cott x = an xsin x - tan x

= tan 4 x.cos2 x = tan 2 x.sin 2 x = tan 2 x - sin 2 x = VT (do câu a))

e)

VT =

1
1
1
1
= cot 2 b - cot 2 a =
=VP
2
2
2

tan b tan a
sin b sin 2 a

Bài 2.4. Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a)

A=

1
- tan 2 ( 1800 - x) - cos2 ( 1800 - x)
2
cos x

2
A. A = sin x

B.0

C.1

D. tan x


b)

B=

cos 2 x - sin 2 x
- cos 2 x

2
2
cott x - an x

4
A. B = cos x

C=
c)

4
C. B =- cos x

B. B = s inx

sin 3 a + cos3 a
cos 2 a + sin a(sin a - cos a)

A. C = 2 cos a

B. C = 2 sin a

C. C = sin a - cos a D. C = sin a + cos a

1 + sin a
1 - sin a
+
1 - sin a
1 + sin a

D=
d)

D=
A.

1
cos a

D=
B.

3
cos a

D=
C.

2
cos a

Lời giải:
2
2
2
2
Bài 2.4: a) A = tan x + 1 - tan x - cos x = sin x

B ==
b)

cos 2 x - sin 2 x
- cos 2 x
1
1
- 1+1
sin 2 x
cos2 x

= cos 2 x sin 2 x - cos 2 x =- cos 4 x

C=

(sin a + cos a) ( sin 2 a - sin a cos a + cos 2 a)
sin 2 a - sin a cos a + cos 2 a

c)
D2 =
d)
=

= sin a + cos a

1 + sin a 1 - sin a
+
+2
1 - sin a 1 + sin a

( 1 + sin a)

2

+( 1 - sin a)

1 - sin 2 a
D=

Suy ra

4
D. B =- cos x + 1

2

+2 =

2 + 2 sin 2 a
4
+2 =
2
cos a
cos 2 a

2
cos a

Bài 2.5.Rút gọn biểu thức. (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

D=
D.

a
cos a


2
2
a) (tan a + cot a ) - (tan a - cot a )

A.1

B.2

C.3

D.4

C.3

D.4

6
6
4
4
b) 2(sin a + cos a ) - 3(sin a + cos a )

A.-1

c)

B.2

cot 2 300 (sin 8 a - cos 8 a ) + 4 cos 60 0 (cos 6 a - sin 6 a ) - sin 6 (90 0 - a ) ( tan 2 a - 1)
A.0

B.2

C.3

D.4

C.3

D.4

C.3

2
D. 3

3

4
4
2
2
d) (sin x + cos x - 1)(tan x + cot x + 2)

A.1

B.-2

sin 4 x + 3 cos 4 x - 1
6
6
4
e) sin x + cos x + 3 cos x - 1

A.1

B.2

Lời giải:
2
2
Bài 2.5: a) (tan a + cot a ) - (tan a - cot a ) = 4
6
6
4
4
b) 2(sin a + cos a ) - 3(sin a + cos a )

= 2 ( 1 - 3 sin 2 x.cos 2 x) - 3 ( 1 - 2 sin 2 x.cos 2 x) =- 1

c)

cot 2 300 (sin 8 a - cos 8 a ) + 4 cos 60 0 (cos 6 a - sin 6 a ) - sin 6 (90 0 - a ) ( tan 2 a - 1)

= 3 ( sin 2 a - cos 2 a ) ( sin 4 a + cos 4 a )

- 2 ( sin 2 a - cos 2 a ) ( sin 4 a + sin 2 a cos 2 a + cos 4 a )
- ( sin 2 a - cos 2 a ) = ( sin 2 a - cos 2 a ) - ( sin 2 a - cos 2 a ) = 0
3

3

4
4
2
2
d) (sin x + cos x - 1)(tan x + cot x + 2) =- 2

3

3


sin 4 x + 3 cos 4 x - 1
2
=
6
6
4
e) sin x + cos x + 3 cos x - 1 3
Bài 2.6: Cho tam giác ABC . Hãy rút gọn

a)

A = cos 2

B
A +C
B
A +C
+ cos 2
+ tan tan
2
2
2
2

A. A = 3

B. A =- 1

C. A = 1

D. A = 2

C. B =- 1

D. B = 2

B
B
cos
2 2 - cos ( A +C ) .tan B
B=
A +C
A +C

sin B
cos
sin
2
2
b
sin

A. B = 3

B. B = 1

Lời giải:
Bài 2.6: a) A = 1 b) B = 1
DẠNG 3 : Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện.
1. Phương pháp giải.
 Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản
 Dựa vào dấu của giá trị lượng giác
 Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: a) Cho

A.

sin a =

cos a =-

1

3 với 900 < a < 1800 . Tính cos a và tan a

2 2
3

C.Cả A, B đều đúng

b) Cho

cos a =-

2
3 . Tính sin a và cot a

tan a =B.

1
2 2

D.Cả A, B đều sai


A.

sin a =

5
3

cot a =B.

C.Cả A, B đều đúng

2
5

D.Cả A, B đều sai

c) Cho tan g =- 2 2 tính giá trị lượng giác còn lại.

A.

cos a =-

cot a =C.

1
3

B.

tan a =

2 2
3

1
2 2

D.Cả A, B, C đều đúng

Lời giải:

0
0
2
2
a) Vì 90 < a < 180 nên cos a < 0 mặt khác sin a + cos a = 1 suy ra

cos a =-

1- sin 2 a =-

sin a
tan a =
=
cos a
Do đó

1-

1
3 =- 1
2 2
2 2
3

b) Vì sin a + cos a = 1 nên
2

1

2 2
=9
3

2

sin a = 1 - cos 2 a = 1 -

4
5
=
9
3 và

2
cos a
2
cot a =
= 3 =sin a
5
5
3
-

c) Vì tan g =- 2 2 < 0 Þ cos a < 0 mặt khác
cos a =-

1
=tan 2 +1

1
1
=8 +1
3

tan 2 a + 1 =

1
cos 2 a nên


tan a =
Ta có

ỉ 1ư
sin a
2 2
Þ sin a = tan a.cos a =- 2 2.ỗ
- ữ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
cos a
3
ố 3ứ

1
cos a

1
ị cot a =
= 3 =sin a
2 2
2 2
3
-

cos a =

Ví dụ 2: a) Cho

A.

tan a + 3 cot a
3
A=
0
0
tan a + cot a .
4 với 0 < a < 90 . Tính

17
8

A =-

B.

b) Cho tan a = 2 . Tính

B=
A.

3

(

B=

)

2- 1

3 +8 2

17
8

A=

C.

A=

1
8

D.

7
8

sin a - cos a
sin a + 3 cos 3 a + 2 sin a
3

B=

3

B.

(

2- 2

)

3 +8 2

B=
C.

3

(

)

2- 1

1 +8 2

Lời giải:
1
1
+2
2
tan
a
+
3
tan a =
cos 2 a
A=
=
= 1 + 2 cos 2 a
2
1
1
tan a +1
tan a +
tan
a
cos 2 a
a) Ta có
9
17
A = 1 + 2. =

16
8
Suy ra
tan a + 3

sin a
cos a
tan a ( tan 2 a +1) - ( tan 2 a +1)
3
3
cos
a
cos
a
B=
=
sin 3 a 3 cos 3 a 2 sin a tan 3 a + 3 + 2 tan a ( tan 2 a +1)
+
+
cos 3 a
cos 3 a
cos 3 a
b)
B=

A=

2 ( 2 + 1) - ( 2 + 1)

2 2 + 3 + 2 2 ( 2 +1)

Suy ra
Ví dụ 3: Biết sin x + cos x = m

=

3

(

)

2- 1

3 +8 2

B=
D.

(

)

2- 1

3 +8 2


a) Tìm

A.

C.

sin 4 x - cos 4 x

A=

3 + 2m2 - m 4
3 3 + 2m 2 - m4
A=
12
2
B.

A=

3 + 2m2 - m4
3 + 2m 2 - 2 m4
A=
2
2
D.

b) Chứng minh rằng

m£

2

Lời giải:

( sin x + cos x)
a) Ta có

2

= sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x = 1 + 2 sin x cos x

(*)

m2 - 1
sin a cos a =
2
2
Mặt khác sin x + cos x = m nên m = 1 + 2 sin a cos a hay
Đặt

A = sin 4 x - cos 4 x

. Ta có

A = ( sin 2 x + cos 2 x) ( sin 2 x - cos 2 x) = ( sin x + cos x) ( sin x - cos x)
Þ A 2 = ( sin x + cos x)

2

( sin x -

cos x) = ( 1 + 2 sin x cos x) ( 1 - 2 sin x cos x)
2

ỉ m 2 - 1ư
ỉ m2 - 1ử
3 + 2 m2 - m4
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ị A2 = ç
1
+
1
=
ç
ç
÷
÷
ç
ç
֍
÷
ç
2 ø
2 ø
4
è
è

Vậy

A=

3 + 2 m 2 - m4
2

2
2
b) Ta có 2 sin x cos x £ sin x + cos x = 1 kết hợp với (*) suy ra

( sin x + cos x)
Vậy

m£

2

£ 2 Þ sin x + cos x £ 2

2

3. Bài tập luyện tập.


Bài 2.7: Tính các giá trị lượng giác cịn lại, biết

a)

sin a =

3
5 với 00 < a < 900

4
3
4
cos a = , tan a = , cot a =
5
4
3
A.
4
3
4
cos a = , tan a =- , cot a =5
4
3
B.
1
3
4
cos a = , tan a = , cot a =
5
4
3
C.
2
3
2
cos a = , tan a = , cot a =

5
2
3
D.
cos b =
b)

1
5
1

sin a =

5

A.

2

sin a =-

1
5

C.
sin a =
D.
c) cot g =-

2

1
2

, tan a = 2, cot a =-

1
2

, tan a =- 2, cot a =-

1
2

5

B.
sin a =

, tan a =- 2, cot a =

2
5

, tan a = 2, cot a =

1
2

sin a =

1
3

A.

1

sin a =-

3

B.
sin a =

1

C.
sin a =
D.

, cos a =

3

3

6
1

, tan a =2
2

sin a =

cot a =- 2 6 , tan a =A.
cot a =- 2 6 , tan a =B.

C.

6
1
, tan a =3
2

, cos a =-

d) tan a + cot a < 0 và

cot a =-

6
1
, tan a =3
2

, cos a =-

, cos a =

1

6
1
, tan a =
3
2

6 , tan a =-

1
2 6
1
2 6
1
2 6

cot a =- 2 6 , tan a =D.

1
5.
, cos a = cot a.sin a =-

, cos a =-

1
6

6
5

, cos a =-

2 6
5

, cos a =-

2 6
5

Lời giải:
4
3
4
cos a = 1 - sin 2 a = , tan a = , cot a =
5
4
3
Bài 2.7: a)

2 6
5


2

sin a = 1 - cos 2 a =

5

b)
1

sin a =

3

c)

, cos a =-

, tan a = 2, cot a =

1
2

6
1
, tan a =3
2

tan a < 0, cot a < 0
d) Ta có tan a cot a = 1 > 0 mà tan a + cot a < 0 suy ra

1
- 1 =- 2 6
sin 2 a

cot a =-

Þ tan a =-

1
2 6

Bài 2.8. a) Cho

A.

A =-

b) Cho

A.

cos a =

A.

B.

26 - 2 2
3

4
3

A=

19
3

C.

A=

1
3

D.

A=

29
3

3 cot a + 2 tan a + 1
1
B=
0
0
cotta + an a
3 với 90 < a < 180 . Tính

c) Cho tan a = 2 . Tính
C=

2 6
5

cot a + 3 tan a
2
A=
2 cotta + an a
3 . Tính

19
3

sin a =

B=

, cos a = cot a.sin a =-

B.
C=

B=

26 - 2 2
9

C.

B=

26 - 2
9

D.

B=

26
9

2 sin a + 3 cos a
sin a + cos a ;

B.

C=

7
3

C. C = 1

D.

C =-

2
d) Cho cot a = 5 . Tính D = 2 cos a + 5 sin a cos a +1

A.

D=

101
27

B.

D=

101
23

C.

D=

101
26

D.

D=

11
26

7
3


Lời giải:

Bài 2.8: a)

c)

19
3 ; b) Từ giả thiết suy ra

2 2
1
26 - 2 2
, tan a =, cot a =- 2 2 Þ B =
3
9
2 2

cos a =-

C=

A=

2 tan a + 3 7
=
tan a + 1
3

D
1
= 2 cot 2 a + 5cot a +

Þ ( cot 2 a +1) D = 3 cot 2 a + 5cot a +1
2
2
sin a
d) sin a

Suy ra

D=

101
26

Bài 2.9: Biết tan x + cot x = m .
2
2
a) Tìm tan x + cot x
2
A. m + 1

2
B. m - 2

2
C. m - 3

2
D. m - 1

tan 6 x + cot 6 x

4
4
b) tan x + cot x

(m

4

- 4 m2 + 1)

A. m - 4m + 2
4

(m
C.

2

2

(m

c) Chứng minh

- 2)

2
B. m - 4 m + 2
4

(m

- 2) ( m4 - 4m2 + 1)
m4 - 4m2 - 2

2

D.

m³ 2
Lời giải:

2

- 2) ( m4 - 4 m2 + 1)
m 4 - 4m 2 + 2


2
2
2
Bài 2.9: a) tan x + cot x=m - 2

tan 4 x + cot 4 x= ( tan 2 x + cot 2 x) - 2 = ( m2 - 2) - 2 = m4 - 4 m2 + 2
2

b)

2

2
2
4
4
2
2
tan 6 x + cot 6 x ( tan x + cot x ) ( tan x + cot x-tan xcot x )
Þ
=
tan 4 x + cot 4 x
m4 - 4m2 + 2
m2 - 2) ( m4 - 4m 2 + 1)
(
=
m4 - 4 m2 + 2

Bài 2.10: Cho

sin a cos a =

91
A. 125

12
25 . Tính sin 3 a + cos 3 a
B.

91
125

29
C. 125

9
D. 125

Lời giải:

Bài 2.10:

( sin a + cos a )

2

=1+

24
7
Þ sin a + cos a =
25
5 (do cos a > 0 )

Þ sin 3 a + cos 3 a = ( sin a + cos a ) ( sin 2 a - sin a cos a + cos 2 a ) =

91
125

Bài 2.11: Cho tan a - cot a = 3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
2
2

a) A = tan a + cot a

A. 11

B.12

C.13

D. 14

B. ± 13

C. ± 14

D. ± 12

B. ±11 13

C. ±22 13

D.

b) B = tan a + cot a
A. ± 15
4
4
c) C = tan a - cot a

A. ±44 13

13