Lời giải chi tiết 86 đề thi thử THPT 2021 240

Gọi phần nước trong cốc là nón cụt có bán kính đáy dưới bằng 2, bán kính đáy trên bằng r Khi đó thể
πh 2
(r + 2r + 4).
tích bia trong cốc là: V1 =
3
Thể tích bia rót ra từ lon là: V2 = π32 (15 − h) = 135π − 9πh.
πh 2
Phần bia trong cốc bằng phần bia rót ra từ lon bia nên ta có: V1 = V2 ⇔ 135π−9πh =
(r +2r+4) ⇔
3
h(r2 + 2r + 31) = 405.
r
15 + h
30 + 2h
Lại có: =
⇒r=
.
2
15
å
ÇÅ 15 ã2
⇔ h 900 + 120h + 4h2 + 900 + 60h + 6975 =
30 + 2h
30 + 2h
+2
+ 31 = 405
Thay vào vào ta được: h
15
15
⇔ 4h3 + 180h2 + 8775h − 91125 = 0 ⇔ h 8,
Vị trí hình tại đây

Chọn đáp án A
Câu 43. Cho lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các
AM
BN
CP
1
đoạn thẳng AA , BB và A C sao cho
=
=
= . Gọi Q là trung điểm BC. Thể tích
AM
BN
AP
2
khối tứ diện M N P Q bằng
5V
5V
2V
2V
.
.
.
.
A
B
C
D
18
12
15

9
✍ Lời giải.
Vị trí hình tại đây

Giả sử lăng trụ ABC.A B C là lăng trụ đều cạnh đáy bằng
h.
Ç a,
å bằng
å
√chiều cao
ã Ç √
Å
a 3
a 3 a
h
a 2h
Đặt hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó: Q (0; 0; 0), M
P
; 0;
, N 0; ;
; ;h .
2
2
2 3
6
3
ồ
ầ
ồ
ầ

ầ

ồ

ó
ợ # ằ # »ó
h
a 2h # »
ah ah 3 a2 3
a 3 a
a 3
# »
# »
; 0;
, QN = 0; ;
, QP =
; − ; h Và QM , QN = − ; −
;
Ta có QM =
2
2
2 3
6
3
6
3
4
√
√
√

√
2
2
2
2
ỵ # » # »ó # »
ah 3
ah 3 ah 3 ah 3
+
+
=
.
QM , QN .QP = −
36
9
4√
3 √
1 ỵ # » # »ó # »
4 a2 h 3
2
a2 h 3
= .
= V.
Suy ra VM N P Q =
QM , QN .QP =
6
18
18
4
9

Chọn đáp án D
√
Câu 44. Cho hàm số f (x) = x + x2 + 4. Hỏi phương trình f (4 cos2 x − 5) .f (4 − 2 cos x) = 4 có bao
π
nhiêu nghiệm thuộc đoạn − ; 3π ?
2
A 6.
B 9.
C 8.
D 7.
✍ Lời giải.
√
+) Xét hàm số f (x) = x√+ x2 + 4 có tập xác định D = R.
√
√
x
x2 + 4 + x
f (x) = 1+ √
= √
Với mọi x ∈ R ta có: x2 +4 > x2 ⇒ x2 + 4 > |x| ⇒ x2 + 4 > −x
2
x2 + 4
√
√ x +4
√
và x2 + 4 > x Suy ra x2 + 4 + x > 0∀x ∈ R và x2 + 4 − x > 0∀x ∈ R. Do đó, f (x) > 0∀x ∈ R và
f (x) > 0∀x ∈ R nên hàm số f (x) đồng biến trên R.
Ä
ä Ä
ä

√
√
4
+) Với mọi x ∈ R ta có: f (x).f (−x) = x + x2 + 4 . −x + x2 + 4 = 4 ⇒
= f (−x)
f (x)
4
Do đó, f (4 cos2 x − 5) .f (4 − 2 cos x) = 4 ⇔ f (4 cos2 x − 5) =
⇔ f (4 cos2 x − 5) =
f (4 − 2 cos x)
f (2 cos x − 4) Mà hàm số f (x) đồng biến trên R nên ⇔ 4 cos2 x−5 = 2 cos x−4 ⇔ 4 cos2 x−2 cos x−1 =

ĐỀ SỐ 16 - Trang 12