Phương trình đường tròn 10

LỚP

10

HÌNH HỌC

BÀI 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 2.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
I

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN CĨ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC

II

NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

III

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN

IV

BÀI TẬP CỦNG CỐ (TRẮC NGHIỆM)

IV


LỚP

HÌNH HỌC

10

ƠN TẬP

BÀI 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

1. CƠNG THỨC TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM:

A ( xA ; y A )

B ( xB ; y B )

VÀ

AB =

( xB − x A )

2

+ ( yB − y A )

A ( 1; 2 )

và

B ( 4;6 ) .

+ ( 6 − 2) = 5
I ( a ;b)

và

M ( x; y) .

+ Tính khoảng cách giữa hai điểm

AB =

( 4 − 1)

+ Tính khoảng cách giữa hai điểm

IM =

2

2

( x − a)

2

2

+ ( y − b)

2


LỚP

HÌNH HỌC

10

BÀI 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

ƠN TẬP
2. ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRÒN:

y

M

Tập hợp tất cả những điểm M nằm trong mặt phẳng cách điểm Ι cố định cho
trước một khoảng R khơng đổi gọi là đường trịn tâm Ι, bán kính R.

R
Ι

( I , R) = { M

IM = R}
x
O

M


LỚP

HÌNH HỌC

10
I

BÀI 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

ĐƯỜNG TRỊN CĨ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC

Trên mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) tâm Ι (a ; b), bán kính R.
Ta có:

M ( x; y) ∈ ( C )

⇔ IM = R

⇔

y

( x − a) + ( y − b)
2

2

=R

⇔ ( x − a) + ( y − b) = R
2

Phương trình

( x − a)

2

+ ( y − b)

2

2

=R

được gọi là phương trình của đường trịn tâm Ι (a ; b), bán kính R.

2

2

Ι

b

R
M

o

a

x


LỚP

HÌNH HỌC

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
I

BÀI 2

ĐƯỜNG TRỊN CĨ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC
1

A ( 3; −.4)

Ví dụ 1

Cho hai điểm

Bài giải

AB =

B( −3;4)

và

a). Viết phương trình đường trịn (C) có tâm

và đi qua

b). Viết phương trình đường trịn (C) nhận

làm đường kính.

a). Đường trịn (C) có tâm

và nhận

( −3− 3) + ( 4− ( −4) )
2

2

A

làm bán kính .

A
AB

.

B

AB

= 36 + 64 = 100 = 10.


3
+

−
3

x
+
x
(
)
2
2
A
B
x
=
x
=
=
0

( C ) : ( x − 3) + ( y + 4) = 100.
 I
I
2 ⇒
2

AB 
b). Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của
.
y
+

y
−
4
+
4
(
)
A
B


y
=
AB 10
y
=
=
0
I
I
⇒ I ( 0;0) , bán kính

R=
=
= 5.

2
2
2
2

2
2
2
2
Vậy phương trình đường trịn (C) là:
( C ) : ( x − 0) + ( y − 0) = 25 ⇔ ( C ) : x + y = 25.
Vậy phương trình đường trịn (C) là


LỚP

10
I

HÌNH HỌC

BÀI 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

ĐƯỜNG TRỊN CĨ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC

Trên mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) tâm Ι (a ; b), bán kính R.
2
2
2
Phương trình
.

( x − a)

Chú ý :

+ ( y − b)

=R

Phương trình đường trịn có tâm là gốc tọa độ O và có bán kính R là:

x +y =R .
2

2

2


LỚP

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
I

BÀI 2

HÌNH HỌC

ĐƯỜNG TRỊN CĨ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC

( x − a) + ( y − b)
2

Phương trình đường trịn

( 1) ⇔ x

2

với

c= a + b − R
2

2

2

+y

2

−2ax

2

= R ( 1)

−2by + a + b − R
2

⇒ x + y − 2ax − 2by + c = 0 ( 2)
2

2

( 2)

Có phải mọi phương trình dạng

2

đều là phương trình đường trịn khơng?

2

2

=0


LỚP

BÀI 2

HÌNH HỌC

10
I

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

ĐƯỜNG TRỊN CĨ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC

x + y − 2ax − 2by + c = 0
2

Phương trình

( 2) ⇔ x

2

2

( 2)

− 2ax+ a − a + y − 2by+ b −b + c = 0
2

( x − a)
⇔ ( x − a) + ( y − b)
2

2

2

2

2

2

( y − b)

2

2

= a +b −c
2

2

VT ≥ 0
VP < 0
⇒ (2) vô nghĩa

VP = 0
(2) là tập hợp điểm có toạ độ

VP > 0

⇒(2) là PT đường tròn


LỚP

BÀI 2

HÌNH HỌC

10
II

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
NHẬN XÉT

x + y − 2ax − 2by + c = 0 với điều kiện
2

Phương trình

2

Là phương trình đường trịn tâm I (a ; b), bán kính
Nhận dạng:

Đường trịn

x + y − 2ax − 2by + c = 0
2

2

x

2

+

Hệ số của

+

Trong phương trình khơng xuất hiện tích

là bằng nhau (thường bằng 1).

 

xy.

a + b − c > 0.
2

Điều kiện:

2

khi đó: đường trịn có:
+ Tâm I (a ; b),
+

+

và

có đặc điểm:

Bán kính

R = a + b − c.
2

2

a + b − c> 0
2
2
R = a + b − c.
2

2


LỚP

HÌNH HỌC

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
II

BÀI 2

NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1

x + y − 2x − 2y − 2 = 0 ( 1)

Ví dụ 2

2

Xét xem phương trình

2

có phải là phương trình đường trịn khong, tìm tâm và bán kính (nếu có).

Bài giải

Ta có:

Xét

x + y − 2ax − 2by + c = 0.
2

Phương trình có dạng:

−2a = −2 a = 1


−2b = −2 ⇔ b = 1
 c = −2
c = −2



Để tìm tọa độ tâm I ta lấy hệ số của
bậc nhất chia cho

a + b − c = 1+ 1− ( −2) = 4 > 0.
2

2

.

x

và

y

−2

2

Vậy phương trình là phương trình đường trịn tâm

,

I ( 1;1)

bán kính

R = 4 = 2.


LỚP

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
II

BÀI 2

HÌNH HỌC

NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

1

Ví dụ 3

Tìm các giá trị của

m

để phương trình sau là phương trình đường trịn.

x + y − 2( m+ 2) x + 4my + 19m− 6 = 0.
2

Bài giải

a=

Ta có:

2

−2( m+ 2)
−2

Pt trên là phương trình đường trịn khi và chỉ khi

4m
= −2m; c = 19m− 6.

= m+ 2; b =
−2
2
2
a + b − c> 0

⇔ ( m+ 2) + ( −2m) − ( 19m− 6) > 0
2

2

⇔ 5m − 15m+ 10 > 0
2

Vậy với

m< 1hoặc

m> 2

 m< 1
⇔
 m> 2

+

1

thì phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

-

2

+


LỚP

HÌNH HỌC

10

BÀI 2

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

I

ƠN TẬP
Đường thẳng

∆

đi qua điểm

M 0 ( x0 ; y0 )

nhận vectơ

làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt:

a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0

r
n = ( a;b)


LỚP

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
III

BÀI 2

HÌNH HỌC

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN

M 0nằm
y0 ) trịn
( xtrên0 ; đường

Cho điểm

( C ) tại

∆ là tiếp tuyến với

Gọi

∆

Ta có:

đi qua

tâm

−
a
x
−
x
+
y
−
b
y
−
y
=
0
)

(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
2

2

R.

R

có phương trình:

( *)là phương trình tiếp tuyến của đường trịn
( x − a) + ( y − b) = R tại điểm

I ( a;b)

y

(x

2

( C)

M 0.

M 0có vectơ pháp tuyến

uuuu
r
IM 0 = ( x0 − a; y0 − b)

, bán kính

M 0 ∈ ( C)

( *)

b

Ι
M

o

a

0
x

LỚP

BÀI 2

HÌNH HỌC

10
II

1

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
Ví dụ 4

( x + 1) + ( y − 2)
2

Cho đường trịn (C):

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại

2

= 25.

A ( 2; − 2) .

Bài giải

Đường tròn (C) có tâm
Phương trình tiếp tuyến tại

I ( −1;2)

,
là:

bán kính R = 5 .

A ( 2; − 2)

( 2+ 1) ( x − 2) + ( −2− 2) ( y + 2) = 0
⇔ 3x − 4y − 14 = 0


LỚP

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN CĨ TÂM VÀ BÁN KÍNH CHO TRƯỚC

Đường trịn ( C ) tâm

II

III

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10

I

BÀI 2

HÌNH HỌC

I (a;b)

,

( x − a) + ( y − b)
2

bán kính R có phương trình:

2

=R

2

NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Phương trình

x + y − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình đường trịn

khi và chỉ khi

a + b − c > 0. Khi đó tâm

2

2

2

2

I ( a;b)

và bán kính

R = a + b − c.
2

M 0 ( x0 ; y0 ) .

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN TẠI ĐIỂM

Tiếp tuyến tại điểm

M 0 ( x0 ; y0 )

(x

0

của đường tròn tâm

2

I ( a;b)

− a) ( x − x0 ) + ( y0 − b) ( y − y0 ) = 0

có phương trình:


LỚP

BÀI 2

HÌNH HỌC

10
II

1

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Ví dụ 4

( x + 1) + ( y − 2)
2

Cho đường trịn (C):

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại

2

= 25.

A ( 2; − 2) .

Bài giải

Đường tròn (C) có tâm
Phương trình tiếp tuyến tại

I ( −1;2)

,
là:

bán kính R = 5 .

A ( 2; − 2)

( 2+ 1) ( x − 2) + ( −2− 2) ( y + 2) = 0

⇔ 3x − 4y − 14 = 0


LỚP

HÌNH HỌC

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
IV

BÀI 2

BÀI TẬP CỦNG CỐ (TRẮC NGHIỆM)
Câu 1

Trên mặt phẳng Oxy, phương trình đường trịn (C) tâm
2
2
2
A.
2
2
2
C.

( x − a) − ( y − b)

( x − a) + ( y − b)

I ( a;b)
2
2
( x − a) 2+ ( y − b) 2= R 2
( x − a) + ( y + b) = R

, bán kính R là :

=R
=R

B.
D.

Câu 2

x + y − 2y − 1 = 0
2

Cho đường tròn (C):

A. (1;0) và 2.

B.

2
, tâm và bán kính của (C) lần lượt là

(0;1) và 2.

C.

(1;0) và

.

2

D.

(0;1) và

.

2


LỚP

BÀI 2

HÌNH HỌC

10
IV

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

BÀI TẬP CỦNG CỐ (TRẮC NGHIỆM)
Câu 3

Trên mặt phẳng Oxy, phương trình đường trịn (C) tâm

( x − 1) − ( y; − 5)
( x − 1) + ( ;y + 5)
2

A.

2

C.

2

=8

2

=8

, bán kính

I ( 1; −5)

là

( x − 1) + ( y; + 5)
( x + 1) + ( y. − 5)
2

B.

2

D.

2

= 16

2

= 16

Câu 4

Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A.
C.

x + 2y − 4x −; 8y + 1 = 0
2

2

x + y − 2x − 8
; y + 20 = 0
2

2

B.

4x + y − 10x; − 6y − 2 = 0

D.

x + y − 4x
. +; 6y − 12 = 0

2

2

2

2

R=4


LỚP

BÀI 2

HÌNH HỌC

10
IV

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

BÀI TẬP CỦNG CỐ (TRẮC NGHIỆM)
Câu 5

( C ) :x

2

Cho đường tròn

+ y. + 2x + 4y − 20 = 0
2

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
A.

( C)

C.
Câu 6

( C)

I ( 1;2)

có tâm ;
đi qua điểm

M ( 2;2)

;

Phương trình tiếp tuyến tại điểm

( C) : x

2

+ y − 2x − 4y − 3 = 0 là
2

B.
D.

( C ) có bán kính ;
( C ) không đi qua điểm
M ( 3;4)

A.

x + y −; 7 = 0

B.

C.

x − y −; 7 = 0

D.

R=5
.

với đường tròn

x + y +; 7 = 0
x + y −. 3 = 0

M ( 1;1)


LỚP

HÌNH HỌC

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
IV

BÀI 2

BÀI TẬP CỦNG CỐ (TRẮC NGHIỆM)
Câu 7

x + y − 2ax − 2by + c = 0
2

Điều kiện để phương trình

2

là phương trình của đường tròn

Câu 8

A.

a + b ;− c < 0

C.

a + b − c> 0

2

2

2

2

2
;

Phương trình

C.

m; < 0
m; > 1

a + b ;− c ≥ 0

D.

a + b .− c ≥ 0
2

2
2

x + y − 2( m+ 1) x − 2( m+ 2) y + 6m+ 7 = 0
2

là phương trình đường tròn
A.

B.

2

2

khi và chỉ khi
B.

m; < 1

D.

m< −1 hoặc.

m> 1


LỚP

HÌNH HỌC

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
IV

BÀI 2

BÀI TẬP CỦNG CỐ (TRẮC NGHIỆM)
Câu 9

( C ) :x

2

Cho đường tròn

+ y − 4x − 2y = 0 và đường thẳng
2

∆ :x + 2y + 1 = 0 . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A.
C.
Câu 10

∆ đi qua tâm của
∆

tiếp xúc với

;
;

Đường tròn đi qua ba điểm

( C)
( C)

,

,

( C)

B.

∆ cắt

D.

∆ khơng có điểm chung với

tại hai điểm ;

A ( 0;2) B( −2;0) C ( 2;0)

có phương trình là
A.

x + y; = 8

C.

x + y − 2; x − 8 = 0

2
2

2
2

B.

x + y + 2; x + 4 = 0

D.

x + y .− 4 = 0

2

2

2

2

( C) .


LỚP

HÌNH HỌC

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
IV

BÀI 2

BÀI TẬP CỦNG CỐ (TRẮC NGHIỆM)
Câu 11

M ( 0;4) và đường trịn có phương
( C )trình
x + y − 8x − 6y + 21 = 0 . Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau

Cho điểm
2
2

Câu 12

A.

M

C.

M

nằm ngoài
nằm trên

Cho đường cong

Với giá trị nào của

( C)
( C)

B.

;
;

D.

( C ) :x

M
M

nằm trong

;

( C)

trùng với tâm của

+ y − 8x + 10y + m= 0.
m thì là đường trịn
( Cm ) có bán kính bằng 7?
2

2

m

A.

m;= 4

B.

C.

m=; −4

D.

m;= 8
m=. −8

( C) .


LỚP

HÌNH HỌC

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
IV

BÀI 2

BÀI TẬP CỦNG CỐ (TRẮC NGHIỆM)
Câu 13

Đường trịn

( C)

có tâm

∆ :3x − 4y + 5 = 0 tại điểm
A.

Câu 14

 1 7
−
;
−
 5 5÷



Cho hai điểm

,

Tập hợp điểm

B.

I ( −1;3)
có tọaH
độ là

 1 7
;
 5 5÷



x + y + 2x; + y + 1 = 0

C.

x + y − 2x − ;6y − 22 = 0
2

2
2

C.

 1 7
;
−

 5 5÷



D.

 1 7
−
;
 5 5÷



A ( −4;2) B( 2; − 3) .
2
2
M ( x; y) thỏa mãn
MA + MB = 31 có phương trình là

A.

2

và tiếp xúc với đường thẳng

B.

x + y − 6x −; 5y + 1 = 0

D.

x + y + 2x + 6y − 22 = 0.

2

2

2

2


LỚP

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Chương III

10
IV

BÀI 2

HÌNH HỌC

BÀI TẬP CỦNG CỐ (TRẮC NGHIỆM)

( C)

Câu 15

Đường tròn

đi qua hai điểm

A ( 1;3) B( 3;1)
∆ :2x − y + 7 = 0có phương trình là

,

và có tâm nằm trên đường thẳng

( x − 7) + ( y − 7)
( x − 3) + ( y − 5)
2

A.

2

C.
Câu 16

Cho đường tròn

d : 4x − 3y + 5 = 0.

Đường thẳng

một dây cung có độ dài bằng

2
2

= 102

B.

= 25

( C) : x

2

d′

2 3

D.

( x + 7) + ( y + 7)
( x + 3) + ( y + 5)
2

2

= 164

2

2

= 25

+ y − 2x + 6y + 6 = 0
2

và đường thẳng

d

song song với đường thẳng

và chắn trên

có phương trình là

A.

4x − 3y;+ 8 = 0

B.

4x − 3y − 8 = 0

C.

4x − 3y −; 13 = 0

D.

4x + 3y + 8 = 0.

hoặc

;

4x − 3y − 18 = 0

( C)