Kĩ thuật hệ số bất định – phương pháp chọn phần tử lớn nhất, nhỏ nhất pot

Cho
(
)
1 ,
i
a i n
=
dương. Tìm GTNN của
1
1
1
1
n
n
n
i
i
i
i
n
n
n
i
i
i
i
a
a
M
a
a

=
=
=
=
= +
∏
∑
∑
∏
GIẢI
Ta có :
2
2 2
1 1
1 1 1
2
2 2 2
1 1
1 1 1
( 1)
( 1) 1
2 .
n n
n n n
n n
i i
i i i
i i
i i i
n n

n n n
n n n
i i
i i i
i i
i i i
a a
n a a a
n n n
M
n n
a a
nana na
= =
= = =
= =
= = =
−
− +
= + + ≥ + =
∏ ∏
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∏ ∏ ∏
Đẳn g t h ức xảy r a
(
)
; , 1,
i j
a a i j i j n

⇔ = ≠ =

2. Ta tách như sau:
1 1 1 1 1 1
B a b c
abc abc
α β

=+++ ++ + ++


Do vai trò a,b,c như nhau nên ta dự đoán GTNN của biểu thức đạt tại các biế n b ằng nhau. Đồn g t h ời t a
chỉ c ần làm việc trên biế n a còn các biế n còn lại t ươn g t ự. Sau khi sử dụn g B ĐT Cauchy ta có dấu “=”
x ảy r a
( )
1
. 1 1
a abc
a
α α
⇔ = ⇒ = = = =
Ta có lời g i ải n h ư sau:
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
2 . 2 . 2 . 9
B a b c a b c
abc abc a b cabc

= + + + + + + + + ≥ + + + ≥


+ +

Dấu “=” xảy r a
1
a b
⇔ c= = =
Bài toán tổng quát:
Cho
(
)
1 , 0
i
a i n
= >
v à
1
n
i
i
a n
=
≤
∑
. Tìm GTNN của
1 1
1
2
n n
i
i i

i
B a
a
= =
= +
∑ ∑
GIẢI
Ta có:
2
1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1
2 2 3
n nn n n n n
n
n
i i i
n
i i i i i i i
i i i i
i
i
n
B a a n a n n n n
a a a a
a
= = = = = = =
=
=+ =++ ≥ + + ≥+=
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∏ ∏

∑
Đẳn g t h ức xảy r a
1 2
. . . 1
n
a a a
⇔====
.
Bài toán 4:
1. Cho a,b,c dương và
1
a b
c+ + =
. Tìm GTLN của
3 3 3
A ab bc ac
= + + + + +
2. Cho a,b,c dương và
3
a b c
+ + =
. Tìm GTLN của
3 3 3
2 2 2
B a b b c c a
= + + + + +
GIẢI:
1.Sai lầm mà các bạn h ọc sinh hay mắc phải là sử dụn g B ĐT Cauchy trật đi ểm r ơi .
3
3

3
2
( ).1.1
3
2
( ).1.1
3
2
( ).1.1
3
a b
a b
b c
b c
c a
c a
+ +
+ ≤
+ +
+ ≤
+ +
+ ≤
www.vuihoc24h.vn - Kênh h󰗎c t󰖮p Online
Sau khi sử dụn g B ĐT Cauchy như trên ta có dấu “=” xảy r a :
1
1
1
a b
b c
c a

+ =
+ =
+ =
3
2
a b c
⇒ + + =
( vô lí)
Đầu tiên ta dự đoán GTNN của A đạt tại
1
3
a b c
= = =
( do tính đối x ứn g c ủa bài toán). Khi đó ta tính
được
3 3 3
3
2
3
a b b c c a+ = + = + = . Nghĩ a là ta dung BĐT Cauchy sao cho dấu “=” xảy r a đạt được là
2
3
a b b c c a
+ = + = + =
Từ đó ta có lời g i ải n h ư sau:
3
3
3
4
2 2

3
( ). .
3 3 3
4
2 2
3
( ). .
3 3 3
4
2 2
3
( ). .
3 3 3
a b
a b
b c
b c
c a
c a
+ +
+ ≤
+ +
+ ≤
+ +
+ ≤
(
)
3 3
3
, ,

2 4
9
18
4 3
a b c
a b c
a b
+ + + 
⇒ + ≤ =
 
 
∑
Đẳn g t h ức xảy r a
1
3
a b c
⇔ = = =
2. Tươn g t ự ta giải n h ư sau:
3
3
3
2 6
(2 ).3.3
3
2 6
(2 ). 3.3
3
2 6
(2 ).3.3
3

a b
a b
b c
b c
c a
c a
+ +
+ ≤
+ +
+ ≤
+ +
+ ≤
(
)
3 3
3
, ,
3 18
1
2 3 3
3
9
a b c
a b c
a b
+ + + 
⇒ + ≤ =
 
 
∑

Đẳn g t h ức xảy r a
1
a b
⇔ c= = =
BL1: Cho a,b,c dương và
3
2
a b c
+ + ≤
. Tìm GTNN của
2 2 2
1 1 1
A a b c
a b c
= + + + + +
Bài toán tổng quát: Cho
(
)
1 ,
i
a i n
=
dương và
1
2
n
i
i
n
a

=
≤
∑
. Tìm GTNN của
2
1 1
1
n n
i
i i
i
A a
a
= =
= +
∑ ∑
BL2: Cho tam giác ABC. Tìm GTNN của
, , , ,
1
sin
sin
A B C A B C
A A
A
= +
∑ ∑

BL3: 1.Cho a,b,c,d dương. Tìm GTNN của
2 2 2 2
1 1 1 1

3 3 3 3
a b c d
A
b c d a
    
= + + + +
    
    
2. Cho a,b,c,d dương. Tìm GTNN của
a b c d b c d c d a a b d a b c
S
b c d c d a a b d a b c a b c d
+ + + + + + + +
= + + + + + + +
+ + + + + + + +
BL4: Cho a,b,c dương và
1
a b
c+ + ≤
. Tìm GTNN của
2 2 2
1 1 1 2 2 2
81
A
a b c ab bc ca
= + + + + + ≥
Bài toán tổng quát: Cho
(
)
1 ,

i
a i n
=
dương. Tìm GTNN của
2
1 , , 1
1 1
2.
n n
i i j i j
i i j
A
a aa
= ≠ =
= +
∑ ∑

BL5: Cho a,b,c,d,e dương và
5
a b c d e
+ + + + =
. Tìm GTLN của
5 5 5 5 5
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
S a b c d e b c a d e c d a b e d e a b c e a b c d
= + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
BL6: Cho
2 ; 6 ; 12
a b c
≥ ≥ ≥

. Tìm GTLN của
3
4
2 6 12
bc a ca b ab c
S
abc
− + − + −
=
3. Kĩ thuật Cauchy ngược dấu:
Bài toán 1: Cho a,b,c dương và
3
a b c
+ + =
.CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
a b c
b c a
+ + ≥
+ + +

GIẢI
Ta không thể dùng trực tiế p BĐT Cauchy với m ẫu số vì khi đó BĐT sẽ đổi c h i ều:
2 2
3
? ?
1 1 1 2 2 2 2
a b c a b c

b c a b c a
+ + ≤ + + ≥
+ + +
Để giải bài toán này ta sẽ dùng một ý tưởn g t ừ một đẳn g t h ức quen thuộc
1 1
1
2
−
2
=
.BĐT cần c h ứn g
minh tươn g đươn g v ới B ĐT sau:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3
1 1 1 2
3
1 1 1 2
a b c
a b c a b c
b c a
ab bc c a
b c a
− + − + − ≤ + + −
+ + +
⇔ + + ≤
+ + +
Ta sử dụn g B ĐT Cauchy dưới m ẫu số ta được:
( )

( )
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 3
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
a b c
ab bc c a ab bc ca
ab bc c a
b c a b c a
 
+ +
+ + ≤ + + = + + ≤ =
 
+ + +
 
 
Bài toán 2: Cho a,b,c dương . CMR:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2
a b c a b c
a b b c c a
+ +
+ + ≥
+ + +

GIẢI
BĐT cần c h ứng minh tươn g đươn g v ới B ĐT sau:
2 3 3

2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
a b c a b c
a b c a b c
a b b c c a
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ +
− + − + − ≤ + + −
+ + +
+ +
⇔ + + ≤
+ + +
Ta sử dụn g B ĐT Cauchy dưới m ẫu số:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
ab bc ca ab bc ca a b c
a b b c c a ab bc ca
+ +
+ + ≤ + + =
+ + +
Bài toán 3: Cho a,b,c dương và
3
a b c
+ + =
. CMR:

2 2 2
1 1 1
3
1 1 1
a b c
b c a
+ + +
+ + ≥
+ + +

GIẢI
BĐT cần c h ứng minh tươn g đươn g v ới B ĐT sau:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 3
1 1 1
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
3
1 1 1
a b c
a b c a b c
b c a
a b b c c a
b c a
+ + +
+ − + + − + + − ≤ + + + + + −
+ + +
+ + +

⇔ + + ≤
+ + +
Ta sử dụn g B ĐT dưới m ẫu số:
( )
2
2 2 2
2 2 2
3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3
3
3
1 1 1 2 2 2 2 2
a b c
a b b c c a a b b c c a ab bc ca
b c a
+ +
+
+ + + + + + + + +
+ + ≤ + + = ≤ =
+ + +
BL1: Cho a,b,c,d dương và
4
a b c d
+ + + =
. CMR:
2 2 2 2
2
1 1 1 1
a b c d
b c d a

+ + + ≥
+ + + +

BL2: Cho a,b,c dương và
3
a b c
+ + =
. CMR:
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +

BL3: Cho a,b,c dương. CMR:
4 4 4
3 3 3 3 3 3
2 2 2 3
a b c a b c
a b b c c a
+ +
+ + ≥
+ + +
Bài toán tổng quát: Cho a,b,c dương và n là số tự nhiên. CMR:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1

n n n
n n n n n n
a b c a b c
a nb b nc c na n
+ + +
+ + + + + +
+ +
+ + ≥
+ + + +

BL4: Cho a,b,c,d dương và
4
a b c d
+ + + =
. CMR:
2 2 2 2
1 1 1 1
4
1 1 1 1
a b c d
b c d a
+ + + +
+ + + ≥
+ + + +

2. Bất đẳng thức Bunhiacopski:
a. Nhắc lại kiến thức cơ bản:
Với 2 dãy số thực tuỳ ý
1 2
, ,

n
a a a
v à
1 2
, ,
n
b b b
ta có bất đẳn g t h ức:
(
)
(
)
( )
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2

n n n n
a a a b b b a b a b a b
+ + + + + + ≥ + + + v i ế t gọn :
2
2 2
1 1 1
.
n n n
i i i i
i i i
a b ab
= = =
 

≤
 
 
∑ ∑ ∑

Đẳn g t h ức xảy ra khi và chỉ k h i
(
)
1 2
, ,
n
a a a
v à
(
)
1 2
, ,
n
b b b
là 2 bộ tỉ l ệ, nghĩ a là tồn t ại s ố thực k để
(
)
1 ,
i i
a kb i n
= ∀ =

b. Các dạng suy biến của bất đẳng thức Bunhiacopski:
1. Dạng 1:
Với 2 dãy số thực

(
)
1 2
, ,
n
a a a
v à
(
)
1 2
, ,
n
b b b
ta luôn có:
( )
2
22 2
1 2
1 2
1 2 1 2

. . .
. . .
n
n
n n
a a a
a
a a
b b b b b b

+ + +
+ + + ≥
+ + +

Đẳn g t h ức xảy r a
1 2
1 2
. . .
n
n
a
a a
b b b
⇔ = = =
2. Dạng 2:
Với 2 dãy số thực
(
)
1 2
, ,
n
a a a
v à
(
)
1 2
, ,
n
b b b
ta luôn có:

( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
. . . . . .
n n n n
a a a b b b a b a b a b
+ + + + + + + ≥ + + + + + +
Đẳn g t h ức xảy r a
1 2
1 2
. . .
n
n
a
a a
b b b
⇔ = = =
3. Dạng 3:
Với 2 dãy số thực
(
)
1 2
, ,
n
a a a
v à
(
)
1 2

, ,
n
b b b
ta luôn có:
( ) ( )
2
1 2
1 1 2 2 1 2
1 2
. . . . . .
n
n n n
n
aa a
a b a b a b a a a
b b b
 
+ + + + + + ≥ + + +
 
 
Đẳn g t h ức xảy r a
1 2
. . .
n
b b b
⇔ = = =
Như ta đã biế t BĐT Cauchy có khá nhiều áp dụng nhưn g đối v ới m ột số bài toán thì lại khác nế u ta sử
dụn g B ĐT Cauchy thì lời g i ải s ẽ rất dài dòng, trong khi đó ta sử dụn g B ĐT Bunhiacopski sẽ cho ta lời
giải n g ắn g ọn, dễ hiểu. Cụ thể ta xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho a,b,c dương. CMR:

1.
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
2.
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
GIẢI
1. C1: Ta sử dụn g B ĐT Cauchy ta có:
2 2
2 2
2 2
2 . 2
2 . 2
2 . 2
a a
b b a
b b
b b
c c b
c c
c c
a a c
a a

+ ≥ =
+ ≥ =
+ ≥ =
( ) ( )
2 2 2
2
a b c
a b c a b c a b c
b c a
⇒ + + ≥ + + − + + = + +
C2: Ta sử dụn g B ĐT Bunhiacopski.
( )
2
2 2 2
a b c
a b c
a b c
b c a a b c
+ +
+ + ≥ = + +
+ +

2. C1: Ta sử dụn g B ĐT Cauchy như sau:
3 3
2
3 3
2
3 3
2
2 . 2

2 . 2
2 . 2
a a
ab ab a
b b
b b
bc bc b
c c
c c
ca ca c
a a
+ ≥ =
+ ≥ =
+ ≥ =
( )
3 3 3
2 2 2 2 2 2
2
a b c
ab bc c a a b c a b c ab bc ca
b c a
⇒ + + + + + ≥ + + ≥ + + + + +
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
⇒ + + ≥ + +
C2: Ta sử dụn g B ĐT Bunhiacopski.
(

)
2
2 2 2
3 3 3 4 4 4
2 2 2
a b c
a b c a b c
a b c
b c a ab bc ca ab bc ca
+ +
+ + = + + ≥ ≥ + +
+ +
( Do
2 2 2
1
a b c
ab bc c a
+ +
≥
+ +
)
Bài toán 2: Cho a,b,c dương. CMR:
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +

GIẢI
C1: Ta sử dụn g B ĐT Cauchy.
2 2
2 2
2 2
2 .
4 4
2 .
4 4
2 .
4 4
a b c a b c
a
b c b c
b c a b c a
b
c a c a
c a b c a b
c
a b a b
+ +
+ ≥ =
+ +
+ +
+ ≥ =
+ +
+ +
+ ≥ =
+ +
2 2 2

2 2
a b c a b c a b c
a b c
b c c a a b
+ + + +
⇒ + + ≥ + + − =
+ + +
C2: Ta sử dụn g B ĐT Bunhiacopski ở dạng suy biế n 1.
( )
( )
2
2 2 2
2 2
a b c
a b c a b c
b c c a a b a b c
+ +
+ +
+ + ≥ =
+ + + + +

NX: Từ cách giải thứ hai ta có thể chứng minh BĐT sau:
(
)
( )
2 2 2
3
2
ab bc ca
a b c

b c c a a b a b c
+ +
+ + ≥
+ + + + +

BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau:
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2 2 2
3
2 2 2
2 2 2
a b c ab bc ca
a b c a b c ab bc ac
b c c a a b a b c a b c a b c
+ + + +
+ + + + +
+ + ≥ = =
+ + + + + + + + +

Bài toán 3: Cho a,b,c dương. CMR:
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
4
a b b c c a
a b c

c a b
+ + +
+ + ≥ + +
GIẢI
C1: Ta sử dụn g B ĐT Cauchy.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
4 2 .4 4( )
4 2 .4 4( )
4 2 .4 4( )
a b a b
c c a b
c c
b c b c
a a b c
a a
c a c a
b b c a
b b
+ +
+ ≥ = +
+ +
+ ≥ = +
+ +
+ ≥ = +
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
2 2 2
8 4 4
a b b c c a
a b c a b c a b c
c a b
+ + +
⇒ + + ≥ + + − + + = + +
C2: Ta sử dụn g B ĐT Bunhiacopski.
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2 2
2
4
a b c
a b b c a c
a b c
c a b a b c
+ +
 
+ + +
 
+ + ≥ = + +
+ +
Nhưng ta vẫn có trườn g h ợp sử dụn g B ĐT Cauchy nhanh hơn việc sử dụn g B ĐT Bunhiacopski.
Bài toán 4: Cho a,b,c dương và
1 1 1
4

a b
c
+ + =
. CMR:
1 1 1
1
2 2 2
a b c a b c a b c
+ + ≤
+ + + + + +
GIẢI
C1: Ta có:
2
2
2
1 1
1 1
1 1
2 2
4 4
( ) ( ) 4( ) 4( )
1 1
1 1
1 1
2 2
4 4
( ) ( ) 4( ) 4( )
1 1
1 1
1 1

2 2
4 4
( ) ( ) 4( ) 4( )
a b a c a b a c a b b c
a b b c a b b c a b b c
a c b c a c b c a c b c
 
+
 
 
≤ + = +
+ + + + + + +
 
+
 
 
≤ + = +
+ + + + + + +
 
+
 
 
≤ + = +
+ + + + + + +
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
a b c a b c a b c a b b c c a
 
⇒ + + ≤ + +
 

+ + + + + + + + +
 
Mặt khác bằng cách tươn g t ự như trên ta chứng minh được
1 1 1 1 1 2 2 2
1
2 8a b b c c a a b c
   
+ + ≤ + + = ⇒
   
+ + +
   
đpcm.
C2: Ta sử dụn g B ĐT Cauchy ở dưới m ẫu.
24
24
24
1 1 1 1 2 1 1
2 16
4
1 1 1 1 1 2 1
2 16
4
1 1 1 1 1 1 2
2 16
4
a b c a a b c a b c
a bc
a b c a b b c a b c
ab c
a b c a b c c a b c

abc
 
= ≤ ≤ + +
 
+ + + + +
 
 
= ≤ ≤ + +
 
+ + + + +
 
 
= ≤ ≤ + +
 
+ + + + +
 
1 1 1 1 4 4 4 4
1
2 2 2 16a b c a b c a b c a b c d
 
⇒ + + ≤ + + + =
 
+ + + + + +
 
Bài toán 5: Cho các số thực
, , 1
x y z
>
thoả mãn
1 1 1

2
x y z
+ + =
. CMR:
1 1 1
x y z x y z
+ + ≥ − + − + −
GIẢI
Á p d ụn g B ĐT Bunhiacopski dạng chuẩn ta có:
1 1 1
1 1 1 .
1 1 1
1 1 1 . 3
x y z
x y z x y z
x y z
x y z x y z x y z
x y z
− − −
− + − + − ≤ + + + +
 
⇔ − + − + − ≤ + + − + + = + +
 
 
BL1: Cho a,b,c dương. CMR:
2
2 3 2 3 2 3 2 3 3
a b c d
b c d c d a d a b a b c
+ + + ≥

+ + + + + + + +