pp hệ số bất định

Dạy phơng pháp hệ số
bất định cho học sinh lớp 8 nh thế nào?
Đặt vấn đề. Trong đại số sơ cấp thì phơng pháp hệ số bất định là một
trong những phơng pháp hiệu nghiệm để xác định một đa thức khi biết một số điều
kiện nào đó. Phơng pháp này đợc sử dụng dựa trên tính hằng đẳng của các đa thức.
Đã có nhiều tác giả, nhiều tài liệu nói về phơng pháp này, tuy nhiên chủ yếu
chỉ dừng lại ở dạng bài tập xác định một đa thức. Ngoài dạng bài tập đó, phơng
pháp này còn đợc sử dụng ở những dạng bài tập nào khác? Với kiến thức đại số lớp
8, tôi đã dạy cho học sinh phơng pháp này nh thế nào?
Đó là nội dung tôi muốn trình bày qua chuyên đề này.
Nội dung.
A. Kiến thức cơ sở:
* Qui ớc: Khi nói đến một đa thức nào đó, ta hiểu rằng đa thức đợc viết ở dạng
chính tắc (dạng tiêu chuẩn)
1) Đa thức hằng đẳng:
* Định nghĩa: Hai đa thức f(x) và g(x) đợc gọi là hằng đẳng nếu f(x) = g(x), x.
Từ nay khi nói hai đa thức bằng nhau, ta hiểu rằng chúng bằng nhau theo nghĩa
hằng đẳng.
2) Các định lí:
* Định lí 1: Đa thức f(x) hằng đẳng 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0.
Nghĩa là nếu: f(x) = a
n
x
n
+ a
n 1
x
n 1
+ + a
1
x + a

0

thì f(x) = 0 a
n
= a
n 1
= a
n 2
= = a
0
= 0.
- Định lí có thể đợc chứng minh bằng phơng pháp qui nạp theo n.
* Định lí 2: Hai đa thức f(x) và g(x) hằng đẳng khi và chỉ khi các hệ số của các
hạng tử đồng dạng của chúng bằng nhau.
- Thực chất đây chỉ là hệ quả của định lí 1
B. Ph ơng pháp hệ số bất định và cách vận dụng:
Dựa vào định nghĩa vào các định lí nêu trên, ngời ta đa ra một phơng pháp nhằm
xác định một đa thức khi biết một số điều kiện nào đó, và gọi là phơng pháp hệ số
bất định.
Phơng pháp này là sự vận dụng trực tiếp tính hằng đẳng của 2 đa thức. Nó thờng
đợc sử dụng dới hai hình thức:
1. Dựa vào định nghĩa: Cho biến (x) một số giá trị thích hợp để làm xuất hiện
một hệ phơng trình mà ẩn số là các hệ số cần xác định.
2. Dựa vào định lí: Đa các đa thức về dạng chính tắc rồi cân bằng các hệ số của
các hạng tử đồng dạng trong 2 đa thức, từ đó cũng dẫn đến một hệ phơng trình mà
ẩn số là các hệ số cần xác định.
Ta sẽ minh họa những điều này thông qua một số dạng bài tập sau:
C. Bài tập vận dụng
I. Xác định một đa thức khi biết một số điều kiện
Bài toán1. Xác định đa thức f(x) để f(x)

g(x)
với f(x) = x
4
- 3x
3
+ bx
2
+ ax + b, g(x) = x
2
- 1.
* Giải:
* Cách 1. Vì f(x)

(x
2
- 1) f(x) = (x
2
- 1).Q(x)
- Cho x = 1: f(1) = 1 - 3 + b + a + b = 0
a + 2b - 2 = 0 (1)
- Cho x = -1: f(-1) = 1 + 3 + b - a + b = 0
- a + 2b + 4 = 0 (2)
Giải hệ (1) và (2) ta đợc a = 3, b = -
2
1

Vậy f(x) = x
4
- 3x

3
-
2
1
x
2
+ 3x -
2
1
* Cách 2. Giả sử f(x) = (x
2
- 1)(mx
2
+ nx + p) vì f(x) có bậc 4
= mx
4
+ nx
3
+ (p - m)x
2
- nx - p
hay x
4
- 3x
3
+ bx
2
+ ax + b = mx
4
+ nx

3
+ (p - m)x
2
- nx - p
Từ định lí 2 suy ra: m = 1, n = - 3, p - m = b, n = - a, p = -b
a = 3, b = -
2
1
* Cách 3. Đem chia trực tiếp f(x) cho g(x) ta đợc d là
(a - 3)x + 2b + 1
Để có phép chia hết thì d phải bằng 0, hay (a - 3)x + 2b + 1 = 0
a - 3 = 0 và 2b + 1 = 0 (theo định lí 1)
a = 3, b = -
2
1
* Chú ý: - Mặc dù ở đầu bài không nói đến, nhng ta phải hiểu rằng đó là phép
chia hết với mọi x
- Ba cách giải trên đây cho ta thấy phơng pháp này có thể sử dụng dới
những hình thức khác nhau, nhng đều phải sử dụng định nghĩa hoặc định lí. ở
cách 3 việc vận dụng đợc sử dụng gián tiếp thông qua phép chia đa thức. Cách 1
chỉ sử dụng đợc khi biết các nghiệm của đa thức chia.
Bài toán 2. Tìm đa thức bậc 3 f(x) sao cho:
f(x) - f(x - 1) = x
2
* Giải: Giả sử f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx +d. Khi đó:
f(x) - f(x - 1) = ax

3
+ bx
2
+ cx +d - a(x - 1)
3
+ b(x - 1)
2
+ c(x - 1) - d
= 3ax
2
+ (2b - 3a)x + a - b + c = x
2
3a = 1, 2b - 3a = 0, a - b + c = 0
a =
3
1
, b =
2
1
, c =
6
1
Vậy f(x) =
3
1
x
3
+
2
1

x
2
+
6
1
x + d, với d là số tuỳ ý.
Bài toán 3. Cho biết đa thức x
4
+ 2x
3
+ ax
2
+ 2x + b là bình phơng của một đa thức
khác. Hãy tìm đa thức đó và các số a, b?
* Giải. Giả sử x
4
+ 2x
3
+ ax
2
+ 2x + b = (mx
2
+ px + q)
2
m = 1
- Với m = 1. Khi đó Giả sử x
4
+ 2x
3
+ ax

2
+ 2x + b = (mx
2
+ px + q)
2
= x
4
+ 2px
3
+ (p
2
+ 2q)x
2
+ 2pqx + q
2
2p = 2, p
2
+ 2q = a, 2pq = 2, q
2
= b
p = 1, q = 1, a = 3, b = 1
Vậy đa thức cần tìm là x
2
+ x + 1
- Với m = - 1. Ta cũng có a = 3, b = 1 và đa thức cần tìm là - (x
2
+ x + 1)
II. Dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử
Bài toán 4. Tìm a, b, c để đa thức x
3

+ ax
2
+ bx + c phân tích đợc thành tích
(x + a)(x + b)(x + c)
* Giải. Do x
3
+ ax
2
+ bx + c = (x + a)(x + b)(x + c)
x
3
+ ax
2
+ bx + c = x
3
+ (a + b + c)x
2
+ (ab + bc + ca)x + abc
b + c = 0 (1), ab + bc + ca = b (2), abc = c (3)
Từ (1) có c = - b. Thay vào (2) đợc ab - b
2
- ab = b b
2
+ b = 0
b(b + 1) = 0 b = 0, b = - 1.
+ Nếu b = 0, từ (1) có c = 0 a tuỳ ý.
+ Nếu b = - 1, từ (1) có c = 1, từ (3) có a = - 1
Vậy ta có: x
3
+ ax

2
= x
2
(x + a)
hoặc x
3
- x
2
- x + 1 = (x - 1)
2
(x + 1)
Bài toán 5. Tìm số nguyên a để đa thức (x - a)(x - 2005) + 1 có thể phân tích đợc
thành tích (x + b)(x + c) với b, c là các số nguyên
* Giải: - Giả sử (x - a)(x - 2005) + 1 = (x + b)(x + c)
Cho x = - b ta đợc (b +a)(b + 2005) = -1
Vì a, b nguyên nên có 2 trờng hợp:
b + 2005 = 1 b = - 2004 và b + a = - 1 a = 2003
Khi đó (x - 2003)(x - 2005) + 1 = (x - 2004)
2
b + 2005 = -1 b = - 2006 và b + a = 1 a = 2007
Khi đó (x - 2007)(x - 2005) + 1 = (x - 2006)
2
Bài toán 6. Chứng minh rằng đa thức P(x) = x
5
- 3x
4
+ 6x
3
- 3x
2

+ 9x - 6 không thể
phân tích đợc thành tích của 2 đa thức với hệ số nguyên có bậc nhỏ hơn
* Giải: - Giả sử phân tích đợc, bài toán xảy ra 2 trờng hợp:
P(x) = (x + a).Q(x), với a nguyên còn Q(x) là đa thức bậc 4
Cho x = - a đợc - a
5
- 3a
4
- 6a
3
- 3a
2
- 9a - 6 = 0 (1)
a
5


3 a

3, khi đó vế trái của (1), trừ số hạng - 6 các số hạng còn lại
đều chia hết cho 9. Nh vậy vế trái của (1) không chia hết cho 9 - Vô lí ! ( vì 0

9)
P(x) = (x
2
+ a
1
x + a
2
)(x

3
+ b
1
x
2
+ b
2
x + b
3
), với a
i
, b
i
là các số nguyên. Sau
khi khai triển và cân bằng các hệ số, ta đợc:
a
2
b
3
= - 6 (1)
a
1
b
3
+ a
2
b
2
= 9 (2)
a

1
b
2
+ a
2
b
1
+ b
3
= - 3 (3)
a
1
b
3
+ a
2
+ b
2
= 6 (4)
a
1
+ b
1
= - 3 (5)
Từ (1) chỉ có một trong 2 số a
2
hoặc b
3
chia hết cho 3
- Nếu a

2


3, b
3


3, từ (2) a
1


3 và từ (3) b
3


3 (vô lí !)
- Nếu a
2


3, b
3


3, từ (2) b
2


3 và từ (3) b
1

3, do đó từ (4) a
2



3 (vô lí !)
Vậy bài toán đợc chứng minh xong
III. Dùng để rút gọn phân thức
Bài toán 7. Đơn giản biểu thức sau:
M =
))((
))((
))((
))((
))((
))((
bcac
bxax
abcb
axcx
caba
cxbx

++
+

++
+

++

* Giải. - Coi M là một đa thức theo biến x (độc đáo!). Rõ ràng sau khi khai triển, đa
về dạng chính tắc, M sẽ là đa thức bậc 2 đối với x.
Vì vậy giả sử M(x) = Ax
2
+ Bx + C
- Cho x = - a: Aa
2
- Ba + C = 1 (1)
- Cho x = - b: Ab
2
- Bb + C = 1 (2)
- Cho x = - c: Ac
2
- Bc + C = 1 (3)
Đem (1) trừ (2): A(a
2
- b
2
) - B(a - b) = 0
vì a - b 0 A(a + b) - B = 0 (4)
Tơng tự đem (2) trừ (3): A(b + c) - B = 0 (5)
Đem (4) trừ (5): A(a - c) = 0 A = 0 (do a - c 0)
Từ (4) B = 0, do đó C = 1.
Vậy M = 1.
Bài toán 8. Đơn giản biểu thức: