Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG ppt

July 2010
1
SỨC BỀN
VẬT LIỆU
TrầnMinhTú
Đạihọc xây dựng
®¹i häc
7/18/2010
2
Chương 4
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
(3)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Chương 4. Đặctrưng hình họccủamặtcắt ngang
4.1. Khái niệm chung
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
4.3. Mô men quán tính mộtsố hình đơngiản
4.4. Công thứcchuyểntrục song song
4.5. Ví dụ
(4)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.1. Khái niệm chung
• Kéo – nén đúng tâm:
ứng suất, biếndạng phụ thuộcvào
diệntíchmặtcắt ngang

• Thanh tiếtdiệnchữ nhật
khả năng chịulực theo hai phương x,
y khác nhau
• Khả năng chịulựccủa thanh phụ
thuộcvàodiện tích, hình dáng, cách
sắpxếp, …củamặtcắt ngang
• Các đạilượng phụ thuộc vào hình
dạng, kích thướccủamặtcắt ngang
- đặctrưng hình họccủamặtcắt
ngang
F
y
x
z
y
x
z
F
(5)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.1. Khái niệm chung
Hình dạng các mặt cắt ngang
K
K
í
í
ch

ch
thư
thư
ớ
ớ
c
c
,
,
h
h
ì
ì
nh
nh
d
d
ạ
ạ
ng
ng
?
?
(6)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
• Hình phẳng, diệntíchA

trong hệ trục Oxy. Phân
tố diệntíchdA(x,y)
1. Mô men tĩnh củadiện
tích A đốivớitrụcOx,
Oy:
• Thứ nguyên củamômen
tĩnh là [chiều dài
3
], giá trị
củanócóthể là dương,
bằng 0, hoặcâm.
()
x
A
SydA=
∫
()
y
A
SxdA=
∫
(7)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Trụctrungtâm:trụccó mô
men tĩnh củadiệntíchA
đốivớinóbằng 0.
Trọng tâm: Giao điểmcủa

hai trục trung tâm => mô
men tĩnh củahìnhphẳng
đốivớitrục đi qua trọ
ng
tâm bằng 0
Cách xác định trọng tâm C
(x
C
, y
C
) củahìnhphẳng:
y
C
S
x
A
=
x
C
S
y
A
=
x
C
y
C
C
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(8)25

Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
x
C
y
C
x
y
C
dA
x
0
x
0
y
0
y
0
0 C
x
xx=+
0 C
yy y=+
()
0xC
AA
S ydA y y dA==+
∫∫

0xCC
AA
SydAydAyA⇒= + =
∫∫
x
C
S
y
A
⇒=
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
y
C
S
x
A
=
x
C
S
y
A
=
Giả sử C(x
C
, y
C
) là trọng tâm mặt cắt ngang
dA(x,y) trong hệ toạ độ xy
x

0
, y
0
- hệ trục đi qua C
dA(x
0
,y
0
) trong hệ toạ độ x
0
y
0
Bàitoánxác định trọng tâm
Ta có:
(9)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Cách xác định trọng tâm của
hình ghép từ nhiềuhìnhđơn
giản
• Hình đơngiản: toạđộtrọng tâm dễ xác
định
• Chọnhệ trục ban đầu Oxy, biểudiễn
kích thướcvàtoạđộtrọng tâm
C(x
C
, y
C

) trong hệ trục này
• Nếumặtcắt ngang A ghép từ nhiều
hình đơngiảncódiện tích A
i
vớitọa độ
trọng tâm mỗihìnhđơngiảnlà
C
i
( x
Ci
,y
Ci
) trong hệ toạđộban đầu, thì:
1
1
n
Ci i
y
i
C
n
i
i
x
A
S
x
A
A
=

=
==
∑
∑
1
1
n
Ci i
xi
C
n
i
i
yA
S
y
A
A
=
=
==
∑
∑
x
y
C
1
C
2
C

3
x
C1
y
C1
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(10)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Chú ý
 Chọnhệ trụctoạđộban đầuhợp lý: Nếuhìnhcótrục
đốixứng thì chọntrục đốixứng làm mộttrụccủahệ
trụctọa độ ban đầu, trụccònlại đi qua trọng tâm của
càng nhiềuhìnhđơngiản càng tốt.
 Nếuhìnhbị khoét thì diệntíchbị khoét mang giá trị
âm.
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(11)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
2. Mô men quán tính củamặt
cắt ngang A đốivớitrụcx, y
• Thứ nguyên củamômen
quán tính là [chiềudài
4
], giá

trị của nó luôn luôn dương
3. Mô men quán tính độccực
2
()
x
A
I
ydA=
∫
2
()
y
A
IxdA=
∫
2
()
pxy
A
I
dA I I
ρ
==+
∫
• Thứ nguyên của mô men quántính độc cực là [chiều
dài
4
], giá trị của nó luôn luôn dương
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(12)25

Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4. Mô men quán tính ly tâm
Thứ nguyên của mô men quán tính
ly tâm là [chiềudài
4
], giá trị của
nó có thể là dương, bằng 0,
hoặcâm.
Hệ trục quántính chính trung tâm của diện tích mặt cắt
ngang: là hệ trục quántính chính, có gốc tọa độ trùng với
trọng tâm mặt cắt ngang.
Hệ trục quántính chính của diện tích mặt cắt ngang: là
hệ trục mà mô men quántính ly tâm của diện tích mặt cắt
ngang đối với nó bằng 0.
()
xy
A
I xydA=
∫
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(13)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Tính chất:
 Nếumặtcắtcó1 trục đốixứng thì bấtcứ trục nào

vuông góc vớitrục đốixứng đócũng lậpvớinómột
hệ trục quán tính chính
 Nếu hình ghép:
()
0
xy
AA
IxydAxydA=+−=
∫∫
1=
=
∑
n
i
yy
i
II
1=
=
∑
n
i
x
x
i
I
I
1=
=
∑

n
i
x
yxy
i
I
I
4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính
(14)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.3. Mô men quán tính mộtsố hình đơngiản
 Hình chữ nhật
 Hình tròn
 Hình tam giác
3
12
x
bh
I =
3
12
y
hb
I =
44
4
0,1

232
p
RD
I
D
ππ
==
44
4
0,05
464
xy
RD
I
ID
ππ
== = 
3
12
x
bh
I =
h
b
x
y
D
x
y
b

h
x
(15)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.4. Công thứcchuyểntrục song song
 Mặtcắt ngang ngang A trong
hệ trụcban đầuOxycó các
đặctrưng hình họcmặtcắt
ngang là S
x
, S
y
, I
x
, I
y
, I
xy
.
 Hệ trụcmớiO'uvcó O'u//Ox,
O'v//Oy và:
 Các đặctrưng hình họcmặt
cắt ngang A trong hệ trụcO'uv
là:
uxb=+
vya
=

+
x
y
A
O
u
v
a>0
b>0
dA
x
u
y
v
.
ux
SSaA=+
.
vy
SSbA=+
2
2
ux x
I
IaSaA=+ +
2
2
vy y
I
IbSbA=+ +

uv xy y x
I
I aS bS abA
=
+++
(16)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.4. Công thứcchuyểntrục song song
NếuO điqua trọng tâm C:
2
ux
IIaA=+
2
vy
IIbA=+
uv xy
I
I abA
=
+
C
C
(17)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering

4.5. Công thứcxoaytrục
- Trong nhiều trường hợp, cần xácđịnhcác đặc trưng hình
học mặt cắt ngang trong hệ trục toạ độ xoay một gócnàođó
so với hệ trục ban đầu
(18)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.5. Công thứcxoaytrục
- Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục
ban đầu Oxy có cácđặctrưnghình
học mặt cắt ngang là
S
x
, S
y
, I
x
, I
y
, I
xy
.
-HệtrụcmớiO'uvxoay góc q ngược
chiều kim đồng hồ
u
x
y
v

uxcos ysin
vxsin ycos
θ
θ
θ
θ
=+
=− +
-Các đặc trưng hình học
mặt cắt ngang trong hệ trục
mới O'uv là
S
u
, S
v
, I
u
, I
v
, I
uv
xy xy
uxy
xy xy
vxy
xy
uv xy
II II

I
cos I sin
II II
I
cos I sin
II
IsinIcos
θ
θ
θ
θ
θθ
+
−
=+ −
+−
=− +
−
=+
22
22
22
22
22
2
(19)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering

4.5. Công thứcxoaytrục
-Hệtrụcquántính chính có I
uv
=0 => Vị
trí của hệ trục quántính chính xácđịnh
bởi góc
q
0
:
x
y
yx
I
tan
I
I
θ
=−
−
0
2
2
-Cácmômen quántính đối với hệ trục
quántính chính :
- Tương quan giữa
I
u
, I
uv
và

I
x
,
I
y
, I
xy
tương tự như tương quan
giữa
s
u
, t
uv
và
s
x
, s
y
, t
xy
Vòng tròn Mohr quán tính
2
2
22
x
y
xy xy
max, min
II II
II

+−
⎛⎞
=± +
⎜⎟
⎝⎠
(20)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
4.6. Bài tập–Vídụ 4.6.1
Ví d
ụ
4.6.1. Cho mặtcắt ngang có
hình dạng và kích thướcnhư hình
vẽ.Xác định các mô men quán tính
chính trung tâm củamặtcắt ngang
Gi
ả
i: Chọn hệ trụctoạ độ ban đầu
x
0
y
0
như hình vẽ. Chia mặtcắt ngang
làm hai hình đơngiảnvà
1 2
1
2
x

0
y
0
1. Xác định toạ độ trọng tâm, ta có:
-x
C
=0 (y
0
-trục đốixứng)
y
C1
= 50 mm; y
C2
= 20 mm
mm
Ci i
CC
C
i
yA
yA yA
y
AAA
+
== =
+
∑
∑
11 22
12

38
(21)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 4.6.1
1
2
x
0
y
0
()
(
)
()()
-9 4
mm 868 10 m
xxx
x
III bhAa bh Aa
I
=+= + + +
= ×+×+ ×+×
=× = ×
12 3 2 3 2
11
11 1 1 22 2 2
12 12

32 32
11
12 12
34
90 20 1800 12 30 40 1200 18
868 10
-Dựng hệ trục quán tính chính trung tâm Cxy
- Các mô men quán tính chính trung tâm:
()()
-9 4
mm 1305 10 m
yyy
y
III hb hb
I
=+= +
=×+×
=× = ×
12 3 3
11
11 22
12 12
33
11
12 12
34
20 90 40 30
1305 10
(22)25
Jul

y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 4.6.2
V
í
dụ 4.6.2.
Cho hình phẳng có hình
dạng và kích thước như hình vẽ. Xác
định các mô men quántính chính trung
tâm
của hình phẳng
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ ban đầu x
0
y
0
như hình vẽ. Chia hình phẳng làm hai
hình đơn giản và
1
2
1
2
1
2
+
(23)25
Jul
y
2010

Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 4.6.2
Ta có:
1. Xác định toạ độ trọng tâm:
i= X
i
[m] y
i
[m] A
i
[m
2
] x
i
A
i
[m
2
]
10,5
2,0
242,0
0,5 2
6
4
6
2
y
i
A

i
[m
2
]
8
1
9
∑
1
2
Ci i
C
i
xA
x
(m)
A
===
∑
∑
6
1
6
Ci i
C
i
yA
y,(m)
A
===

∑
∑
9
15
6
2. Qua C, dựng hệ trục quántính trung tâm Cxy:
C
y
x
1.5m
3. Các mô men quántính đối với hệ trục quántính
trung tâm Cxy:
a
1
= - 0,5m; b
1
=0,5m; a
2
=1m; b
2
= - 1m
(24)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 4.6.2
1
2

x
y
.
A
I,.,(m)
.
I
,. ,(m)
⇒= +
=+
3
124
1
3
124
14
05 4 633
12
41
05 4 133
12



x
y
.
A
I.,(m)
.

I
.,(m)
⇒= +
=+
3
22 4
2
3
22 4
21
12 217
12
12
12 267
12


xxx
4. Các mô men quántính đối với hệ trục quántính
chính trung tâm Cuv:
I
II , , ,(m)=+= + =
12 4
633 217 85
yyy
I
II , , (m)=+= + =
12 4
133 267 4
xy xy xy

I
II abAabA (m)=+=+ + =−
12 4
11 1 22 2
03
(25)25
Jul
y
2010
Tran Minh Tu - University of Civil Engineering
Ví dụ 4.6.2
4. Các mô men quántính đối với hệ trục quántính chính trung tâm Cuv:
2
24
1
10( )
22
xy
xy xy
II II
I
Im
+−
⎛⎞
=+ +=
⎜⎟
⎝⎠
2
24
2

2,5( )
22
xy
xy xy
II II
IIm
+−
⎛⎞
=− +=−
⎜⎟
⎝⎠
5. Gócxácđịnh hệtrụcquántính chính trung tâm Cuv:
xy
yx
I
tan ,
II
θ
=− =
−
0
2
21333

'
'
α
αα
=
=+ =

0
1
00
21
26 34
90 116 34
1
2
C
y
x
1.5m
v
u
α
1