TOÁN 11 lý THUYẾT LƯỢNG GIÁC

GV: ĐẶNG THỊ LY

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN LƯỢNG GIÁC 11
là giá trị đặc biệt)
* cot x  cot  0  x   0  k180 0
* Dạng a tan 2 x  b tan x  c  0 Đặt t  tan x .
* Dạng a cot 2 x  b cot x  c  0 Đặt t  cot x .
3. Phương trình dạng a sin x  b cos x  c (1):
*Cách giải:

1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa:
* A có nghĩa khi A  0 .
1
có nghĩa khi A  0 .
A
1
*
có nghĩa khi A  0
A
Đặt biệt:

*

* sin x  1  x 



2

sin x  1  x  

 k 2 * sin x  0  x  k *


2

 k 2

* cos x  1  x  k 2 * cos x  0  x 


2

 k

* cos x  1  x    k 2 .
*Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối
xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm
đối xứng.
2:Công thức của phương trình lượng giác cơ bản:
 x    k 2
* sin x  sin   
 x      k 2
 x  arcsin a  k 2
* sin x  a  
( với a  1 và a
 x    arcsin a  k 2
không phải là giá trị đặc biệt)
 x   0  k 360 0
* sin x  sin  0  
0

0
0
 x  180    k 360
 x    k 2
* cos x  cos   
 x    k 2

 x  arccos a  k 2
* cos x  a  
( với a  1 và a
 x   arccos a  k 2
không phải là giá trị đặc biệt)
 x   0  k 360 0
0
* cos x  cos   
0
0
 x     k 360
* tan x  tan   x    k
* tan x  a  x  arctan a  k (với a không phải là giá
trị đặc biệt)
* tan x  tan  0  x   0  k180 0
* cot x  cot   x    k
* cot x  a  x  arc cot a  k (với a khơng phải

0









6

4

3

2

+ Chia hai vế của phương trình (1) cho a 2  b 2
Ta được:
a
b
c
sin x 
cos x 
a2  b2
a2  b2
a 2  b2
c
 cos  sin x  sin  cos x 
2
a  b2
c
 sin( x   ) 
2

a  b2
4. Phương trình dạng:
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos x 2  d (1)
Cách giải:
+ Thay x 



 k ( cos x  0  sin 2 x  1) vào

2
(1) để kiểm tra có phải là nghiệm không?



 k ( cos x  0) , chia hai vế của (1)
2
cho cos 2 x ta được phương trình:
1
a tan 2 x  b tan x  c  d .
cos 2 x
 a tan 2 x  b tan x  c  d .(1  tan 2 x)
5: Phương trình :
* Dạng a (sin x  cos x)  b sin x cos x  c

+ Với x 

Đặt t  sin x  cos x ( 2 sin( x 



4

)), t  2

t2 1
.
2
Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo
biến t.
*Dạng a (sin x  cos x)  b sin x cos x  c

Ta có : sin x cos x 

Đặt t  sin x  cos x ( 2 sin( x 


4

)), t  2

1 t2
.
2
Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo
biến t.

Ta có : sin x cos x 


GV: ĐẶNG THỊ LY

1
sin
0
2

cos

1

tan

0

3
2
1

2
2
2
2

1
ththgtgf

3
2
1
2

3

1
0
KXĐ

3

cot

KXĐ

3

1

1

0

3

Các phương trình lượng giác thường gặp:
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng
giác:
b
* a sin x  b  0  sin x  
a
b
* a cos x  b  0  cos x  

a
b
* a tan x  b  0  tan x  
a
b
* a tan x  b  0  tan x  
a
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng
giác:
* Dạng a sin 2 x  b sin x  c  0
Đặt t  sin x , t  1 .
* Dạng a cos 2 x  b cos x  c  0
Đặt t  cos x , t  1 .


GV: ĐẶNG THỊ LY

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I, Các đẳng thức lượng giác,
1, Công thức cơ bản.
 Sin2x + Cos2x = 1

6, Cung hơn kém.
 Sin (

1

 1  Tan 2 x
2
Cos x

1

 1  Cotg 2 x
2
Sin x
 Sin x = (1–Cosx)(1+Cosx)

1  Cos 2 x
1  Cos 2 x
1  Cos 2 x
 Sin2x =
2
1

Cos
2x
 Cos2x =
2
1
 Sinx.Cosx = Sin2 x
2
 Tan2x =

2, Cung đối nhau.
 Cos(–x) = Cosx
 Sin(–x) = – Sinx
 Tan(–x) = – Tanx
 Cotg(–x) = – Cotgx
3, Cung bù nhau.
 Sin (  x )  Sinx

 Cos (  x )   Cosx
 Tan (  x )   Tanx
 Cotg (  x )   Cotgx
4, Cung hơn kém.
 Sin (  x )   Sinx
 Cos (  x )   Cosx
 Tan (  x )  Tanx
 Cotg (  x )  Cotgx
5, Cung phụ nhau.
 Sin (



2

 Cos (

 x) = Cosx



 Tan (

2


2

 Cotgx (

 x) = Sinx
 x) = Cotgx


2

 x) = Tanx

2

2


2

 x) =  Cotgx
 x) =  Tanx

Ghi nhớ: Cos đối – Sin bù – Phụchéo.
7, Công thức cộng.
 Sin(a  b) = SinaCosb  CosaSinb






 Cos(a b) = CosaCosb SinaSinb






x
= t ta có:
2
2t
 Sinx =
1 t 2
1 t2
 Cosx =
1 t 2
2t
 Tanx =
1 t 2

Đặt Tan

 x) =  Sinx



 Cotg (

2

 Cotgx.Tanx = 1



 Tan (

9, Công thức theo “t”.

 x)  Cosx

2

 Cos (

2

Tan 2 x
 Sin x =
1  Tan 2 x



Tana  Tanb
Tan(a+b) =
1  TanaTanb
Tana  Tanb
Tan(a–b) =
1  TanaTanb
CotgaCotgb 1
Cotg(a+b) =
Cotga  Cotgb
CotgaCotgb  1
Cotg(a–b) =
Cotga  Cotgb

8, Công thức nhân đôi.
 Sin2x = 2SinxCosx
 Cos2x = Cos2x – Sin2x
= 2Cos2x - 1
= 1 – 2Sin2x

2Tanx
 Tan2x =
1  Tan 2 x
Cotg 2 x  1
 Cotg2x =
2Cotgx
Lưu ý:

x
x
 Sin 2
2
2
x
= 2Cos2  1
2
x
= 1 – 2Sin2
2
x
x
 Sinx = 2Sin Cos
2

2
 Cosx = Cos 2

10, Công thức nhân 3.
 Sin3x = 3 sin x  4 sin 3 x
 Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx

3Tanx  Tan 3 x
 Tan3x =
1  3Tan 2 x
11, Cơng thức tích thành tổng.

1
Cos( x  y )  Cos( x  y)
2
1
 SinxCosy = Sin( x  y )  Sin( x  y ) 
2
1
 SinxSiny=  Cos ( x  y )  Cos ( x  y )
2
 CosxCosy=

12, Công thức tổng(hiệu) thành tích.

x y
x y
Cos

 2 

 2 
x y x y
Sinx – Siny = 2Cos 
 Sin

 2   2 
x y
x y
Cosx + Cosy = 2Cos 
Cos

 2 
 2 
x y x y
Cosx – Cosy = – 2Sin 
 Sin

 2   2 
Sin( x  y )
Tanx + Tany =
CosxCosy
Sin( x  y )
Tanx – Tany =
CosxCosy
Sin( x  y )
Cotgx + Cotgy =
SinxSiny
Sin( y  x)
Cotgx – Cotgy =
SinxSiny

 Sinx + Siny = 2Sin 









GV: ĐẶNG THỊ LY
13, Các hệ qủa thông dụng.





 Sinx + Cosx = 2 Sinx x    2Cos x  
4
4






 Sinx – Cosx = 2 Sinx x     2Cos x  
4
4



o

o

 4.Sinx.Sin(60 – x).Sin(60 + x) = Sin3x
 4.Cosx.Cos(60o – x).Cos(60o + x) = Cos3x
 1 + Sin2x = (Sinx + Cosx)2
 1 – Sin2x = (Sinx – Cosx)2

1  Tanx


 Tan x  
1  Tanx
4

1  Tanx



 Tan x  
1  Tanx
4



 Cotgnx – Tannx = 2Cotg2nx

2
 Cotgx + Tanx =
Sin2 x
Cơng thức liên quan đến phương trình lượng giác
 Sin3x = 3Sinx  4Sin 3 x

3Sinx  Sin3 x
 Sin x =
4
3

3

 Cos3x = 4Cos x – 3Cosx

3Cosx  Cos3 x
4
1
 Sin4x + Cos4x = 1  Sin 2 2 x
2

 Cos3x =

 Sin4x – Cos4x = – Cos2x

3
Sin 2 2 x
4
 1


 Sin6x – Cos6x = Cos2x 1  Sin 2 2 x 
 4

 Sin6x + Cos6x = 1 

III, Phương trình lượng giác.
1, Cosx = Cos 

 x    k 2

 x    k 2

( k Z )

Đặc biệt:
 Cosx = 0  x =


2

 k

 Cosx = 1  x = k2 
 Cosx =  1  x =   k 2
2, Sinx = Sin 

 x    k 2

( k Z )
 x      k 2

Đặc biệt:
 Sinx = 0  x = k
 Sinx = 1  x =



2

 k 2

 Sinx =  1  x  
3, Tanx = Tan 
 x =   k ( k  Z )
Đặc biệt:
 Tanx = 0  x  k


2

 k 2

 Tanx không xác định khi x 
4, Cotgx = Cotg 
 x =   k ( k  Z )
Đặc biệt:
 Cotgx = 0  x 


2



 k

 Cotgx không xác định khi:
x = k ( Sinx=0)

2

 k (Cosx=0)