009 đề HSG toán 6 hương sơn 2018 2019

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HƯƠNG SƠN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2018-2019
MƠN THI: TỐN

Câu 1. (4,5 điểm)
1) Tính giá tri của các biểu thức sau:
a )2.  62  24  : 4   2014
1
1 
7
1

b) 1  2  3 : 1  3  4 
3
4 
12
2

2
5

x    x  x 
3
6

2) Tìm x, biết:
Câu 2. (4,5 điểm)
x  x   x    x  1   1

1) Tìm x ¢ , biết:
2) Tìm các chữ số x, y sao cho 2014 xyM42





a 1
1
 
3) Tìm các số nguyên a, b biết rằng: 7 2 b  1
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Tìm số tự nhiên n để  n  3  n  1 là số nguyên tố
2) Cho n  7a5  8a 4. Biết a  b  6 và n chia hết cho 9. Tìm a, b
a
3) Tìm phân số tối giản b lớn nhất  a, b  ¥ * sao cho khi chia mỗi phân số
4 6
a
;
75 165 cho b ta được kết quả là số tự nhiên.
Câu 4. (5,0 điểm)
1) Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM  3cm, ON  7cm
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN .
b) Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP  2cm. Tính độ dài đoạn thẳng OP.
c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của
đoạn thẳng MN
2) Cho 2014 điểm, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam
giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó
Câu 5. (2,0 điểm)
1 2 3 4

2014
S   2  3  4  .....  2014 .
4 4 4 4
4
1) Cho tổng gồm 2014 số hạng,
Chứng minh
1
S
2


2) Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng n  S  n   2014, trong đó S  n  là tổng các
chữ số của n


ĐÁP ÁN
Câu 1.
1) a)2.  62  24  : 4   2014  2.  36  24  : 4   2014  2020
1
1 
7
1 1 1  7 1

b) 1  2  3 : 1  3  4    :    1
3
4 
12
2   3 4   12 2 

2

5
2
5

2) x    x   x   x   x  x 
3
6
3
6

5 2 1
x  
6 3 6
Câu 2.
1) x  x   x    x  1   1  x   x   x  x  1   1





 x   x  2 x  1  1  x  x  2 x  1  1  2 x  2  x  1
2)2014 xy  201400  xy  42.4795  10  xy M42  10  xy M
42

Do 0  xy  100  xy   32;74 . Vậy  x; y    3;2  ;  7;4 
a 1
1
2a  7
1
3)  



  2a  7   b  1  14
7 2 b 1
14
b 1
Do a, b  ¢  2a  7 U (14)   1; 2; 7; 14

Vì 2a  7 lẻ nên 2a  7   7; 1;1;7  a   0;3;4;7
 a, b     0; 3 ;  3; 15  ;  4;13 ;  7;1 
Từ đó tính được
Câu 3.
1) Để  n  3  n  1 là số nguyên tố thì một trong hai thừa số n  3; n  1 phải bằng 1
Mà n  3  n  1  1  n  1  1  n  0 . Khi đó n  3  3 là số nguyên tố.
Vậy n  0 thì  n  3  n  1 là số nguyên tố.
9  7  a  5  8  b  4M
9
2) Ta có: n  7a5  8b 4M
 24  a  bM
9  a  b   3;12 (vì a  b  19)

Mà a  b  6  a  b  3  a  b  12
Kết hợp với a  b  6  a  9, b  3
14 a 14b
: 
 ¥  14Ma, bM75
3) Ta có: 75 b 75a
16Ma
16 a 16b
: 

¥  
175
165 b 165a
bM
Tương tự :


a
Để b là số lớn nhất thì a  UCLN (14,16)  2; b  BCNN (75;165)  825
a
2

Vậy b 825
Câu 4.

1)
a) Do M, N cùng thuộc tia Ox mà OM  ON nên M nằm giữa hai điểm O và N
 OM  MN  ON  3  MN  7  MN  4cm
b) Th1: Nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P
 OP  OM  MP  3  2  5cm
Th2: Nếu P nằm giữa O và M
 OM  OP  PM  OP  OM  PM  3  2  1cm
c) M nằm giữa O và P  OP  5cm  ON  7cm nên P nằm giữa O và N
Suy ra : OP  PN  ON  5  PN  7  PN  2cm
Do đó MP  PN , mà P nằm giữa M và N nên P là trung điểm của MN.
2) Với n điểm, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm với nhau
n  n  1
2
cho ta
đoạn thẳng

n  n  1
2
Chọn một đoạn thẳng trong
đoạn thẳng này và từng n  2 điểm còn lại,
n  n  1
2
ta được n  2 tam giác. Có
đoạn thẳng nên có
n  n  1
n  n  1  n  2 
. n  2  
2
2
tam giác. Tuy nhiên mỗi tam giác được tính 3
lần (ABC,ACB,BAC)
n  n  1  n  2 
n  n  1  n  2 
:3 
2
6
Do đó số tam giác được tạo thành là:
2014.2013.2012
 1359502364
2
Áp dụng với n  2014 ta được số tam giác tạo thành:


Câu 5.

2 3 4
2014
 2  3  ......  2013 .
4 4 4
4
1) Ta có:
1 1 1
1
2014
 3S  4 S  S  1   2  3  .....  2013  2014
4 4 4
4
4
1 1 1
1
1 1 1
1
 3S  1   2  3  .....  2013 .Dat M  1   2  3  .....  2013 .
4 4 4
4
4 4 4
4
1 1 1
1
 4M  4  1   2  3  .....  2012
4 4 4
4
1
4
3M  4M  M  4  2013  4  M 

4
3
Ta có:
4
4 4 1
3S   S   
3
9 8 2
Do đó
2) Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì n  999 và S  n   27
4S  1 

Suy ra n  S  n   999  27  1026  2014( ktm)
Mặt khác n  n  S (n)  2014 nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số có 4 chữ số,
suy ra S  n   9.4  36. Do vậy n  2014  36  1978

 n  19ab
1978  n  2014  
 n  20cd
Vì

19ab   1  9  a  b   2014
*Nếu n  19ab. Ta có:
 1910  11a  2b  2014  11a  2b  104  aM2
và 11a  104  2b  104  2.9  86  8  10  a, aM2  a  8  b  8  n  1988(tm)
n  20cd  20cd   2  0  c  d   2014
*Nếu
 2002  11c  2d  2014  11c  2 d  12  cM
2
c  0  d  6, n  2006(tm)

11c  12  
c  1  2d  1(ktm)
Và
Vậy n   1988;2006