187 đề HSG toán 6 yen kỳ 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
YÊN KỲ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019
MƠN TỐN LỚP 6
(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1. (5,0 điểm)
50
48
46
44
6
4
2
Cho A  5  5  5  5  .....  5  5  5  1

a) Tính A
n
b) Tìm số tự nhiên n biết 26 A  1  5

c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
Bài 2. (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, biết:
a)1  3  5  7  9  .....   2 x  1  225
b)2 x  2 x 1  2 x  2  2 x 3  .....  2 x  2015  22019  8
Bài 3. (5,0 điểm)
a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37
b) Tìm số x, y nguyên biết x. y  12  x  y
Bài 4. (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho
3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3
Bài 5. (4,0 điểm)

1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ
được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường
thẳng
2. Vẽ đoạn thẳng AB  6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho
AC  BD  9cm.
a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.


b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) A  550  548  546  544  ....  56  54  52  1

 25 A  52  550  548  546  544  ....  56  54  52  1
 552  550  548  546  .....  58  56  54  52
 25 A  A  552  1  26 A  552  1
552  1
 A
26
n
52
52
n
b) Ta có: 26 A  1  5 mà 26 A  5  1 nên 5  1  1  5  n  52

c) Ta có:

A  550  548  546  544  ....  56  54  52  1 (có 26 số hạng)

  550  548    546  544   ....   56  54   52  1

  550  548    546  544   ....   56  54    52  1

 548. 52  1  544. 52  1  .....  54.  52  1   52  1
 548.24  544.24  ......  54.24  24
 546.25.24  542.25.24  .....  52.25.24  24

 546.600  542.600  .......  52.600  24  6.100. 546  542  .....  52   24
Suy ra A chia cho 100 dư 24.
Bài 2.

a)1  3  5  7  9  ....   2 x  1  225
Với mọi x  ¥ ta có: 2 x  1 là số lẻ
Đặt A  1  3  5  7  .....   2 x  1


Số số hạng của A là:  2 x  1  1 : 2  1  x (số hạng)

 A   2 x  1  1 .x : 2  x 2
2
2
Mà A  225  x  225  15  x  15

b)2 x  2 x 1  2 x  2  2 x 3  .....  2 x  2015  2 2019  8
2 x  2 x.2  2 x.22  2 x.23  .....  2 x.22015  22019  23
2 x. 1  2  22  23  .....  2 2015   23. 2 2016  1
2
3
2015

Đặt M  1  2  2  2  ...  2
2
3
4
2016
2016
Ta được 2M  2  2  2  2  .......  2  M  2  1

Vậy ta có:

2 x. 22016  1  23. 2 2016  1  2 x  23  x  3

Vậy x  3.
Bài 3.
a) Ta có:





abcM
37  100abcM
37  abc00M
37  ab.1000  c00 M
37





  ab.999  c00  ab M
37


37  cabM
37
Mà ab.999  ab.37.27M
37 thì cabM
37
Vậy nếu abcM

b) Ta có xy  12  x  y  x. y  x  y  12  0


 x  y  1  y  12  0

 x  y  1   y  1  11  0
  x  1  y  1  11

 1

Vì x, y  ¢ nên x  1 ¢; y  1 ¢
Do đó từ  1  x  1; y  1là các ước của 11
Các ước của 11 là: 11; 1;1;11
 x  10
x  1  11  y  1  1  
(tm)
y2

+)Với

x  0
 y  1  11  
(tm)
y  12

x

1


1
+)Với
x  2
x  1  1  y  1  11  
(tm)
y  10

+)Với

 x  12
x  1  11  y  1  1  
(tm)
y0

+)Với

Vậy

 x; y    10;2  ;  0;12  ;  2; 10  ;  12;0  

Bài 4.
Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3

3; a  4M
5; a  3M
7
Nên a  1M2; a  1M
 a  1M2; a  2M
3; a  1M
5; a  4M7
 a  11M2; a  11M
3; a  11M
5; a  11M
7
 a  11 BC  2;3;5;7 


Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất  a  11  BCNN  2;3;5;7 
Mà các số 2;3;5;7 nguyên tố cùng nhau  BCNN  2;3;5;7   2.3.5.7  210

 a  11  210  a  199
Vậy số tự nhiên cần tìm là 199
Bài 5.
1. Giả sử trong 30 điểm phân biệt khơng có 3 điểm nào thẳng hàng:
+Chọn một điểm bất kỳ trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29
điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng.
+Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng.
+Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được
là  29.30  : 2  435 đường thẳng.

Vậy qua 30 điểm phân biệt mà khơng có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435
đường thẳng.
- Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt khơng có 3 điểm nào thẳng
hàng ta vẽ được a  a  1 : 2  1 đường thẳng.
Theo bài ra ta có: a  a  1 : 2  1  435  421  14  a  a  1  30  6.5
Vì a  1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a  1  a nên a  6
2.


a) Vì D nằm giữa A và B nên: AD  DB  AB
Thay AB  6cm ta có: AD  DB  6cm
Lại có AC  DB  9cm  AD  DB  AC  DB hay AD  AC
Trên tia AB có: AD  AC  D nằm giữa A và C
b) Vì D nằm giữa A và C suy ra AD  DC  AC
Lại có: AC  DB  9cm , suy ra AD  DC  DB  9cm hay  AD  DB   DC  9cm
Thay AD  DB  6cm , ta có: 6cm  DC  9  cm  . Vậy DC  3cm.