BDT hệ số bất định

VÀI NÉT VỀ PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng :
1
a
2
+
1
b
2
+
1
c
2
+
2 (a
2
+ b
2
+c
2
)
5
≥ 5
(1)
Ta sẻ chứng minh :
1
a
2
+
2 a
2

3
≥
7
3
−
2a
3

(
a−1
)
2
(2 a
2
+6a+3)
3 a
2
≥ 0 đúng ∀ a>0
Áp dụng vào Bất Đẳng Thức cần chứng minh…
Suy và ngẫm : Tại sao ta lại nghĩ ra việc sử dụng Bất Đẳng Thức phụ trên để
chứng minh cho Bất Đẳng Thức (1)???? Xin trả lời: VT=
1
a
2
+
2 a
2
5
+
1

b
2
+
2 b
2
5
+
1
c
2
+
2c
5
. Nếu ta chứng
minh được
1
a
2
+
2 a
2
5
≥
5
3
thì ta cũng sẽ dễ dàng chứng minh (1) đúng. Nhưng ta sẽ không
bao giờ chứng minh được Bất Đẳng Thức đó vì nếu chứng minh được Bất Đẳng
Thức đó thì điều kiên a+b+c=1 để làm gì ??? Nên nhất định Bất Đẳng Thức phụ
cần có a,b,c. Ta bắt đầu thiết lập Bất Đẳng Thức phụ như sau

1
a
2
+
2 a
2
3
≥
5
3
+ma+n
(2);
1
b
2
+
2 b
2
3
≥
5
3
+mb+n
;
1
c
2
+
2 c
2

3
≥
5
3
+ mc+n
;
Cộng 3 Bất Đẳng Thức, => Bất Đẳng Thức (1) đúng khi -m=n, thế vào (2), kết hợp
với điểm rơi a=b=c=1.
=>
1
a
2
+
2 a
2
3
≥
5
3
+m
(
a−1
)
≤¿( a−1)
(
(2 a
2
−3)(a+1)
3a
2

−m
)
≥ 0
(3)
Khi cho a=1 thì
(2 a
2
−3)(a+1)
3a
2
=
−2
3
từ đó ta dự đoán m=-2/3 thì biến (3) sẽ xuất hiện (a-1)^2.
Khi m=-2/3 => (2) 
1
a
2
+
2a
2
3
≥
7
3
−
2a
3
. Để nhanh hơn thì ta có thể nhẩm điểm rơi ngay từ
đầu. a=1 => m=-n.

2. Cho a,b,c,d là các số thực dương thõa mãn a+b+c+d=4. Chứng minh rằng:
1
a
2
+1
+
1
b
2
+1
+
1
c
2
+1
+
1
d
2
+1
≥ 2
Tương tự ta tìm Bất Đẳng Thức phụ như trên. Bất Đẳng Thức phụ
1
a
2
+1
≥ 2−a
3. Cho a,b,c là các số thực dương và a+b+c=3. Chứng minh rằng:
1
a

2
+b+ c
+
1
b
2
+c +a
+
1
c
2
+ a+b
≤1
Thay b+c=3-a. Bất Đẳng Thức phụ:
1
a
2
−a+3
≤
4
9
−
a
9