sáng kiến kinh nghiệm sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình có tham số

iá trị lớ

hất – iá trị hỏ hất

h

i i h

tr h ó th

.

Phần 1: Đặt vấn đề
Hiện nay ,giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới.Để kịp với xu hướng
này,rất nhiều yêu cầu được đặt ra.Một trong số đó chính là làm sao để có được những
phương pháp giải toán hay,nhanh,mà vẫn cho kết quả chính xác.Phương pháp sử dụng giá
trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số là một phương pháp giải toán như vậy.
Có những bài toán thoạt nhìn tưởng rất khó,nếu giải được thi lời giải sẽ khó
hiểu,rắc rối.Nhưng nếu áp dụng phương pháp này,bài toán sẽ trở thành đơn giản,gọn hơn
rất nhiều.Đó chính là một trong những ứng dụng của phương pháp này, ngoài ra phương
pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất còn phát huy sự ưu việt trong nhiều trường
hợp khác.
Nói tóm lại, phương pháp này rất cần thiết đối với các em học sinh đang chuẩn bị
ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông,thi cao đẳng và đại học.Nó sẽ giúp các em phát huy
tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải toán nhanh nhất, hay nhất và chính
xác nhất.
Trong quá trình dạy học môn toán ở bậc trung học phổ thông,chúng ta gặp rất
nhiều bài toán giải phương trình,bất phương trình,hệ phương trình, hệ bất phương trình
,tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số có tham số.Để giải các bài toán dạng trên có bài
ta giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau,cũng có bài chỉ có thể giải được bằng
phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số . Sử dụng giá trị lớn

nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải toán là một phương pháp hay,thông thường để
giải quyết một bài toán sẽ đơn giản,gọn nhẹ hơn so với phương pháp khác.
Tuy nhiên để học sinh có kỹ năng ta cần hệ thống hóa lại bài tập,để học sinh và giáo viên
bớt lúng túng hơn.
Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải
toán,chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong các bài toán giải phương trình,bất phương
trình,hệ phương trình, hệ bất phương trình ,tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số có
[Type text]


iá trị lớ

hất – iá trị hỏ hất

h

i i h

tr h ó th

.

tham số.Phương pháp này dựa trên mối liên hệ giữa giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của
một hàm số với dấu đạo hàm của nó.
Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng một hàm số
thích hợp,rồi nghiên cứu tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn thích
hợp.Các hàm số ấy trong nhiều trường hợp có thể nhận ra ngay từ đầu, còn trong các
trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát hiện chúng.
Phần

h

n

h

h th

th

h n.

:
1)

hắ lạ tính đ n đ u ủa hàm số
a) Hàm số y = f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a;b) nếu với mọi x1;x2
thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).
b) Hàm số y = f(x) gọi là giảm hay nghịch biến trong khoảng (a;b) nếu với mọi
x1;x2 thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).

2) Đ ều k n ần và đ ều k n đủ ủa tính đ n đ u
Định lý 1(đ ều k n ần) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b).
a. Nếu hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ) thì f '(x)  0, x(a;b) .
b. Nếu hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ) thì f '(x)  0,x(a;b).
Đ ịnh lý (đ ều k n đủ) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b).
a. Nếu f '(x) > 0, x(a;b) thì hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ).
b. Nếu f '(x) < 0, x(a;b) thì hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ).
Định lý 3 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b).
a. Nếu f '(x)  0, x(a;b) , đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của

(a;b) thì hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ) .
b. Nếu f '(x)  0, x(a;b), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của
(a;b) thì hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ).
3)

àm số hằn

[Type text]


iá trị lớ

hất – iá trị hỏ hất

h

i i h

tr h ó th

Định lý 4 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) và f '(x) = 0
x(a;b) thì hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a;b).
B MỘ SỐ BÀ
I. S

1.Ph

l

OÁ

Á
Ả P ƯƠ

–
Ì

Ó

Á
M SỐ

n pháp :
á iá trị lớ hất – iá trị hỏ hất
toá khá que thuộ . T ó h ớ á

ạ

ÀM SỐ Đ

h

i i h

tr h (x,m) = 0

u:

B ớ 1 Chuyển phương trình về dạng : f(x) = g(m) (1)
B ớ

Xét hàm số y = f(x)

 Tìm tập xác định D.
 Tính đạo hàm y',giải phương trình y' = 0
 Tính giới hạn và lập bảng biến thiên của hàm số.
B ớ 3

ập luận số nghiệm của phương trình ( ) là số giao điểm của đổ thị hàm số

(C) y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m).
B ớ 4 k t lu n
 Phương trình có nghiệm khi

.

 ÁPhương
dụn trình có k nghiệm phân biệt khi d cắt (C) tại k điểm phân biệt.
 Phương trình vô nghiệm khi d và (C) không có điểm chung.
Á dụn :

V í d ụ 1 Tìm m để phương trình : x + 3 = m

[Type text]

có nghiệm thực

(1)

.

iá trị lớ

hất – iá trị hỏ hất

Nhận xét : B i toá
h

tr h h qu

y ếu kh

hát i h th

h

ă bằ

hi

i i h

tr h ó th

á hb h h

oại l i h

tạ h

h i vế
. h

át thấy pt(1) biến đổi vể được phương pháp f(x) = g(m) th t á
– hỏ hất

i i

(1) 

h yh

.
ế

ột

ếu t qu
iá trị lớ

hất

.

=m

Xét hàm số y =

.TXĐ D = R

Ta có : y' =
y' = 0  1 – 3x = 0  x =

x



1/3

y’
y

y=

+

+

0

-1
1

Số nghiệm của phương trình ( ) là số giao điểm của đồ thị (C): y =

với đường

thẳng d : y = m.
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình ( ) có nghiệm thực khi :

Ví dụ

Tìm m để phương trình :

nghiệm thực
h

[Type text]

.

= m có

(2)

Nhận xét : Bài toán này ễ
h


u ó

ế

h

hậ thấy á h i i bằ
tr h bậ h i ó th

h

với iều ki

há

ặt ẩn
ẩ


iá trị lớ
h v

hất – iá trị hỏ hất

i i quyết ó

h

tạ h

. h

h
ếu t qu

biến đổi vể được phương pháp f(t) = g(m) th t á
i i

h yh

Điều kiện :

i i h

tr h ó th

.

át thấy pt theo ẩn số phụ đó
iá trị lớ

hất – nhỏ hất

.
3 ≤ x ≤ 6.

Đặt t =

, đk 3 ≤ t ≤ 3
=m

(2) t
Xét hàm số f(t) =

.Suy ra :

=

t2 + 2t + 9 = 2m.

t2

t

với 3 ≤ t ≤ 3

có đạo hàm f '(t) =

2t + 2

f '(t) = 0  t = (loại)
t

3

3

f '(t)
6

f(t)

6 -9
Số nghiệm của phương trình ( ) là số giao điểm của đồ thị (C): y =

t2

t

với

đường thẳng d : y = 2m.
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình ( ) có nghiệm thực khi :

≤ m ≤ 3.

9 ≤ m≤6 3

6

V í d ụ 3 Tìm m để phương trình :

có nghiệm thực

Nhận xét : Bài toán này ễ
h
h v

h

u ó

i i quyết ó

ế
h

h
tạ h

hậ thấy á h i i bằ
tr h bậ h i ó th
. h

ếu t qu

biến đổi vể được phương pháp f(t) = g(m) th t á
i i

h yh

[Type text]

.

h

(3)

há

với iều ki

ặt ẩ
ẩ

át thấy pt theo ẩn số phụ đó
iá trị lớ

hất – hỏ hất


iá trị lớ
ĐK x ≠

hất – iá trị hỏ hất

h

i i h

tr h ó th

.

,kZ

(3)  1 – 3sin2x cos2x = m sin 2x  3sin22x + 4m.sin 2x – 4 = 0 (a).
Đặt t = sin x , x ≠

,kZ. Suy ra

1
Phương trình (a)  3t2 + 4m t – 4 = 0 (b)
ì t = 0 không phải là nghiệm của phương trình (b) .Suy ra t ≠ 0 , (b)  4m =

Đặt y =

với

< t < và t ≠ 0 có đạo hàm y ' =

< 0 ,

< t < và t

≠ 0.
,
t
y'

1

y

1

0

1

1
Số nghiệm của phương trình (b) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y =

với

đường y = 4m
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thực khi : m <

vm>

.

V í d ụ 4 Tìm m để phương trình:
có nghiệm thực trên [ o; ]
Nhận xét : Bài toán này thoạt h
h . h
á
[Type text]

ếu t qu
iá trị lớ

h

thấy ó ạ

biế

ổi theo ẩ

át thấy pt(4) biến đổi vể được phương pháp f(t) = g(m) th t

hất – hỏ hất

i i

h yh

.


iá trị lớ

hất – iá trị hỏ hất

h

(4) 

i i h

.

(a)

ới cosx = 0  x =

,k không thỏa phương trình (a)

Suy ra cosx ≠ 0, chia hai vế (a) cho cos2x ta được :1 – tan2x = m
, x [ o; ]. Suy ra t  [1;

Đặt t =

(b)1 – (t2 – 1)2 = mt  – t3
Xét hàm số y = - t3
y'=0

t

tr h ó th

]

t = m ( ) ( vì t  [1;

t với t  [1;

(b)

có đạo hàm y ' =

] t ≠ 0 )
3t2 + 2

(loại)

1

y'
y

1
(1-

)

Để phương trình ( ) có nghiệm thực trên [ o;

Suy ra (1-

)

khi ( ) có nghiệm thực trên [1;

≤m≤ .

= m2 + m +1

V í d ụ 5 Tìm m để phương trình :
có bốn nghiệm thực phân biệt
ì m2

m
=

[Type text]

0 với mọi m , do đó phương trình tương đương với
( 5)

]


iá trị lớ

hất – iá trị hỏ hất

Xét hàm số y =

h

i i h

tr h ó th

.

có đạo hàm

=

y' =

-

x
y'

0

1

+

y

2

+

1

+

0

0

Số nghiệm của phương trình ( ) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):y =
đường y = a ( với a =

với

)

Dựa vào bảng biến thiên ,để phương trình có bốn nghiệm thực phân biệt khi đường y = a
( với a

)cắt đồ thị (C):y =

Khi đó : 0 <

< 1

tại bốn điểm phân biệt.

<

< 1 -1 < m < 0.

V í d ụ 6 Tìm m để phương trình :

= m - 2 (6)

có nghiệm thực
Nhận xét : Bài toán này thoạt h
h . h
th

ếu t qu

ấu
h yh

hú

Xét hàm số y =

ó ạ

biế

ổi theo ẩ

át thấy pt(6) có chung biểu thức “ x2 – 2x” và cơ số lớn hớn 1

h thuộ v o “ x2 – 2x” t á

.

(6)

[Type text]

thấy h

=m-2

iá trị lớ

hất – hỏ hất

i i


iá trị lớ

hất – iá trị hỏ hất

h

i i h

tr h ó th

.

TXĐ D = R

ì cơ số 3

,

nên sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào sự biến thiên của hàm

số t = x2 – 2x

-

x

+

1

-1
t
y +
6
+
Số nghiệm của phương trình (6) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y =

với đường y = m – 2
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (6) có nghiệm khi : m –

V í d ụ 7 Tìm m để phương trình :

= m ( mR)

có đúng hai nghiệm thực phân biệt (khố 2008) (7)
Nhận xét : Bài toán này thấy
y ợ óh i ă
t
i i

về á h ặt theo biế u v v.
h yh

u óá

h

iá trị lớ

.

ĐK 0 ≤ x ≤ 6
Đặt y =

với 0 ≤ x ≤ 6

y'

= (
[Type text]

)+(

≥ 6  m ≥ 8.

,0
h i bi u th

khá

hất – hỏ hất

h u


iá trị lớ

hất – iá trị hỏ hất

Đặt u(x) = (

h

i i h

) , v(x) = (

tr h ó th

.

.

Ta thấy u(2) = v(2) = 0  f '( ) = 0. Hơn nữa u(x), v(x) c ng dương trên khoảng (0; ) và
c ng âm trên khoảng (2;6).

x
y'

0

2

6

+6

y

Số nghiệm của phương trình ( ) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):
với đường y = m
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi :
≤m<

+6 .

V í d ụ 8 Tìm m để phương trình :
thực (khố

2007)

( 8)

Nhận xét : Bài toán này thoạt h
bi u th

“x2 – 1 = (x – 1)( x +1)”th t

phương pháp f(t) = g(m) th t á

h

thấy ó ạ

hi h i vế ho
iá trị lớ

[Type text]

3

o h

(a)

t

ý thấy

biến đổi vể được

hất – hỏ hất

ĐK x ≥

Phương trình (8)

( mR) có nghiệm

=

i i

h yh

.


iá trị lớ

Đặt t =

h

i i h

tr h ó th

.

, x ≥ . Suy ra 0 ≤ t < .

Khi đó (a) trở thành :

3t2

Xét hàm số y =
t

hất – iá trị hỏ hất

3t2 + 2t = m (b).
t với 0 ≤ t < có đạo hàm y ' =

0

6t + 2.

1

y'
y
0
Số nghiệm của phương trình (b) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):
với đường y = m .
Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thực khi :
Phần thứ 3: ĐÚ

ỆM –


UẬ

- Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên, các em học sinh đã mạnh dạn hơn,linh
hoạt hơn trong việc dung đạo hàm để giải tốn.
- Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm
số để giải phương trình có tham số.
- Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài tốn.
- Tránh việc lập luận theo biệt thức denta
- Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót,thừa nghiệm và tránh được giải
phương trình bậc cao.
Nội dung ph n h này chỉ nêu một số ví dụ không đáng kể trong
môn toán, bên cạnh đó có những gợi ý nho nhỏ để HS nh n dạn à
[Type text]


iá trị lớ

hất – iá trị hỏ hất

t n. Đây cũng là một ph
lượng cho HS.

h

n pháp

i i h

tr h ó th

.

t n nhằm nâng cao chất

Nội dung ph n h này không phải là vấn đề mới mẻ mà các
đồng nghiệp khác đã thực hiện từ lâu. Tuy nhiên , tôi muốn đưa ra
đây để các đồng nghiệp đóng góp ý kiến xây dựng thêm giúp tôi
hoàn thiện hơn trong phương pháp giảng dạy sau này nhằm đạt kết
quả cao nhất.
Biên Hoà , ngày 25 tháng 05 năm 2012
Người viết

Ninh Thế Phụng

[Type text]