phương trình đường tròn 10nc

Cho đường tròn (C) có tâm I(2;3), bán kính bằng 5. Điểm
Cho đường tròn (C) có tâm I(2;3), bán kính bằng 5. Điểm
nào sau đây
nào sau đây
thuộc
thuộc
(C) :A(-4;5), B(-2;0), D(-1;-1), E(3;2)
(C) :A(-4;5), B(-2;0), D(-1;-1), E(3;2)


I
2
3
M
x
y
O
5
B
E
Vì IA=10 > R nên điểm A không thuộc đường tròn (C)
Vì IA=10 > R nên điểm A không thuộc đường tròn (C)


Vì IB=ID =5= R nên điểm B,D thuộc đường tròn (C)
Vì IB=ID =5= R nên điểm B,D thuộc đường tròn (C)
Vì IE= < R nên điểm E khôngt huộc đường tròn

Vì IE= < R nên điểm E khôngt huộc đường tròn
(C)
(C)
2
A
D


y
I
2
3
M
x
O
5
Điều kiện cần và đủ để 1 điểm M thuộc (C) tâm I(2;3) bán kính R=5 ?
Điều kiện cần và đủ để 1 điểm M thuộc (C) tâm I(2;3) bán kính R=5 ?


M thuộc (C)
M thuộc (C)


IM=R=5
IM=R=5


Chú ý
Chú ý

: Nếu
: Nếu


M(x;y) thì
M(x;y) thì
2 2
IM= (x-2) +(y-3) 5
=


I
M(x;y)
x
y
O
R
Với đường tròn (C) tâm I(a;b) , bán kính R, điểm M(x;y) thuộc đường
Với đường tròn (C) tâm I(a;b) , bán kính R, điểm M(x;y) thuộc đường
tròn (C) khi và chỉ khi nào ?
tròn (C) khi và chỉ khi nào ?
M(x;y) thuộc (C)
M(x;y) thuộc (C)


IM=R
IM=R


IM

IM
2
2
=R
=R
2
2




(x-a)
(x-a)
2
2
+(y-b)
+(y-b)
2
2
=R
=R
2
2
1.
1.
Phương trình đường tròn tâm
Phương trình đường tròn tâm
I(a;b),
I(a;b),
bán kính

bán kính
R
R
:
:
*Phương trình
*Phương trình (x-a)
2
+(y-b)
2
=R
2
(1)
được gọi là phương trình đường tròn tâm
được gọi là phương trình đường tròn tâm
I
I
(
(
a;b
a;b
), bán kính
), bán kính
R
R
§6.
§6.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Theo phương trình (1) thì để viết
Theo phương trình (1) thì để viết
phương trình đường tròn ta phải biết
phương trình đường tròn ta phải biết
các yếu tố nào?
các yếu tố nào?
Ta cần biết toạ độ tâm và bán kính của
đường tròn đó


CÁC VÍ DỤ:
VD1:
a)Viết phương trình đường tròn tâm I(2,3) bán
kính R=5.
GIẢI
a) Phương trình đường tròn có tâm I(2;3) bán
kính R=5 là: (x-2)
2
+ (y-3)
2
= 25


b)Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3;4).Viết phương trình
b)Cho hai điểm A(3; -4) và B(-3;4).Viết phương trình
đường tròn nhận AB làm đường kính
đường tròn nhận AB làm đường kính
GIẢI
Đường tròn nhận AB làm đường kính vậy

tâm đường là trung điểm I của AB
và bán kính đường tròn là
2
AB
R =
I
A
B
Đường tròn (C) nhận
Đường tròn (C) nhận
AB làm đường kính.
AB làm đường kính.
Vậy tâm của đường tròn
Vậy tâm của đường tròn
nằm ở đâu, bán kính
nằm ở đâu, bán kính
được xác định như thế
được xác định như thế
nào ?
nào ?


2 2 2 2
3 3
0
2 2
(0;0)
4 4
0
2 2

( ) ( ) ( 3 3) (4 4) 10
10
5
2 2
+ −

= = =


⇒

+
− +

= = =


= − + − = − − + + =
⇒ = = =
A B
I
A B
I
B A B A
x x
x
I
y y
y
AB x x y y

AB
R
Vậy phương trình đường tròn là :
Hãy nhận xét toạ độ tâm I ở trên ?
2
2
25
y
x
+ =


LƯU Ý
LƯU Ý

Phương trình đường tròn có tâm là gốc
Phương trình đường tròn có tâm là gốc
tọa độ O(0;0) có bán kính R là:
tọa độ O(0;0) có bán kính R là:
x
y
O
2 2 2
x y R+ =


1.Biết đường tròn có phương trình (x-7)
2
+(y+3)
2

=4. Hãy khoanh tròn vào chữ
cái trước khẳng định đúng về tâm và bán kính của đường tròn đó :
a. Toạ độ tâm (-7;3) và bán kính bằng 4.
b. Toạ độ tâm (7;-3) và bán kính bằng 4.
c. Toạ độ tâm (7;-3) và bán kính bằng 2
d. Toạ độ tâm (-7;3) và bán kính bằng 2
Cột 1
Cột 1
Phương trình của đường tròn
Phương trình của đường tròn
1
1
(x-2)
(x-2)
2
2
+(y+6)
+(y+6)
2
2
=1
=1
2
2
(x-1)
(x-1)
2
2
+ y
+ y

2
2
= 25
= 25
3
3
(x+3)
(x+3)
2
2
+y
+y
2
2
= 36
= 36
4
4
x
x
2
2
+(y+3)
+(y+3)
2
2
=6
=6
2. Hãy nối mỗi dòng ở cột 1 đến một dòng ở cột 2 để được một khẳng định đúng
Cột 2

Cột 2
a
a
Tâm (0;-3) bán kính
Tâm (0;-3) bán kính
b
b
Tâm (-3;0) bán kính R=6
Tâm (-3;0) bán kính R=6
c
c
Tâm (2;-6) bán kính R=1
Tâm (2;-6) bán kính R=1
d
d
Tâm (1;0) bán kính R=5
Tâm (1;0) bán kính R=5
C
6R
=
VD2
VD2


2) NHẬN XÉT:
2) NHẬN XÉT:
Cho đường tròn ( C ) có phương trình
Cho đường tròn ( C ) có phương trình
(x-a)
(x-a)

2
2
+ (y-b)
+ (y-b)
2
2
=R
=R
2 ( 1 )
2 ( 1 )
Phương trình đường tròn có dạng như
Phương trình đường tròn có dạng như
phương trình (1) , phương trình đường tròn
phương trình (1) , phương trình đường tròn
còn có dạng nào khác nữa không?
còn có dạng nào khác nữa không?


Ta có:
Ta có:


(x-a)
(x-a)
2
2
+ (y-b)
+ (y-b)
2
2

= R
= R
2
2


x
x
2
2
- 2ax + a
- 2ax + a
2
2
+ y
+ y
2
2
- 2by + b
- 2by + b
2
2
= R
= R
2
2


x
x

2
2
+ y
+ y
2
2
- 2ax - 2by + a
- 2ax - 2by + a
2
2
+ b
+ b
2
2
- R
- R
2
2
= 0
= 0




Đặt
Đặt
a
a
2
2

+ b
+ b
2
2
– R
– R
2
2
= c. Khi đó ta có phương trình
= c. Khi đó ta có phương trình


x
x
2
2
+ y
+ y
2
2
- 2ax - 2by + c = 0
- 2ax - 2by + c = 0
Đây là dạng khác của phương trình đường tròn
Đây là dạng khác của phương trình đường tròn
(C) ở trên
(C) ở trên
Khi đó đường tròn (C) có tâm
Khi đó đường tròn (C) có tâm
I(a;b)
I(a;b)

và bán
và bán
kính
kính


R=
R=
⇔
c
⇔
2 2
a b c
+ −
⇔


Ngược lại cho phương trình
Ngược lại cho phương trình
x
x
2
2
+ y
+ y
2
2
-2ax -2by + c =0 (2)
-2ax -2by + c =0 (2)
Khi đó phương trình ( 2) có chắc chắn là

Khi đó phương trình ( 2) có chắc chắn là
phương trình của một đường tròn nào đó
phương trình của một đường tròn nào đó
không ?
không ?


(x-a)
(x-a)
2
2
+(y-b)
+(y-b)
2
2
= a
= a
2
2
+b
+b
2
2
–c
–c
⇔
⇔
Với điều kiện a
2
+ b

2
– c > 0 , ta đặt a
2
+ b
2
–c = R
2
Lúc đó ta có phương trình
(x - a)
2
+ (y - b)
2
= R
2
Ta có:
Ta có:
X
2
+ y
2
-2ax -2by +c =0
X
2
-2ax +a
2
+y
2
-2by +b
2
–a

2
–b
2
+c =0


Tóm lại , ta có nhận xét sau:
Tóm lại , ta có nhận xét sau:

Phương trình đường tròn (x-a)
Phương trình đường tròn (x-a)
2
2
+(y-b)
+(y-b)
2
2
=R
=R
2
2
có thể được
có thể được
viết dưới dạng x
viết dưới dạng x
2
2
+y
+y
2

2
-2ax -2by +c = 0, trong đó
-2ax -2by +c = 0, trong đó


c = a
c = a
2
2
+b
+b
2
2
–R
–R
2
2
.
.

Ngược lại , phương trình x
Ngược lại , phương trình x
2
2
+y
+y
2
2
-2ax -2by +c =0 (2) là
-2ax -2by +c =0 (2) là

phương trình của đường tròn khi và chỉ khi
phương trình của đường tròn khi và chỉ khi


a
a
2
2
+ b
+ b
2
2
- c >0. Khi đó đường tròn có tâm I(a;b) và bán
- c >0. Khi đó đường tròn có tâm I(a;b) và bán
kính
kính


R =
R =
2 2
a b c
+ −
Hãy nhận xét về hệ số của x
2
và y
2
trong phương trình
(2) ở trên
Hệ số của x

2
và y
2
bằng nhau


Ví dụ
Ví dụ

Hãy cho biết phương trình nào trong
Hãy cho biết phương trình nào trong
các phương trình sau là phương trình
các phương trình sau là phương trình
đường tròn xác định tâm và bán kính
đường tròn xác định tâm và bán kính
của đường tròn đó:
của đường tròn đó:
a) 2x
a) 2x
2
2
+y
+y
2
2
-8x +2y -1 = 0
-8x +2y -1 = 0
b) x
b) x
2

2
+ y
+ y
2
2
+ 2x -4y -4 =0
+ 2x -4y -4 =0
c) x
c) x
2
2
+ y
+ y
2
2
-2x -6y +20 = 0
-2x -6y +20 = 0
d) 2x
d) 2x
2
2
+2y
+2y
2
2
+ 6x + 2y - 10 = 0
+ 6x + 2y - 10 = 0


3)

3)
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Cho điểm M
o
(x
o
;y
o
) nằm trên đường
tròn (C) tâm I(a;b).
Gọi là tiếp tuyến với (C) tại M
o

Do đó có phương trình (x
o
-a)(x-x
o
) + (y
o
-b)(y-y
o
) = 0
Ta có M
o
thuộc và vectơ
IM
o
=(x
o

-a;y
o
-b) là vectơ pháp
tuyến của
*I
M
o
(3)
Phương trình (3) là phương trình tiếp tuyến của đường
tròn (x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
tại điểm M
o
nằm trên đường tròn
M


Ví dụ:
Ví dụ:
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;1)
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;1)
thuộc đường tròn (C) : (x -2)
thuộc đường tròn (C) : (x -2)
2
2
+(y-3)

+(y-3)
2
2
= 5
= 5
Giải
(C) Có tâm I(2;3) , vậy phương trình tiếp
tuyến với (C) tại M(1;1) là
(1-2)(x-1) +(1-3)(y-1) = 0
- x - 2y +3 = 0
⇔


Khẳng định
Khẳng định
Đ hay S
Đ hay S
Cách xác định
Cách xác định
A. Phương trình của đường tròn có
A. Phương trình của đường tròn có


tâm O(0;0), bán kính R=1 là:
tâm O(0;0), bán kính R=1 là:
x
x
2
2
+y

+y
2
2
=1
=1
B. Phương trình của đường tròn có tâm
B. Phương trình của đường tròn có tâm
K(-2;0) bán kính R= 4 là :
K(-2;0) bán kính R= 4 là :
(x+2)
(x+2)
2
2
+y
+y
2
2
=4
=4
VD 2: Xác định tính đúng(Đ), sai (S) của các khẳng định dưới đây
C. Phương trình của đường tròn có
đường kính MN, với M(-1;2), N(3;-1) là :
2 2
1 25
( 1) ( )
2 4
x y
− + − =
D. Phương trình của đường tròn đi qua ba
điểm E(2;1), F(0;-1), J(-2;1) là :

2 2
( 1) 4x y
+ − =
Đ
S
Đ
Đ