MỘT SỐ QUY LUẬT, CẶP PHẠM TRÙ CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VỚI VIỆC HỌC, DẠY, NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ Ý NGHĨA CỦA NÓ

MỤC LỤC
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
6
6
6
6
6
6
7
7
10
11
11
11
12
1
12

12
13
15
16
2

1. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Là một giáo viên khi dạy toán cho học sinh, ngoài việc cung cấp những
tri thức khoa học cơ bản, thì việc truyền cho học sinh niềm say mê khoa
học, ham học hỏi, thích tìm tòi, khám phá cái mới, tư duy sáng tạo là rất
cần thiết. Để làm được việc này chúng ta cần trang bị cho học sinh các kiểu
tư duy khác nhau, trong đó tư duy biện chứng là không thể thiếu. Tư duy
biện chứng là gì? Và vận dụng chúng vào toán học như thế nào? Làm sao
trang bị cho học sinh tư duy đó? Điều đó đã thúc đẩy tôi chọn đề tài này để
nghiên cứu.
2. Mục đích, nhiệm vụ
1. Mục đích
Tư duy biện chứng là gì? Trong giáo trình triết học của nhà xuất bản
chính trị đã trình bày rất kỹ. Nên mục đích của đề tài này là:
Làm rõ một số quy luật, cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật
được vận dụng trong học toán, dạy toán, nghiên cứu toán.
2. Nhiệm vụ
Chọn một số quy luật, cặp phạm trù để phân tích làm rõ: khái niệm, sự
vận dụng trong toán học, rút ra ý nghĩa và bài học cho bản thân
3. Cơ sở lý luận, phương pháp nghiên cứu
1. Cơ sở lý luận
Phép biện chứng duy vật
2. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tư liệu, thông tin từ giáo trình, bài giảng, Internet, báo chí,

Lập đề cương chi tiết các vấn đề của đề tài cần làm sáng tỏ.
Phân tích, tổng hợp, đánh giá các nguồn tài liệu đã thu thập.
Sắp xếp thành một đề tài hoàn chỉnh.
3
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
1. Đối tượng
Sự vận dụng các quy luật, cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật
trong toán học.
2. Phạm vi
Do thời gian không cho phép nên chỉ nghiên cứu “quy luật phủ định của
phủ định”, cặp phạm trù “cái chung và cái riêng”, “nội dung và hình
thức”
2. NỘI DUNG
1. Quy luật phủ định của phủ định
1. Khái niệm
Phạm trù là những khái niệm rộng nhất phản ánh những mặt, những
thuộc tính, những mối liên hệ chung, cơ bản nhất của các sự vật và hiện
tượng thuộc một lĩnh vực nhất định.
Các phạm trù của phép biện chứng duy vật là những khái niệm chung
nhất phản ánh những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ cơ bản
và phổ biến nhất không phải chỉ của một lĩnh vực nhất định nào đấy của
hiện thực, mà của toàn bộ thế giới hiện thực, bao gồm cả tự nhiên, xã hội
và tư duy.
Phủ định là sự thay thế sự vật này bằng sự vật khác trong quá trình
vận động và phát triển.
Phủ định biện chứng là phạm trù triết học dùng để chỉ sự phủ định tự
thân, là mắt khâu trong quá trình dẫn tới sự ra đời sự vật mới, tiến bộ
hơn sự vật cũ.
Quy luật phủ định của phủ định nêu lên mối liên hệ, sự kế thừa giữa
cái khẳng định, nhờ đó phủ định biện chứng là điều kiện cho sự phát

triển; nó bảo tồn nội dung tích cực của các giai đoạn trước và bổ sung
thêm những thuộc tính mới làm cho sự phát triển đi theo đường “xoáy
ốc”.
4
2. Trong toán học
Một số phát minh ra cái mới trong toán học ra đời dựa vào quy luật
“phủ định của phủ định”. Đừng hiểu lầm phát minh ra cái “mới” thì
“mới” phải là mới toanh, còn mở rộng cái cũ thì không mới lắm. Có một
một người đã nhận xét về một công trình nghiên cứu toán học: “Cũng
chả có gì mới lắm, chẳng qua chỉ là một sự mở rộng ”. Nói như vậy là
không hiểu gì về quy luật “phủ định của phủ định”. Không bao giờ có
cái “mới toanh” hiểu theo nghĩa là “không dính dáng gì đến cái cũ”. Cái
“mới” bao giờ cũng là cái cũ mà ra, các phát minh thế hệ sau bao giờ
cũng đứng lên vai những nhà phát minh thế hệ trước, kế thừa các thành
quả của họ. Các thành quả này chỉ đẻ ra vấn đề cho thế hệ sau nghiên
cứu khi chúng bất lực trong việc giải quyết các vấn đề lí luận hay thực
tiễn mới đặt ra. Kết quả nghiên cứu sẽ là một lý thuyết mới vừa kế thừa
những mặt tích cực của lý thuyết cũ (đây là mặt thống nhất giữa hai lý
thuyết mới và cũ), vừa phủ định những mặt tiêu cực của lý thuyết cũ,
theo nghĩa là nó giải quyết được những yêu cầu mới mà lý thuyết cũ
đành bất lực.
Ví dụ:
+ Lý thuyết số phức đã kế thừa những mặt tích cực của lý thuyết số thực
vì nó cũng phải thỏa mãn các tính chất của một trường đồng thời nó phủ
định mặt tiêu cực của lý thuyết số thực là đã bó tay trước việc lấy căn
bậc hai các số âm, nhờ vậy mà phương pháp Cacđanô đã trót lọt trong
việc giải các phương trình bậc ba.
+ Bằng cách phủ định tiên đề Oclit, phủ định hình học Oclit, Lobasepki
đã phát minh ra hình học mang tên ông. Những nghiên cứu khách quan
của ông và của các tác giả khác ngày càng cho thấy rõ hình học

Lobasepki, một mặt phủ định hình học Oclit nhưng mặt khác lại là sự
mở rộng hình học Oclit; hình học Oclit trở thành trường hợp giới hạn
của hình học Lobasepki khi góc nhọn giữa hai đường thẳng song song
5
với một đường thẳng a xuất phát từ một điểm A nằm ngoài a, dần tới 0.
2. Cái chung và cái riêng
1. Khái niệm và mối liên hệ
1. Khái niệm
Cái riêng là phạm trù chỉ một sự vật, một hiện tượng, một quá
trình nhất định.
Cái chung là phạm trù triết học dùng để chỉ những mặt, những
thuộc tính không những có một kết cấu vật chất nhất định, mà còn
được lặp lại trong nhiều sự vật, hiện tượng hay quá trình riêng lẻ
khác.
2. Mối liên hệ
Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng mà biểu
hiện sự tồn tại của mình.
Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung.
Cái riêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là
cái bộ phận, nhưng sâu sắc hơn cái chung.
2. Trong toán học
1. Các phát minh lý thuyết chủ yếu là những sự mở rộng
Người ta đã sắp xếp chương trình học toán nói chung là dẫn dắt
học sinh từ những trường hợp riêng rồi khái quát dần lên những cái
chung như từ số tự nhiên rồi đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam
giác vuông rồi đến tam giác thường, từ tam giác rồi đến tứ giác, từ
hàm lượng giác các góc nhọn rồi đến hàm lượng giác các góc suy
rộng, Khi làm bài tập học sinh phải vận dụng những khái niệm
chung, những định lý chung vào các trường hợp riêng cụ thể cho từng
bài.

Nói rộng ra thì phát minh lý thuyết có tầm cỡ trong lĩnh vực toán
học luôn luôn là một sự mở rộng từ một cái “riêng” đã biết đến một
hay nhiều “cái chung” trước đó chưa ai biết, mà “cái riêng” đã biết
6
chỉ là một trường hợp đặc biệt.
Ví dụ: Năm 2004 Laumon và Ngô Bảo Châu đã chứng minh
được Bổ đề cơ bản cho một lớp nhóm đặc biệt, và sau đó Ngô Bảo
Châu đã chứng minh được Bổ đề trong trường hợp tổng quát.
Cũng có những phát minh chỉ là phát hiện ra một trường hợp
riêng trước đó chưa ai biết của một cái chung đã biết.
2. Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung
khác nhau:
Ví dụ:
+ Ta có thể xem hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành
nếu ta nhìn hình thoi dưới góc độ có các cạnh đối diện song song; ta
cũng có thể xem nó là trường hợp đặc biệt của tứ giác có vòng tròn
nội tiếp nếu ta nhìn nó dưới góc độ “có vòng tròn nội tiếp”; ta còn
có thể xem nó là trường hợp đặc biệt của các tứ giác có hai đường
chéo vuông góc nếu ta nhìn nó ở góc độ “có hai đường chéo vuông
góc”
+ Trung điểm của một đoạn thẳng có thể được xem xét dưới các góc
độ sau đây:trọng tâm của đoạn thẳng, tâm một vòng tròn không
chiều (tập hợp các điểm cách trung điểm của đoạn thẳng một đoạn
thẳng bằng nửa đoạn thẳng) trong không gian một chiều (đường
thẳng chứa đoạn thẳng), tâm đối xứng của đoạn thẳng hay của hai
đầu mút của đoạn thẳng, điểm liên hợp điều hòa của điểm xa vô tận
trên đường thẳng (chứa đoạn thẳng) đối với hai đầu mút của đoạn
thẳng.
+ Nếu p là một số nguyên tố thì p+1 có thể xem như là số nguyên đi
liền sau p nhưng cũng có thể xem như là tổng các ước số của p.

3. Một cái chung, đem đặc biệt hóa từng bộ phận khác nhau, bằng
những cách khác nhau sẽ cho nhiều cái riêng khác nhau:
Ví dụ:
7
+ Một tứ giác đem đặc biệt hóa theo các tính chất và quan hệ giữa
các cạnh và các góc có thể cho ta hình thang, hình bình hành, hình
thoi, hình chữ nhật, hình vuông. Đặc biệt hóa tứ giác bằng cách cho
một cạnh triệt tiêu, hoặc bằng cách cho một góc đạt giới hạn 180
0
để
có tam giác.
+ Bài toán con bướm:
Cho I là trung điểm của dây cung PQ của đường tròn (O;R). Qua I vẽ 2 dây cung
AB và CD. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AC và BD với PQ. Chứng minh
rằng: IM = IN.
Tuy đây là bải toán trong hình học Euclide nhưng ta vẫn có thể phát biểu bài toán
này trong hình học affine như sau:
Bài toán affine: Cho I là trung điểm của dây cung PQ của elip (E). Qua I vẽ 2
dây cung AB và CD. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AC và BD với (d). Chứng
minh rằng I là trung điểm của MN
Bổ sung thêm đường thẳng vô tận (l) . Để đơn giản ta dùng chung ký hiệu cho
đường thẳng xạ ảnh và đường thẳng affine tương ứng sau khi bổ xung điểm vô
tận, ta được bài toán xạ ảnh như sau:
8
Bài toán xạ ảnh:Cho conic (S). Một đường thẳng d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt
PQ. Một đường thẳng (l) tùy ý cắt (d) tại J. Gọi I là điểm liên hợp với J đối với
conic (S). Hai đường thẳng phân biệt (khác d) qua I cắt (S) tại A, B và C, D. Gọi
M AC d
= ∩
,

N BD d
= ∩
. Chứng minh rằng (MNIJ)= -1.
Bằng cách chọn đường thẳng vô tận (l) qua J và tiếp xúc với conic (S) ta được
bài toán affine mới như sau:
Bài 1.1: Trong A
2
, cho một đường thẳng (d) cắt một parabol (P) tại hai điểm phân
biệt P,Q. gọi I là trung điểm của PQ. Qua I dựng các dây cung AB và CD của (P).
gọi
M AD d
= ∩
,
N BC d
= ∩
. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của MN
Bằng cách chọn đường thẳng vô tận (l) qua J và cắt conic (S) tại hai điểm phân
biết ta được bài toán affine mới như sau:
Bài 1.2: Trong A
2
, cho một đường thẳng (d) cắt một hyperbol (H) tại hai điểm
phân biệt P,Q. gọi I là trung điểm của PQ. Qua I dựng các dây cung AB và CD
của (H). gọi
M AD d
= ∩
,
N BC d
= ∩
. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của MN
9

Qua bài toán con bướm nêu trên ta thấy từ bài toán xạ ảnh, khi chọn đường thẳng
vô tận khác nhau thì sẽ thu được các bài toán khác nhau.
Chú ý: Khi nói đến “cái” thì phải hình dung đó là một tổng thể có
nhiều bộ phận và giữa các bộ phận đó có những quan hệ. Vì vậy nhìn
một cái “riêng” theo nhiều quan điểm khác nhau thường trước hết là nhìn
từng bộ phận, từng quan hệ đó theo nhiều cách khác nhau, sau đó tổ hợp
lại các cách nhìn từng bộ phận, từng quan hệ đó thành những cách nhìn
khác nhau về “cái riêng” đã cho.
3. Ý nghĩa
Tập nhìn một cái “riêng” theo nhiều góc độ khác nhau là một điều
rất quan trọng đối với việc rèn luyện óc sáng tạo toán học.
Trong dạy học bằng cách tổng quá hóa rồi đặc biệt hóa, ta có thể tạo
ra hàng trăm bài toán thoạt nhìn cứ tưởng là khác nhau, nhưng thực ra
chúng chỉ là một. Tập cho học sinh tư duy tổng quát hóa và đặc biệt hóa
để thấy các trường hợp riệng, cũng như từ các trường hợp riêng mà nhìn
ra trường hợp tổng quát của nó, như vậy học sinh sẽ cảm thấy học một
mà biết mười, các em sẽ thích thú tìm tòi, và tạo cảm hứng tự mình sáng
tạo ra các bài toán mới.
10
Tập cho học sinh phân biệt cái chung, cái riêng để phát hiện ra
thuộc tính bản chất và thuộc tính đặc trưng của một khái niệm. Từ đó
phân chia khái niệm. Việc nắm vững cách phân chia khái niệm cũng giúp
cho việc giải các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán biện luận
theo tham số, bài toán chứng minh bằng phản chứng, một cách chính
xác và đầy đủ, không bỏ sót trường hợp. Ví dụ phân chia các tập hợp số
3. Nội dung và hình thức
1. Khái niệm và mối quan hệ
1. Khái niệm
Nội dung là phạm trù chỉ tổng hợp tất cả những mặt, những yếu
tố, những quá trình tạo nên sự vật.

Hình thức là phạm trù chỉ phương thức tồn tại và phát triển của
sự vật, là hệ thống các mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu
11
Số
phức
Số
thực
Số
ảo
Số
hữu tỉ
Số
vô tỉ
Số
hữu tỉ
dương
Số
không
Số
hữu tỉ
âm
Số vô
tỉ
dương
Số vô
tỉ âm
Số
nguyên
dương
Số

dương
không
nguyên
Số
nguyên
âm
Số âm
không
nguyên
tố của sự vật đó.
2. Mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức
Nội dung và hình thức luôn gắn bó chặt chẽ với nhau trong một
thể thống nhất.
Nội dung giữ vai trò quyết định đối với hình thức trong quá
trình vận động và phát triển của sự vật.
Nếu hình thức phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ tạo điều
kiện thuận lợi thúc đẩy nội dung phát triển; nếu không phù hợp với
nội dung thì hình thức sẽ ngăn cản, kìm hãm sự phát triển của nội
dung.
2. Trong toán học
1. Cùng một nội dung có thể chứa đựng trong nhiều hình thức khác
nhau:
Trong toán học hiện đại, phương pháp tiên đề đã trở thành một
văn phong để trình bày các lý thuyết toán học. Mỗi hệ tiên đề có
nhiều mô hình. Mỗi mô hình là một hình thức chứa đựng nội dung
hàm ẩn trong hệ tiên đề. Gần gũi nhất đối với mọi người là hai mô
hình của hình học Oclit rất phổ biến trong nhà trường: hình học tổng
hợp với các hình và những suy diễn trên các hình đó để tìm ra các
tính chất của chúng; hình học giải tích với các tọa độ, các phương
trình, các bất phương trình, các đẳng thức và bất đẳng thức nhờ đó

mà ta đi sâu vào các tính chất của không gian Oclit. Rõ ràng đó là hai
hình thức khác nhau cùng chứa đựng một nội dung là hình học Oclit.
Hình học Lobasepki cũng có nhiều mô hình khác nhau trong đó hai
mô hình quen thuộc nhất là mô hình Poangcare và mô hình Keli-
Clanh.
Số tự nhiên là một khái niệm trừu tượng được xuất hiện từ việc
tìm ra một cách thuận tiện để so sánh các tập hợp mà không cần trực
tiếp thiết lập một liên hệ 1- 1 giữa các phần tử của các tập hợp đó.
12
Nội dung của chúng là lực lượng các tập hợp hữu hạn. Nội dung đó
xuất hiện dưới rất nhiều hình thức, mà hình thức văn minh nhất là các
số. Nhưng chính các số cũng có nhiều hình thức biểu hiện, chẳng hạn
như các số La Mã và các số Ả Rập. Các số Ả Rập là phổ biến nhất.
Chúng lại có thể xuất hiện trong những hệ đếm cơ số khác nhau,
trong đó phổ biến nhất là hệ thập phân rồi đến hệ nhị phân.
Các số cụ thể như 1,2,3,4, đã là những hình thức chứa đựng nội
dung là lực lượng các tập hợp. Đến lượt các chữ a,b,c, x,y, lại là
những hình thức để biểu diễn một cái gì đó không còn ứng với lực
lượng những tập hợp cụ thể nữa. Chẳng hạn, trong phương trình
ax
2
+bx+c=0 thì a,b,c có thể là bất cứ số thực nào còn x lại chỉ là một
số chưa biết, còn phải tìm.
Trong hình học, các hình như đường thẳng, tam giác, vòng tròn
là những hình thức lộ ra bên ngoài, của những quan hệ bên trong (nội
dung), ví dụ như hình vẽ vòng tròn chứa đựng nội dung “sự cách đều
một điểm cố định”.
2. Nội dung quyết định hình thức và hình thức tác động trở lại nội
dung:
Tuy một nội dung có thể diễn tả biởi nhiều hình thức phong phú

nhưng không có nghĩa là có thể tùy tiện khi suy nghĩ để tìm ra những
hình thức khác nhau của cùng một nội dung, mà khi đi tìm hình thức
diễn tả nội dung, tư duy con người vẫn luôn bị nội dung chi phối, coi
nội dung là kim chỉ nam cho việc tìm tòi.
Ví dụ: Trong hai mô hình của hình học Lobasepki, thì độ dài
được biểu diễn bằng logarit là vì chỉ có cách đó thì định nghĩa về độ
dài của đoạn thẳng mới thỏa mãn được các tiên đề của hình học
Lobasepki.
Hình thức ảnh hưởng trở lại nội dung. Mỗi hình thức mang đến
cho việc nghiên cứu nội dung những khó khăn và thuận lợi riêng.
13
Ví dụ, nghiên cứu hình học Oclit có thể dùng phương pháp tổng
hợp hoặc phương pháp giải tích. Phương pháp tổng hợp có cái hay
là huy động được nhiều trí tưởng tượng không gian và chính trí
tưởng tượng đó nhiều khi giúp ta tìm được các mắt xích logic nối giả
thiết với kết luận, đưa đến những lời giải hay, gọn, đẹp. Nhưng
phương pháp tổng hợp cũng có cái dở là mỗi bài toán hình học lại
đòi hỏi một sự sáng tạo ra phương pháp giải riêng nhờ vào trực giác
mà tìm ra hoặc qua việc phân tích cả giả thiết và kết luận để tìm
cách xây dựng cái cầu logic nối hai bên lại. Phương pháp tổng hợp
lại ít khả năng đi vào cái vô cùng bé và cái vô cùng lớn nên dễ bị
trực giác đánh lừa, do đó dễ mắc sai lầm, dễ bỏ sót các nghiệm.
Chẳng hạn với phương pháp tổng hợp thì chỉ nghiên cứu được sự
tiếp xúc bình thường, khó mà nghiên cứu được sự mật tiếp, sự thái
tiếp giữa các đường, các mặt vì đối với trực giác thì tiếp xúc bình
thường hay mật tiếp cũng như nhau. Phương pháp tổng hợp còn gây
khó khăn ở chỗ phải phân biệt nhiều trường hợp hình vẽ khác nhau,
chẳng hạn đối với các đường bậc hai không suy biến phải chia ra ba
trường hợp (elip, hypebol, parabol). Phương pháp tổng hợp cũng
không cho phép đưa được các phần tử ảo vào nên cũng phải phân

biệt ra những trường hợp như có cắt nhau hay không cắt nhau, hoặc
chỉ tiếp xúc với nhau (như trong vấn đề trục đẳng phương của hai
vòng tròn).
Phương pháp giải tích cho ta cách giải tổng quát cho nhiều trường
hợp; có người nói: khi dùng phương pháp giải tích mà đã đi đến
được phương trình hay bất phương trình rồi thì giống như người đi
đường lên được toa tàu hỏa rồi. Lên được đó rồi có thể ngủ mà vẫn
đi tới đích nhờ có các đường ray. Với phương pháp giải tích, ta có
thể gói nhiều trường hợp khác nhau vào chung một phương trình,
đưa các phần tử ảo vào. Ví dụ phương trình
14
ax
2
+2bxy+cy
2
+2dx+2cy+d=0 gói được tất cả các đường cong bậc
hai suy biến và không suy biến, có điểm thực hay không có điểm
thực. Phương pháp giải tích cho phép sử dụng phép tính vi tích phân
để nghiên cứu sâu vào cái vô cùng bé và cái vô cùng lớn như sự mật
tiếp, sự thái tiếp, những hiện tượng xảy ra ở vô tận. Phương pháp
giải tích còn cho phép chuyển số chiều của không gian từ bé lên lớn
một cách tương đối dễ dàng. Ví dụ từ hình học phẳng lên hình học
không gian chỉ cần thêm một tọa độ thứ ba là cao độ (bên cạnh
hoành độ và tung độ); nó còn mở đường cho khái niệm không gian
nhiều chiều, thậm chí vô số chiều, trong lúc mà với phương pháp
tổng hợp, chỉ chuyển từ hình học phẳng lên hình học không gian đã
thấy rất khó.
3. Ý nghĩa
Muốn trở thành một nhà giáo dạy giỏi, dù là giáo viên phổ thông, thì
một điều kiện cần là bản thân phải tham gia nghiên cứu khoa học; không

những người nghiên cứu (trong con người giáo viên) có khả năng diễn tả
một nội dung ra thành nhiều hình thức khác nhau, có những sản phẩm
phụ trong công trình nghiên cứu, mà còn có khả năng đi sâu vào tư duy
sáng tạo để hướng dẫn học trò biết “tư duy”, lại có nhiều phẩm chất để
giáo dục học trò nâng cao sức sáng tạo, trong đó phẩm chất “có tư
tưởng” tiến công là một phẩm chất rất quan trọng.
Cùng một số (một nội dung), học sinh tiểu học nhiều khi đã phải
diễn tả nó ra thành những hình thức khác nhau để tính toán cho nó
nhanh, ví dụ như học sinh lớp một, khi phải cộng thêm “chín” thì thấy
khó vì “chín” là số lớn (đối với các em) nên phải dùng que tính mới làm
được, em nào thông minh sẽ viết “chín” không phải dưới hình thức 9 mà
dưới hình thức 10-1 để biến phép cộng thêm chín (khó) thành hai phép
cộng thêm mười rồi trừ đi một (cả hai đều dễ). Một cách vô ý thức em
nào thông minh như vậy, thực ra đã vận dụng triết học tư duy biện chứng
15
về mối quan hệ qua lại giữa nội dung và hình thức; một nội dung (chín)
có thể chứa đựng trong nhiều hình thức (9 và 10-1) và hình thức tác
động trở lại nội dung (hình thức 10-1 làm cho phép cộng thêm chín trở
lên dễ hơn). Dĩ nhiên, học sinh lớp một không thể hiểu nổi tư tưởng triết
học đó nhưng nếu giáo viên thần thoại hóa “chín” thành một cô tiên có
phép biến hóa thần thông, khi thì hiện ra thành một có gái có cái lưng
ong (9), khi lại hiện ra một cái cầu bắc qua sông (10-1).
Hoặc khi phải tính 8+9+6+2 thì học sinh viết tổng trên dưới một hình
thức khác 8+2+10-1+6 (thực chất là vận dụng luật giao hoán của phép
cộng) để tính nhẩm cho nhanh, đem 2 đặt cạnh 8 để có 10, đổi 9 thành
10-1 thì có ngay 10+10+5=25.
3. KẾT LUẬN
Phủ định biện chứng không phải là phủ định sạch trơn mà là kế thừa
những cái đã có và bổ sung thêm cái mới, bằng cách phủ định biện chứng ta có
các phát minh mới. Đây là con đường rất hay gặp trong toán học.

Bằng cách tổng quát hóa, đặc biệt hóa, ta sẽ phát hiện cái chung và thu
được những cái riêng độc đáo, đây là cơ sở cho việc sáng tạo ra hàng trăm dạng
toán, bài tập cho học sinh, tất cả chúng thoạt nhìn cứ tưởng là khác nhau, nhưng
thực ra đều xuất phát từ một gốc mà ra.
Cùng một nội dung toán học nhưng có thể có nhiều hình thức thể hiện
khác nhau, mỗi hình thức có ưu điểm và nhược điểm của nó, ta cần phối hợp,
tận dụng ưu điểm của mỗi hình thức để phục vụ cho mục đích của mình.
Trong nghiên cứu khoa học của bản thân: phải biết tiếp thu những thành
tựu khoa học kỹ thuật của nhân loại, kế thừa phát huy cái hay, mặt tích cực,
phát triển thêm cái mới cho phù hợp với nhu cầu, tình hình mới. Các phát minh
thường ra đời từ một vấn đề nào đó cần cải tiến, bằng cách vận dụng tư duy
phân tích, tổng hợp, phát hiện ra cái riêng, cái chung, các trường hợp đặc, đó là
con đường khám phá, trong quá trình khám phá, sẽ gặp các khó khăn, khó khăn
16
sẽ dẫn đến các vấn đề, vấn đề đã nảy sinh thì cần nghiên cứu giải quyết. Giải
quyết được vấn đề thì bản thân đã phát triển. Như vậy mâu thuẫn là động lực
của sự phát triển.
Trong dạy học: tập cho học sinh tư duy biện chứng thông qua các ví dụ
đơn giản để các em thích thú, tìm tòi khám phá, một số tư duy đặc biệt quan
trọng như phân tích và tổng hợp, cụ thể và trừu tượng, khái quát hóa, đặc biệt
hóa, tương tự hóa, suy diễn và quy nạp, Do thời gian không cho phép nên tiểu
luận này không trình bày hết. Đây cũng là một hướng phát triển rất thú vị dành
cho đề tài của tiểu luận này.
17