SKKN Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương...

Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

1.MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức là một phần quan trọng trong
chương trình tốn học THPT, nó nằm ngay trong phần đầu học kỳ 2 lớp 10. Các
dạng bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức rất đa dạng và phong phú, mỗi
loại cho ta cách giải riêng biệt. Trong các đề thi đại học từ năm 2014 trở về trước,
và trong các kỳ thi học sinh giỏi 12 tỉnh Thanh hóa và các tỉnh khác, bất phương
trình chứa ẩn dưới dấu căn thức là một trong những bài trọng điểm để phân loại
năng lực học sinh, khi giải được loại toán này các em mới đạt vào top khá giỏi . Để
giúp học sinh có thể hệ thống và nắm vững các kỹ thuật giải các dạng bất phương
trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình tốn 10 tôi đã nghiên cứu ra đề
tài này.
Bản thân tôi nhiều năm được phụ trách lớp học theo ban Khoa học tự nhiên,
các lớp cơ bản theo khối, đặc biệt năm nay được phân công dạy lớp chọn số 1, đảm
nhiệm đội tuyển học sinh giỏi năm sau, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc triển
khai sáng kiến” Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong
chương trình Tốn 10 ” là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi
dưỡng học sinh khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng
trong kỳ thi THPT QG, đặc biệt giúp bản thân tôi trong năm học này và năm học
sau ôn đội tuyển học sinh giỏi của trường tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Do
vậy tôi chọn đề tài " Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức
trong chương trình Tốn 10 '' để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu trên
và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường .
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu không trách khỏi những
thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp q báu của các thầy cơ và
cá bạn đồng nghiệp. Tơi xin chân thành cảm ơn!
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Trang bị cho học sinh về một số dạng và phương pháp giải dạng bất phương trình

chứa ẩn dưới dấu căn thức.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải tốn. Qua đó học sinh nâng
cao kỹ năng tư duy sáng tạo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài tập về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức nằm trong chương
trình tốn học 10 trung học phổ thông, trong các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng
.Từ đó phân loại, tổng hợp các dạng và nêu kỹ thuật giải chúng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này.
- Thơng qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh.
- Thơng qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp.
- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo.
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

1


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

- Thông qua các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 tỉnh thanh hóa các năm 2005 đến
nay của tỉnh Thanh Hóa và các đề thi học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 của các trường
THPT trên tồn quốc.
- Thơng qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng từ năm 2008 đến nay .
- Thông qua các đề thi thử đại học của các trường THPT trên toàn quốc.
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Căn cứ vào lý thuyết chương IV: ’’ Bất đẳng thức, bất phương trình’’ trong chương
trình đại số 10 cơ bản . Tơi tóm tắt nội dung lý thuyết như sau:

I) MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình tương đương:
- Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương đương
- Hai hệ bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai hệ bất phương trình tương
đương
- Dùng kí hiệu  để chỉ sự tương đương
2. Phép biến đổi tương đương:
- Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tục biến đổi nó thành
những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất
phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà có thể viết ngay tập nghiệm.
- Các phép biến đổi như vậy là các phép biến đổi tương đương. Bao gồm :
*) P( x)  Q( x)  P( x)  f ( x)  Q( x)  f ( x)
*) P( x)  Q( x)  f ( x)  P( x)  f ( x)  Q( x)
*) P( x)  Q( x)  P( x). f ( x)  Q( x). f ( x) nếu f ( x)  0, x
P ( x)  Q( x)  P( x). f ( x)  Q( x). f ( x) nếu f ( x)  0, x
*) P( x)  Q( x)  P 2 ( x)  Q 2 ( x) nếu P( x)  0, Q( x)  0, x
3. Điều kiện của bất phương trình
Điều kiện của bất phương trình f ( x)  g ( x) là các điều kiện của ẩn số x để
f ( x), g ( x) có nghĩa.
f ( x) có nghĩa khi f ( x)  0
f ( x)
có nghĩa khi g ( x)  0
g ( x)

II) ĐIỀU KIỆN ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ CĨ
NGHIỆM:
1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu f ( x)  M với
mọi x  D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 )  M . Kí hiệu M  Max f ( x)

D

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

2


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu f ( x)  m với
mọi x  D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 )  m . Kí hiệu m  Min f ( x)
D

2. Điều kiện để bất phương trình chứa tham số có nghiệm
*) Bất phương trình f ( x)  m có nghiệm x  D  m  Min f ( x)
D

*) Bất phương trình f ( x)  m nghiệm đúng x  D  m  Max f ( x)
D

*) Bất phương trình f ( x)  m có nghiệm x  D  m  Max f ( x)
D

*) Bất phương trình f ( x)  m nghiệm đúng x  D  m  Min f ( x)
D

Từ cơ sở lý thuyết về số phức tơi định hướng giải quyết bài tốn số phức trong
các tiết ôn tập:

- Phân loại các bài tập bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức
- Nêu kỹ thuật giải cho từng loại bài tốn bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
thức
Với đề tài " Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong
chương trình Tốn 10.'' sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh chính xác trước một bất
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình Đại số 10.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong q trình ơn tập thi học kỳ 2, ơn thi HSG lớp 10, 11 cấp trường cho
học sinh lớp 10 phần bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức. Học sinh chỉ
mới giải quyết được một số bài toán dễ , khi gặp một số bài toán yêu cầu cao hơn
đa số các em chưa đưa ra được hướng giải quyết ngay, hoặc có em đưa ra được
hướng giải quyết thì giải quyết chậm và trưa triệt để bài tốn.
Trước khi áp dụng đề tài, tơi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút về bất
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức. Kết quả :
9-10
7-8
5-6
3-4
0-2
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

10A1

44

0

0

15

34,1

19

43,2

10

22,7

0

0

10A3

42

0

0

6

14,3

17

40,5

14

33,3

5

11,9

Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các em
mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng trong sáng kiến
kinh nghiệm:
Giải pháp:
- Tổ chức 3 buổi (9 tiết) ôn tập cho học sinh ôn thi THPT QG, bồi dưỡng học sinh
khá giỏi.

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

3

Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

- Nêu các dạng bài tốn về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức, đưa ra cách
giải cho từng dạng, hệ thống các bài tập tự luận cho học sinh rèn luyện kỹ năng làm
bài.
- Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để giải quyết nhanh bài toán nhẩm
nghiệm
- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra .
Nội dung giải pháp:
DẠNG 1: Kỹ thuật dùng phép biến đổi tương đương và bình phương hai vế:
Phương pháp:
- Đưa về một trong các dạng cơ bản sau.
 g ( x)  0
 f ( x)  g ( x)

*) f ( x)  g ( x)  

*)

  g ( x)  0

 f ( x)  0
f ( x)  g ( x)  
  g ( x)  0

  f ( x)  g 2 ( x)

 f ( x)  0
*) f ( x)  g ( x)   g ( x)  0
 f ( x)  g 2 ( x)

- Khi giải bất phương trình f ( x)  g ( x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt

xét hai trường hợp
a) f ( x), g ( x) cùng có giá trị khơng âm, ta bình phương hai vế bất phương trình .
b) f ( x), g ( x) cùng có giá trị âm, ta viết f ( x)  g ( x)   g ( x)   f ( x) rồi bình phương
hai vế bất phương trình mới .
- Lưu ý điều kiện bài tốn.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 2  x  3  2 x  7  x
Bài giải:
3
2
bpt  2 2 x 2  x  6  2 x  8

ĐK: x  

  x  4
 x  4  0


 2

3

x  ; x  2
 2 x  x  6  0



 
2
x40



x  4


 2 x 2  x  6  x 2  8 x  16
  x  11; x  2

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

4


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.
 x  4
 x  2
  x  11

 x  11
 4  x  2

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  ; 2 
Ví dụ 2: Giải bất phương trình : x 2  3x  2  x 2  x  1  1

Bài giải:
ĐK: x  2; x  1
bpt  x 2  3 x  2  x 2  x  1  1  2 x 2  x  1  2 x
x  0
x  0

  x  0

 xR
x0


2
2

 x  x  1  x

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  ; 2 1;  
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a)

x 2  16
 x 3 
x 3

b)

x2  4x
2

x  3

5
x 3

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) 7 x  1  3x  18  2 x  7
b)

3 x 2  x  4  2
2
x

c) 1  x3  x  5
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a) x 2  x  1   x 2  x  1  x  1
b)

x
x
2


1 x  x
1 x  x
x

c) x 

1

1 2
 x 2 
2
x
x
x

DẠNG 2: Kỹ thuật đưa về bất phương trình tích:
Phương pháp:
- Phân tích thành một trong các bất phương trình dạng:

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

5


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.
  f ( x)  0

g ( x)  0

*) f ( x).g ( x)  0   
 f ( x)  0

  g ( x)  0
  f ( x)  0

g ( x)  0

*) f ( x).g ( x)  0   
 f ( x)  0

  g ( x)  0

- Lưu ý điều kiện bài tốn:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 10  4 x  (2 x  5) 3  5 x
Bài giải:
3
5
bpt  (2 x  5)(2  3  5 x )  0

ĐK: x 


5
 2 x  5  0
 x   2
1



x








x
x
2
3
5
0
4
3
5



5



x   5
 2 x  5  0
  x   5


2
2
 2  3  5 x  0


 4  3  5 x


Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T   ;      ; 

2
5 5
5



Ví dụ 2: Giải bất phương trình :
Bài giải:

1 3







x 2  4 x  3  2 x 2  3x  1  x  1

1
2
1
Nếu x  thì bpt  1  x ( 3  x  1  2 x  1  x )  0
2

ĐK: x  ; x  1; x  3

1
 3  x  1  x  1  2 x  2 x 2  4 x  3  2 (t / m x  )
2

Nếu x  1 thì bpt đúng
Nếu x  3 thì bpt  x  1( x  3  2 x  1  x  1)  0
 x  3  x  1  2 x  1  2 x 2  4 x  3  1  2 x (VN x  3)
1
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T   ;   
1
2


Ví dụ 3: Giải bất phương trình : x  2 8  x  2 x  2   x 2  10 x  16  2
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

6


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

Bài giải:
ĐK: 2  x  8
bpt  x  2  ( x  2)(8  x)  2( 8  x  x  2)  0
 ( x  2  8  x )( x  2  2)  0
 

 

 

 

x2  8 x  0

 x  5

x2 20
x  6
x  6



 x  5
x  5
x2  8 x  0

  x  6
x2 20

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  2;5   6;8
Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 4 x 2  2 x  3  8 x  1
Bài giải:
ĐK: x  

3
2

9
1
bpt  (4 x 2  6 x  )  (2 x  3  2 x  3  )  0
4

4
3 2
1 2
 (2 x  )  ( 2 x  3  )  0
2
2
 (2 x  1  2 x  3)(2 x  2  2 x  3)  0
 

 

 

 

2x  3  2x 1
2x  3  2  2x
2x  3  2x 1
2x  3  2  2x

(1)

(2)


 2x  3  2x 1
(1)  

 2x  3  2  2x
1


x

2
1


x  2

 
3  17   3  17

;  
x   ;

2

4   4
2 x  3  4 x  4 x  1

 

3  17



 x
4
 x  1
 x  1



 x  1
 x  1
  2 x  3  4 x 2  8 x  4
  

   5  21  x  5  21


4
 4

Giải hệ (1)

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

7


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.
 2x  3  2x 1

(2)  

 2x  3  2  2x
x  1


x  1
 x   ; 5  21    5  21 ;  

 
2

 
4   4
2 x  3  4 x  8 x  4







5  21


  x  1
  x  1
 x

4
2


2



 
1
1
 x 

x

2
2

 
2




2
x
3
4
x
4
x
1




3  17
3  17

  

x
4
 4
  


Giải hệ (2)









Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T    3 ; 5  21    3  17 ;  
4   4
 2

Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a)
b)

3(4 x 2  9)

 2x  3

3x 2  3
x2
 3x  2  1  x
3x  2

c) x 2  3x  2  x 2  4 x  3  2 x 2  5 x  4
Bài 2: Giải các phương trình sau :
a) x3  (3x 2  4 x  4) x  1  0
b) x3  2 x 2  x  x x  x 2  2 x
c) x 2  1  2 x x 2  2 x
DẠNG 3: Kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình một ẩn mới hoàn toàn
Phương pháp :
- Đặt một hàm số ẩn cũ thành một ẩn mới, biến đổi bất phương trình về bất
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cơ bản hoặc về bất phương trình bậc nhất, bậc
2, bậc 3,…
- Nhớ đặt điều kiện cho ẩn mới, nên đưa về bất phương trình mới đơn giản hơn và
giải được.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình : 2 x 2  5 x  2  2 x 2  5 x  9  7
(Trích sách bài tập đại số 10 cơ bản)
Bài giải:

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

8


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

ĐK: x 

5  97
5  97
;x 
4
4

Đặt 2 x 2  5 x  9  t , t  0 thì bpttt : t  7  t  7  2 t 2  7t  42  2t
21  t  0
t  21


 t  0
 t  0  0  t  9
t 2  7t  441  42t  t 2
t  9


9
Với t  9  2 x 2  5 x  18  0    x  2
2
 9 5  97   5  97 
; 2
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T   ;

4
4
2
 



Ví dụ 2: Giải bất phương trình : 2 x 2  4 x  1  x 2  2 x  7
(Trích sách bài tập đại số 10 cơ bản)
Bài giải:
ĐK: x 

2 2
2 2
;x 
2
2

Đặt 2 x 2  4 x  1  t , t  0 thì
1
2

thì bpt : t  t 2 

t  5
15

2
t  3 ( L)
 x  1  13

Với t  5  2 x 2  4 x  1  5  2 x 2  4 x  24  0  

 x  1  13
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  ;1  13   1  13; 

Ví dụ 3: Giải bất phương trình : x  3  2  x  2 ( x  3)(2  x)  1





(Trích sách bài tập đại số 10 nâng cao)
Bài giải:
ĐK: 3  x  2
Đặt x  3  2  x  t , t  0  2 ( x  3)(2  x)  t 2  5
t  3
t  2 ( L)

thì bpt : t 2  t  6  0  

Với t  3  2 ( x  3)(2  x)  4   x 2  x  2  0  2  x  1
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  2;1
Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 2  3 x  x  6  2 x  3x  10  4 x  5 x
(Trích các đề thi đại học các trường THPT toàn quốc )
Bài giải:

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

9


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

1  19
20  2 19
0 x
3
9
Nhận xét: x  0 và x  0 nên chia cả 2 vế bất phương trình cho

ĐK: 0  x 

4

x ta được:

2
6
10
3 x 
23 x 
 45 x
x
x
x
2
Đặt
 x  t , thì bpttt : t  3  3t  2  5t  4
x

 2
 2
t  3

t 

 3
2 3t 2  7t  6  t  3 4(3t 2  7t  6)  t 2  6t  9


 2
2
t 
 3
  t 1
3
11t 2  22t  33  0

 x 1

2
2
2
20  2 19
x  x  2  0

Với  t  1  
 x 1 

1 x 


1
19

3
3
9
x
3 x  2 x  6  0
 x

3



Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  1; 20  2 19 
9



Ví dụ 5: Giải bất phương trình : 6( x 2  3x  1)  x 4  x 2  1  0
(Trích đề thi HSG 12 tỉnh thanh hóa năm 2011)

Bài giải:
Nhận xét: x  0 khơng phải là nghiệm của bất phương trình và x  0 nên chia cả 2
vế bất phương trình cho x ta được:
1
1
6( x  3  )  x 2  1  2  0
x
x
1
Đặt  x  t , t  2 thì 6(t  3)  t 2  1  0  t 2  1  6(3  t )
x

t  3
t  3
11
 2

 t 3
 2
2
5
t  1  6(t  6t  9) 5t  36t  55  0
 x2  2x  1  0

Với 2  t  11  2  1  x  11  

2

5 x  11x  5  0
x
11  21
11  21

 11  21
x
11  21 
10
10
x

10

 10


Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  11  21 ; 11  21 
10 
 10

5

x

5

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

10


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

Ví dụ 6: Giải bất phương trình :

x

x
x 1
2



3 5
2

(Trích bài tập nâng cao và một số chuyên đề đại số 10 )
Bài giải:
 x  1

ĐK: 
x  1
Nhận xét: x  0 không phải là nghiệm của bất phương trình  x  1 nên bình
phương 2 vế bất phương trình ta được:
x2  2

Đặt

x2

x2
x4
x2
45
45




0
2

2
2
x 1
x2 1 x 1 4
x2 1 4
 5
t  2
x2
45
 t , t  0 thì bpttt : t 2  2t 


0

4
x2 1
t   9 ( L )

2


 x2  5
5
2
2
4
2
  2 x  5 x  1  4 x  25 x  25   2 5
2
x 

x 1 2

4


Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  1; 5    5; 
 2 

Với t  5 
2

x2



Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các phương trình sau;
a) x 2  (1  x 2 )3 

23
27

b) 2 x 2  4 x  1  x 2  2 x  5
c) x  3  2  x  2 ( x  3)(2  x)  1
d) ( x  3 x  2)( x  9 x  18)  168 x
Bài 2: Giải các phương trình sau;
1
1
2


 x 1
x2
x 1 3
2
b) x  1  2 x  1  2 x  2
1
1
c)

x 1
2( x 2  x  1)  x

a)

2
x

8
x

d) 2 1   2x   x
DẠNG 4: Kỹ thuật đặt 2 ẩn phụ đưa về bất phương trình 2 ẩn phụ.
Phương pháp:

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

11

Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

- Đặt hai biểu thức chứa ẩn cũ bằng 2 ẩn mới a, b . Liên hệ 2 ẩn mới với nhau
được một bất phương trình.
- Đưa các yếu tố bài tốn cho về bất phương trình ẩn a, b
- Giải bất phương trình, hệ bất phương trình được a, b .
Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2 x 2  6 x  8  x  x  2
(Trích đề thi ĐHCĐ năm 2014 của các trường THPT)
Bài giải:
a) ĐK: x  0 , bpt  2( x  2)2  2 x  x  x  2
 x  a
;(a  0) thì bpttt : 2b 2  2a 2  a  b
 x  2  b

Đặt 

a  b  0
b  0



2
( a  b )  0  a  b
 x  2  0
x  2

 2
x4
 x  x  2  x  5 x  4  0

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  4
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 1  x (4  1  x )  1  3x  2 1  x
(Trích đề thi ĐHCĐ năm 2014 của các trường THPT)
Bài giải:
ĐK: 1  x  1 , bpt  1  x (4  1  x )  2(1  x)  (1  x)  2 1  x
 1 x  a
;(a  0, b  0) thì bpttt : a (4  b)  2a 2  b 2  2b  (2a  b)(2  a  b)  0
Đặt 
 1  x  b

 2 1  x  1  x
 5 x  3
  2a  b






2
2
1
1
2 1  x2  2
a
b
x
x

















  2a  b
2 1  x  1  x

 5 x  3




2
 2  a  b  2  1  x  1  x
 2 1  x  2

3
 x   5
 2

  x  0
3

 x0
5
  x   3

5 (VN )
 2
 x  0

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T    ;1 \ 0
 5 
3

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

12


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

Ví dụ 3: Giải bất phương trình : ( x  3) x  1  ( x  3) 1  x  2 x  0
Bài giải:
ĐK: 1  x  1 ,
 1 x  a
Đặt 
;(a  0, b  0) thì bpttt : (a 2  2)a  (b 2  2)b  a 2  b 2  0

 1  x  b
 (a  b)(a 2  ab  b 2  2  a  b)  0

 a  b (do a 2  ab  b 2  2  a  b  0 a, b  0)
x0

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  1;0
Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 2 x 2  12 x  6  2 x  1  x  2
(Trích đề thi chọn học sinh giỏi 10 Tĩnh gia 2 năm 2014 )
Bài giải:
ĐK: x 

1
, bpt  2( x  2)2  2(2 x  1)  2 x  1  x  2
2

 2 x  1  a
;(a  0 , b  0) thì bpttt : 2b 2  2a 2  a  b
 x  2  b

Đặt 

a  b  0

ab
2
( a  b )  0
 2 x  1  x  2  x 2  2 x  5  0 (x  R)

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T   1 ;  

2

3
2
3
Ví dụ 5: Giải bất phương trình : x  3x  3 3x  5  1  3x
Bài giải:
bpt  ( x  1)3  3 3 3 x  5  2
x 1  a
Đặt  3
 b3  3a  2 thì bpttt : a 3  3b  2  a 3  b3  3b  3a
 3 x  5  b

 (a  b)(a 2  ab  b 2  3)  0  a  b (do a 2  ab  b 2  3  0 a, b)
 x  1  3 3x  5  x3  3x 2  4  0
x  1
 ( x  1)( x 2  4 x  4)  0  
 x  2

Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  1;    2
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x 2  3x  1  1  3x  2 x 2  1
b) x3  3x 2  4 x  2  (3x  2) 3x  1
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

13

Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) x 2  x  6  3 x  1  3x 2  6 x  19  0
b) x3  3x 2  4 x  2  (3x  2) 3x  1
DẠNG 5: Nhân chia biểu thức liên hợp
Phương pháp:
- Nắm vững các phép biến đổi nhân chia biểu thức liên hợp
( a  b )( a  b )  a  b
( a  b)( a  b)  a  b 2

( 3 a  3 b )( 3 a 2  3 ab  3 b 2 )  a  b
( 3 a  3 b )( 3 a 2  3 ab  3 b 2 )  a  b
( 3 a  b)( 3 a 2  b 3 a  b 2 )  a  b3
( 3 a  b)( 3 a 2  b 3 a  b 2 )  a  b3

- Biết vận dụng các kiến thức tổng hợp để biến đổi bất phương trình về bất phương
trình tích, hoặc các bấṭ phương trình cơ bản, đơn giản đã gặp,.
2x2
Ví dụ 1: Giải bất phương trình :
 x  21
(3  9  2 x ) 2

Bài giải:
2 x 2 (3  9  2 x ) 2
 x  21  18  2 x  6 9  2 x  2 x  42
(2 x) 2
7
 6 9  2 x  24  9  2 x  16  x 

2
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T    9 ; 7  \ 0
 2 2

9
2

ĐK:   x  0 , bpt 

Ví dụ 2: Giải bất phương trình :
Bài giải:
ĐK: 1  x  3 , bpt 

x 2  2 x  3  x 2  6 x  11  3  x  x  1

4x  8



4  2x
3  x  x 1

x  2 x  3  x  6 x  11
2
1
)0
 (2 x  4)(

3  x  x 1
x 2  2 x  3  x 2  6 x  11

2
1

 0, x  1;3
Do 2
2
3  x  x 1
x  2 x  3  x  6 x  11
 2x  4  0  x  2
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T  1; 2
2

2

Ví dụ 3: Giải bất phương trình :
Bài giải:

3

x  6  2 5x 1  x2  2 x  4

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

14


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

Nhận xét: với x  2 thì 2 vế bpt bằng nhau nên ta biến đổi để bpt có nhân tử chung
là x  2
1
, bpt  3 x  6  2  6  2 5 x  1  x 2  2 x
5
10(2  x)
x2
 3

 x( x  2)
2
3
( x  6)  2 x  6  4
5x 1  3
1
10
 ( x  2)( 3

 x)  0
2
3
( x  6)  2 x  6  4
5x 1  3
1
1
1
10
1




x

;
Do 3
2
5
( x  6)  2 3 x  6  4 1  2  4 7
5x 1  3
1
10
 3

x0
2
3
( x  6)  2 x  6  4
5x 1  3
 x20 x  2
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T   1 ; 2 
5 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 3x  2  x  3  x3  3x  1

ĐK: x 

Bài giải

2
, bpt  3x  2  1  x  3  2  x3  3x  4
3

3x  3
x 1


 ( x  1)( x 2  x  4)
3x  2  1
x3 2
3
1
 ( x  1)[

 ( x 2  x  4)]  0
3x  2  1
x3 2
3
1
1 7
4 2
46
2

 3   ; x2  x  4    4 
x 
Do
2 2
9 3
9
3
3x  2  1
x3 2

3
1


 ( x 2  x  4)  0
3x  2  1
x3 2
 x 1  0  x  1
Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T   2 ;1
3 
x x
1
Ví dụ 5: Giải bất phương trình :
1  2( x 2  x  1)

ĐK: x 

( Trích đề thi đại học khối A năm 2010)
Bài giải
1  2( x 2  x  1)
 0 x  R
ĐK: x  0 , do 1  2( x  x  1) 
2 x 2  2 x  1
2

 x  x  1  2( x 2  x  1)  2(1  x) 2  x  x  1  x

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

15


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

 x  a
;(a  0) thì bpttt : 2b 2  2a 2  a  b
1  x  b

Đặt 

a  b  0
b  0


2
( a  b )  0  a  b
1  x  0
x  1
3 5

 2
x
2
 x  1  x  x  3 x  1  0


Kết hợp đk , tập nghiệm của bpt là: T   3  5 




Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 1  x  1  x  x
b) x 2  x  4  4  x 2 

2




x2

2  4  x2
x  4  6  x  2 x 2  13 x  17

c)
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a) 36 x 2  63x  27  15  27 x  2 9 x 2  9 x  3
b) 2 x  1  4 2 x  1  x  1  x 2  2 x  3
DẠNG 6: Kỹ thuật dùng bảng biến thiên để giải bất phương trình chứa tham
số
Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  0;1:
m

2
x  x2  x  1  x .
3

(Trích bài tập nâng cao và một số chuyên đề đại số 10 )
Bài giải:
ĐK: 0  x  1
Đặt

1
1
x  1  x  t , t  0  0  t 2  1  2 x(1  x)  2 ( x  ) 2   1 .
2
4

1 t  2

1
3

1
3

1
3

thì bpttt : m  (t 2  1)  t  m   t 2  t   f (t ) .
Ta có bảng biến thiên sau:

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

16

Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

Để bpt : m  f (t ) , t  1; 2   m  1 .
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:
3 x 1  m x  1  2 4 x2 1 .
Bài giải:
ĐK: x  1
x 1
x 1
 m  24
.
x 1
x 1
x 1
2
 t  0  t  1 thì bpttt : m  3t  2t  f (t )
x 1

bpt  3

Đặt

4

Ta có bảng biến thiên sau:

Để bpt : m  f (t ) , t  0;1  m 

1
3

Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  0;1:
( x 2  1) 2  m  x x 2  2  1 .

Bài giải:
Đặt x x 2  2  t , do x  0;1 0  t  3
thì bpttt : t 2  m  t  m  t 2  t  f (t ) .
Ta có bảng biến thiên sau:

Để bpt : m  f (t ) , t  0; 3   m  3  3 .
Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  0;  :
2 x 2  2mx  1  3 2 x3  x

Bài giải:
Với x  0 thì bpt ln đúng.
1
x

1
x

Do x  0 thì bpt  2 x   2m  3 2 x  .

Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

17

Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.
1
x

Đặt 2 x   t , t  2 2 thì bpttt : t 2  2m  3t  m  t 2  3t  f (t )
Ta có bảng biến thiên sau:



Để bpt : m  f (t ) , t   2 2 ;   m  2 


3
2 2.
2

Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  2; 4:
4 (4  x)(2  x)  x 2  2 x  m  18

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:
 x  1  x  2m x(1  x)  2 4 x(1  x)  m 2  m

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh
nghiệm về công tác chuyên môn là: Để nắm vững ôn tập các dạng và phương pháp
giải các dạng bài tập về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương

trình thi THPT QG , thi học sinh giỏi cấp tỉnh thì giáo viên cần phải hệ thống các
kiến thức trọng tâm và kỹ thuật giải một số dạng bài về bất phương trình chứa ẩn
dưới dấu căn thức trong chương trình đại số 10 . Đồng thời giáo viên phải là người
tạo ra động cơ để học sinh cùng tham gia giải quyết các vấn đề đã đặt ra. Sau cùng
giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em vận dụng các
phương pháp giải này.
Ý nghĩa của sáng kiến: Giúp cho giáo viên chủ động trong việc giảng dạy ôn
tập cho học sinh khối 10 một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập
về bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức, đồng thời sáng kiến kinh nghiệm
này còn giúp học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giải tốn. Từ đó học
sinh có cái nhìn tồn diện và tự tin hơn khi tiếp cận các dạng toán này.
Khả năng ứng dụng và triển khai: Sáng kiến đã được trình bày trước tổ
chun mơn và học sinh lớp 10 ôn tập thi HSG cấp trường, cấp tỉnh, THPTQG
dưới dạng chuyên đề. Tôi triển khai áp dụng vào dạy các lớp 10A1, 10A3 và đã thu
được kết quả tốt, đa số học sinh nắm bắt tốt chuyên đề, biết vận dụng vào giải các
loại bài toán bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương trình đại số
10. Được học chuyên đề này, học sinh dễ dàng có sự lựa chọn phương pháp thích
hợp và vận dụng sáng tạo cho mỗi bài toán.
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

18


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

Sau khi áp dụng đề tài, tôi đã cho làm bài kiểm tra 45 phút về phần bất
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức. Kết quả đã nâng lên rõ rệt, cụ thể:
9-10

7-8
5-6
3-4
0-2
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10A1

44

10

22,7

18

40,9

16

36,4

0

0

0

0

10A3

42

2

4,8

9

21,4

14

33,3

17

40,5

0

0

.
3. KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Sau khi triển khai sáng kiến này vào dạy học ôn tập cho học sinh lớp 10 tôi
thấy mang lại hiệu quả học tốt. Đồng thời cũng là tài liệu tham khảo, bổ sung kinh
nghiệm ra đề và giảng dạy phần bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức cho
các đồng nghiệp, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học chung cho nhà
trường. Tuy nhiên với kinh nghiệm cịn ít, trải nghiệm chưa nhiều nên đề tài khơng
tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được nhiều góp ý
của Hội đồng khoa học nhà trường THPT Tĩnh gia 2 và Hội đồng khoa học sở
GD&ĐT Thanh Hóa.
3.2. Kiến nghị:
Với đề tài này tơi đã triển khai trong quá trình dạy học sinh lớp 10 ban
KHTN và các lớp ban Cơ bản học theo khối, mang lại hiệu quả là rất tốt. Vì vậy tơi
hy vọng đề tài này sẽ đóng góp vào việc giải bài toán đã nêu trên, và được đồng
nghiệp khai thác mở rộng hơn nữa, là tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp
10 trong quá trình học tập cũng như ôn thi học sinh giỏi, ôn thi kỳ thi Quốc gia
THPT hàng năm.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tơi xin cam đoan đây là SKKN do
chính bản thân mình viết, khơng sao
chép nội dung của người khác

Lê Thị Dung
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

19


Sáng kiến kinh nghiệm: Kỹ thuật giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức trong chương
trình Tốn 10.

4. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
[1]. Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo (Tổng chủ
biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) .
[2]. Sách bài tập Đại số 10 cơ bản, NXB Giáo Dục, Vũ Tuấn (Chủ biên).
[3]. Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ
biên) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) .
[4]. Sách bài tập Đại số10 nâng cao, NXB Giáo Dục, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)
[5]. Sách Bài tập nâng cao và một số chuyên đề đại số 10, NXB Giáo Dục, Nguyễn
Huy Đoan (Tổng chủ biên) .
[6]. Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo (Tổng chủ
biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) .
[7]. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh hóa các năm 2005 đến năm 2018.
[8]. Đề thi chọn học sinh giỏi, đề thi khảo sát chất lượng các khối 10, 11, 12 mơn
Tốn các trường THPT trên tồn quốc .
[9]. Đề thi mơn Tốn Đại học năm 2008-2013 của bộ GD&ĐT.
5. DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG
KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ CẤP C TRỞ LÊN
Họ tên tác giả: Lê Thị Dung
Chức vụ: Giáo viên, Chi ủy viên Chi bộ 2 Đảng bộ THPT Tĩnh gia 2

Đơn vị công tác: Trường THPT Tĩnh Gia 2
TT
Tên đề tài
Cấp đánh Kết quả Năm học
giá xếp
đánh giá đánh giá
loại
xếp loại
xếp loại
1
Ứng dụng đạo hàm để giải phương Ngành GD
C
2010-2011
trình, bất phương trình, hệ phương cấp tỉnh
trình và hệ bất phương trình.
2
Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản Ngành GD
C
2014-2015
và đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và cấp tỉnh
giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến
bằng cách đưa về hàm số một biến
3
Phân loại cách viết phương trình mặt Ngành GD
B
2015-2016
phẳng trong không gian tọa độ theo cấp tỉnh
hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó
4
Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập Ngành GD

C
2016-2017
chuyên đề Số phức và nêu các phương cấp tỉnh
pháp giải một số dạng bài toán về số
phức
Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh Gia 2
SangKienKinhNghiem.net

20