Thể tích hình chóp

LUYỆN THI ĐẠI HỌC -VÀO LỚP 10 Nguyễn Việt Hiếu

1






Giải :

a. Từ S hạ SH vuông góc với AB.
Ta có
   
     
SAB ABCD
SAB ABCD AB SH ABCD
SH AB



   





Do tam giác ABC đều nên H là trung điểm của AB=> chân đường cao H hạ từ đỉnh S trùng với trung điểm
của cạnh AB
b. Ta có
c.

23
.
1 1 3 3
. . . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a
V SH S a a  


Tài liệu bài giảng:

07.ĐÁP ÁN THỂ TÍCH KHỐI CHÓP P3
Nguyễn Việt Hiếu
LUYỆN THI ĐẠI HỌC -VÀO LỚP 10 Nguyễn Việt Hiếu

2

Giải: Hạ chiều cao AH của tam giác đều ABC cạnh a
Ta có
   
     
.
1
.
3
A BCD BCD
ABC BCD
ABC BCD BC AH BCD V AH S
AH BC




     





Ta có
3
2
a
AH 

Ta có
   
 
 
; ; 45°AH BCD AD BCD AD HD ADH       

Xét tam giac vuông AHD ta có
3
tan
tan45° 2
AH AH a
ADH HD AH
HD
     

Ta có H là trung điểm của BC. Suy ra DH vuông góc với BC
2
1 1 3 3
. . . .
2 2 2 4
BCD
aa
S DH BC a  

23
.
1 1 3 3
. . .
3 3 2 4 8
A BCD BCD
a a a
V AH S   


Giải :

Từ S hạ SH vuông góc với AB. Suy ra H là trung điểm của AB
LUYỆN THI ĐẠI HỌC -VÀO LỚP 10 Nguyễn Việt Hiếu

3
Ta có
   
     
.
1

3
S ABCD ABCD
SAB ABCD AB
SAB ABCD SH ABCD V SH S
SH AB



    





3
2
a
AH 

Từ h kẻ HK vuông góc với AC
Ta có
 
 
     
 
 
; ; 30°
AC HK
AC SKH SAC ABCD SK HK SKH

AC SH SH ABCD



      






Xét tam giác vuông SHK có
3
3
2
tan
1
2
3
a
SH a
SKH HK
HK
   

Mặt khác tam giác AHK đồng dạng với tam giác ABC
2
3
.
2

3 . .3 3
2
ABCD
a
a
AH HK
BC a S AB BC a a a
a
AB BC
        

23
.
1 1 3 3
. . . .3
3 3 2 2
S ABCD ABCD
a
V SH S a a   


Giải:

Ta có
   
 
 
SAB ABCD AB
BC SAB
BC AB

AD SAB
AD AB















Mặt khác
   
 
   
 
 
; ; 30°
SBC ABCD BC
SBC ABCD SB AB SBA
BC SAB




      





LUYỆN THI ĐẠI HỌC -VÀO LỚP 10 Nguyễn Việt Hiếu

4
Tương tự
   
 
   
 
 
; ; 30°
SAD ABCD AD
SAD ABCD SA AB SAB
AD SAB



      





Vậy tam giac SAB cân tại S. Từ S hạ SH vuông góc với AB suy ra H là trung điểm của AB
Ta có

   
 
.
1
.
3
S ABCD ABCD
SAB ABCD AB
SH ABCD V SH S
SH AB



   





2
. 2 .4 8
ABCD
S AB BC a a a  

Ta có
2
tan .tan30°
3
AB
AH a

SH a
SAH SH a
AH

    

23
.
1 1 8
. . .8
33
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V SH S a a   


Giải:

a. Ta có
 
 
 
BD AC
BD SAC
BD SA SA ABCD










b.
.
1
.
3
S ABCD ABCD
V SAS

Ta có
   
SBC ABCD BC

Mà
 
 
     
 
 
; ; 30°
BC AB
BC SAB SBC ABCD SB BA SBA
BC SA SA ABCD




        





Xét tam giác vuông SBA có
tan .tan30°
3
SA a
SBA SA a
AB
    

LUYỆN THI ĐẠI HỌC -VÀO LỚP 10 Nguyễn Việt Hiếu

5
3
2
.
11
. . .
33
3 3 3
S ABCD ABCD
aa
V SAS a   

c. Ta có
3

.

.
1 1 1 1 1 1 1
. . . . . .
3 3 3 3 3 9 2
3 18 3
S MBD
S MBD S ABD ABD
S ABD
V
SA a
SM V V SAS a a a
V
       


Giải:

Ta có
22
2 2 2
2 2 2
4
4
AB a
SA SB AB
SA SB a




   




tam giác SAB vuông tại S
Từ H hạ SH vuông góc với AB
Ta có
   
 
.
1
.
3
S BMDN BMDN
SAB ABCD AB
SH ABCD V SH S
SH AB



   





Xét tam giac vuông SAB có
. 3 3

22
a a a
SH AB SA SB SH
a
   

22
11
4 .2 . .2 . 2
22
BMDN ABCD ADM DNC
S S S S a a a a a a      

3
2
.
1 1 3 3
. . .2
3 3 2 3
S BMDN BMDN
aa
V SH S a  

Gọi I là trung điểm của AD, K là trung điểm của AI
Ta có KM song song BI, BI song song DN suy ra MK song song DN
   
;;SM DN SM MK SMK     

Ta có

2
2 2 2
5
22
aa
KM AM AK a

    



LUYỆN THI ĐẠI HỌC -VÀO LỚP 10 Nguyễn Việt Hiếu

6
3
2
.
1 1 3 3
. . .2
3 3 2 3
S BMDN BMDN
aa
V SH S a  

22
2
2
22
22
22

2 2 2 2
2 2 2 2
3
22
2 3 2 5
2 2 2 2 2 2
SA a a a a
AH HM AM AH a
AB a
aa
SM SH HM a
a a a a a a
HK AK AH SK SH HK
        


    





   
   
          
   
   
   
   
   

Ta có
 
22
2
2 2 2
55
22
1
cos ; cos
2.
55
2. .
2
aa
a
SM MK SK
SM DN SMK
SM MK
a
a
   

   
   

   
     

Giải



Giải
LUYỆN THI ĐẠI HỌC -VÀO LỚP 10 Nguyễn Việt Hiếu

7


Giải:

Từ S hạ SH vuông góc với AC. Suy ra H la trung điêm của AC
Ta có
   
 
.
1
.
3
S ABC ABC
SAC ABC AC
SH ABC V SH S
SH AC



   






2
1 3 3

2 2 4
ABC
aa
Sa

a.
3SB a

Xét tam giác vuông SBH có
 
2
2
22
33
3
22
aa
SH SB HB a

    




2
3
.
1 1 3 3 3
. . .
3 3 2 4 8
S ABC ABC
aa
V SH S a   

b. SB tạo với đáy 1 góc 30 độ
Ta có
   
 
 
; ; 30°SH ABCD SB ABC SB HB SBH       

LUYỆN THI ĐẠI HỌC -VÀO LỚP 10 Nguyễn Việt Hiếu

8
31
tan .
22
3
SH a a
SBH SH
HB
    
2
3

.
1 1 3 3
. . .
3 3 2 4 24
S ABC ABC
aa
V SH S a   


Giải:

Từ S hạ SH vuông góc với AD. Suy ra H là trung điểm của AD
Ta có
   
   
 
 
;;
SAD ABCD AD
SH ABCD SB ABCD SB SB SBH
SH AD



       





 
2
2
22
tan .tan30°
17 17 1 17
2.
2 2 2
3 2 3
SH
SBH SH HB
HB
a a a
HB AH AB a SH a
   

       



3
.
1 1 17 7
. . . .2
33
2 3 3 3
S ABCD ABCD
V SH S aa a a   

Giải:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC -VÀO LỚP 10 Nguyễn Việt Hiếu

9



Giải:

Từ S hạ SH vuông góc với AC
Ta có
   
 
.
1

3
S ABCD ABCD
SAC ABCD AC
SH BCD V SH S
SH AC



   





2
. 3. 3
ABCD
S AB AD a a a  

Xét tam giác vuông SAC có
22
2 2 2 2 2 2
3 2 4 3
SC AC SA
AC AB AD a a a SC a a a

        

LUYỆN THI ĐẠI HỌC -VÀO LỚP 10 Nguyễn Việt Hiếu

10
. . 3 3
22
SASC a a a
SH
AC a
  
3
2
.
1 1 3
. . . . 3
3 3 2 2
S ABCD ABCD

aa
V SH S a   


Giải:

Từ S hạ SH vuông góc với AB. Suy ra H là trung điểm của AB.
Ta có
   
 
.
1
.
3
S ABCD ABCD
SAB ABCD AB
SH ABCD V SH S
SH AB



   





2
ABCD
Sa

Từ H hạ HK vuông góc với BM
Ta có
 
 
     
 
 
; ; 60°
BM HK
BM ABCD SBM ABCD SK HK SKH
BM SH SH ABCD



        





Xét tam giác vuông SKH có
2 2 2
2 2 2
2
tan .tan60°

1 1 1 .
22
55

2
4
SH
SKH SH HK
HK
aa
aa
HB HM a
HK
HK HB HM
a
HB HM a
a
   
      



3
.tan60° . 3
55
aa
SH HK   

23
.
1 1 3 3
. . .
33
5 3 5

S ABCD ABCD
a
V SH S a a   