015 đề HSG toán 8 huyện 2015 2016

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (1 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x 4 + 1 − 2 x 2

b) − x 2 − 28 x − 27

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình

−2 −3 x + 4 − 2 = 0
a)
Bài 3 (1 điểm)

b)

1
2 x2 − 5
4
+ 3
= 2
x −1 x −1 x + x + 1

x −1
>0
x +1

x
Với giá trị nào của thì
Bài 4 (2 điểm)
Hai người làm chung một cơng việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc

2
3

trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng,
mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc
Bài 5 (3,5 điểm)
E, F
ABCD
a
Cho hình vng
có cạnh bằng . Gọi
lần lượt là trung điểm của các
AB, BC .
CE
DF .
cạnh
M là giao điểm của
và
CE
DF
a) Chứng minh
vng góc với
CM .CE
=a
CF
b) Chứng minh
∆MDC
a
c) Tính diện tích
theo

Bài 6. (0,5 điểm)
1
1
x + = 3.
A = x3 + 3
x
x
Cho
Tính giá trị biểu thức



ĐÁP ÁN
Bài 1.

a) x 4 − 1 + 2 x 2 = ( x 2 + 1)

2

b) − x 2 − 28 x − 27 = − ( x + 1) ( x + 27 )

Bài 2.
a) − 2 −3 x + 4 − 2 = 0

⇔ −3x + 4 = −1

−3 x + 4 ≥ 0∀x

(khẳng định sai vì
)

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm
1
2 x2 − 5
4
+ 3
= 2
x −1 x −1 x + x +1
x ≠1
b)
ĐKXĐ:
x 2 + x + 1 2 x 2 − 5 4 ( x − 1)
⇔
+ 3
= 3
x3 − 1
x −1
x −1
2
2
x + x + 1 + 2 x − 5 4 ( x − 1)
⇔
= 3
x3 − 1
x −1
2
⇔ 3x − 3x = 0
⇔ 3 x ( x − 1) = 0
 x = 0 (tm)
⇔
 x = 1 (ktm)

S = { 0}

Vậy
Bài 3.

 x − 1 > 0  x > 1
⇔
⇒ x >1

x
+
1
>
0
x
>
−
1
x −1


+
>0⇒ 
 x − 1 < 0  x < 1
x +1

⇔
⇒ x < −1
x

+
1
<
0
x
<
−
1

 
Vậy
Bài 4.

x >1

hoặc

x < −1


Gọi

x

(ngày) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc
1
x
Một ngày người thứ nhất làm được (công việc)
2
3x

Một ngày người thứ hai làm được
(công việc)
1 2
+
x 3x
Một ngày hai người làm chung được
(công việc)
1 2
1
+
= ⇔ x = 20
x 3 x 12
Theo bài ta có phương trình
20
Vậy người thứ nhất làm xong trong
ngày
30
Người thứ hai làm xong trong ngày.
Bài 5.

( x > 0) .

·
·
∆BEC = ∆CFD ( c.g.c ) ⇒ ECB
= FDC

a)
∆CDF
tại

vuông tại C

M

Hay

CE ⊥ DF

·
·
·
·
⇒ DFC
+ FDC
= 900 ⇒ DFC
+ ECB
= 900 ⇒ ∆CMF

vuông


·
·
·
CMF
= CBE
= 900 MCF
b) Xét
và

có:
;
chung
⇒ ∆CMF : ∆CBE ( g − g )
CM CF
CM .CE
⇒
=
⇒
= BC
BC CE
CF
∆CMF

Mà

BC = a

∆CBE

do đó:

CM .CE
=a
CF

∆CMD : ∆FCD ( g .g ) ⇒
c)
2

Do đó:
Mà:

CD CM
=
FD FC
2

S∆CMD  CD 
 CD 
=
÷ ⇒ S∆CMD = 
÷ .S∆FCD
S∆FCD  FD 
 FD 

1
1
S∆FCD = .CF .CD = CD 2
2
4
S ∆CMD =

Vậy:
Trong

CD 2 1
. .CD 2 .
2
FD 4

∆DCF

theo Pitago ta có:
1
5
1

DF 2 = CD 2 + CF 2 = CD 2 +  BC 2 ÷ = CD 2 + CD 2 = .CD 2
4
4
2

S∆MCD

Do đó:
Bài 6.

CD 2 1
1
1
=
. CD 2 = CD 2 = a 2
5
5
5
CD 2 4
4
3

1
1
1
1 
1
1

A = x + 3 = x 3 + 3.x 2 . + 3.x. 2 + 3 =  x + ÷ − 3  x + ÷ = 33 − 3.3 = 18
x
x
x
x 
x
x

3