giải tích ôn thi đại học

Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH
I. ĐẠO HÀM
1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = tại x
0
= 0.
2) Cho hàm số y = f(x) = x
3
-3x
2
+1, có đồ thò (C).
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) £ 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Cho (C) : y = f(x) = x
4
- 2x
2
.
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng .
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007
4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d
2
: y = .
4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x
2
- 2x - 3 đi qua M

1
(5;3).
5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x
3
–3x+1 kẻ từ M(3; - 1).
6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x - 2+ đi qua A(0;3).
7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)= đi qua H(1;1).
8) Tìm đạo hàm các hàm số
a) y = ( x
3
– 3x + 2 ) ( x
4
+ x
2
– 1 ) b) y = c) y =
9) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y = ( 5x
3
+ x
2
– 4 )
5
b) y = sin
2
(cos 3x)
c) y = ln
3
x d) y = e
sinx
e) y = e

4x + 5
f) y = (0< a ¹ 1)
10) Tìm đạo hàm các hàm số :
a) y= ln ( x + ) b) y = log
3
( x
2
– sin x )
c) y = e
x
– ln ( sin x) d) y = tg ( 2x+3)
e) y = tg
2
x . sinx f) y =
g) y = cotg ( 5x
2
+ x – 2 ) h) y = cotg
2
x + cotg2x
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH
11) Tính đạo hàm của hàm số
f(x) =
tại điểm x
0
= 0
12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau :
a) y = lnx b) y = e
Kx
c) y = sin x

d) y = cos x e) y = ln (x
2
+ x – 2 )
13) Chứng minh rằng :
a) Với y= 3 + ( x ¹ 0), ta có xy’ + y = 3
b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0
c) Với y = ( x +1 ) e
x
ta có : y’ – y = e
x
d) Với y= e
sin x
ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0
e) Với y = ln ta có xy’ + 1 = e
y
14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:
a) Cho hàm số y = . Chứng minh rằng: y’' = -y
b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg = 0
c) Cho y = e
4x
+2e
-x
. Chứng minh rằng : y’’’-13y’-12y = 0
d) Cho y = . Chứng minh rằng : 2(y’)
2
= (y-1)y’’
e) Cho y = . Chứng minh rằng: y’ = cotg
4
x
15) Cho f(x) = . Chứng minh rằng :

16) Cho f(x) = . Chứng minh rằng :
17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x +sin x + x.
b) f(x) = (x
2
+2x-3)e
x
c) f(x) = sinx.e
x
d) f(x) =
18) Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) = x
3
-2x
2
+ p .
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH
19) Cho các hàm số f(x) = sin
4
x + cos
4
x; g(x) =
Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), "xỴR
20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) f(x) = ln (sinx) tại x
0
= . b) f(x) = x. cosx tại x
0

=
21) Tìm vi phân của mỗi hàm số:
a) f(x) = b) f(x) = x.lnx. c) f(x) = .
22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782.
II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ .
24) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
-3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
-x
4
.
c) y = f(x) = . d) y = f(x) = .
e) y = f(x) = x+2sinx trên ( -p ; p). f) y = f(x) = xlnx.
g) y = f(x) = . h) y= f(x) = x
3
-3x
2
.
i) . j) y= f(x) = x
4
-2x
2
.
k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2p].
25) Cho hàm số y = f(x) = x

3
-3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1. Đònh m để hàm số :
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. Kq:1 £ m £ 0
b) Nghòch biến trên khoảng ( -1;0). Kq: m £
c) Đồng biến trên khoảng (2;+¥ ). Kq: m £
26) Đònh mỴZ để hàm số y = f(x) = đồng biến trên các khoảng xác đònh của nó.
Kq: m = 0
27) Đònh m để hàm số y = f(x) = nghòch biến trên nửa khoảng [1;+¥).
Kq: m £
28) Chứng minh rằng : , "x > 0.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH
29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng khoảng xác đònh) của nó :
a) y = x
3
-3x
2
+3x+2. b) .
c) .
30) Tìm m để hàm số :
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+¥)
31) Tìm m để hàm số : luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh của nó.
32) Tìm m để hàm số : luôn đồng biến trên khoảng (1;+¥).
Kq:
33) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m -x) -m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m³3

34) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , " x > 0. b) cosx >1 - , với x > 0 .
II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
35) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:
a) y = x
3
. b) y = 3x + + 5. c) y = x.e
-x
. d) y = .
36) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 2:
a) y = sin
2
x với xỴ[0; p ] b) y = x
2
lnx. c) y = .
37) Xác đònh tham số m để hàm số y=x
3
-3mx
2
+(m
2
-1)x+2 đạt cực đại tại x=2.
( Đề thi TNTHPT 2004
-
2005) Kết quả : m=11
38) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
-3x
2
+3mx+3m+4

a.Không có cực trò. Kết quả : m ³1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1
c. Có đồ thò (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0).
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH
Kết quả : m=0
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O.
Kq : d:y = 2(m-1)x+4m+4 và m= -1
39) Đònh m để hàm số y = f(x) =
a. Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m>3
b.Đạt cực trò tại x = 2. Kết quả : m = 4
c.Đạt cực tiểu khi x = -1 Kết quả : m = 7
40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y = luôn có cực trò.
41) Cho hàm số y = f(x) = x
3
-mx
2
+(m
2
-m+1)x+1. Có giá trò nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không?
Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không
42) Cho hàm số y = f(x) = x
3
-mx
2
+(m+2)x-1. Xác đònh m để hàm số:
a) Có cực trò. Kết quả: m <-1 V m > 2

b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+¥). Kết quả: m > 2
c) Có cực trò trong khoảng (0;+¥). Kết quả: m <-2 V m > 2
43) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = -x
4
+2mx
2
-2m+1.
Hd và kq : y’=-4x(x
2
-m)
· m £ 0: 1 cực đại x = 0
· m > 0: 2 cực đại x= và 1 cực tiểu x = 0
44) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) = có hai điểm cực trò nằm khác phía so với Ox.
Kết quả : m >
45) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
-6x
2
+3(m+2)x-m-6 có 2 cực trò và hai giá trò cực trò cùng dấu.
Kết quả : < m < 2
46) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x
3
-3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trò tại hai điểm x
1
và x
2
với x
2

-x
1
là một hằng số.
47) Tìm cực trò của các hàm số :
a) . b) . c) y =
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH
48) Đònh m để hàm số có cực trò :
a) . Kết quả: m<3
b) . Kết quả: m<-2 V m>1
49) Đònh m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) = -mx
2
+(m+3)x-5m+1.
Kết quả: m = 4
50) Cho hàm số : f(x)= x
3
-mx
2
+(m-2) x-1. Đònh m để hàm số đạt cực đại tại x
2
, cực tiểu tại x
1
mà x
1
< -1 < x
2
< 1.
Kết quả: m>-1
51) Chứng minh rằng : e
x

³ x+1 với "xỴ|R.
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
52) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
-2x+3. Kq: f(x) = f(1) = 2
53) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
-2x+3 trên [0;3].
Kq: f(x)=f(1)=2 và f(x)=f(3)=6.
54) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) = với x<1.
Kết quả : f(x) = f(0) = -4
55) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m
3
, có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật
liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m
56) Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y = . Kết quả : y = f(±1) =
(Chọn vào lớp 10 chuyên Tỉnh năm học 03-04- vòng 1)
57) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
-3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng( -1;0).
Kết quả : m £
58) Tìm trên (C): y = điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
Kết quả :M(0; )
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH
59) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
60) Tìm GTLN: y=-x
2

+2x+3. Kết quả: y=f(1)= 4
61) Tìm GTNN y = x – 5 + với x > 0. Kết quả: y=f(1)= -3
62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + .
Kết quả: ;
63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x
3
+3x
2
-1 trên đoạn
Kết quả: ;
64) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kết quả: y=f(±1)=2; Không có y
b) y = x
4
+4x
2
+5. Kết quả: y=f(0)=5; Không có y
c) . Kết quả: y= ; y=1
d) . Kết quả: y= ; y=3
65) Cho hàm số . Chứng minh rằng :
66) Cho hàm số . Chứng minh rằng : -1£ y £ 1
Hướng dẫn:y’=0 Û 2sin
2
a . x
2
-2sin

2
a =0 Û x=-1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1
Dựa vào bảng biến thiên kết luận -1£ y £ 1.
67) Đònh x để hàm số sau đạt giá trò nhỏ nhất và tính giá trò nhỏ nhất :
y =f(x)= lg
2
x +
Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +¥ ) . Đặt t= lg
2
x, t³0, Þ hàm số y=g(t)=t+ xác đònh trên [0; +¥), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 Û t=-3 Ï[0; +¥ ) V t=-1 Ï[0; +¥ ) Þ
hàm số y=g(t) đồng biến trên [0;+¥ ) Þ g(t) = g(0) = Þ f(x) = f(1) =
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH
68) Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx- trên đoạn [0;p]
(Đề thi TNTH PT 2003
-
2004)
Kết quả: f(x)=f(p /4)= f(3p /4)= ; f(x)=f(0)=f(p )=0
IV. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thò các hàm số :
a) y = f(x) = x
4
-6x
2
+1 b) y = f(x) =
70) Đònh m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
3
-3(m-1)x

2
+m
2
x-3 nhận I(1;-1) làm điểm uốn.
Kết quả: m = 2 .
71) Đònh m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
4
-6mx
2
+ 3
a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0
b) Không có điểm uốn. Kết quả: m £ 0
72) Chứng minh rằng đồ thò (C): có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này.
Hướng dẫn và kết quả:
(C) có 3 điểm uốn A(-2;-1), B(- ;0), C(1;1). Þ A, B, C thẳng hàng.
Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc nên có phương trình : y = k(x-x
C
)+y
C
= (x-1)+1Û y= x + .
73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = ½x
2
-3x+2½
Kết quả: Lõm trên các khoảng (-¥;1) và (2; +¥). Lồi trên khoảng (1;2).
Điểm uốn : I
1
(1;0) và I
2

(2;0)
74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax
3
+bx
2
+cx+d (a¹0) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox.
b) Tìm m để (C
m
):y = x
3
-3mx
2
+2m(m-4)x+9m
2
-m cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng).
Hướng dẫn và kết quả:
a) Cho y = 0Û ax
3
+bx
2
+cx+d = 0 có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, lập thành cấp số cộng Þ 2x
2
= x
1

+x
3
Þ 3x
2
= x
1
+x
2
+x
3
= Þ x
2
= . Vậy điểm uốn I(x
2
;0)ỴOx.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Tìm I(m;m
2
-m).
Điều kiện cần : IỴOx Þ m
2
-m = 0 Þ m = 0 V m = 1.
Điều kiện đủ : Chọn m = 1.
75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :
a) y=x
3
-3x
2
+2. b) .

76) Chứng minh rằng đồ thò của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm uốn:
a) . b) y = x + .
77) Tìm tham số để:
a) (C
m
) : y=x
3
-3x
2
+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn.
b) (C
a,b
) : y=ax
3
+bx
2
+x+1 nhận I(1;-2) làm điểm uốn.
c) Biện luận theo m số điểm uốn của (C
m
) :y=x
4
+mx
2
+m-2 .
78) Tìm m để đồ thò (C
m
):y = f(x) = x
3
-3x
2

-9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Kết quả : m = 11.
79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) : y=x
3
-3x
2
-9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC.
Hướng dẫn và kết quả :
· Lập phương trình hoành độ giao điểm :
ax+b = x
3
-3x
2
-9x+1Û f(x) = x
3
-3x
2
-(a+9)x+1-b = 0.(1)
· Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thò hàm số (1) là
I(1;-a-b-10)ỴOx Þ -a-b-10 = 0 Þ a+b = -10.
· Điều kiện đủ : a+b = -10 Þ f(x) = (x-1).g(x) = 0 với
g(x) = x
2
-2x+b-1. YCBT Û Û b<2
Kết luận :
80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thò (C):y= .
Kq:y =
81) Tìm m để (C
m
):y = x

3
-3mx
2
+2m(m-4)x+9m
2
-m có điểm uốn :
a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 .
b) Đối xứng với M(-3;-6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 .
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 10 - Soạn cho lớp LTĐH
c) Đối xứng với N(5;-20) qua Ox. Kết quả : m= 5 .
d) Đối xứng với P(-7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 .
V. TIỆM CẬN
82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thò các hàm số :
a) y = . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2
b) y = . Kết quả: x = -2 và y = x-3
83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thò các hàm số :
a) y = 1+ . Kết quả: y = 1
b) y = . Kết quả: y = ±1
84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y = .Kết quả: y = ±x
85) Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y = . Kết quả : y = -x+1.
86) Cho (C
m
) : .
a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C
m
).
b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (C
m
) đi qua I(1;2).

87)Tìm trên đồ thò (C):y = điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
88) Lấy một điểm bất kỳ MỴ(C):y = f(x) = . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d
1
.d
2
= .
VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ
89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = x
3
-3x+1 b) y = 3x
2
-x
3
c) y = x
3
+3x-4 d) y = (1-x)
3
e) y = f) y = x
4
+x
2
-2.
g) y=2x
2
-x
4
-1 h) y=x
4
-1

i) y = j) y =
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH
k) y = l) y =
m) y = n) y =
VII.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thò:
a) (C): y = và d: y = x-m. Hd: Lý luận x=
b) (H): và d: y= -2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành độ giao điểm.
91) A.Vẽ đồ thò (C) hàm số y = x
3
+3x
2
-2
B.Biện luận bằng đồ thò (C) số nghiệm của pt: x
3
+3x
2
-(m-2) = 0
92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= x+3 và tiếp xúc với đồ thò (C) hàm số y= -x
3
+3x
2
-4x+2.
93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y=x
3
+3x
2
+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O.
94) Dùng đồ thò (C): y = x

3
-3x
2
+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
-3x
2
- 9x+1-m = 0.
95) Cho parabol (P): y=x
2
-2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m.
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (P)
b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P).
c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB.
96) Cho hàm số , có đồ thi (H).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H).
b) Cho đường thẳng d: y= -2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
97) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x
3
-3x
2
+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng.
98) Cho hàm số y = x
4
-4x
3
-2x
2
+12x-1.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều

Giáo trình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH
a) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số có trục đối xứng.
b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox.
Hướng dẫn và kết quả:
a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thò (C) : Tìm đến y
(3)
và cho y
(3)
= 0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C).
b) Cho Y= 0, tìm được X= Þ y=0 và x =1 .
99) Chứng minh rằng (C): y = có hai trục đối xứng.
Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(-1;1). Suy luận có hai đường phân giác y=-x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C). Chứng minh hai đường
thẳng này là hai trục đối xứng của (C).
100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y = . Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò của các hàm số:
a) (C
1
): y = f
1
(x) = b) (C
2
): y = f
2
(x) =
c) (C
3
): y = f
3
(x) = d) (C
4
): |y| = f

4
(x) =
e) (C
5
): y = f
5
(x) = f) (C
6
): |y| = f
6
(x) =
101) a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) hàm số : y = f(x) = x
3
-3x
2
+2.
b) Từ đồ thò (C), suy ra đồ thò (C’): y = g(x) = | x|
3
-3x
2
+2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x|
3
-3x
2
+1 - m = 0.
102) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=x
2
+(2m+1)x+m

2
-1 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình đường thẳng đó.
Lời giải 1:
1. Dự đoán đường thẳng cố đònh:
Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm+x
2
+x-1-y=0, phương trình này có D= (x)
2
-1.(x
2
+x-1-y)=0 Û -x+1+y=0 Û y= x-1 là đường thẳng cố đònh.
Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m
2
+2xm=-x
2
-x+1+y (2)
Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 Û m=-x, thay trở lại (2):y=x-1 là đường thẳng cố đònh.
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng cố đònh: ( Bắt đầu lời giải)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và d:y=x-1 là:
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 13 - Soạn cho lớp LTĐH
x
2
+(2m+1)x+m

2
-1=x-1 Û x
2
+2mx+m
2
=0
Û (x+m)
2
=0 Û x=-m (nghiệm kép)
Vậy (C
m
) luôn tiếp xúc d:y=x-1.
Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau
Û
phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” .
Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc.
Lời giải 2: Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố đònh. d tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:
x
2
+(2m+1)x+m
2
-1= ax+bÛ x
2
+(2m+1-a) x+m
2
-b-1=0 có nghiệm kép với " m
Û D =(2m+1-a)
2

-4.1(m
2
-b-1)=0 với " mÛ-4(a-1)m+(a-1)
2
+4b+4=0 với " m
Û Û .
Vậy d:y=x-1 là đường thẳng cố đònh mà (C
m
) luôn tiếp xúc.
103) Chứng tỏ rằng (C
m
): y= (1), m ¹ 0 luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình hai đường thẳng đó.
1. Dự đoán các đường thẳng cố đònh: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m:
m
2
+(y-1-3x)m+(y-1)x=0 (2), đặt t=y-1 ta có phương trình: m
2
+(t-3x)m+tx=0(3) Phương trình (3) có D=0 Û (t-3x)
2
-4tx=0 Û t
2
-10xt+9x
2
=0Û t=9xV t=x.
Thay t=y-1,suy ra hai đường thẳng d
1
:y=9x+1, d
2
:y=x+1 cố đònh tiếp xúc (C
m

)
2. Chứng tỏ (C
m
) tiếp xúc với d
1
, và tiếp xúc d
2
: ( Bắt đầu lời giải)
· d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Û (3x+m)
2
=0 Û x= -
Vậy d
1
:y=9x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= - (m ¹ 0).
· Tương tự : d
2
:y=x+1 tiếp xúc (C
m
) tại điểm có hoành độ x= m (m ¹ 0).
104) Chứng tỏ rằng (C
m
): y=mx
3

-3(m+1)x
2
+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố đònh tại một điểm cố đònh.
Hướng dẫn giải: Tìm được (C
m
) đi qua hai điểm cố đònh A(0;1) và B(3;-23) và tiếp tuyến của (C
m
) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố đònh.
105) Chứng tỏ rằng (d
m
): y=(m+1)x+m
2
-m luôn tiếp xúc với một parabol cố đònh.
Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y= là parabol cố đònh và chứng tỏ (d
m
) tiếp xúc (P) tại x=1-2m.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 14 - Soạn cho lớp LTĐH
VIII.TÍCH PHÂN
106) Cho f(x)= , tìm A, B và C sao cho:
f(x)= . Kq: A= -1; B=3 và C=1
2) Từ đó tính
107) Tính
108) Tính
109) Tính
110) Tìm A, B , C để sinx-cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx-2sinx) +C
Kq: A= ; B= và C=
111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả
a) y=

b) y=2
+C
x-sinx+C
c) y=
d) y=
tgx-cotgx+C
sinx+cosx+C
112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x
3
-x
2
+2x-1 biết rằng F(0) = 4.
Kết quả: F(x) = +x
2
-x+4
113) Tính đạo hàm của F(x) = x. lnx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= lnx.
Kết quả: F(x) = x. lnx-x+C
114) Tìm A và B sao cho với mọi x¹ 1 và x¹2 , ta có: Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:
Kết quả: A=3; B= -2. F(x) = 3 l n½x-2½-2 l n½x-1½+ C= ln +C
115) Tính các tích phân:
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
b)
c)
ln½sinx½+C
-cotgx-x+C
sin
3

x+C
d)
e) .sinxdx
f)
ln½ ln x½+C
+C
ln½ ½+C
116) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
b)
c)
d)
1
12
4
e)
f)
g)
117) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
b)
c)
d)
e)
f)
ln2
2ln3
ln

ln
g)
h)
i)
j)
k)
ln2
ln( +1)
0
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH
118) Chứng minh rằng:
a) b)
119) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
k)
l)
120) Tính các tích phân:
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 17 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả
m)

n)
o)
p)
q) dx
r)
s)
t)
u)
v)
w)
Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq:
x=sint. Kq:
TS+e
x
-e
x
.Kq:l n
1
1
121) Tính các tích phân:
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
a)
b)
c)
d)
1
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 18 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả
e)

f)
g)
e-2
ln2-2+
h)
i)
j)
ln2-
122) Chứng minh rằng:
a) Hd: x= -t
b) Hd: x=b-t
c) (a>0) Hd: t=x
2
d) Hd: x= -t
e) . Áp dụng, tính:
Hướng dẫn: Lần 1, đặt x=p -t. Lần 2, để tính ta đặt x= +s và kết quả bài 118a). Tính = p , đặt t=cosx, kq:
123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [-a;a] (a>0) thì: . Hd: t=-x
124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [-a;a] (a>0) thì: . Hd: t=-x
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 19 - Soạn cho lớp LTĐH
125) Chứng minh rằng: . Áp dụng bài 124).
126) Chứng minh rằng: . Áp dụng bài 123).
127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì: . Hd: t=-x
128) Chứng minh rằng . Áp dụng bài 124)
129) Chứng minh rằng . Áp dụng bài 123).
130) Chứng minh rằng . Hd:x=1-t
131) Tính các tích phân sau:
Tích phân Kết quả
a)
b)

c)
d)
e)
f)
g)
Hs lẻ: 0
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 20 - Soạn cho lớp LTĐH
Tích phân
Kết quả
h)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
1
u=x
2
, dv=?.
132) Cho I
n
= (nỴ N)
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n
và I

n-1
(n≥1)
b) Áp dụng tính I
3
= . Kết quả: 6-2e
133) Cho I
n
= (nỴ N )
a) Chứng minh rằng I
n
> I
n+1
. Hd: In>In+1,"xỴ(0; )
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 21 - Soạn cho lớp LTĐH
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa I
n+2
và I
n
.
Hướng dẫn: I
n+2
= Þ I
n +
I
n+2
= .
134) Tính I
n
= (nỴ N )

Hướng dẫn: đặt , tìm được I
n
= I
n-1
=…= I
1
= .
135) Tính I
n
= (nỴ N )
Hướng dẫn: đặt , tìm được I
n
= I
n-2
.
Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
· n=2k ( n chẵn): I
n
=
· n=2k+1 ( n lẻ): I
n
=
136) Cho I
n
= (nỴ N )
a) Chứng minh rằng I
n+2
= I
n
.

b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).I
n
.I
n+1
là hàm hằng.
c) Tính I
n
.
Hướng dẫn:
a) Đặt
b) Chứng minh f(n+1)=f(n)Þ f(n)=…=f(0)=
c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
· n=2k ( n chẵn): I
2k
=
· n=2k+1 ( n lẻ): I
2k+1
=
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 22 - Soạn cho lớp LTĐH
137)a) Tính I
0
= , Kết quả: a= 0
b) Chứng minh rằng I
n
= =0 Hd: b) Truy hồi.
138) Tìm liên hệ giữa I
n
= và J
n

= và tính I
3
.
Kết quả:
139) Giải phương trình: = 0. Kq: 0
140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= -x
2
+3x-2, d
1
:y = x-1 và d
2
:y=-x+2
Kq:
141) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x
3
-3x và đường thẳng y=2.
Kq:
142) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Kq:
143) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3-x)
2
, Ox và x=2; x= 4. Kq: 2
144) Cho hai đường cong : .
a) (P
1
) và (P
2
) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P
1

) và (P
2
). Kq:
145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y
2
-2y+x = 0 và (d) : x+y = 0.
Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y
2
+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình y
2
-3y = 0 Û y=0 V y=3. Vậy diện tích hình phẳng cần tìm
là:
146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) (C): y = cosx ; y = 0 ; . Kq: 1
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 23 - Soạn cho lớp LTĐH
b) (C): y = x
2
– 2x + 3 ; (d): y = 5 – x . Kq:
c) (C): y = 2x
3
– x
2
– 8x + 1 ; (d): y = 6. Kq:
d) (P): y = - x
2
+ 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung. Kq: 9
e) (C): y = x
3
– 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x =

Kq:
f) (C): y= x
2
-2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ . Kq:
g) . Kq:
h) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x. Kq: 4
i) y
2
= 2x + 1; y = x – 1 . Kq:
j) y = lnx ; y = 0 ; x = 2. Kq: 2ln2-1
147) Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:
148) Cho (E) : 9x
2
+ 25y
2
= 225 ;(d):y = . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (d) và phần trên d của (E).
Kq: 5p-
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 24 - Soạn cho lớp LTĐH
149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2-x
2
, (C): y= và Ox.
Kq:
150) Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y
2
= x
3
(y≥0) , y = 0, x= 1
a) Quay quanh trục Ox. Kq:
b) Quay quanh trục Oy. Kq:

151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= ., tiệm cận ngang của (C) và các đường thẳng x = –1; x = 0.
Kq: 2ln2
IX.ĐẠI SỐ TỔ HP
152) Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?
Kết quả:
b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:6.5.4.3.3=1080
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 7?
Kết quả: 5.
153) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?
Kết quả:
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ? Kết quả:
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2?
Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số.
154) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
Kết quả:
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3?
Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là A={0,3,6,9} Vậy có 3 số chia hết cho 3.
Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 25 - Soạn cho lớp LTĐH
155) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5.
a) Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?
Kết quả: 5.
b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? Kết quả: 600
-
4. (lẻ)=312c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0?
Hướng dẫn và kết quả: Hoán vò các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5} ta có 5!=120 số không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600

-
120=480 số có mặt chữ số 0.
156) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4, Hỏi có bao nhiêu số :
a) Được tạo thành Kết quả: 4!=24
b) Bắt đầu bởi chữ số 1? Kết quả: 1.3!=6
c) Không bắt đầu bằng chữ số 2? Kết quả: P
4
-
1.P
3
=18.
157) Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số :
a) Bắt đầu bởi 19? Kết quả: 1.1.3!=6
b) Không bắt đầu bởi 135? Kết quả: 5!
-
1.1.1.2!=118
158) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2,3, 4, 5 và 6 và lớn hơn 300.000
Kết quả: 4.5!=480
159) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9.
Kết quả: Có 3 tập X
1
={1;2;6} , X
2
={1;3;5} và X
3
={2;3;4} có tổng các phần tử bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số.
160) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?