Tích phân và ứng dụng docx

Tích phân và ứng dụng
TÍCH PHÂN
*****
A03:
2 3
2
5
4
dx
x x +
∫

ĐS:
1 5
ln
4 3
B03:
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
π
−
+
∫

ĐS:

1 1
ln 2
4 4
+
D03:
2
2
0
2x x dx−
∫
ĐS:
4
3
A04:
2
1
1 1
xdx
x+ −
∫
ĐS:
11
4 ln 2
3
−
B04:
1
1 3ln .ln
e
x x

dx
x
+
∫
ĐS:
116
135
D04:
3
2
2
ln( )x x dx−
∫
ĐS:
3ln3 2−
A05:
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x
π
+
+
∫
ĐS:
34
27

B05:
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
ĐS:
2 ln 2 1−
D05:
( )
2
sin
0
cos cos
x
e x xdx
π
+
∫
ĐS:
1
4
e
π
+ −

A06:
2
2 2
0
sin 2
4sin cos
x
dx
x x
π
+
∫
ĐS:
2
3
B06:
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
ĐS:
3
ln
2
D06:

( )
1
2
0
2
x
x e dx−
∫
ĐS:
2
5 3
4
e−
D07:
3 2
1
ln
e
x xdx
∫
ĐS:
4
5 1
32
e −
A08:
4
6
0
tan

cos2
x
dx
x
π
∫
ĐS:
( )
1 10
ln 2 3
2
9 3
+ −
B08:
4
0
sin
4
sin 2 2(1 sin cos )
x dx
x x x
π
π
 
−
 ÷
 
+ + +
∫
ĐS:

4 3 2
4
−
D08:
2
3
1
ln x
dx
x
∫
ĐS:
3 2 ln 2
16
−
A09:
( )
2
3 2
0
cos 1 cosx xdx
π
−
∫
ĐS:
8
15 4
π
−
B09:

3
2
1
3 ln
( 1)
x
dx
x
+
+
∫
ĐS:
3 1 27
ln
4 4 16
+
D09:
3
1
1
x
dx
e −
∫
ĐS:
( )
2
ln 1 2e e+ + −
A10:
1

2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫
ĐS:
1 1 1 2
ln
3 2 3
e+
+
B10:
2
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
x x+
∫
ĐS:
1 3

ln
3 2
− +
D10:
1
3
2 ln
e
x xdx
x
 
−
 ÷
 
∫
ĐS:
2
1
2
e
−
A11:
4
0
sin ( 1)cos
sin cos
x x x x
dx
x x x
π

+ +
+
∫

ĐS:
2
ln 1
4 2 4
 
π π
 
+ +
 
 ÷
 
 
B11:
3
2
0
1 sin
cos
x x
dx
x
π
+
∫

ĐS:

( )
2
3 ln 2 3
3
π
+ + −

Tích phân và ứng dụng
D11:
4
0
4 1
2 2 1
x
dx
x
−
+ +
∫
ĐS:
34 3
10 ln
3 5
+
A12:
3
2
1
1 ln( 1)x
dx

x
+ +
∫
ĐS:
2 2
ln 3 ln 2
3 3
+ −
B12:
1
3
4 2
0
3 2
x
dx
x x+ +
∫
ĐS:
3
ln 3 ln 2
2
−
D12:
4
0
(1 sin 2 )x x dx
π
+
∫

ĐS:
2
1
32 4
π
+
A02 (dự bị):
2
6
3 5
0
1 cos .sin .cosx x xdx
π
−
∫
ĐS:
12
91
A02 (dự bị):
( )
0
2
3
1
1
x
x e x dx
−
+ +

∫
ĐS:
2
3 1
4 4e
−
B02 (dự bị):
( )
ln 3
3
0
1
x
x
e dx
e +
∫
ĐS:
2 2 4−
D02 (dự bị):
1
3
2
0
1
x
dx
x +
∫
ĐS:

( )
1
1 ln 2
2
−
A03 (dự bị):
1
3 2
0
1x x dx−
∫
ĐS:
2
15
A03 (dự bị):
4
0
1 cos 2
x
dx
x
π
+
∫
ĐS:
1
ln 2
8 4
π
−

B03 (dự bị):
ln 5
2
ln 2
1
x
x
e dx
e −
∫
ĐS:
20
3
D03 (dự bị):
2
1
3
0
x
x e dx
∫
ĐS:
1
2
D03 (dự bị):
2
1
1
ln
e

x
xdx
x
+
∫
ĐS:
2
3
4
e +
A04 (dự bị):
2
4
2
0
1
4
x x
dx
x
− +
+
∫
ĐS:
1 16 17
ln 2
2 3 8
π
− − +
B04 (dự bị):

3
3
1
dx
x x+
∫
ĐS:
1 3
ln
2 2
B04 (dự bị):
2
cos
0
sin 2
x
e xdx
π
∫
ĐS:
e
D04 (dự bị):
2
0
sinx xdx
π
∫
ĐS:
2
2 8π −

D04 (dự bị):
ln 8
2
ln 3
1
x x
e e dx+
∫
ĐS:
1378
15
A05 (dự bị):
7
3
0
2
1
x
dx
x
+
+
∫
ĐS:
231
10
A05 (dự bị):
3
2
1

ln
ln 1
e
x
dx
x x +
∫
ĐS:
76
15
B05 (dự bị):
2
2
0
(2 1)cosx xdx
π
−
∫
ĐS:
2
1
8 4 2
π π
− −
B05 (dự bị):
3
2
0
sin .tanx xdx
π

∫
ĐS:
3
ln 2
8
−
D05 (dự bị):
2
1
ln
e
x xdx
∫
ĐS:
3
2 1
9 9
e +
D05 (dự bị):
( )
4
sin
0
tan cos
x
x e x dx
π
+
∫
ĐS:

1
2
ln 2 1e+ −

Tích phân và ứng dụng
A06 (dự bị):
6
2
2 1 4 1
dx
x x+ + +
∫
ĐS:
3 1
ln
2 12
−
B06 (dự bị):
10
5
2 1
dx
x x− −
∫
ĐS:
2 ln 2 1+
B06 (dự bị):
1
3 2 ln
2 ln 1

e
x
dx
x x
−
+
∫
ĐS:
10 2 11
3
−
D06 (dự bị):
2
0
( 1)sin 2x xdx
π
+
∫
ĐS:
1
4
π
+
D06 (dự bị):
2
1
( 2)lnx xdx−
∫
ĐS:
5

ln 4
4
−
A07 (dự bị):
4
0
2 1
1 2 1
x
dx
x
+
+ +
∫
ĐS:
2 ln 2+
D07 (dự bị):
1
2
0
( 1)
4
x x
dx
x
−
−
∫
ĐS:
3

1 ln 2 ln 3
2
+ −
D07 (dự bị):
2
2
0
cosx xdx
π
∫
ĐS:
2
2
4
π
−
A08 (dự bị):
3
3
1
2
2 2
xdx
x
−
+
∫
ĐS:
12
5

A08 (dự bị):
2
0
sin 2
3 4sin cos2
x
dx
x x
π
+ −
∫
ĐS:
1
ln 2
2
− +
B08 (dự bị):
2
0
1
4 1
x
dx
x
+
+
∫
ĐS:
11
6

B08 (dự bị):
1
3
2
0
4
x
dx
x−
∫
ĐS:
16
3 3
3
−
D08 (dự bị):
1
2
2
0
4
x
x
xe dx
x
 
−
 ÷
−
 

∫
ĐS:
2
7
3
4
e −
+


Tích phân và ứng dụng
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
*****
ĐH Vinh:
5
2
1
1 100 9
ln
27 5
3 1
x
dx
x x
+
= +
+
∫
ĐH Vinh:
1

2
1
0
2 1 9
ln
5ln 2 14
(2 9) 3 2
x
x x
dx
−
=
− −
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
1
3
0
2 1
( 1) (3 1)
dx
x x
= −
+ +
∫
Đặng Thúc Hứa - Nghệ An:
4
1
ln(9 )
10 ln 5 12 ln 2 4

x
dx
x
−
= − −
∫
Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa:
1
5 3
0
4
1
45
x x dx− =
∫
Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng:
3
2
0
sin
cos 3 sin
x
dx
x x
π
+
∫
Chuyên Lê Quý Đôn - TP Hồ Chí Minh:
( )
2

4 4
0
cos2 sin cos 0x x x dx
π
+ =
∫
Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội:
( )
1
2 2 2
ln
3
1 ln
e
x
dx
x x
−
=
+
∫
Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên:
3ln 2
3
0
1 3
ln
6 2
2
x

dx
e
=
+
∫
Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên:
1
2
2
0
3 3
4
2 2
3 2
x dx
x x
π
= + −
+ −
∫
ĐH Sư Phạm Hà Nội:
( )
1
2
0
3 3
ln 1 ln 3
4 12
x x x dx
π

+ + = −
∫
Trần Phú Nga Sơn:
4
2
3
tan
5 3
1 cos .cos
x
dx
x x
π
π
= −
+
∫
Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An:
1
1 ln .ln
1
4
1 ln
e
x x
dx
x x
− π
= −
+

∫
Chu Văn An - Hà Nội:
2
2
1
ln 4
2
e
x
dx
x e
= −
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
1
2
0
1 1
ln
2
x x
dx e
e e e
+
= − +
+
∫
Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc:
2
0

sin 2 1
ln 2
3 4sin cos 2 2
x
dx
x x
π
= −
+ −
∫
Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội:
4
0
tan ln(cos ) 2
2 1 ln 2
cos 2
x x
dx
x
π
= − −
∫
Đô Lương 4 - Nghệ An:
4
2
2
3
sin 7
1 cos 3 1
cos 12

x
xdx
x
π
π
−
π
− = − −
∫
Chuyên Hà Tĩnh:
( )
2
2
1
ln 1 ln
ln 2 2
2
e
x
dx
x
+
π
= − +
∫
Chuyên Vĩnh Phúc:
2 2
3
2 2
4

sin 3 cos 3
2 3 4
sin cos
x x
dx
x x
π
π
 
− = −
 ÷
 
∫
Cầu Xe - Hải Dương:
2 2 2
1
( 1)ln 3
ln 2
ln 2 2
e
x x x e
dx
x x x
− +
= − +
+
∫
Chuyên Vĩnh Phúc:
2
0

( 2) 4
4
x
x dx
x
− = π−
−
∫
Thạch Thành I - Thanh Hóa:
2
2
0
1
(2 sin cos ) 2
dx
x x
π
=
+
∫
Thạch Thành I - Thanh Hóa:
2
0
sin 3
5 3cos2 18
xdx
x
π
π
=

+
∫
Cầu Xe - Hải Dương:
2
1
ln
x
x
e ex
e x dx
x
−
 
+
 ÷
 
∫
=
2
2
2 3 1
ln 2 ln 2
2
e
e
−
+ +
Trần Nhân Tông - Quảng Ninh:
4
0

cos 2
1 sin 2 2 sin
4
xdx
x x
π
π
 
+ + +
 ÷
 
∫
( )
ln 4 2 2= −
Trần Quang Khải - Hưng Yên:
2
2
1
1 1
ln
(1 )
xdx
x x
 
−
 
+
 
∫
2

ln 2 5
ln 2 ln 3
2 3
= − +
Nguyễn Trung Thiên - Hà Tĩnh:
2
4
1 cos 2 1
ln 2
1 sin 2 2
x
dx
x
π
π
+
= −
+
∫
ĐH Sư Phạm Hà Nội:
2
6
0
2sin
3 1
4
ln
cos2 2
x dx
x

π
π
 
−
 ÷
+
 
=
∫
Cầu Xe - Hải Dương:
3
4
2
0
2 tan 3 11 39 5
ln
sin 2 3cos 6 8 3
x
dx
x x
π
−
= −
+
∫
ĐH Vinh: Chuyên Vĩnh Phúc: Chuyên Nguyễn Quang Diêu-Đồng Tháp

Tích phân và ứng dụng
4
2

0
sin
2 cos 5sin cos
x
dx
x x x
π
+
∫
1 2
ln 3 ln 2
2 3
= −
2
2
1
( 1) ln
( 1)
e
x x x
dx
x x
+ +
+
∫
1 1 1
ln
2 1 2
e
e

+
= + −
+
2 2
1
( 1)ln 2 1
2 ln
e
x x x
dx
x x
+ + +
+
∫
3
1 2
ln
3 2
e e− +
= +
Chuyên Hà Nội - Amsterdam:
ln2
0
1 4
ln
1 3
x
x
e
dx

e
−
=
+
∫
Quốc Oai - Hà Nội:
ln3
3 2
0
2 8 ln 5
3
1 4 3
x x
x x
e e
dx
e e
− −
=
+ −
∫
Nguyễn Trung Thiên - Hà Tĩnh:
ln 2
3
0
1 3 ln 2
3
x
e dx
π

− = − −
∫
Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh:
( )
( )
1
1 3 2 ln ln
18 4 2
5
1 2 ln
e
x x
dx
x x
+ +
+
=
+ +
∫
Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh:
2
2
0
sin
1
1 sin 2 2
x x
dx
x
π

+ π
= +
+
∫
Chuyên Nguyễn Quang Diêu-Đồng Tháp
2
2 2
0
3sin 4 cos 3
ln 3
3sin 4 cos 6
x x
dx
x x
π
+ π
= +
+
∫
Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội:
4
2
0
ln(sin cos ) 3
ln 2
cos 4 2
x x
dx
x
π

+ π
= − +
∫
Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội:
1
( 1)ln
1 ln( 1)
ln 1
e
x x
dx e e
x x
−
= − − +
+
∫
Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An:
2
2
1
1
1
x
dx
x x
+
+ −
∫
8 3 4 2 26
5 15 15

= − −
Chuyên Vĩnh Phúc:
( )
4
2
0
ln 9 25ln 5 9ln 3 8x x dx+ = − −
∫
Đặng Thúc Hứa - Nghệ An:
( )
6
1
ln 2 3
3
x x
dx
x
+ +
+
∫
10ln5 8ln2 6= − −
Trần Phú - Vĩnh Phúc:
2 2
1
ln 1 1 1
ln
ln 2 1
e
x e
dx

x x e
− +
=
− −
∫
Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội:
1
2
1
3
26 16 2
27
3 9 1
x
dx
x x
−
=
+ −
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
2
2 2
0
1
sin
8
x
e
e xdx

π
π
−
=
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
4
2
0
80
9
1
x dx
x x
=
+
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
4
0
cos . 2 sin 2
dx
x x
π
+
∫
( )
ln 2 3
ln 3
2 2 2

+
= − +
Toán học & Tuổi trẻ:
( )
1
ln
2 ln 2 ln
3 3 1 4 2
3
e
x
dx
x x x+ + −
+ −
=
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
2
2 sin
0
2 cos cos
2
1
2
x
x
x x e dx
e
e
π

 
+
 ÷
 
π
= − +
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
2
3
0
sin 1
(cos sin ) 2
x
dx
x x
π
=
+
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
2
2
0
1 sin
1 cos
x
x
e dx e
x

π
π
+
=
+
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
2
3
ln 3 1
sin 2 sin 8 4
dx
x x
π
π
= − −
−
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
1
2
0
ln(1 )
ln 2
1 8
x
dx
x
+ π
=

+
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
1
1
3
3
4
1/ 3
( )
6
x x
dx
x
−
=
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
2
4
0
sin 2
1 cos 4
x
dx
x
π
π
=
+

∫
Toán học & Tuổi trẻ:
1
2
0
2 1
3 6 1
2
3 3
x x dx
π
− + + = +
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
1
3
2 3
0
1
(1 ) 16
x
dx
x
=
+
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
3
2
4 2

0
cos 1
ln 3
cos 3cos 3 2
x
dx
x x
π
=
− +
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
1
2
2
0
5 1 5
2 ln
2 2
4
x
dx
x
+
= −
+
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
(
)

1
2 2 2
1
ln lnx a x dx a
−
+ + =
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
1
2 2
0
2 1
4 3
12
9 3
x x dx
π
− = +
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
2
1
2 1 3
0
(2 1)
x x
x x e dx e
+ +
+ + =
∫

Toán học & Tuổi trẻ:
1
4
6
0
1
1 3
x
dx
x
+ π
=
+
∫
Toán học & Tuổi trẻ:
2
2
2 2
1
1 1 15
ln
( 1)( 3 1) 4 11
x
dx
x x x x
−
=
− + + +
∫
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Tích phân và ứng dụng
*****
A02: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
4 3y x x= − +
và
3y x= +
.
ĐS:
( )
5
2
0
109
3 4 3
6
S x x x dx= + − − + =
∫
B02: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
4
4
x
y = −
và
2
4 2
x
y =

.
ĐS:
2 2
2 2
2 2
4
4 2
4 3
4 2
x x
S dx
−
 
= − − = + π
 ÷
 ÷
 
∫
A07: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
( 1)y e x= +
và
( )
1
x
y e x= +
.
ĐS:
1
0
1

2
x
e
S xe ex dx= − = −
∫
B07: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
ln , 0, y x x y x e= = =
. Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
ĐS:
( )
3
2
1
5 2
( ln )
27
e
e
V x x dx
π −
= π =
∫
Đoàn Thượng - Hải Dương: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
2
, 0, 1
3
x
y y x
x

= = =
+
. Tính thể
tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
ĐS:
2
1
2
2
0
3
3 36 8
x
V dx
x
π π
 
= π = −
 ÷
+
 
∫
Đặng Thúc Hứa - Nghệ An: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
1, 0, ln 3
x
y e y x= + = =
và
ln8x =
.
ĐS:

ln 8
ln 3
3
1 2 ln
2
x
S e dx= + = +
∫
Trung Giã - Hà Nội: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
ln , 0, 1
e
y x y x
x
= − = =
. Tính thể tích của
khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
ĐS:
( )
2
2
1
ln 2
e
e
V x dx e e
x
 
= π − = π − −
 ÷
 

∫
Tứ Kỳ - Hải Dương: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
sin 2 , cos , 0,
2
y x y x x x
π
= = = =
.
ĐS:
2
0
1
sin 2 cos
2
S x x dx
π
= − =
∫
Mỹ Đức A - Hà Nội: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
2
ln(1 ), 0, 1y x x y x= + = =
. Tính thể
tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
ĐS:
1
2 2
0
1 4
ln(1 ) ln 2
3 9 6

V x x dx
π
 
= π + = π + −
 ÷
 
∫

Tích phân và ứng dụng
Chuyên Đại học Vinh: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
2
ln( 2)
4
x x
y
x
+
=
−
và trục hoành.
ĐS:
0
2
1
ln( 2)
2 ln 2 2 3
3
4
x x
S dx

x
−
+ π
= = − + −
−
∫
Chu Văn An - Hà Nội: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
3
ln(1 ), 0, 1y x x y x= + = =
. Tính thể
tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
ĐS:
( )
1
2 3
0
2 ln 2 1
ln(1 )
3
V x x dx
π −
= π + =
∫
Chuyên Đại học Vinh: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường:
, 0, 1
1
x
x
xe
y y x

e
= = =
+
. Tính thể tích
của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
ĐS:
1
2
0
1
ln
( 1) 1 2
x
x
xe e e
V dx
e e
+
 
= π = π −
 ÷
+ +
 
∫
Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
y x=
và
2y x= +
.
ĐS:

( )
2
1
13
2
6
S x x dx
−
= + − =
∫
HẾT