SKKN Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức để nâng cao hiệu...

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………….
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………..
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………….
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………
1.5. Những điểm mới của SKKN…………………………………..………….
PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của đề tài…………………………………………………....
2.2. Thực trạng của đề tài………………………………………………….......
2.3. Giải pháp thực hiện đề tài………………………………………………...
2.3.1.Cách giải các bài tốn tìm số phức có mơ đun lớn nhất, nhỏ nhất khi
tập hợp các số phức là đường tròn……………………………………………
2.3.2 Cách giải các bài tốn tìm số phức có mơ đun lớn nhất, nhỏ nhất khi
tập hợp các số phức là đường thẳng…………………………………………..
2.3.3. Ví dụ áp dụng…………………………………………………………...
2.3.4. Một số dạng toán liên quan……………………………………………..
2.4. Kết quả thực nghiệm……………………………………………………...
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận…………………………………………………………………...
3.2. Kiến nghị …….…………………………………………………………...
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………...

Trang
2
2
2
2
3
4

4
5
5
5
6
7
16
20
22
22
23

1
SangKienKinhNghiem.net


PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nếu văn học là mơn học với những lí lẽ sâu sắc, những cảm xúc mạnh mẽ.
Vật lí nghiên cứu những vấn đề thực tế thì tốn học lại cần cơng thức, lí luận và
cả thực tiễn nữa. Thực tiễn dạy học nói chung và dạy tốn nói riêng địi hỏi
người thầy phải là người thực sự dẫn dắt, định hướng và khơi dạy trong học sinh
niềm đam mê, hứng thứ học tập để các em tự tìm tịi, tự phát hiện ra vấn đề và
giải quyết vấn đề.
Năm học 2016-2017, do yêu cầu của thực tiễn, bộ giáo dục đã đổi mới hình
thức thi THPT quốc gia, chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm. Vì vậy người
giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp. Trong
mỗi tiết dạy cần dạy cho học sinh học được vấn đề gì, chứ khơng phải giáo viên
dạy được gì. Hiện nay chương trình SGK giải tích lớp 12, chương vI: Chương
số phức chỉ nêu phần lí thuyết và một số dạng tốn cơ bản về số phức mà có rất

ít ví dụ về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức. Trong khi
cấu trúc đề thi THPT quốc gia và các đề thi thử của các trường, các sở giáo dục
thường xuyên có câu hỏi về dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
mô đun số phức. Là một giáo viên dạy tốn, nhằm cung cấp cho học sinh có
được cơ sở để giải các bài tốn về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô
đun số phức, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Một số phương pháp tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức để nâng cao hiệu quả giải
các bài tốn trong chương trình THPT”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa kiến thức và kỹ năng, giới thiệu một số dạng tốn về tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức nhằm phát huy năng lực của
học sinh góp phần phát triển năng lực tư duy sáng tạo và kỹ năng giải quyết
các vấn đề thực tế thi THPT quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy năm học
2017-2018. Cụ thể là lớp 12C1, 12C6.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thử
THPT
- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Tốn 10, 12 (phần tam
thức bậc hai, số phức).
2. Phương pháp chuyên gia
- Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiến
làm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài.
2
SangKienKinhNghiem.net


3. Phương pháp thống kê toán học

- Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được
sau khi tiến hành nghiên cứu.
4. Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài
tập, củng cố bài học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị bài kết hợp với kiểm tra, đánh
giá).
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến kinh nghiệm đã nêu bật được cách dạy học sinh trung bình, học
sinh yếu cách làm bài tập trắc ngiệm dạng các bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức. Học sinh được dạy cách xây dựng lý
thuyết, làm chắc tự luận để củng cố lại lý thuyết, và cách làm bài tập trắc
nghiệm sao cho đúng và nhanh nhất.

3
SangKienKinhNghiem.net


PHẦN 2. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

2.1. Cơ sở lý luận
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí,đào tạo
nhân lực,bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thơng, đặc biệt là mơn tốn, môn học rất cần thiết và không thể thiếu được trong
đời sống con người.
Mơn tốn ở trường THPT là một mơn độc lập, chiếm phần lớn thời gian
trong chương trình học của học sinh. Mơn tốn có tầm quan trọng to lớn. Nó là
bộ mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự
nhiên của con người. Mơn tốn có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện
phương pháp tư duy, phương pháp suy luận logic, hình thành nhân cách tốt đẹp
cho người lao động trong thời đại mới.

Học sinh THPT đang ở lứa tuổi gần như hồn thiện, có sức khỏe dẻo dai,
rất hiếu động và thích thể hiện mình. Các em nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng
sẽ quên ngay khi chúng khơng tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo
ra hứng thứ trong học tập và thường xuyên được tập luyện. Người dạy cần phải
chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh.
Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 12 từ khi được chỉnh sửa bổ sung
vào năm 2006 – 2007, nội dung có phần thay đổi, có phần được đưa thêm các
kiến thức mới, các bài toán thực tế được đưa vào cũng nhiều hơn đã đem lại
những chuyển biến nhất định trong kết quả dạy và học, làm cho học sinh hứng
thú chú ý hơn vào nội dung bài học. Nhất là trong thời đại ngày nay, thơng tin
bùng nổ với tốc độ chóng mặt, việc dạy học theo hướng thực tiễn là việc làm
cần thiết.
Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp
cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp loại bài tốn
về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức.
2.2. Thực trạng của đề tài
Năm học 2016-2017 bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của
mơn tốn từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và
học cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Trong các đề thi thử của bộ GD-ĐT và các đề thi thử của các trường THPT,
học sinh thường gặp một câu về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến
mô đun số phức như: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó (điều kiện có thể là
đường thẳng hay đường trịn) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môdun số phức z.
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường
THPT Nguyễn Hồng nói riêng (chất lượng đầu vào thấp),tư duy hệ thống, logic và
khái quát của các em còn hạn chế, điều kiện kinh tế của gia đình cịn nhiều khó
4
SangKienKinhNghiem.net

khăn, rất nhiều sinh viên học đại học ra trường khơng xin được việc làm. Vì vậy 75%
số học sinh trong trường khơng có nhu cầu học đại học, các em chủ yếu lựa chọn học
nghề vừa mất ít thời gian, lại có tay nghề tốt, xin việc lại dễ hơn. Vì vậy khi dạy học,
giáo viên cần phải phân dạng rất rõ và cho và cho các em luyện tập để tăng tính tập
trung và các em vận dụng kiến thức tốt hơn. Có thể làm bài tốt trong kỳ thi THPT
quốc gia.
Đặc biệt, hiện nay trong SGK chỉ có định nghĩa và một vài bài tập về tìm
mơdun theo định nghĩa, khơng có bài tập nào về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
môdun số phức cả, khiến học sinh vô cùng lúng túng khi gặp các bài toán này trong
các đề thi thử THPT quốc gia. Phần này thậm chí cịn mới đối với giáo viên. Vì vậy
cần có phương pháp phù hợp để học sinh có thể tiếp thu và vận dụng, sau đó là làn
nhanh ,chính xác đáp án. Trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia thường có một
vài câu về chương số phức,câu về lãi suất ngân hàng, dạng này được các sở GDĐT, các trường THPT liên tục ra trong đề thi thử. Vì vậy cần phải rèn luyện
thành kỹ năng dạng toán này cho các em học sinh.
Tuy nhiên với đối tượng học sinh như trường THPT Nguyễn Hồng tơi
khơng dạy hết các dạng tìm giá trị max, min của mô đun số phức mà chỉ tập
trung vào hai dạng chính (chiếm 2/3 số bài tốn tìm giá trị max, min của các đề
thi) để học sinh đi sâu và thành thạo dạng bài tập này.
2.3. Giải pháp thực hiện
Để hiểu và vận dụng được bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của môdun số phức vào làm đề thi THPT quốc gia, trước hết giáo viên
cần xây dựng các dạng bài thường gặp.
2.3.1. Bài toán 1: ( Tập hợp các số phức z là một đường tròn) Cho số phức
z  x  yi thỏa mãn z  a  bi  k . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
z  c  di  P .
Bài giải
Cách 1: Dùng phương pháp lượng giác hóa.
Từ đề bài ta có z  a  bi  k  x  yi  a  bi  k  ( x  a)2  ( y  b)2  k 2 (1)
 x  a  k sin t
t  0; 2  , x, y thỏa mãn điều kiện (1)

 y  b  k cos t

Đặt 

Ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

P 2  ( x  c) 2  ( y  d ) 2  (a  c  k sin t ) 2  (b  d  k cos t ) 2
P 2  (a  c) 2  (b  d ) 2  k 2  2k ((a  c) sin t  (b  d ) cos t )
P 2  (a  c) 2  (b  d ) 2  k 2  2k (a  c) 2  (b  d ) 2 sin(t   )
(a  c)
(b  d )
sin  
Với cos  
;
;
(a  c) 2  (b  d ) 2
(a  c) 2  (b  d ) 2
P 2 max  (a  c) 2  (b  d ) 2  k 2  2k (a  c) 2  (b  d ) 2 khi sin(t   )  1

5
SangKienKinhNghiem.net


P 2 min  (a  c) 2  (b  d ) 2  k 2  2k (a  c) 2  (b  d ) 2 khi sin(t   )  1

Cách 2: Dùng phương pháp hình học
Từ đề bài ta có z  a  bi  k  x  yi  a  bi  k  ( x  a)2  ( y  b)2  k 2 (1)
Đây là phương trình đường trịn tâm I (a; b) bán kính bằng k
z  c  di  P  P 2  ( x  c) 2  ( y  d ) 2 (2)
Đây là phương trình đường trịn tâm I1 (c; d ) bán kính bằng P

u cầu bài tốn là tìm bán kính Pmax ; Pmin để hai đường trịn trên có giao điểm
chung
Pmax  II1  k khi hai đường tròn tiếp xúc trong
Pmin  II1  k khi hai đường trịn tiếp xúc ngồi

Cách này thường được dùng nhiều trong các dạng tính nhanh của bài tập trắc
nghiệm
Chú ý: Bài tốn trên cịn có thể mở rộng thành Cho số phức z  x  yi thỏa
mãn mz  a  bi  k . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nz  c  di  P .
Ngoài hai cách giải trên cịn có thể dùng nhiều cách khác như dùng bất đẳng
thức, tuy nhiên với đối tượng học sinh như trường tơi thì cần hình thành phương
pháp ổn định và thành thạo cho các em ứng dụng.
2.3.2. Bài toán 2: ( Tập hợp các số phức z là một đường thẳng)
Cho số phức z  x  yi thỏa mãn z  a  bi  z  c  di . Tìm giá giá trị nhỏ nhất
của z  c  di  P .
Bài giải
Từ điều kiện của đề bài ta có tập hợp các cố phức z thỏa mãn
z  a  bi  z  c  di là một đường thẳng Ax  By  C  0 (  )
C  By
 C ) 2  ( y  d ) 2 đây là tam thức bậc hai
A
n
n 2  4mr
2
2
my  ny  r  0 với hệ sô m dương. P min  
; Pmin khi y 
2m
4m
Chú ý: Học sinh có thể tính nhanh Pmin  d ( I1 ; ) khi đường thẳng  tiếp xúc

Ta có : P 2  ( x  c)2  ( y  d )2  (

với đường trịn tâm I1
2.3.3. Ví dụ áp dụng
Sau khi xây dựng công thức xong, giáo viên cho học sinh những bài tập vận
dụng, dạng tự luận để các em ghi nhớ công thức.
Bài 1: Số phức z thay đổi sao cho |z| = 1 tìm giá trị bé nhất m và giá trị lớn nhất
M của |z – i |
Bài giải
6
SangKienKinhNghiem.net


Những ví dụ đầu tiên này tơi cho học sinh làm cả hai cách đề các em vận dụng
thành thạo lí thuyết.
Cách 1
Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  . Ta có: z  1  x 2  y 2  1 .
Đặt x  sin t ; y  cos t ; t  0; 2  .
 z  i  sin t   cos t  1  2  2 cos t  0  z  i  2  z  i max  2; z  i min  0
2

Cách 2

2

2

Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  .

Ta có z  1  x 2  y 2  1 .
. Đây là phương trình đường trịn tâm I (0;0) bán kính bằng 1
2
z  i  P  x 2  y  1  P 2 .
Đây là phương trình đường trịn tâm I1 (0; 2) bán kính bằng P
II1  1 nên Pmax  II1  k = 1  1  2; Pmin  1  1  0
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  3 . Tìm mơđun lớn nhất của số phức
z  2 i.

A. 26  6 17 .
B. 26  6 17 .
C. 26  8 17 .
D. 26  4 17 .
|
Bài giải
Cách 1
Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  z  2i  x  y  2 i . Ta có:
z  1  2i  3  x  1  y  2   9 .
2

2

Đặt x  1  3 sin t ; y  2  3 cos t ; t  0; 2  .
 z  2i  1  3 sin t   4  3 cos t   26  6 sin t  4 cos t   26  6 17 sin t   ;   ¡ .
2

2

2

 26  6 17  z  2i  26  6 17  z  2i max  26  6 17 .

Cách 2
Ta có:

Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  z  2i  x  y  2 i .
z  1  2i  3  x  1  y  2   9 .
2

2

Đây là phương trình đường trịn tâm I (1; 2) bán kính bằng 3
z  2i  P  x 2  y  2   P 2 .
2

Đây là phương trình đường trịn tâm I1 (0; 2) bán kính bằng P
II1  17 nên Pmax  II1  k = 17  3  26  6 17  Chọn đáp án A.

Bài 3:
: Cho số phức z thỏa mãn z  12  5i  3 . Tìm giá trị lớn nhất của |z|
A. 9
B. 12
C. 16
D. 10
7
SangKienKinhNghiem.net


Bài giải
Bài tập này tôi không yêu cầu học sinh làm cả hai cách, mà cho các em lựa

chọn một trong hai cách làm. Sau đó tơi trình bày cả hai cách lên bảng để các
em đối chiếu với cách làm của mình.
Cách 1
Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  z  12  5i  x  12  y  5 i . Ta có:
z  12  5i  3  x  12   y  5   9 .
2

2

Đặt x  12  3 sin t ; y  5  3 cos t ; t  0; 2  .
 z  12  3 sin t   5  3 cos t   178  6 12 sin t  5 cos t   178  6.13 sin t   ;   ¡ .
2

2

2

 10  z  16  z max  16.

Cách 2

Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  z  2i  x  y  2 i .
z  12  5i  3  x  12   y  5   9 .
2

Ta có:

2

Đây là phương trình đường trịn tâm I (12;5) bán kính bằng 3

z  P  x2  y 2  P 2 .
Đây là phương trình đường trịn tâm I1 (0;0) bán kính bằng P
II1  13 nên Pmax  II1  k = 13  3  16  Chọn đáp án C.
Bài 4: (Để thi thử trường THPT Phan Bội Châu) Cho số phức z thỏa mãn
z  2  3i  1 . Giá trị lớn nhất của z  1  i là
A. 13  2 .
Cách 1

B. 4 .
Bài giải

D. 13  1 .

C. 6 .

Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  z  2  3i  x  2  y  3 i . Ta có:
z  2  3i  1  x  2   y  3   1 .
2

2

Đặt x  2  sin t ; y  3  cos t ; t  0; 2  .
 z  1  i  3  sin t   2  cos t   14  2 3 sin t  2 cos t   14  2. 13 sin t   ;   ¡ .
2

2

2

 14  2 13  z  1  i  14  2 13  13  1  z  1  i

 13  1.
max

Cách 2
Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  z  2  3i  x  2  y  3 i .
Ta có: z  2  3i  1  x  2   y  3   1
Đây là phương trình đường trịn tâm I (2;3) bán kính bằng 1
z  1  i  P  ( x  1)2  ( y  1)2  P 2 .
2

2

Đây là phương trình đường trịn tâm I1 (1;1) bán kính bằng P
II1  13 nên Pmax  II1  1 = 13  1  Chọn đáp án D.
8
SangKienKinhNghiem.net


Bài 5:
Cho số phức z thỏa mãn z  1  2i  2 . Tìm mơđun lớn nhất của số phức z.
A. 9  4 5 .

B. 11  4 5
C. 6  4 5
D. 5  6 5
Bài giải
2
2
Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  . Ta có: z  1  2i  2  x  1  y  2   4.

Đặt x  1  2 sin t ; y  2  2 cos t ; t  0; 2  .
Lúc đó:

z  1  2 sin t   2  2 cos t   9  4 sin t  8 cos t   9  4 2  8 2 sin t   ;   ¡
2

2

2



2
 z  9  4 5 sin t    z    9  4 5 ; 9  4 5 



 z max  9  4 5

đạt được khi z 

 Chọn đáp án A.

5  2 5 10  4 5

i.
5
5

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn 1  i z  6  2i  10 . Tìm mơđun lớn nhất của

số phức z.
A. 4 5

B. 3 5.

D. 3  5

C. 3.

Bài giải
Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  .
Ta có:

1  i z  6  2i 

10  1  i  . z 

2
2
6  2i
 10  z  2  4i  5  x  2   y  4   5.
1 i

Đặt x  2  5 sin t ; y  4  5 cos t ; t  0; 2  .
Lúc đó:
2



z  2  5 sin t

 
2

 4  5 cos t


2





 25  4 5 sin t  8 5 cos t  25 

    sin 
2

4 5

 8 5

2
 z  25  20 sin t    z   5; 3 5 



 z max  3 5 đạt được khi z  3  6i.
 Chọn đáp án B.

Học sinh trường THPT Nguyễn hoàng khả năng tư duy chậm, nhanh quên
nên khi các em nhớ được công thức rồi, tôi sẽ cho các em làm các đề thi thử trắc
ngiệm , một số đề cần vài bước biến đổi mới về dạng quen thuộc để các em phân
dạng được bài toán và áp dụng công thức thành thạo.
Bài 7: (Để thi thử trường THPT Hậu Lộc 3)

9
SangKienKinhNghiem.net

2


Gọi z  x  yi  x , y  R  là số phức thỏa mãn hai điều kiện z  2  z  2  26 và
2

z

3
2



3
2

2

i đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.

9

4

A. xy  .

B. xy 

13
.
2

C. xy 

16
.
9

9
2

D. xy  .

Bài giải
Học sinh cần xác định được đây là bài toán dạng 1
Đặt z  x  iy  x , y  R . Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x 2  y 2  36.
Đặt x  3 cos t , y  3 sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có
P  z

3



2

 
i  18  18 sin  t    6.
4
2


3





3

3 2

3 2


i.
Dấu bằng xảy ra khi sin  t    1  t    z  
4
2
2
 4
 Chọn đáp án D.

Bài 8: (Để thi thử trường THPT Bỉm Sơn)
Trong các số phức z thỏa z + 3 + 4i = 2 , gọi z0 là số phức có mơ đun nhỏ nhất.
Khi đó

A. Khơng tồn tại số phức z0 .

B. z0 = 2 .

C. z0 = 7 .

D. z0 = 3 .

Bài giải
Đặt z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ ) . Khi đó z + 3 + 4i = 2 Û ( x + 3)2 + ( y + 4)2 = 4 .
Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường trịn tâm I 3; 4 
và bán kính R  2 .
z  P  x2  y 2  P 2 .
Đây là phương trình đường trịn tâm I1 (0;0) bán kính bằng P
II1  5 nên Pmin  II1  2  5  2  3  Chọn đáp án D.
Bài 9: (Để thi thử trường THPT chuyên KHTN)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z  1  2i  5 và w  z  1  i có mơđun lớn
nhất. Số phức z có mơđun bằng:
A. 2 5 .
B. 3

2.

C. 6 .

D.

5 2.

Bài giải
Gọi z  x  yi x, y  ¡   z  1  2i  x  1   y  2 i
Ta có: z  1  2i  5  x  12   y  2 2  5  x  12   y  2 2  5

10
SangKienKinhNghiem.net


Đặt x  1  5 sin t ; y  2  5 cos t ; t  0; 2  .
Lúc đó:
2



w  2  5 sin t
2

w  10  10(

2
5

cos  

2

  1 

2

sin t 

; sin  

1
5

  10  4



2

5 cos t

5 sin t  2 5 cos t 

cos t )  10  10 sin(t   );

1

5

5

2

 w  20  w max  20

 w max  20 đạt được khi sin(t   )  1  t 

Ta có:
2



z  1  5 sin t

  2 
2

  10  2
2

5 cos t


2





5 sin t  4 5 cos t 






10  2 5 sin      4 5 cos      18;   ¡
2
2





 z  3 2  Chọn đáp án B

Có rất nhiều bài tốn nhìn đề bài rất phức tạp, giáo viên cần hướng dẫn học
sinh cách nhận dạng bài toán để biến đổi về dạng quen thuộc.
Bài 10: (Để thi thử sở GD-ĐT Thanh Hóa)
Cho số phức z thoả mãn

3  3 2i
z  1  2i  3 . Gọi M và m lần lượt là giá
1  2 2i

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M.m
A. M .n  25

B. M .n  20

C. M .n  24

D. M .n  30

Bài giải

Học sinh cần xác định bài toán này vẫn thuộc dạng 1
Đặt z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ ) . Khi đó

3  3 2i
z  1  2i  3
1  2 2i

( x + 1) 2 + y 2 = 1

Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường trịn tâm I 1;0  và
bán kính R  1 .
z  3  3i  P  ( x  3)2  ( y  3)2  P 2 .
Đây là phương trình đường trịn tâm I1 (3;3) bán kính bằng P
II1  5 nên M  5  1  6; m  5  1  4; M .m  24  Chọn đáp án C.
Bài 11: (Để thi thử trường THPT Hàm Rồng)

11
SangKienKinhNghiem.net


Cho số phức z thoả mãn z  2  3i  1 . Gọi M  max z  1  i , m  min z  1  i .
Tính giá trị của biểu thức M 2  n 2 .
A. M 2  m 2  28

C. M 2  m 2  26

B. M 2  m 2  24

D. M 2  m 2  20
Bài giải

z  2  3i  1  x  2    y  3  1
2

Theo bài ra

2

Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn tâm I 2;3 và bán kính
R  1.
2
2
Đặt P  z  1  i  x  1   y  1  P 2
Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường trịn tâm I1 1;1 và bán kính
P

II1  13 nên M  13  1; m  13  1; M 2  m 2  28  Chọn đáp án A.

Bài 12: (Để thi thử trường THPT Cẩm thủy 3)
Xét các số phức z  a  bi a, b  ¡  thỏa mãn z  4  3i  5 . Tính P  a  b khi
Q  z  2  2i  2 z  4  i  3 z  2i đạt giá trị lớn nhất.
2

2

A. P  14 .
P  13 .

2

B. P  12 .

C. P  11 .

D.

Bài giải

Ta có z  4  3i  5  (a  4)  (b  3)2  25
2

Đặt x  4  5 sin t ; y  3  5 cos t ; t  0; 2  .
Theo bài ra:
Q  ( a  2)2  (b  2)2  2 ( a  4)2  (b  1)2 ]  3[( a 2  (b  2)2 ]
Q  6 a 2  6b2  12 a  12b  54

Khi đó:

Q
 7  ( a  1)2  (b  1)2
6
2
2
3

Q
4
 7  3  5 sin t  4  5 cos t   50  50  sin t  cos t 
6
5
5


Q
 7  50  50 sin(t   )
6

cos  

Qmax

3
4
; sin  
5
5

3

a  4  5. 5  7
 sin(t   )  1  t     
2
b  3  5. 4  7

5



12
SangKienKinhNghiem.net

Vậy a  b  14  Chọn đáp án A.
Sau khi học sinh làm thật thành thạo và chính xác dạng 1 rồi, giáo viên mới
chuyển sang dạng 2 ( Tập hợp các số phức z là một đường thẳng).
Bài 13 Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z  2  i . Tìm số phức có
mơđun nhỏ nhất?
A. z  1  2i .

1
5

2
5

B. z    i .

1 2
5 5

C. z   i .

D. z  1  2i .

Bài giải
Những bài đầu của dạng tốn tơi ln u vầu học sinh làm tự luận.

Giả sử z  x  yi x, y  ¡ 

z  3i  z  2  i  x   y  3i  x  2    y  1i  x 2   y  3  x  2    y  1
2

2

2

 6 y  9  4x  4  2 y 1  4x  8 y  4  0  x  2 y 1  0  x  2 y 1
2

2
1
5
2
2 y  1  y 2  5 y 2  4 y  1  5  y    
5 5
5

2
1
Suy ra z min  5 khi y    x 
5
5
5
1 2
Vậy z   i.
5 5
z  x2  y 2 

Sau khi làm xong tự luận thì tơi hướng dẫn gọc sinh cách làm trắc nghiệm.
Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z  2  i là
đường thẳng d : x  2 y  1  0 .
Phương án A: z  1  2i có điểm biểu diễn 1;  2  d nên loại A.

1 2
Phương án B: z    i có điểm biểu diễn   1 ; 2   d nên loại B.
5

5

Phương án D: z  1  2i có điểm biểu diễn

 5 5
1; 2  d

nên loại B.

1 2
Phương án C: z   i có điểm biểu diễn  1 ;  2   d
5 5

 Chọn đáp án C.

5

5

Bài 14:
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z  2  4i  z  2i . Tìm mơđun nhỏ nhất
của số phức z  2i.
A. 5

B. 3 5.
Bài giải

Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  .

C. 3 2

D. 3  2

13
SangKienKinhNghiem.net


Ta có:
z  2  4i  z  2i 

x  2   y  4 
2

2

 x 2  y  2   x  y  4  0  y  4  x.
2

Ta có: z  2i  x 2  y  2   x 2  6  x   2 x 2  12 x  36  2 x  3   18  18
2

2

2

2

 z  2i min  18  3 2 khi z  3  i.

 Chọn đáp án C.

Bài 15: (Sở GD-ĐT hà tĩnh)
Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z

thỏa z  2i  1  z  i . Tìm số

phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A 1,3 .
A. 3  i .

B. 1  3i .
Bài giải

C. 2  3i .

D. 2  3i .

Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡ ; M( x; y) .
Ta có:
z  2i  1  z  i 

x  1  y  2 
2

2

 x 2  y  1  x  y  4  0  x  y  2.
2

AM 2  ( x  1) 2  ( y  3) 2  2 y 2  4 y  10
AM min  y  1; x  3

 Chọn đáp án A

Bài 16: (Đề thi Lương Thế Vinh L3)
Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5  z  1  2i z  3i  1 .
Tính min | w | , với w  z  2  2i .
3
2

A. min | w | .

B. min | w | 2

C. min | w | 1 .

1
2

D. min | w | .

Bài giải
Bài toán này cần sự biến đổi khéo léo thì tập hợp các số phức mới là phương
trình đường thẳng được.
Ta có

z 2  2 z  5  z  1  2i z  3i  1  z  1  2i z  1  2i   z  1  2i z  3i  1

 z  1  2i  0
.

 z  1  2i   z  3i  1
Trường hợp 1 : z  1  2i  0  w  1  w  1 * .

Trường hợp 2: z  1  2i  z  3i  1
Gọi z  a  bi (với a, b  ¡ ) khi đó ta được
1
2
2
a  1  b  2 i  a  1  b  3i  b  2   b  3  b   .
2
3
9 3
2
Suy ra w  z  2  2i  a  2  i  w  a  2    ** .
2
4 2

14
SangKienKinhNghiem.net


Từ * , ** suy ra min | w | 1 .
 Chọn đáp án C
Như vậy muốn dạy học tốt toán trắc nghiệm, giáo viên phải dạy học sinh
cách xây dựng cơng thức, nêu ví dụ vận dụng, rèn luyện thành kỹ năng để làm
bài đúng và nhanh nhất.
Khi học sinh đã có tư duy tốt, có kỹ năng thành thạo thì khi gặp một số dạng

tương tự các em có thể tự lập cơng thức và giải bài tốn một cách nhanh chóng .
Bài 17: (Đề thi thử trường dân tộc nội trú tỉnh Thanh Hóa)
Cho số phức z  x  yi ( x, y  R) thoả mãn z  2  4i  z  2i và m  min z . Tính
module số phức w  m  ( x  y )i.
A. w  2 3

B. w  3 2

C. w  5

D. w  2 6

Bài giải
Ta có
z  2  4i  z  2i  y  4  x
z  x 2  y 2  x 2  (4  x) 2  2( x  2) 2  8  2 2

min z  2 2 . Dấu “=” xảy ra khi

x  y  4
x  2

 w  2 2  4i  w  2 6

y  2
x  2

Ngoài cách làm quen thuộc này ra tơi cịn nêu thêm một cacgs làm khác nhanh,
chính xác để một số em học tốt hơn tham khảo.
Theo đề ra:

z  2  4i  z  2i  x  y  4

x  y 

2

z  x y 
2

2

2



42
2 2
2

min z  2 2 , Dấu “=” xảy ra khi

x  y  4
x  2

 w  2 2  4i  w  2 6

y  2
x  y
 Chọn đáp án D

Bài 18: (Đề thi thử trường Quảng Xương 1 Thanh Hóa)
Cho số phức z  x  yi ( x, y  R) thoả mãn z  i  1  z  2i . Tìm mơđun nhỏ nhất
của z.
15
SangKienKinhNghiem.net


B. min z  1

A. min z  2

C. min z  0

D. min z 

1
2

Bài giải
z  i  1  z  2i  y  x  1
2

1 1
1
1

z  x  y  x  ( x  1)  2  x    

2 2
2

2

2

2

Vậy min z 

2

2

1
2

 Chọn đáp án D

2.3.4. Một số dạng toán liên quan
Bài 19: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
Cho số phức z thỏa mãn z  3  z  3  8 . Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất z . Khi đó M  m bằng
A. 4  7.

B. 4  7.
C. 7.
Bài giải
Gọi z  x  yi với x; y  ¡ .
Ta có 8  z  3  z  3  z  3  z  3  2 z  z  4 .
Do đó M  max z  4 .
Mà

D. 4  5.

x  3

z  3  z  3  8  x  3  yi  x  3  yi  8 

2

 y2 

x  3

2

 y2  8 .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
8  1.

x  3

2

 y 2  1.

x  3

2

 y2 

1

2

2
2
 12 x  3  y 2  x  3  y 2 



 8  2 2 x 2  2 y 2  18   2 2 x 2  2 y 2  18  64

 x2  y 2  7  x2  y 2  7  z  7 .

Do đó M  min z  7 .
Vậy M  m  4  7 .  Chọn đáp án B
Bài 20: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  3  4i  5 và biểu thức
2

M  z2  zi

2

đạt giá trị lớn nhất. Tính mơđun của số phức z  i.

A. z  i  2 41

B. z  i  3 5.

C. z  i  5 2

D. z  i  41.
Bài giải

16
SangKienKinhNghiem.net


Gọi z  x  yi; x  ¡ ; y  ¡  . Ta có:
z  3  4i  5  C : x  3   y  4   5 : tâm I 3; 4  và R  5.
2

Mặt khác:

2

 

2
2
2
2
M  z  2  z  i  x  2   y 2   x 2  y  1   4 x  2 y  3  d : 4 x  2 y  3  M  0.


Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và C  có điểm

chung
 d I ; d   R 
 M max

23  M

 5  23  M  10  13  M  33
2 5
4 x  2 y  30  0
x  5
 33  

 z  i  5  4i  z  i  41.
2
2
 y  5
x  3   y  4   5

 Chọn đáp án D.

Bài 21: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1  2 . Tìm giá trị lớn nhất của
T  z i  z 2i .

A. max T  8 2 .
max T  8 .

C. max T  4 2 .

B. max T  4 .

D.

Bài giải

Gọi z  x  yi x, y  ¡   z  1  x  1  yi
Ta có: z  1  2  x  12  y 2  2  x  12  y 2  2  x 2  y 2  2 x  1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
T  x 2  ( y  1) 2  ( x  2) 2  ( y  1) 2
T 2  (12  12 )(2 x 2  2 y 2  4 x  6)  4.4  16
T2  4
Vậy Tmax  4  Chọn đáp án B.

Bài 22: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
Cho số phức z thoả mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỉ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính module số phức w  M  mi.
2

A. w  2 314

2

B. w  1258

C. w  3 137

D. w  2 309

Bài giải

z  3  4i  5  x  3   y  4   5 : (C )
2

2

 : 4 x  2 y  3  P  0
Tìm P sao cho dường thẳng ∆ và đường trịn (C) có điểm chung
17
SangKienKinhNghiem.net


 d ( I ; )  R  23  P  10  13  P  33

Vậy MaxP  33; MinP  13
w  33  13i  w  1258  Chọn đáp án B.

Bài 23: (Luyện thi THPT quốc gia năm 2017)
Cho số phức z thoả mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  z 1  2 z 1

A. Pmax  2 5

B. Pmax  2 10

Theo BĐT Bunhiacopxki:

C. Pmax  3 5

D. Pmax  3 2

Bài giải



2

P  z  1  2 z  1  (12  22 ) z  1  z  1

2

 10 z  1 2
2

5

 Chọn đáp án A.
Bài 24 Cho số phức z  x  yi với x, y là các số thực không âm thoả mãn





2
2
z 3
 1 và biểu thức P  z 2  z  i z 2  z  z (1  i )  z (1  i )  . Giá trị lớn nhất
z  1  2i

và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:
A. 0 và -1

C. 3 và 0

B. 3 và -1

D. 2 và 0
Bài giải

z 3
 1  z  3  z  1  2i  x  y  1
z  1  2i
2

1
 x y
P  16 x 2 y 2  8 xy , Đặt t  xy  0  t  
 
4
 2 
 1
P  16t 2  8t , t  0;   MaxP  0; MinP  1
 4

Để tăng kỹ năng tính tốn nhanh, chính xác, tơi cho học sinh một số bài tự luyện
Câu 25: Cho số phức z thoả mãn z  2  2i  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M .m
A. M .n  7

B. M .n  5

C. M .n  2

D. M .n  4

18
SangKienKinhNghiem.net


Câu 26: Cho số phức z thoả mãn

1  2i
z  2  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị
1 i

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  i . Tính M .m
A. M .n 

1
4

B. M .n 

Câu 27: Cho số phức z thoả mãn

1
3

C. M .n 

1

10

D. M .n 

1
5

z
 i 4 n 1  i 4 n với n  ¥ . Gọi M và m lần
i2

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  3  i . Tính M .m
A. M .n  20

B. M .n  15

C. M .n  24

D. M .n  30

Câu 28: : Cho số phức z thảo mãn z  1  z  1  4 . Gọi m  min z và M  max z
, khi đó M .n bằng:
A. 2

B. 2 3

C.

2 3
3

D. 3

Câu 29. : Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thoả mãn
z  1  i  2 z  z  5  3i sao cho biểu thức P  z  2  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm

phần thực của số phức z đó.
A. ( z ) 

8 7
2

C. ( z ) 

4 6
2

B. ( z ) 

8 2
2

D. ( z ) 

12  2
2

Câu 30: : Cho số phức z thoả mãn z  1  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  z  2  i . Tính mơđun của số
phức   M  mi .

A.   2 6

C.   3 5

B.   4 2

D.   4

Đáp án bài tập tự luyện là: 25A 26D 27A 28B 29C 30A.
2.4. Kết quả thực nghiệm
2.4.1. Tổ chức thực nghiệm
Tổ chức thực nghiệm tại trường THPT Nguyễn Hoàng, huyện Hà Trung
Gồm: Lớp thực nghiệm 12C1
Lớp đối chứng 12C6
19
SangKienKinhNghiem.net


Trình độ hai lớp tương đương nhau, lớp 12C1 có 40 học sinh, lớp 12C3 có
38 học sinh, thời gian tiến hành thực nghiệm từ tháng 10 năm 2017 đến thánh 5
năm 2018.
2.4.2. Kết quả định lượng
- Lớp đối chứng (ĐC): 12C6
- Lớp thực nghiệm (TN): 12C1
Điểm 1
Lớp

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Số
bài

TN
12C1

0

0

1

2

6

6

8

8

6

3

40

ĐC
12C6

0

3

4

6

5

5

7

5

2

1

38

Kết quả lớp thực nghiệm có 36/40 ( chiếm 90%) đạt trung bình trở lên,
trong đó có 27/40 (chiếm 62,5%) đạt khá giỏi.
Lớp đối chứng có 25/38 (chiếm 65,8%) đạt trung bình trở lên, trong đó có
15/38 (chiếm 39,4%) đạt khá giỏi.
Qua kết quả nghiên cứu ta thấy rằng, ở các lớp thực nghiệm tỷ lệ đạt điểm
khá giỏi đều cao hơn các lớp đối chứng. Ngược lại, tỷ lệ điểm trung bình và
dưới trung bình của các lớp đối chứng lại cao hơn. Điều đó phần nào cho thấy
học sinh các lớp thực nghiệm tiếp thu kiến thức nhiều hơn và tốt hơn. Một trong
những nguyên nhân đó là: Ở lớp thực nghiệm, lớp học diễn ra nghiêm túc, học
sinh hứng thú học tập, tích cực, chủ động “đóng vai”, số lượng học sinh tham
gia xây dựng bài nhiều làm cho không khí lớp học sơi nổi kích thích sự sáng tạo,
chủ động nên khả năng hiểu và nhớ bài tốt hơn.
Còn ở lớp đối chứng, lớp học vẫn diễn ra nghiêm túc, học sinh vẫn chăm
chú nghe giảng, nhưng các em tiếp thu kiến thức chủ yếu thông qua cô giáo.
Giáo viên sử dụng phương pháp như thơng báo, giải thích nên quá trình làm việc
thường nghiêng về giáo viên.
2.4.3. Kết quả định tính
Qua q trình phân tích bài kiểm tra ở các lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng và theo dõi trong suốt q trình giảng dạy, tơi có những nhận xét sau:
- Ở các lớp đối chứng:
+ Phần lớn học sinh chỉ dừng lại ở mức độ nhớ và tái hiện kiến thức. Tính
độc lập nhận thức khơng thể hiện rõ, cách trình bày rập khn trong SGK hoặc

vở ghi của giáo viên.
+ Nhiều khái niệm các em chưa hiểu sâu nên khi tính tốn cịn gặp nhiều
sai sót, dẫn đến kết quả sai, phải tính lại nhều lần, mất nhiều thời gian
+ Việc vận dụng kiến thức đối với đa số các em cịn khó khăn, khả năng
khái quát hóa và hệ thống hóa bài học chưa cao.

20
SangKienKinhNghiem.net