(SKKN HAY NHẤT) phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm

phần i
phần mở đầu
I.Tính cấp thiết của đề tài:
Trong thc tế giảng dạy lớp 12 thì bài tốn viết phương trình tiếp tuyến
với một đường cong là một bài tốn rất cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong
các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học hàng năm.
Vì thế là một giáo viên dạy Toán THPT và nhiều năm dạy ơn luyện học
sinh lớp 12 tơi chỉ có một lao động sáng tạo nhỏ là hệ thống lại các bài tốn viết
phương trình tiếp tuyến với một đường đồ thị hàm số tại một điểm, đưa ra các
phương pháp giải đồng thời chỉ ra một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải vì
các em chưa có nhiều bài tập để rèn luyện kĩ năng phân tích và trình bày bài
tốn. Các em học sinh chưa có được phương pháp khái quát các bài toán thường
gặp về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Chính vì vậy, tơi đã tìm
hiểu và viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phương pháp viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm ” nhằm giúp các em học sinh nắm chắc
được kiến thức về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, để
các em có sự chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp THPT và kỳ thi đại học, cao
đẳng.
II. T×nh hình nghiên cứu:
Bng phng phỏp nghiờn cu lớ lun, quan sỏt v tng kt kinh nghim
số kết quả nghiên cứu ban đầu để thấy rõ đợc kết quả luyện
tập của học sinh.
III. Mục đích và nhiệm vụ của sáng kiến:
Bng phương pháp nghiên cứu lí luận và áp dụng vào thực tiễn giảng
dạy. Để giúp học sinh vận dụng lí thuyết vào bài tập. Đưa các bài tốn khó về
các bài toán thường gặp.
IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI:
Häc sinh lớp 12A2 - Trờng THPT số 1 Bảo Yên.
Thời gian nghiên cứu: Trong năm học 2013 - 2014.
1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


PHẦN II
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Tiếp tuyến của đường cong phẳng
Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y = f(x)
và M(x
; f (x
))
kí hiệu M’(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C)
y
M,

f(x)
f (x

M
)

T
O

x

x

x
Đường thẳng MM’ là một cát tuyến của ( C).
thì M’(x; f(x))

Khi x

di chuyển trên ( C) tới M(x

)) và ngược lại. Giả sử MM’ có vị

; f (x

trí giới hạn, kí hiệu là MT thì MT được gọi là tiếp tuyến của ( C) tại M. Điểm M
được gọi là tiếp điểm
Định lý:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến tại tại M(x
;y

)

Với: f’(x

có dạng: y=f’(x

).( x -x

) là hệ số góc của tiếp tuyến và y

)+y
= f (x

)

Chú ý:
Dạng bài: Cho hàm số

có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến

với (C) tại một điểm

.

Phương pháp giải:
- Tính

.

- Tính hệ số góc của tiếp tuyến

.

- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm

là:

PHẦN III
BÀI TẬP ÁP DỤNG
2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


A. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài tập 1. Cho hàm số

có đồ thị (C).Viết phương

trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(2; - 2)(C).
Giải
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A có dạng:

Bài tập 2. Cho hàm số:

. Viết phương trình tiếp tuyến với

(C) tại điểm có tung độ bằng

.
Giải

Gọi xo là hồnh độ tiếp điểm  ta có
 phương trình tiếp tuyến tại

+Với

 phương trình tiếp tuyến tại

+Với

.
là:

là:

Nhận xét 1:
Bài tập 1 khi đã cho hoành độ và tung độ vì vậy viết phương trình tiếp
tuyến là tương đối đơn giản, học sinh chỉ cần tính đạo hàm và tìm hệ số góc của
tiếp tuyến, Đến bài tập 2 thì độ khó đã tăng nên đầu bài chỉ cho tung độ chúng
ta cần hướng dẫn học sinh tìm hồnh độ rồi quay về bài tập 1,ngoài ra bài tập 2
cịn có thể cho biết hồnh độ chúng ta phải tìm tung rồi mới viết phương trình
tiếp tuyến cụ thể như sau(( Cho hàm số:

. Viết phương trình

tiếp tuyến với (C) tại điểm có hồnh độ bằng -2 )).
Các bài tập tương tự
Bài tập 3:
3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1. Cho hàm số

có đồ thị (C) . Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng

5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A và B.
Tính diện tích tam giác OAB
ÐỀ CAO ĐẲNG NĂM 2013
Giải
x=2

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của

Phương trình tiếp tuyến : y – 5 = y’(2)(x – 2)  y = -3x + 11
Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại A và B.
A (0; 11);

B(

; 0); SOAB =

2. Cho hàm số

(đvdt)

có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C ) tại

điểm có hồnh độ là nghiệm phương trình f’’(x) = 0
3. Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + 2 có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị
(C) biết tiếp tuyến có hồnh độ tiếp điểm x0 là nghiệm phương trình f’’(x0) =-6
4. Cho hàm số y = f(x) =

có đồ thị (C). Viết PTTT của đồ thị (C) tại điểm

có hồnh độ x0 là nghiệm phương trình f’(x0) = 7
Bài tập 4. Cho hàm số

có đồ thị (C).

Cho
, tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số (C) tại
hai điểm A, B . Chứng minh rằng M là trung điểm AB .

Giải
,

,

tiếp tuyến tại M có dạng (d) :

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 .
suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 ,
suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ :

4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Nhận xét :

(đpcm)

Nhận xét 2:
Đây là bài tập phải tính tốn tương đối phức tạp, đầu tiên ta phải giải
tích được điểm M thuộc đồ thị (C) nghĩa là

.

Phương trình tiếp tuyến được viết theo điểm
.

Xác định các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị, sau đó tìm giao điểm
của tiếp tuyến với các tiệm cận bằng cách giải hệ phương trình tìm ra tọa độ
các điểm A, B.
Bài tập 5. Cho hàm số
Tìm điểm M

có đồ thị (C)

sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ

tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

(ĐH 2007 khối D)

Giải
,
Tiếp tuyến tại M có dạng :

Gọi

tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :

Gọi

tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :

Tam giác OAB vuông tại O ; OA =

; OB =  

Diện tích tam giác OAB :
S=

OA.OB =

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài tốn :
Nhận xét 3:
Đây là bài tập phải tính toán tương đối phức tạp và cách giải tương tự
như bài tập 4, nhưng sau khi tìm được tọa độ các điểm A, B chúng ta phải nhận
xét được tam giác OAB có đặc điểm gì để có thể tính được diện tích một cách
nhanh nhất. Cụ thể trong bài này thì tam giác OAB là tam giác vng tại O vì
vậy diện tích tam giác OAB là S =

OA.OB

Bài tập 6. Cho hàm số
có đồ thị (C), và điểm
(C) , tiếp
tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại điểm B khác điểm A . Tìm hồnh độ
điểm B theo
Giải
Điểm
(C)
,
Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng :

phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C) :

Vậy điểm B có hồnh độ
Nhận xét 4:
Đây là bài tập thuộc dạng quen thuộc vì

(C)

ta vẫn làm theo các bước thơng thường
- Tính

.

- Tính hệ số góc của tiếp tuyến

.

- Phương trình tiếp tuyến với độ thì (C) tại điểm

là:

Tìm giao điểm của tiếp tuyến và đồ thị ta sẽ được hoành độ điểm B, chú ý là
hoành độ của điểm A phải khác hoành độ của điểm B.
Bài tập 7. Cho hàm số

có đồ thị (C)

Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của
(C) tại A, B. Chưng minh rằng diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm
cận) khơng phụ thuộc vào vị trí của M.

Giải

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Gọi
Tiếp tuyến tại M có phương trình:
Giao điểm với tiệm cận đứng

là

Giao điểm với tiệm cận ngang
Giao hai tiệm cận I(-1; 2)

là

Suy ra đpcm
Bài tập 8. Cho hàm sớ

có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M thuộc đồ thị, biết khoảng cách
từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng
.
Giải
*Tiếp tuyến của (C) tại điểm

có phương trình

Hay
(*)
*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng

giải được nghiệm

và

*Các tiếp tuyến cần tìm :

và

Bài tập 9. Cho hàm số

có đồ thị (C)

Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ
M là lớn nhất
Giải
Gọi

tới tiếp tuyến của (C) tại

Thì phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị là
hay

Khoảng cách từ

tới tiếp tuyến là:

.

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:

,
7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vậy
.
Khoảng cách d lớn nhất là bằng

khi
.

Có hai điểm M thỏa mãn là M :

hc

Nhận xét 5:
Bài tập 9 là mở rộng của bài tập 8,chỉ khác nhau ở chỗ là bài tập 9 sau
khi tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng chúng ta phải lập luận
sao cho khoảng cách từ

tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.

Cách 1: chúng ta sử dụng bất đẳng thức Côsi như trên.
Cách 2: chúng ta sử dụng đạo hàm bằng cách đặt ẩn phụ như sau

Đặt t = (x0 + 1)2, với
Ta xét hàm số

trên

Tính đạo hàm rồi kẻ bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên chúng ta sẽ được
kết quả cần tìm.

B. CÁC BÀI TẬP MỞ RỘNG:
Bài tốn 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số

. Viết phương

trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
Bài tập 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

(C) có hệ số

góc bằng 2.
Giải
= 2 =>
Có 2 toạ độ tiếp điểm là
8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hai phương trình tiếp tuyến:

và

Bài tập 11. Viết phương trình tiếp tuyến với
song song với

:

biết tiếp tuyến

.
Giải

Ta có
Có hai phương trình tiếp tuyến
Bài tập 12. Cho hàm số

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp

tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
Giải
Đường thẳng

có hệ số góc

. Vì tiếp tuyến d cần tìm vng góc với

đường thẳng

nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là

Hồnh độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình :

Thay lần lượt
tuyến là:

vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta được các tiếp
và

Nhận xét 6:
Các bài tập 10, 11, 12 ta nhận thấy có chung một cách làm và đối với bài
tốn Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số

. Viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k.
Cách làm
-Tìm hồnh độ tiếp điểm vì f’(x
) là hệ số góc của tiếp tuyến và y
=
f (x
)
- Tìm tung độ của tiếp tuyến và viết phương trình tiếp tuyến khi đã cho hệ số
góc
9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


- Chú ý: mối quan hệ giữa hai đường thẳng y = a1x + b1 và y = a2x + b2
Hai đường thẳng song song với nhau khi a1 = a2 và b1 khác b2

Hai đường thẳng vng góc với nhau khi a1. a2 = -1

Bài toán 2. Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm

cho trước. Viết

phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
Bài tập 13. Cho hàm số

. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ

thị từ điểm
Giải
Đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc là k có dạng

10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm

Thay k lần lượt vào (*), ta được các phương trình tiếp tuyến là
và
Bài tập 14. Cho hàm số

. Viết pttt của (C) đi qua
Giải

Phơng trình đờng thẳng qua

có dạng:

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ
sau:
có nghiệm.
Suy ra
+) Với x = 0
+) Víi
+) Víi x= -

. Pttt lµ:
. Pttt lµ:
. Pttt lµ: y =

KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyến kẻ từ

.
đến đến thị (C).

Nhn xột 7:
11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm

cho trước. Viết phương

trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua điểm A
Cách giải
Đường thẳng d đi qua điểm A và có hệ số góc là k có dạng
Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm

Giải hệ phương trình trên ta tìm được k, thay k vào

Bài tốn 3. Áp dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm
vào chứng minh bất đẳng thức .
Bài tập 14. Cho

và a + b + c = 1.

Chứng minh rằng:
Giải
 Bất đẳng thức có dạng thuần nhất, đối xứng 3 biến
12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


 Bất đẳng thức đã cho có dạng
 Xét hàm số
với

ta có

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hồnh độ

là

Ta chứng minh rằng :

Thật vậy :

xét

ln

đúng.
Do đó với a,b,c thuộc

và a+b+c = 1 ta có :

Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Bài tập 15. Cho a, b, c > 0.
Chứng minh rằng:
Giải
 Bất đẳng thức có dạng thuần nhất ,đối xứng 3 biến
 Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng
Ta biến đổi như sau :
Do vai trị a, b, c bình đẳng như nhau nên có thể đặt a + b + c = 3
và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1
BĐT đã cho trở thành

 Bất đẳng thức đã có dạng
Xét hàm số

với x  (0; 3)

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = 1 là:
Xét
Từ đó ta có:
Vậy

đpcm

Nhận xét 8:
Bài tập 14, 15 là dạng bài tập về chứng minh một bất đẳng thức dựa vào
phương trình tiếp tuyến ta tổng quát thành các bước làm như sau:
Bước 1: Chọn điểm rơi của bất đẳng thức nếu đầu bài cho như bài 14, hoặc do
vai trị các biến là bình đẳng như nhau nên có thể đặt a + b + c = 3
và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1 như bài 15
Bước 2: Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số

tại điểm rơi, chứng

minh được bất đẳng thức.

Bài tập tương tự
1. Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa điều kiện
CMR:
2. Cho a, b, c là 3 số thực thỏa điều kiện : a + b + c = 1
Chứng minh rằng :

3. Cho x,y,z > 0 và

.

Chứng minh rằng :
4.Chứng minh rằng :

14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


PHẦN IV
THỜI GIAN VÀ HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
Kết luận
Học xong chương trình lớp 11 học sinh cơ bản đã viết được phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số
góc. Đến lớp 12 học sinh mới được học viết phương trình tiếp tuyến đi qua một
điểm. Đa số học sinh còn chưa phân biệt được hay nói cách khác là cịn nhầm
15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


lẫn giữa các dạng phương trình tiếp tuyến cơ bản với nhau. Học sinh thường hay
nhầm lẫn mặc định khi điểm M (x0; y0) thuộc đồ thị thì đó là tiếp tuyến tại một
điểm. Sau khi đã hướng dẫn các em phân chia các loại của phương trình tiếp
tuyến thì đa số các em khơng cịn sự nhầm lẫn và đã phân biệt và trình bày bài
làm khá tốt kể cả các bài phương trình tiếp tuyến trong các đề thi đại học và các
đề thi thử đại học.

Thời gian áp dụng: Học kì I năm học 201 3- 2014
Phạm vi: Lp 12A2
Kt qu trc khi ỏp dng:

Lớp
12A
2

Sĩ
số
38

Giỏi

Khá

Trung
bình

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

1

2,6
%

4

10,5
%

8

25
%

25

61,9
%

Kt qu sau khi ỏp dng:

Lớp

12A
2

Sĩ
số
38

Giỏi

Khá

Trung
bình

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

10

26
%

14

36,8
%

12

32%

2

5,2
%

PHN V
TI LIU THAM KHO
1. Sỏch giỏo khoa giải tích cơ bản 12.
2. Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12.
3. Bài tập giải tích cơ bản 12.
16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

4. Bài tập giải tích nâng cao 12.
5. Các đề thi ĐH - CĐ và các đề dự bị môn tốn của BGD& ĐT.

PHẦN VI
PHỤ LỤC
TT

Nội dung

Trang

1

Trang bìa

1

2

Phần I. Mở đầu

2

3

Phần II. Tóm tắt lí thuyết

3

4

Phần III. Bài tập

5

Phần IV. Thời gian áp dụng và hiệu quả

16

6

Phần V.Tài liệu tham khảo

17

7

Phần VI. Phụ lục

17

4- 15

KẾT LUẬN CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add