284 đề HSG toán 6 vĩnh tường 2019 2020

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH TƯỜNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. a) Tìm số tự nhiên

n

thỏa mãn

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2019-2020
Mơn: Tốn

2n + 7

chia hết cho

n +1

n:

12n + 1
30n + 2

b) Chứng minh rằng phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên
2
2.( 2 x − 7 ) = 18
x
Câu 2. a) Tìm biết:
914.255.87

A = 12
18 .6253.243
b) Rút gọn:
AB,
10cm.
C
AB
Câu 3. a) Cho đoạn thẳng
có độ dài
Gọi điểm là trung điểm của
AB saocho AD = 6cm.
BD.
gọi D là điểm thuộc đoạn
Gọi E là trung điểm của
Gọi F
AD.
BC
EF ?
là trung điểm của
Tính độ dài các đoạn thẳng
và
·
·
xOy
= 1200 ,
Ox, Oy
xOz
= 700 ,
Oz
Ot

b) Cho
vẽ tia
nằm giữa hai tia
sao cho
gọi tia
· ,
·
Oy.
xOz
Om
mOt
là tia phân giác của
gọi tia
là tia đối của tia
Tính số đo góc
1012.
Câu 4. a) Tổng của ba số nguyên tố bằng
Tìm số nhỏ nhất trong ba số
nguyên tố đó.
A = abc + bca + cab
b) Chứng tỏ rằng số sau không phải là số chính phương:
A = 1 + 2 + 2 2 + ...... + 2 2009 M
3
Câu 5. a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0
2010
mà số đó chia hết cho
10km
AB
Câu 6. a) Một người đi quãng đường

dài 20km. Biết rằng
đầu người đó
20km / h
30km / h
đi với vận tốc
và 10km sau người đó đi với vận tốc
. Hỏi vận tốc
AB
trung bình của người đó trên quãng đường
là bao nhiêu ?
a, b
ab.b = 1ab
b) Tìm các chữ số
biết


1234567899

9123456789

Câu 7. a) hãy so sánh :
và
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà số đó chia cho 5, cho 7, cho 9 có số dư theo thứ tự
3,4,5?
là
Câu 8. a) Chứng minh rằng:
1
1
1   1
1

1
1 
1
+ + ...... +
+
+
+ ..... +
 +
÷: 
÷= 1
100   1.2 3.4 5.6
99.100 
 51 52 53

b) Cho

a, b

a b
+ ≥2
b a

là các số nguyên dương. Chứng minh rằng
50.
Câu 9. a) Cho 6 số tự nhiên khác nhau có tổng bằng
Chứng minh rằng trong 6
30.
số đó có tồn tại ba số có tổng lớn hơn hoặc bằng
11
109345

1111
b) Tìm số dư khi chia
cho 14 và tìm số dư khi chia
cho 30.


ĐÁP ÁN
Câu 1.
n=0
n=4
a)
hoặc
12n + 1,30n + 2
d
b) Gọi là UCLN của
⇒ 2 ( 30n + 2 ) − 5 ( 12n + 1) = −1Md ⇒ d = 1
12n + 1
30n + 2

Vậy phân số
tối giản với mọi số tự nhiên
Câu 2.
x=5
x=2
a)
hoặc
3
A=
25
b)

Câu 3.
a)

n

AC = BC = 5cm
Tính được độ dài
BD = 4cm, DE = BE = 2cm, AF = DF = 3cm ⇒ EF = 5cm
b)


\
·
·
·
mOx
= 600 ⇒ xOt
= 350 , mOt
= 950

Tính được
Câu 4.
a) Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012 nên trong ba số đó có một số chẵn. Vậy
số nguyên tố nhỏ nhất là 2
b) Giả sử A là số chính phương.
A = abc + bca + cab = 3.37.( a + b + c ) M
37 ⇒ AM
37 2 ⇒ 3. ( a + b + c ) M37

0 < a + b + c ≤ 27

Vơ lý vì 37 là số nguyên tố và
Vậy A không phải là số chính phương.
Câu 5.
a) A = 1 + 2 + 22 + 23 + .... + 22009 = ( 1 + 2 ) + 22 ( 1 + 2 ) + ..... + 22008. ( 1 + 2 ) M
3
2011

2;22;222;.....;222....2

b) Xét
số:
số cuối cùng có 2011 chữ số 2. Các số này
khi chia cho 2010 ta được 2011 số dư.Mà một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 2010
0;1;2;.....;2009
chỉ có thể có số dư là:
có 2010 khả năng dư. Do đó theo nguyên lý
Dirichle tồn tại hai số trong các số trên có cùng số dư khi chia cho 2010. Hiệu của
222...2000....0
chúng có dạng
chia hêt cho 2010
Câu 6.


a) Thời gian người đó đi
Thời gian người đó đi

10km
10km

đầu là

sau là:

10 1
= h
20 2
10 1
= h
30 3
5
20 : = 24 ( km / h )
6

AB
Tổng thời gian người đó đi quãng đường
là:
ab.b = 1ab ⇒ ab.b = 100 + ab ⇒ 100Mab ⇒ ab = 25(do b ≠ 0)
b) Ta có:
a = 2, b = 5
Vậy
Câu 7.
a)9123456789 > 9100.000.000 = 8150.000.000 > 1050.000.000
> 10100 = ( 1010 ) > 1234567899
10

2a
b) Gọi số cần tìm là a. Số
chia cho 5, cho 7, cho 9 đều có số dư là 1. Suy ra
2a − 1 = BCNN ( 5,7,9 )
a = 158
. Vậy

Câu 8.
1
1
1  1 1 1 1 1 1
1
1
 1
a) 
+
+
+ ...... +
−
÷ = − + − + − + ...... +
99.100  1 2 3 4 5 6
99 100
 1.2 3.4 5.6
=1+

1 1
1
1 
1 1 1
+ + .... +
− 2  + + + ..... +
÷
2 3
100
100 
2 4 6

=1+

1 1
1 1 1 1
1  1
1
1
1
+ + .... +
−  + + + ..... + ÷ = +
+ + ..... +
2 3
100  1 2 3
50  51 52 53
100

1
1
1   1
1
1
1 
1
⇒ +
+ + ..... +
+
+
+ ...... +
÷: 
÷= 1

100   1.2 3.4 5.6
99.100 
 51 52 53

a ≥ b ⇒ a = b + m, m ∈ ¥

b) Khơng mất tính tổng qt giả sử
a b b+m
b
m
b
m
b
⇒ + =
+
=1+ +
≥1+
+
=2
b a
b
b+m
b b+m
b+m b+m
Câu 9.


a, b, c, d , e, g

a>b>c>d >e> g

a) Gọi 6 số đã cho là
giả sử:
b
≥
10,
c
≥
11
⇒
a
+
b
+
c
≥ 9 + 10 + 11 = 30
c≥9
*Nếu
thì
d ≤ 7; e ≤ 6; g ≤ 5 ⇒ d + e + g ≤ 7 + 6 + 5 = 18 ⇒ a + b + c ≥ 32 > 30
c≤8
*Nếu
thì
109 ≡ 11( mod14 ) ⇒ 109345 ≡ 11345 ( mod14 )
b)
113 ≡ ( −3) = −27 ≡ 1( mod14 ) ⇒ 11345 = ( 113 )
3

115

≡ 1( mod14 )

⇒ 109345 ≡ 11345 ≡ 1(mod14)

109345

1
Vậy số dư khi chia
cho 14 là
112 = 121 ≡ 1( mod30 ) ;1111 ≡ 1( mod 2 ) ⇒ 1111 = 2k + 1( k ∈ ¥ )
⇒ 1111 = 112 k +1 = ( 112 ) .11 ≡ 11( mod 30 )
11

k

11

Vậy số dư khi chia

1111

cho 30 là

11