bài giảng giải tích mạch chương 4 3

4.3 Phương pháp toán tử Laplace

Phương pháp
Toán tử Laplace
 Phép biến đổi Laplace
 Định luật Ohm và Kirchhoff dạng toán tử
 Phân tích mạch dùng tốn tử Laplace


4.3.1 Biến đổi Laplace


Định nghĩa



f(t) là hàm (có thể phức) của biến số thực t (t ≥ 0) sao cho
tích phân hội tụ ít nhất với một số phức s = a + jb
Biến đổi thuận:
+∞

=
F ( s ) L=
{ f (t )}

∫

f (t )e − st d t

0−



Biến đổi ngược

f (t ) L=
=
{F ( s)}
−1

1

a + j∞

2π j a −∫j∞

F ( s )e st d s

 F(s) : ảnh Laplace
 f(t) : gốc
Bài giảng Giải tích Mạch 2014

2


Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng
f(t)
u (t )

δ (t )

e − at
cos(at )

sin(at )

t

n

F(s)

Miền hội tụ

1
s
1
1
s+a
s
s2 + a2
a
s2 + a2
n!
s n +1

Re {s} > 0
Re {s} > −a

Re {s} > 0
Re {s} > 0

Re {s} > 0


Bảng tính chất phép biến đổi Laplace
Tính chất

f(t)

F(s)

Tuyến tính

a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t )

a1 F1 ( s ) + a2 F2 ( s )

Dời theo s

e − at f (t )

F ( s + a)

Dời theo t

f (t − t0 ).u (t − t0 )

e − st0 F ( s )

f (at )

1 s
F 
a a

Đổi thang

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

4


Bảng tính chất phép biến đổi Laplace
f(t)

F(s)

f ( n ) (t )

s n F ( s ) − s n−1 f (0− ) − ... − f ( n−1) (0− )

Tính chất

Đạo hàm theo t
Tích phân theo t

∫

t

0

1
F (s)
s

f (t )dt
n

Nhân cho t

t f (t )

Chia cho t

f (t )
t

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

n
d
(−1) n n F ( s )
ds

∫

∞

s

F ( s )ds

5


Bảng tính chất phép biến đổi Laplace
Tính chất
Hàm tuần hồn

f(t)

f (=
t ) f (t + T )

Giá trị đầu

f (0+ )

Giá trị cuối

f (+∞)

Tích chập miền t
Tích chập miền s

F(s)

∫

0

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

f (t )e − st dt
1 − e − sT

lim sF ( s )

s →+∞

lim sF ( s )

s →0+

f (t ) ∗ g (t )

f (t ) g (t )

T

F ( s )G ( s )
1
2π j

F (s) ∗ G (s)
6


Các biến đổi Laplace thông dụng
f(t)

u (t )

δ (t )
δ '(t )
δ ( n ) (t )
e − at
tn

cos(ωt )
sin(ωt )

F(s)
1
s
1
s
sn
1
s+a
n!
s n+1
s
s2 + ω 2

ω
s2 + ω 2
Bài giảng Giải tích Mạch 2014

s>0

s>0
s>0
s > −a
s>0
s>0
s>0
7


Các biến đổi Laplace thông dụng
f(t)
− at n

e t

e − at cos(ωt )
e

− at

sin(ωt )

t.cos(ωt )
t.sin(ωt )
cosh(ωt )
sinh(ωt )

F(s)
n!
( s + a ) n +1

s+a
( s + a)2 + ω 2

ω

( s + a)2 + ω 2
s2 − ω 2
(s 2 + ω 2 )2
2ω s
(s 2 + ω 2 )2
s
s2 − ω 2

ω
s2 − ω 2

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

s > −a
s > −a
s > −a
s>0
s>0

s> a
s> a
8


4.3.2 Các trở kháng toán tử



Điện trở

i(t)
R

u(t)

L {u (t )} = L {Ri (t )}

I(s)
U(s)

u (t ) = Ri (t )

R

U ( s ) = RI ( s )

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

9


4.3.2 Các trở kháng toán tử


i(t)

Điện cảm
u(t)

I(s)
U(s)

sL

L

d
u (t ) = L i (t )
dt
−

=
U ( s ) sLI ( s ) − Li (0 )

−

Li (0 )
I(s)
−

U(s)

sL

i (0 )
s

−

U ( s ) i (0 )
I (s)
=
+
sL
s

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

10


4.3.2 Các trở kháng toán tử


i(t)

Điện dung

t

u(t)

I(s)
U(s)

1

sC

1
−
=
i (t )dt + u (0 )
C u (t )
∫
C0
−

I ( s ) u (0 )
U=
(s)
+
sC
s

u (0− )
s

I(s)
U(s)

1
sC

Cu (0− )

=

I ( s ) sCU ( s ) − Cu (0− )

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

11


4.3.2 Các trở kháng toán tử


i1 (t )

u1 (t )

Hổ cảm
M

∗

i2 (t )

∗

L1

I1 ( s )

L2

u2 (t )

I 2 (s)

sM

∗
sL1

U1 ( s )

∗
sL2
−

U 2 (s)

−

L1i1 (0 ) + Mi2 (0 )

L2i2 (0− ) + Mi1 (0− )

i1 (t )

u1 (t )

i2 (t )

L1

L2

+
-

Mi2′
Mi1′

+
-

I1 ( s )

sL2

sL1
L1i1 (0− )

U1 ( s )

u2 (t )

+
-

I 2 (s)

L2i2 (0− )

M ( sI 2 − i2 (0− ) )

M ( sI1 − i1 (0− ) )

U 2 (s)

+
-


4.3.3 Các định luật mạch dạng toán tử
a) Định luật Ohm dạng toán tử :
(điều kiện đầu bằng 0)

Phát biểu:
U(s)

-

1
Với : Y =
Z

I(s)

U ( s) = Z ( s).I ( s)

Z(s)
Y(s)

I ( s ) = Y ( s ).U ( s )

Z(s) : trở kháng , tổng trở toán tử (Ω)
Y(s) : dẫn nạp , tổng dẫn toán tử (S)
Bài giảng Giải tích Mạch 2014

(Ω)

+

13


4.3.3 Các định luật mạch dạng toán tử
b) Định luật Kirchhoff dạng toán tử :
 Luật KCL :

0
∑ ± I (s) =
k

node

 Luật KVL :

(Xét dấu như mạch điện trở)

0
∑ ±U (s) =
k

loop

 Do các luật Ohm và Kirchhoff viết cho mạch toán tử
cũng tương tự viết cho mạch phức nên ta có thể áp dụng
các phương pháp phân tích mạch xác lập đã học cho sơ đồ
toán tử khi tìm ảnh Laplace bất kỳ.
Bài giảng Giải tích Mạch 2014

14


Qui trình PP tốn tử Laplace
 Dời mốc thời gian
(nếu có, sẽ trả về mốc cũ sau khi giải xong bài tốn)

 Giải mạch khi t < 0:

Chỉ tìm uC(0-) và iL(0-)

 Giải mạch khi t > 0:
a) Xây dựng sơ đồ toán tử cho mạch .
b) Áp dụng các pp phân tích mạch để xác định ảnh
Laplace Y(s) của tín hiệu cần tìm.
c) Biến đổi Laplace ngược tìm y(t).
d) Trả về mốc thời gian cũ (nếu có).
Bài giảng Giải tích Mạch 2014

15

4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace
Ví dụ 1

Khóa K mở ra tại t = 0 , tìm áp u(t)
khi t > 0 ?
Giải
Khi t < 0 :
Ta có uC(0-) = 4 (V)
Khi t > 0 :
Sơ đồ toán tử như hình bên.
Tìm U(s) bằng thế nút.
8/3
U (s) =
s + 0,5
Và :
8
−1

=
u (t ) L=
{U (s)}

3

e−0,5t . 1(t )

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

16

4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace
Ví dụ 2

Cho mạch điện như hình bên , khóa
K đóng lại tại t = 0 , biết iL(0-) = 0 và
uC(0-) = 0 , xác định i(t) khi t > 0 ?
Giải
Sơ đồ tốn tử như hình bên.
Dùng phương pháp dịng mắc lưới :

8
4  8

 6 + s +  I ( s) = +  2 +  0,5U ( s)
s
s  s

Với

2

U (=
s)  − I (s)  2
s

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

17

4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace
Vậy:

8( s + 2)
I (s) =
s ( s 2 + 8s + 16)
K3
K1
K2
=
+
+
2
( s + 4)
( s + 4) s

Biến đổi ngược:
K1 = 4 ; K2 = -1; K3 = 1

i (t ) =( (4t − 1)e −4t + 1) .1(t ) [A]

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

18


4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace
Ví dụ 3

Cho mạch như hình bên, biết iL(0-) = 0
và uC(0-) = 0 ; xác định u(t) tại t > 0
theo phương pháp tốn tử Laplace ?
Giải
Sơ đồ tốn tử như hình bên.
Áp dụng phương pháp dòng mắc lưới :
4 
1
12
− s +  2 + s +  I 2 ( s) =
s 
s
s
I 2 (s) =

12 + 4s

( s + 1)

2

I1

I2

24 + 8s
→ U (s) = 2
( s + 1)
Bài giảng Giải tích Mạch 2014

19


4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace
U (s) =

24 + 8s

( s + 1)

2

Heaviside:

=
U (s)

K1

( s + 1)

2

K2
+
s +1

K1 =
(24 + 8s ) s = −1 =
16

d
K 2 = (24 + 8s )
=8
ds
s = −1
Vậy:

=
u (t )

( (16t + 8)e ) .1(t ) [V]
−t

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

20


4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace
Ví dụ 4

Cho mạch như hình bên, xác định
u(t) tại t > 0 ?
Giải
t<0:
iL(0-) = 1 A và uC(0-) = 1 V.
t>0:
Sơ đồ toán tử và thế nút:

 1

4 1
−1 
− 
2 + s

ϕ1 
s s
=

  

 −1 1 + s  ϕ 2   1 

 2 
2 
Bài giảng Giải tích Mạch 2014

21


4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace
3
2s + 1 + 6
2s + 7
(2 s + 1)ϕ1 − sϕ 2 =
=
=
=

U (s)
ϕ
2
2

( s + 2)(2s + 1) − 2s 2s + 3s + 2
−
2
ϕ
+
(
s
+
2)
ϕ
=
1
1
2

Tìm u(t) : nghiệm phức
3
7
s1 =
− + j
4
4
B ( s1 ) 2 s + 7
−3 + j 7 + 14
=

=
A '( s1 ) 4 s + 3 s1 −6 + j 2 7 + 6
2 2,13∠ − 76,5o
= 0,5 − j=

u (t ) 4, 26e

−0,75t

 7

o
cos  t − 76,5 
 4

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

22


4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace
Ví dụ 5

Cho mạch như hình bên, xác định
u(t) tại t > 0 ? ( T=L/R)
Giải
t<0:
iL(0-) = 0 .
t>0
Ảnh của nguồn e(t)

E
e=
(t )
t [1(t ) − 1(t − T=
)]
T
E 1
→ E ( s )=
T s2

E
E
t.1(t ) − (t − T ).1(t − T ) − E.1(t − T )
T
T
E
1 − e − sT  − e − sT
s

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

23


4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace
Sơ đồ tốn tử của mạch như hình bên
R
E ( s) 1
Tìm ảnh U(s)

: U ( s) E=
=
(s)
sL + R

E
=
U (s)
T2

Với :

T

s+

1
T

E
1 − e − sT  −
1
T
2
s s+ 
T

1

1

1

ss + 
T


e − sT

U ( s )= F1 ( s ) 1 − e − sT  − F2 ( s )e − sT

1

f=
E  t − 1 + e  . 1(t )
1 (t )
T

−t
T

−t


T
f 2=
(t ) E 1 − e  . 1(t )



Bài giảng Giải tích Mạch 2014

24


4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace
Tìm hàm gốc u(t) :

U ( s )= F1 ( s ) 1 − e − sT  − F2 ( s )e − sT

−t
1

T
f=
E  t − 1 + e  . 1(t )
1 (t )
T


−t


T
f 2=
(t ) E 1 − e  . 1(t )



−t
− ( t −T )

1



1
T
T
(t ) E  t − 1 + e  .1(t ) − E  (t − T ) − 1 + e
u
=
 .1(t − T )
T

T

− ( t −T )


T
− E 1 − e
 .1(t − T )



−t
 1

T
 E  t − 1 + e  ;(0 < t < T )


u (t ) =   T
 −t
 Ee T ;(t > T )

Bài giảng Giải tích Mạch 2014

25