Tổng hợp kiến thức loga 12

CHƯƠNG II: LŨY THỪA, MŨ, LÔGARIT
1. Lũy thừa
a. Các định nghĩa
+) Định nghĩa 1: Cho số thực b và số nguyên dương n  n  2  . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu

an  b .
 Chú ý:

Với n lẻ và b  : Có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu n b
Với n chẵn: b  0 : Không tồn tại căn bậc n của b.
b  0 : Có một căn bậc n của b là 0
b  0 : Có hai bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là
n
b , căn có giá trị âm ký hiệu là - n b .
+) Định nghĩa 2:

Cơ số a
Số mũ 
Lũy thừa a
a
  n *
a  an  a.a...a (n là thừa số a)
 0
a0
a  a0  1

  n,  n 



*



a0

m
,m  , n 
n

*

  limrn ,  rn  , n 

a0


*



m

a  a n  n a m ,



n

a  b  a  bn



1  m  2

a0
0

1
an

a  a  n 

n

Chú ý: Với n là số nguyên âm thì 0 và 0 khơng có nghĩa.
b. Một số tính chất và lũy thừa
 Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:


a .a   a   ;

a
a

 
 
 .
  a

a

;
a

a
;
ab

a
.
b
;

 
 
 
a
b
b

a
; 
b





b
  .
a

 Nếu a>1 thì a  a      ; Nếu 0<  <1 thì loge b  ln b
 Với mọi 0    b , ta có: am  bm  m  0; am  bm  m  0
 Chú ý: Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số  phải khác 0.
Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun thì cơ số  phải dương.
c. Một số tính chất của căn bận n
 Với a, b  , n  * , ta có:
2 n 1

a 2 n 1  a, a.

2 n 1

ab  2 n 1 a. 2 n 1 b , a, b.

2 n 1

a

b

n

am 

n m

2 n 1

a
, a, b  0.
2 n 1
b

 a
n

m

, a  0, n nguyên dương, m nguyên.

a  nm a , a  0, n, m nguyên dương.

Nếu

p q
 thì n a p  m a q , a  0, m, n nguyên dương, p, q nguyên. Đặc biệt: n a  m.n a m .
n m

2. LÔGARIT
a. Định nghĩa: Cho 2 số dương a, b với a  1 . Số  thõa mãn đẳng thức a  b được gọi là logarit cơ số a
của b kí hiệu là log a b .
Như vậy: a  b    log a b
Chú ý:
- Không tồn tại Logarit của số âm và số 0.
- Cho 2 số dương a, b với a  1 ,  là số thực bất kì ta có các tính chất sau:


log a 1  0;

loga a  1;
loga a   ;
aloga b  b
b. Các cơng thức Logarit
• Cơng thức 1: log a a x  x với x  ;1  a  0

• Cơng thức 2: log a x  log a y  log a  xy  với x, y, a  0 và a  1

x
với x, y, a  0 và a  1
y
Chú ý: Với x; y  0 và 0  a  1 ta có: log a  xy   loga   x   loga   y 
log a x  log a y  log a

1
• Cơng thức 3: log a bn  n.log a b và log an b  .log a b  a, b  0; a  1
n
n
Như vậy: log am b n  .log a b
m
log a c
• Cơng thức 4: (đổi cơ số) logb c 
log a b
Cách viết khác của công thức đổi cơ số: log a b.logb c  loga c với a; b; c  0 và a; b  1
1
Hệ quả: Khi cho a  c ta có: log c b.logb c  log c c  1  log c b 
(gọi là nghịch đảo)
logb c
Tổng quát với nhiều số: log x1 x 2 .log x2 x3......log xn1 xn  log x1 xn  1 (với 1  x1;....xn  0 )

• Cơng thức 5: a b  c b với a; b; c  0 ; b  1
• Cơng thức 6: log a b2n  2n log a | b | với b  0;1  a  0 , n là số nguyên.
3. Logarit thập phân, logarit tự nhiên.
• Logarit thập phân: Logarit cơ số a  10 gọi là logarit thập phân
Kí hiệu: log x ( x  0) ( log x được hiểu là log10 x ). Đọc là Lốc x.
• Logarit tự nhiên: Logarit cơ số a  e  2,712818 gọi là logarit tự nhiên
Kí hiệu: ln x( x  0) . Đọc là nê-pe x hoặc lo-ga-nê-pe của x ( ln x được hiểu là ln e x )
3. HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
*) . HÀM SỐ LŨY THỪA
a. Định nghĩa: Hàm số y  x với   , được gọi là hàm số lũy thừa.
b. Tập xác định
Tập xác định của hàm số y  x là:

với  là số nguyên dương
\ 0 với  là số nguyên âm hoặc bằng 0.

log c



 0;   với 

log a

không nguyên.

Chú ý: Tương tự với hàm số y  u ( x) ta cũng có điều kiện của u ( x)
c. Đạo hàm
+) Hàm số y  x với   có đạo hàm với mọi x  0 và  x  '   .x 1


+) Đạo hàm của hàm số y  u ( x) trên TXĐ là y   .u ( x)


 1

+) Đạo hàm của hàm số y  n u ( x)

m

trên TXĐ là y 

.u( x)

m
mn
. y  n u ( x) .u ( x) với m, n là số nguyên,
n

n 2.
d. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng  0;  




y  x  0  x   0;   

Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm 1;1

Khi   0  y '   x  '   .x 1  0  x   0;    hàm số luôn đồng biến

Trong trường hợp này lim x  ; lim x  0 do đó đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận
x 

x 0


Khi   0  y '   x  '   .x 1  0  x   0;    hàm số luôn nghịch biến



Trong trường hợp này lim x  0; lim x   do đó đồ thị hàm số nhận trục Ox là đường tiệm cận
x 

x 0

ngang và trục Oy là đường tiệm cận đứng.
e. Đồ thị hàm số lũy thừa y  x a trên khoảng  0; 
Đồ thị hàm số y  x luôn đi qua điểm I 1;1 .
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với sỗ mũ cụ thể, ta
phải xét hàm số đó trên tồn bộ tập xác định của nó. Chẳng
hạn:
*) HÀM SỐ MŨ
a. Định nghĩa
a  0
Cho số thực 
. Hàm số y  a x được gọi là hàm số mũ
a  1
cơ số a.
b. Tập xác định

Tập xác định của hàm số y  a x là : D 
Do y  a x  0; x  suy ra tập giá trị của hàm số y  a x là T   0;  
c. Đạo hàm
a x   a x ln a

 

Đạo hàm:  a u   a u ln a.u '   e x   e x

. Công thức giới hạn: lim
t 0

 e   e .u '
u

et  1
 1.
t

u

Với hàm số y  a x ta có: y '  a x ln a
 Với a  1 khi đó y '  a x ln a  0. Hàm số luôn đồng biến
Trong trường hợp a  1 ta có lim y  lim a x  0 do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang
x 

x 

 Với 0  a  1 khi đó y '  a ln a  0. Hàm số luôn nghịch biến
Trong trường hợp a  1 ta có lim y  lim a x  0 do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cân ngang

x

x 

x 

d. Đồ thị hàm số y  a
+) Đồ thị hàm số y  a x nhận trục Ox là tiệm cận ngang
và luôn đi qua các điểm  0;1 và 1; a 
x

+) Đồ thị hàm số y  a x nằm phía trên trục hồnh

y a

x

 0x 



+) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y  0 là tiệm cận
ngang
+) Khi có các đồ thị y  a x , y  b x , y  c x được vẽ trên
cùng một hệ trục tọa độ. Để so sánh a, b, c
Bước 1: Vẽ đường thẳng x  1 và tìm được tung độ với
các đồ thị hàm số.
Bước 2: Căn cứ vào tung độ giao điểm só sánh được a, b, c .
*) HÀM SỐ LÔGARIT
a. Định nghĩa

a  0
. Hàm số y  log a x được gọi là hàm số lơgarít cơ số a.
Cho số thực 
a  1
b. Tập xác định
 Hàm số: y  log a x  0  a  1 có tập xác định: D   0;  


Do log a x  y 


nên hàm số y  log a x có tập giá trị là T  .

Hàm số y  log a  P  x   điều kiện: P  x   0.

Nếu a chứa biến x thì ta bổ sung điều kiện 0  a  1.
Đặc biệt: y  log a  P  x   điều kiện: P  x   0 nếu n lẻ; P  x   0 nếu n chẵn.
n

c. Đạo hàm

u
1
Đạo hàm:  log a u  
  log a x  
.
u ln a
x ln a
u
Đặc biệt:  log a u  

.
u ln a
d. Tính chất
1
Với hàm số y  log a x  y ' 
x   0;    . Do đó:
x ln a
1
 Với a  1 ta có  log a x  ' 
 0  Hàm số luôn đồng biến trên khoảng  0;   .
x ln a
Trong trường hợp này ta có: lim y   do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.
x 0




1
 0  Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng  0;   .
x ln a
Trong trường hợp này ta có: lim y   do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.

Với 0  a  1 ta có:  log a x  ' 

x 0

e. Đồ thị hàm số y  loga x
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các
điểm 1;0  và  a;1 và nằm phía bên phải trục tung vì có tập xác
định là D  0;   .

Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.
+) Khi có các đồ thị y  loga x, y  logb x, y  logc x được vẽ
trên cùng một hệ trục tọa độ. Để so sánh a, b, c
thị
Bước 1: Vẽ đường thẳng y  1 và tìm được hồnh độ với các đồ
hàm số.
Bước 2: Căn cứ vào hoành độ giao điểm só sánh được a, b, c .
 Nhận xét: Đồ thị hàm số y  a x và y  log a x,  0  a  1 đối xứng nhau qua đường thẳng y  x, (góc
phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục tọa độ Oxy).
4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a. Phương trình mũ cơ bản
Phương trình: a x  b (với a  0; a  1 )
Với b  0 , ta có a x  b  x  log a b
Với b  0 , phương trình đã cho vơ nghiệm.
b. Các phương pháp giải phương trình mũ
Phương pháp 1. Đưa về cùng cơ số
f x
g x
Nếu 1  a  0 thì phương trình: a    a    f  x   g  x 
Phương trình dạng: a

f  x

b

g  x

, với a.b  11  a; b  0  ta sẽ giải như sau:

g  x

g x
1
     a 1   a  g ( x )  f  x    g  x 
a
Phương pháp 2. Lấy logarit hai vế phương trình (logarit hóa)
f x
g x
Phương trình dạng: a    a   , với a.b  11  a; b  0  ta sẽ giải như sau:

a

f  x

b

g  x

a

f  x

Lấy logarit 2 vế với cơ số a ta được: log a a
Phương pháp 3. Đặt ẩn phụ

f  x

 log a a

g  x

 f  x   g  x  log a b


Loại 1: Phương trình dạng: m.a 2 f  x  n.a f  x  p  0
Ta đặt t  a f  x   t  0  đưa về dạng phương trình ẩn t ta được: PT  m.t 2  n.t  p  0
Với phương trình: m.a3 f  x  n.a 2 f  x  p.a f  x  q  0 ta cũng đặt t  a f  x   t  0  đưa về phương trình bậc 3
đối với ẩn t.
f  x
2 f  x
0
Loại 2: Phương trình dạng: m.A2 f  x  n.  AB   p.  B 
Chia 2 vế của phương trình (2) cho  B 

PT  m.A

2 f  x

 A
Đặt t   
B

f  x

 n.  AB 

f  x

 p.  B 

 t  0  suy ra

2 f  x

2 f  x

ta được

 A
 0  m.  
B

2 f  x

 A
 n.  
 B

f  x

 p0

m.t 2  n.t  p  0

Với phương trình: m.A3 f  x  n.  A2 B 

f  x

 p.  AB 2 

f  x

3 f  x

 q.  B 

 0 ta chia cả 2 vế của phương trình cho

3

 A
và đặt t    (với t  0 )
B
B
Loại 3: Phương trình dạng: m.A2 f  x  n.A f  x g  x   p.A2 g  x   0
3 f  x

PT  m.A2 f  x  n.A f  x  g  x   p.A2 g  x   0  m.A

2  f  x  g  x 

 n. A f  x  g  x   p  0

Đặt t  A      t  0   mt 2  nt  p  0 .
Phương pháp 4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp
đánh giá
Để giải các bài toán bằng các phương pháp này ta cần ghi nhớ một số kiến thức sau :
Kiến thức về hàm số :
+) Hàm số f  t  đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, một đoạn, một nửa
f x g x

khoảng) thì u; v  D; f  u   f  v   u  v
+) Nếu hàm số y  f  x  cắt trục hồnh tại k điểm và ta có thể chỉ ra k điểm đó thì ta có thể kết luận các
nghiệm của phương trình f  x   0 .
Chú ý : Ta có thể phải biến đổi phương trình trước khi áp dụng phương pháp hàm số.
Bất đẳng thức AM-GM: Cho các số thực không âm a1; a2 ;...; an thì ta có:

a1  a2  ...  an  n n a1.a2 ...an
Dấu bằng xảy ra  a1  a2  ...  an
Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho 2 bộ số thực a1; a2 ;...; an và b1; b2 ;...; bn ta có:

a

2
1

 a22  ...  an2  b12  b22  ...  bn2    a1b1  a2b2  ...  anbn 

Dấu bằng xảy ra 

n

a
a1 a2
  ...  n
b1 b2
bn

Bất đẳng thức trị tuyệt đối: a  b  a  b , dấu bằng xảy ra  ab  0
5. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
 Khái niệm:
Là phương trình có dạng log a f  x   log a g  x  ,

(1)

trong đó f  x  và g  x  là các hàm số chứa ẩn x cần giải.
 Cách giải:
a  0; a  1

- Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa  f ( x)  0
 g ( x)  0
- Biến đổi (1) về các dạng sau: (1)  f ( x)  g ( x)


 Chú ý:
- Với dạng phương trình log a f  x   b  f ( x)  a b
- Đẩy lũy thừa bậc chẵn: log a x 2 n  2n log a x , nếu x > 0 thì n log a x  loga x n
- Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng


g  x  0
f  x  g  x  
2
f
x

g
x













log a x  x;
a loga x  x
 a
x
- Các công thức Logarit thường sử dụng: log a  xy   log a x  log a y;
log a    log a x  log a y
 y

m
1
log n x m  log x; log b 
a
a
 a
n
log b a
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương trình dạng Q log a f  x   0 
 Đặt t  log a x,  t 

.

DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP MŨ HĨA
Phương trình log a  f  x   logb  g  x  (với a  0; a  1 )

 f  x   at

 phương trình ẩn t .
Ta đặt log a  f  x    logb  g  x   t  
t
g  x  b
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ, ĐÁNH GIÁ
Kiến thức cần nhớ:
 Hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến trên ) thì phương trình f  x   f  x0   x  x0 .
 Hàm số f  t  đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, một đoạn, một nửa đoạn) thì
với u; v  D ta có: f  u   f  v   u  v.
6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
*) QUY TẮC XÉT DẤU VÀ CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐÃ HỌC
a. Quy tắc xét dấu biểu thức
p(x)
 Để xét dấu cho biểu thức g(x) 
ta làm như sau:
q(x)
  Bước 1: Điều kiện: q(x)  0
 Tìm tất cả các nghiệm của p(x); q(x) và sắp xếp các nghiệm đó theo thứ tự tăng dần và điền vào trục
số Ox.
  Bước 2: Cho x   để xác định dấu của g(x) khi x  
  Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại dựa vào quy tắc sau:
 Quy tắc: Qua nghiệm bội lẻ thì g(x) đổi dấu cịn qua nghiệm bội chẵn thì g(x) khơng đổi dấu. (chẵn

giữ nguyên, lẻ đổi dấu).
b. Các dạng bất phương trình cơ bản đã học
 Dạng 1: f (x)  g(x)  f 2 (x)  g(x)  0

 f (x)  0

g(x)  0
 Dạng 2: f (x)  g(x)  
f (x)  0

 g(x)  f 2 (x)
*) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN
 Xét bất phương trình a x  b,(a  0,a  1)
  Nếu b  0 thì tập nghiệm của bất phương trình là S 
  Nếu b > 0 thì:
 - Với a > 1 thì bất phương trình a x  b  x  loga b

vì a x  0(x  )


 - Với 0 < a < 1 thì bất phương trình a x  b  x  loga b
*) MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
 Xét bất phương trình a f (x)  a g(x)
 Nếu a > 1 thì a f (x)  a g(x)  f (x)  g(x) (cùng chiều khi a > 1)
 Nếu 0 < a < 1 thì a f (x)  a g(x)  f (x)  g(x) (ngược chiều khi 0 < a < 1)
 Nếu a chứa ẩn thì a f (x)  a g(x)  (a  1) f (x)  g(x)  0 (hoặc xét 2 trường hợp của cơ số).




Dạng 2: Phương pháp logarit hóa
Xét bất phương trình dạng: a f (x)  bg(x) (*) với 1  a; b  0
 Lấy logarit 2 vế với cơ số a > 1 ta được: (*)  loga a f (x)  loga bg(x)  f (x)  g(x) log a b







 Lấy logarit 2 vế với cơ số 0 < a < 1 ta được: (*)  loga a f (x)  loga bg(x)  f (x)  g(x) log a b
Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ
Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của
hàm số.
Dạng 4: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử,
phương pháp đánh giá
Cho hàm số y  f  t  xác định và liên tục trên D:



Nếu hàm số y  f  t  luôn đồng biến trên D và u, v  D thì f (u)  f(v)  u  v



Nếu hàm số y  f  t  luôn nghịch biến trên D và u, v  D thì f (u)  f(v)  u  v



7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

a. Bất phương trình logarit cơ bản
 Xét bất phương trình loga x  b(a  0,a  1)


Nếu a  1 thì loga x  b  x  a b

 Nếu 0  a  1 thì loga x  b  0  x  a b
b. Các dạng tốn và phương pháp giải bất phương trình logarit thường gặp
 Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số
 Xét bất phương trình loga f (x)  log a g(x) (a  0,a  1)



Nếu a  1 thì loga f (x)  loga g(x)  f (x)  g(x) (cùng chiều khi a > 1)
Nếu 0  a  1 thì loga f (x)  loga g(x)  f (x)  g(x) (ngược chiều khi 0  a  1)





f (x)  0;g(x)  0
Nếu a chứa ẩn thì log a f (x)  log a g(x)  
(hoặc chia 2 trường hợp của cơ số)
(a

1
)
f
(x)


g(x)

0




Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của
hàm số.
Dạng 3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá…
Cho hàm số y  f  t  xác định và liên tục trên D:



Nếu hàm số y  f  t  luôn đồng biến trên D và u, v  D thì f  u   f  v   u  v



Nếu hàm số y  f  t  luôn nghịch biến trên D và u, v  D thì f  u   f  v   u  v





8. BÀI TỐN CHỨA THAM SỐ
a. Bài tốn 1. Tìm tham số m để f  x; m   0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D.


- Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f  x   P  m  .



- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f  x  trên D.



- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số P  m  để đường thẳng y  P  m  nằm
ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  .



Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1




 Hàm số y  f  x  có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị P  m  cần tìm để phương
trình có nghiệm thỏa mãn min f  x   P  m   max f  x 
xD

xD



 Nếu bài tốn u cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng
biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y  P  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại k
điểm phân biệt.
  Nếu đổi biến, nói cách khác là đặt ẩn phụ thì ta cần tìm điều kiện cho biến mới và biện luận mối
tương quan số nghiệm giữa biến cũ và biến mới.

  Nếu đề bài yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ hoặc lơgarit có hai nghiệm
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  a hoặc x1 x2  b , ta có thể sử dụng định lý Vi-ét sau khi lấy mũ
hoặc lôgarit hai vế hợp lí.
b. Bài tốn 2. Tìm tham số m để f  x; m   0 hoặc f  x; m   0 có nghiệm trên D.


- Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f  x   P  m  hoặc f  x   P  m 



- Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f  x  trên D.




- Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số P  m  để bất phương trình có
nghiệm:
 P  m   f  x  có nghiệm trên D  P  m   max f  x  .



 P  m   f  x  có nghiệm trên D  P  m   min f  x  .




Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài tốn 2
 Bất phương trình P  m   f  x  nghiệm đúng x  D  P  m   min f  x  .



 Bất phương trình P  m   f  x  nghiệm đúng x  D  P  m   max f  x  .

xD

xD

xD

xD

 Nếu f  x; m   0; x  hoặc f  x; m   0; x  với f  x; m  là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng
dấu của tam thức bậc hai.
c. Một số phương pháp áp dụng trong bài toán
+) Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt t  au x  hoặc t  log a u  x  , tùy theo điều kiện của x ta sẽ tìm
được miền xác định của biến t.
+) Phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng f  u   f  v  với f  t  là


hàm số đơn điệu và đại diện cho hai vế của phương trình. Khi đó f  u   f  v   u  v .
+) Dấu của tam thức bậc hai: Xét hàm số f  x   ax 2  bx  c có hai nghiệm phân biệt x1 , x2


b

x1  x2  


a
Ta có   b2  4ac và định lý Vi-ét: 

.
x x  c
 1 2 a



  0

Phương trình f  x   0 có hai nghiệm dương phân biệt   x1  x2  0 .
x x  0
 1 2



Phương trình f  x   0 có hai nghiệm trái dấu  ac  0 .

a  0

.
  0
a  0
 Bất phương trình f  x   0; x   
.
  0
9. BÀI TOÁN LÃI SUẤT, TĂNG TRƯỞNG
a. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+) BÀI TỐN 1. CƠNG THỨC LÃI KÉP


Bất phương trình f  x   0; x 



Công thức: T  A 1  r 






A là số tiền gốc ban đầu,
r là lãi suất/kỳ hạn và n là số kỳ hạn.
T là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi thu được.
n
Như vậy số tiền lãi thu được là: L  T  A  A 1  r   A .

n

+) BÀI TỐN 2. CƠNG THỨC TĂNG TRƯỞNG DÂN SỐ
n
 Công thức: N  N0 1  r  trong đó N 0 là dân số năm ban đầu, r là tỷ lệ tăng dân số/năm, n là số
năm và N là dân số năm cần tìm.
+) BÀI TỐN 3. HAO MỊN TÀI SẢN, DIỆN TÍCH RỪNG BỊ GIẢM…
n
 ̶ Cơng thức hao mịn tài sản: H  H 0 1  r  trong đó H 0 là giá trị tài sản lúc ban đầu, H là giá


trị tài sản sau n năm và r là tỷ lệ hao mịn tính theo năm.
n

̶ Cơng thức diện tích rừng bị giảm: T  T0 1  r  trong đó T0 là diện tích rừng ban đầu, T là diện

tích rừng sau n năm và r là tỷ lệ rừng giảm hằng năm.
+) BÀI TOÁN 4. TĂNG TRƯỞNG CỦA BÈO, CỦA VI KHUẨN…
 ̶ Tăng trưởng của bèo:
 Giả sử lượng bèo ban đầu là T0 và mỗi giờ lượng bèo tăng gấp 2 lần thì sau n giờ lượng bèo sẽ là
T  T0 .2n (nếu mỗi giờ tăng k lần thì cơng thức là T  T0 .k n )

 ̶ Tăng trưởng của vi khuẩn:
 Công thức: s  t   A.ert trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu,
+) BÀI TOÁN 5. TIỀN GỬI TIẾT KIỆM
 Giả sử một người mỗi tháng gửi số tiền là m (tiền) trong n tháng. Số tiền cả gốc lẫn lãi sinh ra từ số
tiền gửi của:
n
 Tháng thứ nhất là: m 1  r 


Tháng thứ hai là: m 1  r 




…………………………….
1
Tháng thứ n  1 là: m 1  r 



Suy ra sau n tháng, số tiền cả gốc lẫn lãi thu được là: T  m 1  r   m 1  r 

n 1

n

n 1

 .......  m 1  r 


1  r   1
1  qn
u  m 1  r 
Áp dụng tổng của cấp số nhân với  1
, T  u1.
 m 1  r  .
1 q
r

q  1  r
Chú ý. Nếu tháng thứ nhất gửi số tiền là M 1 , tháng thứ hai gửi số tiền là M 2 ……..tháng thứ n  1
n




gửi số tiền là M n 1 thì cơng thức là: T  M1 1  r   M 2 1  r   ......  M n1 1  r 
10. BÀI TỐN MIN – MAX LOGARIT
a. Cơng thức lôgarit
 Giả sử a  0, a  1 và các số A, B, N,… > 0 ta có các công thức sau đây:
n

n 1



 log a  AB   log a A  logb B .



Mở rộng log a  A1 A2 ... AN   log a A1  log a A2  ...  log a AN .



 log a



 log a N    .log a N



1
 log a n N  .log a N
n
Công thức đổi cơ số: Giả sử a, b dương và khác 1; c, x  0 ta có



1
A

 log a A  log a B . Hệ quả log a   log N .
N
B




 log a b.logb c  loga c và log a b 



 log a x 

1



1
; log 1 x   log a x .
logb a
a

log a x và log n a x  n.log a x .

b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D (f(x) xác định và liên tục trên D)
 Phương pháp giải
 - Bước 1: Tính y  f   x  , tìm tất cả các nghiệm xi của phương trình f   x   0 và các điểm  i làm
cho f   x  không xác định.





- Bước 2:
 Trường hợp 1: D   a; b . Tính các giá trị f  a  , f  b  , f  xi  , f i  .

min f  x   min  f  a  , f  b  , f  xi  , f  i 
 D
Với xi ,  i   a; b 
.

max
f
x

max
f
a
,
f
b
,
f
x
,
f














i
i 
 D



 Trường hợp 2: D   a; b 
 Lập bảng biến thiên suy ra min, max.



Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn điệu trên đoạn  a; b .



Nếu hàm số y  f  x  đồng biến với x   a; b  min y  f  a  ; max y  f  b  .



Nếu hàm số y  f  x  nghịch biến với x   a; b  min y  f  b  ; max y  f  a  .

a ;b

a ;b

a ;b

a ;b

c. Các bất đẳng thức quen thuộc
+) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương: a  b  2 ab .
 Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương: a  b  c  3 3 abc .
+) Bất đẳng thức Bunhiacopxki:  ab  cd    a 2  c 2  b2  d 2  .
2

x2 y 2  x  y 
+) Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
.


a b
a b
2