Chương 3. ĐÁNH GIÁ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG doc

Chương 3
ĐÁNH GIÁ TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA HỆ THỐNG
ĐÁNH GIÁ TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA HỆ THỐNG
NỘI DUNG
1. Khái niệm chung về tính ổn định
2. Các tiêu chuẩn ổn định đại số
3. Tiêu chuẩn ổn định tần số
I- Khái niệm chung về tính ổn định
Hệ thống được gọi là ổn định nếu hệ thống là hệ ổn
định BIBO hoặc hàm truyền của hệ thống là hàm bền.
-
Hệ được gọi là ổn định BIBO nếu tín hiệu vào của hệ
thống là hữu hạn thì tín hiệu ra cũng là hữu hạn.
-
Hàm truyền của hệ thống là hàm bền nếu hệ có tất cả
các điểm cực nằm bên trái trục ảo
I- Khái niệm chung về tính ổn định
Trực quan khái niệm ổn định hệ thống
Khái niệm Cực và zero

Cho hệ thống có hàm truyền là:

Đặt:

Cực: là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là
nghiệm của phương trình A(s)=0

Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là
nghiệm của phương trình B(s)=0

nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sU
sY
sG
++++
++++
==
−
−
−
−
1
1
10
1
1
10


)(
)(
)(
nn
nn
asasasasA

++++=
−
−
1
1
10
)(
mm
mm
asbsbsbsB
++++=
−
−
1
1
10
)(

Giản đồ cực - zero là đồ thị biểu diễn vị trí
các cực và các zero của hệ thống trong
mặt phẳng phức. (khi gán s=δ+jω vào
hàm truyền).
Điều kiện ổn định

Tính ổn định của hệ thống phụ thuộc vào
vị trí các cực.

Hệ thống có tất cả các cực có phần thực
âm thì hệ thống là hệ ổn định.


Hệ thống có ít nhất 1 cực có phần thực
bằng 0, các cực còn lại có phần thực âm
thì hệ thống ở biên giới ổn định.

Hệ thống có ít nhất 1 cực có phần thực
dương thì hệ thống không ổn định
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
1. Điều kiện cần
Xét hệ có PTĐT như sau:
F(s) = a
n
s
n
+ a
n-1
s
n-1
+…+a
0
= 0 (a
n
≠ 0).
Điều kiện cần để hệ ổn định: a
j
phải cùng dấu với nhau.
2. Tiêu chuẩn ổn định Routh

Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các
phần tử ở cột 1 bảng Routh đều cùng dấu.


Nếu có sự đổi dấu thì số lần đổi dấu chính là số nghiệm
nằm ở bên phải mặt phẳng phức.
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
Phương pháp thành lập bảng Routh:
PTĐT: F(s) = a
n
s
n
+ a
n-1
s
n-1
+…+a
0
= 0 (a
n
≠ 0).
a
0
a
2
a
4
a
6
…
a
1
a
3

a
5
a
7
…
b
0
b
2
b
4
b
6
b
1
b
3
b
5
b
7
… … … … …
z
0
z
1
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
Xét ví dụ sau: khảo sát tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc
trưng :12p
5

+6p
4
+18p
3
+6p
2
+6p+1=0

Điều kiện cần:Ta thấy các a
i
(i=0,5)>0 nên thoả mãn điều kiện cần để
hệ ổn định.

Điều kiện đủ:
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
PTĐT: F(s) = a
n
s
n
+ a
n-1
s
n-1
+…+a
0
= 0 (a
n
≠ 0).
Điều kiện cần và đủ để hệ ổn định là tất cả các định thức con Hurwitz D

k
,
k= 0, …, n, đều cùng dấu, trong đó : D
o
= a
n
, D
1
= a
n-1
và D
k
là định
thức của ma trận con cấp k của ma trận vuông D
n
.
D
n
D
3
D
2
0
2
31
42
531
00
00
00

0
0
a
aa
aa
aaa
aaa
D
nn
nn
nnn
nnn
n






−
−−
−−
−−−
=
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số

Ví Dụ:
Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng:
s
3

+4s
2
+3s+2=0

Ta có ma trận Hurwitz :

Các định thức:
III. Tiêu chuẩn ổn định tần số
Khái niệm đặc tính tần số

Đường đặc tính tần số được xác định nhờ hàm truyền G(s)
của hệ thống bằng cách thay s=jω

G(jω) là một hàm phức nên có thể biểu diễn dưới dạng đại số
hoặc dạng cực:

Trong đó:

Ý nghĩa vật lý: đáp ứng biên độ cho biết tỉ lệ về biên độ giữa
tín hiệu ra và tín hiệu vào theo tần số.

Đáp ứng pha cho biết độ lệch pha giữa tín hiệu ra và tín hiệu
vào theo tần số
)()()()(
22
ωωωω
QPjGM
+==







==
)(
)(
)(arctan)(
ω
ω
ωωϕ
P
Q
jG
)(
).()()()(
ωϕ
ωωωω
j
eMjQPjG =+=
III. Tiêu chuẩn ổn định tần số
Biểu đồ Nyquist

Biểu đồ Nyquist: là đồ thị biểu diễn đặc tính tần số G(jω)
trong hệ tọa độ cực khi ω thay đổi từ 0 đến ∞.
Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín G(s) ổn định nếu đường cong
Nyquist của hệ hở bao điểm (-1,j0) l/2 vòng theo chiều dương
(ngược chiều kim đồng hồ) khi ω thay đổi từ 0 đến +∞, trong đó l
là số cực nằm bên phải mặt phẳng phức của hệ hở G(s)


Ví dụ: vẽ biểu đồ Nyquist để kiểm tra tính
ổn định của hệ thống có hàm truyền sau:
2
3 2
1
( )
5 4 1
s s
G s
s s s
+ +
=
+ + +

Biểu đồ Nyquist: