Bài tập Đặc trưng hình học của tiết diện docx

Chương
4
Đặc trưng hình học của tiết diện


4.1. Tóm tắt lý thuyết
4.1.1. Các định nghĩa
Xét mặt cắt ngang có diện tích A . Tại điểm M(x,y) thuộc mặt cắt ngang
lấy vi phân diện tích Da.
a. Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox:
(4.1)
Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox:
()
x
A
Sy=
∫
dA
dA
()
y
A
Sx=
∫
(4.2)
Đơn vị của mô men tĩnh là [chiều dài
3
], giá trị của nó có thể là dương,
bằng 0, hoặc âm.
b.
Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox

2
()
x
A
I
ydA=
∫
(4.3)
Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox
2
()
y
A
I
xdA=
∫
(4.4)
Đơn vị của mô men quán tính là [chiều dài
4
], giá trị của nó luôn luôn
dương
c. Mô men quán tính độc cực (mô men quán tính của mặt cắt ngang A
đối với một điểm )

p
2
()
xy
A

I
dA I I
ρ
=+
∫
=
(4.5)
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

1
Đơn vị của mô men quán tính độc cực là [chiều dài
4
], giá trị của nó luôn
luôn dương
d. Mô men quán tính ly tâm (mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối
với một hệ trục )

()
xy
A
I
xydA=
∫
(4.6)
Đơn vị của mô men quán tính ly tâm là [chiều dài
4
], giá trị của nó có thể
là dương, bằng 0, hoặc âm.
4.1.2. Các khái niệm
1. Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của diện

tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0.
2. Trọng tâm: là giao điểm của hai trục trung tâm
3. Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà mô
men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0.
4. Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang: là hệ
trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt ngang.
4.1.3. Công thức xác định toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang
Để xác định toạ độ trọng tâm của một hình phẳng, trước tiên phải chọn hệ
trục ban đầu Oxy, biểu diễn kích thước và toạ độ trọng tâm C(x
C
, y
C
) trong hệ
trục này. Ta có:
y
C
S
x
A
=
;
x
C
S
y
A
= (4.7)
Nếu mặt cắt ngang
A ghép từ nhiều hình đơn giản A
i

với tọa độ trọng tâm
mỗi hình đơn giản là
C
i
( x
Ci
,y
Ci
) trong hệ toạ độ ban đầu, thì:
1
1
n
Ci i
y
i
C
n
i
i
x
A
S
x
A
A
=
=
==
∑
∑

;
1
1
n
Ci i
xi
C
n
i
i
yA
S
y
A
A
=
=
==
∑
∑
(4.8)
Chú ý:
- Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì chọn
trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng
tâm của càng nhiều hình đơn giản càng tốt.
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

2
- Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm.

4.1.4. Công thức chuyển trục song song
Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng
hình học mặt cắt ngang là
S
x
, S
y
, I
x
, I
y
, I
xy
. Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox,
O'v//Oy và:
uxb=+ ; (4.9)
vya=+
v
u
x
y
a
b
y
v
x
u
dA
O
O

Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục O'uv là:
.
ux
SSa=+A
A
A

.
vy
SSb=+

2
2
ux x
II aSa=+ +
(4.10)
2
2
vy y
I
IbSb=+ +A
A
A
A

uv xy y x
I I aS bS abA=+ + +

Trường hợp đặc biệt, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của

mặt cắt ngang A (O đi qua trọng tâm) thì công thức (4.8) có dạng đơn giản hơn:
.
u
Sa=

.
v
Sb=

2
ux
IIa=+
(4.11)
2
vy
I
Ib=+A

uv xy
I I abA=+

Chú ý: Dấu của khoảng cách a, b giữa hai trục mang dấu dương như trên
hình vẽ ( u phía dưới x và v bên trái y)
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

3


4.1.5. Công thức xoay trục
Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng

hình học mặt cắt ngang là
S
x
, S
y
, I
x
, I
y
, I
xy
. Hệ trục mới Ouv xoay một góc
α
so với hệ trục Oxy như hình vẽ (
α
theo chiều ngược chiều kim đồng hồ).
Quan hệ giữa hệ trục tọa độ mới và cũ là:
+u xcos ysin
α
α
=
;
+osvxsinyc
α
α
=
−
(4.12)
O
y

v
v
y
u
x
dA
u
x
α

Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục Ouv là:

sin os
uy x
SS Sc
α
α
=
−+

os sin
vy x
SSc S
α
α
=+

os2 - sin 2
22
xy xy

u
II II
Ic
xy
I
α
α
+−
=+
(4.13)
os2 + sin 2
22
xy xy
vx
II II
Ic
y
I
α
α
+−
=−

sin 2 os2
2
xy
uv xy
II
II
c

α
α
−
=+

4.1.6. Công thức tính mô men quán tính một số mặt cắt ngang đơn giản
a. Hình chữ nhật
3
12
x
bh
I =
;
3
12
y
hb
I =
(4.14)
b.
Hình tròn
44
4
0,1
232
p
RD
I
D
ππ

==
;
44
4
0,05
464
xy
RD
I
ID
ππ
== = 
(4.15)
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

4
c. Hình tam giác
3
12
x
bh
I =
(4.16)
h
b
D
b
h
x
x

x
y
y

4.2. Đề bài tập tự giải
Bài 4.1: Xác định toạ độ trọng tâm của các mặt cắt ngang sau đây
α
α
x
y
c b
a
h
2
3
4
R
y
x
R
y
x
y
1

Bài 4.2: Xác định các mô men quán tính
,
C
x
x

II
của các tiết diện sau (C là trọng
tâm tiết diện):
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

5
C
x
x
3
2
1
4
D
y
x
C
C
x
C
C
y
C
C
x
x
y
C
C
x

a
b
h
b
a
b
a
x
h
b

Bài 4.3: Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện
R
2R
R
2a
10a
4a

Bài 4.4: Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện (đơn vị
đo trên hình vẽ bằng mm)
200
20
150
30
120
100
20150
20
20

1040100
100

Bài 4.5: Xác định các mô men quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang
ghép từ các thép góc đều cạnh. Cho a=1cm.
Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

6
100x100x8
160x160x10
a
a
a



Bài 4.6: Biết các mô men quán tính I
x
=365cm
4
, I
y
=117cm
4
và I
u
=281,6cm
4
của
thép góc không đều cạnh L125

80 12mm. × × Tìm các trục chính và các mô men
quán tính chính của mặt cắt ngang.
y
x
u
60
0

Bài 4.7: Tìm vị trí các trục quán tính chính trung tâm và tính các mô men quán
tính chính trung tâm của tiết diện ghép như hình vẽ.
27
100x100x10
N
o

Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

7
Bài 4.8: Xác định khoảng cách a để các mô men quán tính chính trung tâm của
tiết diện ghép bằng nhau.
N
o
24
a
a
N 20
o

Trần Minh Tú - Nguyễn Thị Hường Bộ môn SBVL - Đại học Xây dựng

8