Chuyên đề 15 bất phương trình chứa tham số

Câu 1.

Câu 2.

Dạng 1. Bất phương trình bậc hai, bậc cao
x2 + 5x + m
7.
Với giá trị nào của m thì với mọi x ta có −1  2
2 x − 3x + 2
5
5
5
A. −  m  1 .
B. m  − .
C. m  1 .
D. −  m  1 .
3
3
3
2
Tìm m để phương trình ( m + 1) x − 2 ( m + 2 ) x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 sao
1 1
+  2.
x1 x2
5
A. m  − và m  1 . B. m  1 .
4

cho

5

C. −  m  1 .
4
Câu 3.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình −3 
nghiệm là
A. 2 .

Câu 4.

Câu 5.

5
D. −  m  1 và m  −1 .
4
x 2 − 2mx + 1
 2 có tập
x2 + x + 1

?
C. 3 .

B. 0 .

D. 1 .

Số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bất phương trình mx 2 − (4m + 3) x + (m − 8)  0 nghiệm
đúng với x  , là
A. 4 .
B. 3 .

C. 0 .
D. 2 .
Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x 2 − ( 2m − 6 ) x + m 2 − 6m + 5  0 . Tìm tất cả các giá trị
của m sao cho ( 3;5 )  S .
A. m   .

Câu 6.

Câu 8.

C. m   4;8 .

D. m  ( 6;8 ) .

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
( m − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x + 3  0 nghiệm đúng với mọi x  . Tổng tất cả phần tử của S bằng
A. 15.

Câu 7.

B. m   6;8 .

B. 10.

C. 6.

D. 5.

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m   −10;10 để − x + 2 x + 1 + m  0 với mọi
x  0 . Số phần tử của S bằng

A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
2

Cho bất phương trình mx + m 2  18 + 5 x (1) . Tính tổng các giá trị nguyên của m thuộc đoạn

 −1; 5 sao cho bất phương trình (1)

đúng với x  −2 .

B. 8 .
C. 7 .
D. 10 .
( m − 3) x  1 − x − x − 1 1 ; m  0 có tập nghiệm là S . Tìm tất cả các giá trị
Cho bất phương trình
()
2m
2
m
của m để S  ( 3; + ) .
A. 9 .

Câu 9.

1
1

A. m = .

B. m  ( −;0 )   ; +  .
2
2

 1
1 
C. m   0;  .
D. m   ;1 .
 2
2 
Câu 10. Tập hợp gồm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x 2 − ( 5m − 5 ) x + 6m 2 − 10m  0
nghiệm đúng x   −1;1 là ( −; a   b; +  ) , với a  b , a, b  . Lúc đó giá trị nhỏ nhất của

P = 3t − 4t 2 , t   a; b  là.
Trang 1


9
5
C. − .
D.
.
16
2
Câu 11. Tìm m để mọi x   0; + ) đều là nghiệm của bất phương trình ( m2 − 1) x 2 − 8mx + 9 − m2  0

A. −10 .

B. −13 .

A. m  .

B. m   −3; −1 .

D. m  −3; −1 .

C. m  ( −3; −1) .

Câu 12. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để bất phương trình ( 4m2 + 2m + 1) x − 5m  3mx − m − 1
có tập nghiệm là  −1; + ) . Tính tổng tất cả các phần tử của S .
A.

9
.
4

B.

3
.
4

9
D. − .
4

3
C. − .
4

Câu 13. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên nhỏ hơn 20 của tham số m để bất phương trình
2 x2 − 2 6 x + 1
 m nghiệm đúng với mọi x  ?
x2 + 1
A. 15 .
B. 16 .
C. 17
D. 18 .
Câu 14. Cho f ( x ) = x 2 − ( m2 + m + 1) x + m3 + m2 với m là tham số thực. biết rằng có đúng hai giá trị

m1 , m2 để f ( x ) không âm với mọi giá trị của x . Tính tổng m1 + m2 .
A. 1 .
B. −1 .
C. 2

D. −2 .

Câu 15. Số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bất phương trình mx 2 − ( 4m + 3) x + ( m − 8 )  0
nghiệm đúng với x  là?
A. 3 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 4 .
2
Câu 16. Cho biếu thức f ( x) = x − 2(m − 1) x + 2m − 3 . Tìm điều kiện của tham số m để f ( x)  0 thỏa
mãn với mọi x   −1; 2 .
A. m  2
B. m  1
C. m  1
D. m  2

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc  −10;10 để bất phương trình
x3 − x 2 + ( m − 2 ) x + m  0 nghiệm đúng với mọi x  0 ?

A. 7 .

B. 8 .

C. 9 .

D. 10 .
x + 5x + m
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để với mọi x  ta có −1  2
 7.
2 x − 3x + 2
5
5
5
A. −  m  1 .
B. 1  m  .
C. m  − .
D. m  1 .
3
3
3
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc  −10;10 của m để bất phương trình mx 2 − 4 x + m  0 vô
2

nghiệm?
A. 9 .
B. 10 .

C. 8 .
D. 11 .
2
Câu 20. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để bất phương trình 3x − 2 ( m + 1) x − ( 2m2 − 3m + 2 )  0 nghiệm
đúng với mọi x trên khoảng ( 2; +  ) .
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
2
Câu 21. Tìm m để bất phương trình (m − 1) x − 2(m − 1) x + 2m − 3  0 đúng với x  .
A. m  ( −;1 .
B. m  ( −;1) .
C. m  ( −;1   2; + ) .D. m  ( −;1)  ( 2; + ) .

Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên m   −2020;2021 để bất phương trình

mx 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3  0 vô nghiệm

A. 2018.

B. 2019.

C. 2020.

Câu 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để biểu thức
A. 19 .
Trang 2

B. 20 .

C. 3 .

D. 2017.
−x + 4x − 5
 0 với mọi x 
x 2 + 2mx + 4
D. 5 .
2

?


(

)

Câu 24. Cho biểu thức f ( x ) = 3x 2 − 6 ( m + 1) x + 3 m 2 + 2m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m   −20; 21 để f ( x)  0 với mọi x trên khoảng ( −2;0 ) và ( 2;3) ?

A. 37 .

D. 36 .

C. 38 .

B. 3 .

Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m đê bất phương trình −1 

x + 5x + m
 7 nghiệm
2 x 2 − 3x + 2
2

đúng với mọi x  R .
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 26. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
f ( x ) = ( m − 2 ) x 2 − ( m 2 − 2m ) x − m 2 nhận giá trị âm với mọi số thực x . Trung bình cộng các

phần tử của S là
1
1
2
A. .
B. 0 .
C. .
D. .
3
2
3
Câu 27. Gọi S là tập các giá trị của tham số m để bất phương trình x 2 − 4mx − 7m − 7  0 có tập nghiệm
là  a; b  sao cho b − a = 6 . Khi đó tích các giá trị m là:
A.

1
.

2

B. −

1
.
2

C.

3
.
2

D. −

3
.
2

Câu 28. Tìm m để bất phương trình (m − 1) x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 3  0 nghiệm đúng với x 
A. m  ( −;1 .

.

B. m  ( −;1) .

C. m  ( −;1   2; + ) .

D. m  ( −;1)  ( 2; + ) .

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình mx 2 − 4 ( m − 1) x + m − 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt

x1 ; x2 thỏa

x12 + x22 + x1 + x2 − 8  0

8

A. m  ( −;1)   ; +  .
5


8

B. m  ( −;0 )  ( 0;1)   ; +  .
5


 8
D. m  1;  .
 5
Câu 30. Cho bất phương trình ( m2 − 4 ) x 2 + ( m − 2 ) x + 1  0 . Tập tất cả các giá trị của tham số m làm cho
C. m 

.

bất phương trình vơ nghiệm có dạng ( −; a   b; +  ) . Tính giá trị của a.b .
A. −

20
.
3

B. 4 .

Câu 31. Xác định m để với mọi x ta có −1 

C. −4 .

D.

20
.
3

x2 + 5x + m
7.
2 x 2 − 3x + 2

5
5
5
A. −  m  1 .
B. 1  m  .
C. m  − .
D. m  1 .
3
3
3

Câu 32. Cho S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho bất phương trình
( m + 1) x 2 + ( 4m + 2 ) x + 4m + 4  1 có tập nghiệm là R. Tính số phần tử của tập hợp S .
mx 2 + 2 ( m + 1) x + m
A. 1.
B. 0.
C. 10.
D. vô số.
Dạng 2. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Câu 33. Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
trị thực của x là
A. 7 .

B. Vơ số.

C. 3 .

x2 + m
 2 nghiệm đúng với mọi giá
x2 + 2x + 2

D. 5 .

Trang 3


2
2
Câu 34. Cho bất phương trình x − 6 x + 2 ( m + 2 ) x − 3 + m + 4m + 12  0 (1) . Có bao nhiêu giá trị nguyên

của m thuộc đoạn  −10;10 để bất phương trình (1) đúng với mọi x  ( −2 ; 5 ) .

A. 12 .

B. 13 .

C. 14 .

D. 15 .

x +m
 2 nghiệm đúng với mọi giá trị
x +x+2
2

Câu 35. Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

2

thực của x là
A. 7 .
B. Vơ số.
C. 3 .
D. 5 .
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   −2020; 2020 để bất phương trình
1
1
 − x 2 + 2 x + − m luôn đúng với mọi x .
2
2
A. 2020 .
B. 2018 .

C. 4038
D. 4039 .
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn  −2021; 2021 để bất phương trình:
4 x − 2m −

x 2 + 4 x  a ( x + 2 + 1) có nghiệm.

A. 4043 .
B. 2026 .
C. 2025 .
D. 2018 .
Câu 38. Cho bất phương trình x 2 + 4 x + x + 2 − m  0 . Xác định m để bất phương trình có nghiệm.

17
17
 m  −4 .
B. m  −4 .
C. m  − .
D. m  −4 .
4
4
Câu 39. Tìm tập giá trị của biểu thức x − a biết rằng 2 x + 4 − 2a + x − 2 + a  3.
A. −

 −7 −1 
 −7 −1 
 −1 3 
 −1 3 
A.  ;  .
B.  ;  .

C.  ;  .
D.  ;  .
2 2
 2 2 
 2 2
 2 2
Câu 40. Cho hàm số y = x 2 + 2 x + 3 + x − a + 1 , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a   −10;10 sao
cho giá trị nhỏ nhất của hàm số lớn hơn 2?
A. 20.
B. 21.
C. 12.
Dạng 3. Bất phương trình chứa căn
Câu 41. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai bất phương trình 2

D. 11.
x − 1 + 4 − 4 x − 1 + 4  2 và

x − x − m + m  0 tương đương.
A. m  0 .
B. m = 1 .
C. m  1 .
D. Khơng có giá trị m thỏa.
2

2

Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx 2 + 5 x + 2  − x 2 + 3x − 2 có
nghiệm.
A. −7  m  −3 .
B. m  −7 .

C. m  −3 .
D. m  −7 .
Câu 43. Cho bất phương trình x 2 − 4 x + − x 2 + 4 x − 3 + m − 1  0 . Có bao nhiêu giá trị ngun của m
khơng vượt quá 2021 để bất phương trình nghiệm đúng với x  1;  .
A. 2020 .
B. 2019 .
C. 2017 .
Câu 44. Có bao nhiêu số nguyên m  1; 20 sao cho bất phương trình

D. 2018 .
( x + 6 )( 2 − x )  x 2 + 4 x + m + 2

nghiệm đúng với mọi x   −6; 2 .
A. 15 .

B. 16 .

Câu 45. Tìm các giá trị của m đề hàm số y =
A. m = 0 .

B. m  1 .

C. 14 .

D. 11 .

2 x 2 − 2 ( m + 1) x + m2 + 1
xác định trên .
m2 x 2 − 2mx + m2 + 2
C. m  ( −;0 ) .

D. m  .

Câu 46. Số giá trị nguyên của m để bất phương trình x 2 − mx + 4  mx 2 + 1 xác định với mọi x 
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Câu 47. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số a  2020 để bất phương trình

( x + 5)(3 − x)  x 2 + 2 x + a nghiệm đúng với mọi x   −5;3 . Số phần tử của S là
Trang 4

là


A. 2015 .
B. 2005 .
C. 2006 .
D. 2016 .
3
2
Câu 48. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x + 3x − 1  a x − x − 1

(

A a  3.

C. a  2 .

B. a = 3 .

Câu 49. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
?
A. 4 .
Câu 50. Cho phương trình

)

B. 6 .

2 + x + 2 − x − (2 − x)

phương trình có nghiệm.
A.  2 2 − 2; 2  .
B. 2 2 − 2; 2 .

(

)

D. a  3 .

x 2 − 2mx − 2m + 3
có tập xác định là
x2 − x + 1

C. 3 .
D. 5 .
2+ x
= m . Tập hợp tất cả các giá trị của m để

2− x

(

C. 5; 2 2 − 2  .

D.

(

Câu 51. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  0; 2021 để hàm số:

2 ; 2  .

2 x 2 − 2 ( m + 1) x + m2 + 1
có tập xác định là .
y=
m2 x 2 − 2mx + m2 + 2
A. 2021 .
B. 0 .
C. 2022 .
D. 2020 .
Câu 52. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m không lớn hơn 10 để bất phương trình
( x + 5)( 3 − x )  x 2 + 2 x + m nghiệm đúng với mọi x   −5;3 .

A. 6 .

D. 26 .

C. 25 .

B. 5 .

Câu 53. Tập hợp tất cả các giá trị của m để bất phương trình x 2 − 5 x + m 6 + 5 x − x 2  16 nghiệm đúng
x  ( 2;5 ) là
A.  −2 10 ; 2 10  .
C. − ; 2 10  .

(

Câu 63.

(
D. ( −2

)

B. − ; 2 10 .

)

10 ; 2 10 .

( x + 5)( 3 − x )  0
Hệ bất phương trình 
vơ nghiệm khi
 x − 3m + 2  0
A. m  −1 .
B. m  −1 .
C. m  −1 .

D. m  −1 .

2 x − 5 x + 2  0
Câu 64. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình  2
vơ
 x − ( 2m + 1) x + m ( m + 1)  0
nghiệm.
1
1


m−
m−
1
1


A.  m  2 .
B.
C.  m  1 .
D.
2.
2.


2
2
m  2
m  2

2

 x 2 − 4 x  5
Câu 65. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ bất phương trình  2
có nghiệm.
 x − ( m − 1) x − m  0
m  5
m  5
m  5
m  5
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
 m  −1
 m  −1
 m  −1
 m  −1
Câu 66.

( x + 3)( 4 − x )  0
Hệ bất phương trình 
vơ nghiệm khi
 x  m − 1
A. m  −2 .
B. m  −2 .

C. m  −1 .

2 x + m  0
Câu 68. Hệ bất phương trình  2
3x − x − 4  0

(1)
( 2)

D. m = 0 .

vô nghiệm khi và chỉ khi:

Trang 5


8
A. m  − .
3

B. m  2 .

C. m  2 .

 x 2 − 1  0 (1)
Câu 69. Hệ bất phương trình 
có nghiệm khi:
x
−
m


0
2
(
)

A. m  1.
B. m = 1.
C. m  1.

8
D. m  − .
3

D. m  1.

Dạng 3. Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn
Câu 1.

Một người nơng dân có 6 triệu đồng để làm một hàng rào chữ E dọc theo một con sơng (như hình
vẽ) làm một khu đất có hai phần là hình chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song bờ
sơng thì chi phí nguyên vật liệu là 60000 đồng một mét, cịn đối với ba mặt hàng rào song song
nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 40000 đồng một mét. Tính diện tích lớn nhất của khu đất rào
thu được.

A. 1245 .
Câu 2.

B. 1250 .

C. 1255 .

D. 1260 .

Một viên gạch hình vng có cạnh thay đổi được đặt nội tiếp trong một hình vng có cạnh bằng
20 cm , tạo thành bốn tam giác xung quanh như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của x để diện tích
viên gạch khơng vượt q 208cm2 .

A. 8  x  12 .

B. 6  x  14 .

C. 12  x  14 .

D. 12  x  18 .

Câu 3.

Cơng ty du lịch Hịa Bình dự định tổ chức một tua đi Sapa từ Hà Nội. Công ty dự định nếu giá tua
là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty
quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia.
Hỏi cơng ty phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất ?
A. 1.875.000 (đồng).
B. 1.375.000 (đồng).
C. 1.675.000 (đồng).
D. 1.475.000 (đồng).

Câu 4.

Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá 30.000 đồng một chiếc và mỗi tháng

cơ sở bán được trung bình 3000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có
lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 30.000
đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 chiếc. Biết vốn sản xuất một
chiếc khăn không thay đổi là 18.000 . Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt
lợi nhuận lớn nhất.
A. 39.000.
B. 43.000 .
C. 40.000 .
D. 42.000 .

Câu 5.

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của
mặt hồ có x con cá ( x  + ) thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là 480 − 20x (gam). Hỏi
phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau mỗi vụ thu hoạch được nhiều
cá nhất?
A. 10.
B. 12.
C. 9.
D. 24.

Trang 6


Câu 1.

LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Bất phương trình bậc hai, bậc cao
x2 + 5x + m
7.

Với giá trị nào của m thì với mọi x ta có −1  2
2 x − 3x + 2
5
5
A. −  m  1 .
B. m  − .
C. m  1 .
3
3

5
D. −  m  1 .
3

Lời giải
Chọn A
Ta có 2 x 2 − 3x + 2  0 x 

a = 2  0
vì 
 = −7  0


x2 + 5x + m
−
1

2

2

x2 + 5x + m

3x + 2 x + m + 2  0
2
x
−
3
x
+
2
Khi đó −1  2
7

2
2
2 x − 3x + 2
 x + 5x + m  7
13x − 26 x + 14 − m  0

 2 x 2 − 3x + 2

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x 

(1)
( 2)

khi bpt (1) và bpt ( 2 ) nghiệm đúng với mọi

x

bpt (1) nghiệm đúng với mọi x 

5
khi  = 1 − 3 ( m + 2 )  0  m  − .
3

bpt ( 2 ) nghiệm đúng với mọi x 

khi  = 132 − 13 (14 − m )  0  m  1.

5
Kết hợp (1) và ( 2 ) ta được −  m  1 .
3

Câu 2.

Tìm m để phương trình ( m + 1) x 2 − 2 ( m + 2 ) x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 sao cho
1 1
+  2.
x1 x2
5
A. m  − và m  1 . B. m  1 .
4

5
C. −  m  1 .
4

5
D. −  m  1 và m  −1 .

4

Lời giải
Chọn B
Ta có điều kiện để phương trình ( m + 1) x 2 − 2 ( m + 2 ) x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
m + 1  0

2
0 là  = ( m + 2 ) − ( m + 1)( m − 1)  0
m − 1  0

m  1
m  1



5 ( *) .
m−
 4m + 5  0


4

Trang 7



b 2 ( m + 2)
x1 + x2 = − =



a
m +1
 Khi đó PT có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn 
x . x = c = m −1
1 2

a m +1

2 ( m + 2)
6
x +x
1 1
 0  m 1.
Ta có
+ 2 1 2 2
−20 
m −1
x1 x2
x1.x2
m −1

 Kết hợp điều kiện (*)  m  1 là giá trị cần tìm.
Câu 3.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình −3 
là ?
A. 2 .

C. 3 .

B. 0 .

x 2 − 2mx + 1
 2 có tập nghiệm
x2 + x + 1

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Ta có −3 

x − 2mx + 1
 2 (I )
x2 + x + 1
2

 x 2 − 2mx + 1
 −3

 x2 + x + 1
 2
 x − 2mx + 1  2
 x2 + x + 1


 x 2 − 2mx + 1  −3 ( x 2 + x + 1)



(Do x 2 + x + 1  0 với x  )
2
2
 x − 2mx + 1  2 ( x + x + 1)
4 x 2 − ( 2m − 3) x + 4  0 (1)
 2
− x − ( 2m + 2 ) x − 1  0 ( 2 )
 hai BPT (1) ; ( 2 ) đều có tập nghiệm là
 Bất phương trình ( I ) có tập nghiệm là

Câu 4.

1
 5
2
( 2m − 3)2 − 4.4.4  0

4m − 12m − 55  0
−  m 

 2
 2
2  −2  m  0 .
2
m
+
2
m

0


m
+
1
−
−
1
−
1

0
) ( )( )

(

−2  m  0
Có 3 giá trị m nguyên thoả mãn yêu cầu đề bài là m = −2, m = −1, m = 0 .
Số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bất phương trình mx 2 − (4m + 3) x + (m − 8)  0 nghiệm
đúng với x  , là
A. 4 .
B. 3 .
C. 0 .
D. 2 .

Lời giải
Chọn A

8
+) Với m = 0 thì bất phương trình trở thành 3x − 8  0  x  . Ta thấy BPT không nghiệm đúng
3

x  nên m = 0 không thỏa mãn.
+) Với m  0 :

mx 2 − (4m + 3) x + (m − 8)  0, x 
m  0
m  0
m  0



2
2
  0
( 4m + 3) − 4m. ( m − 8 )  0
12m + 56m + 9  0
 −4,5  m  −

1
mà m   nên m  −1; −2; −3; −4
6

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trang 8


Câu 5.

Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x 2 − ( 2m − 6 ) x + m 2 − 6m + 5  0 . Tìm tất cả các giá trị
của m sao cho ( 3;5 )  S .
A. m   .

B. m   6;8 .

C. m   4;8 .

D. m  ( 6;8 ) .

Lời giải
Chọn B
Ta có x 2 − ( 2m − 6 ) x + m 2 − 6m + 5  0  m − 5  x  m − 1  S = ( m − 5; m − 1)

Câu 6.

m − 1  5
m  6
Để ( 3;5 )  S thì 
.

m − 5  3 m  8
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
( m − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x + 3  0 nghiệm đúng với mọi x  . Tổng tất cả phần tử của S bằng
A. 15.

B. 10.

C. 6.
Lời giải

D. 5.

+Trường hợp 1: m = 1
Ta có 0.x + 3  0, x 

, suy ra m = 1 thỏa mãn bài toán.

+Trường hợp 2: m  1 ,
Ta có ( m − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x + 3  0, x 

a  0

  0

m − 1  0
m  1

 1  m  4 ( 2) .

( m − 1)( m − 4 )  0
1  m  4
Kết hợp các trường hợp ta được 1  m  4 . Suy ra S = 1; 2;3 .
Vậy tổng các phần tử của tập hợp S bằng 6.
Câu 7.

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m   −10;10 để − x 2 + 2 x + 1 + m  0 với mọi
x  0 . Số phần tử của S bằng
A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
Lời giải

Ta có − x 2 + 2 x + 1 + m  0, x  0  m  x 2 − 2 x − 1, x  0

 m  min f ( x ) với f ( x ) = x 2 − 2 x − 1 (1) .
( 0;+ )

f ( x ) = x 2 − 2 x − 1 = ( x − 1) − 2  −2, x  0  min f ( x ) = −2 khi x = 1 ( 2 ) .
2

( 0;+ )

Từ (1) và ( 2 ) suy ra m  −2 .
Mặt khác, m  , − 10  m  10 suy ra S = −10; − 9; − 8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 3 .
Vậy tập hợp S có 8 phần tử.
Câu 8.

Cho bất phương trình mx + m 2  18 + 5 x (1) . Tính tổng các giá trị nguyên của m thuộc đoạn

 −1; 5 sao cho bất phương trình (1)

đúng với x  −2 .

C. 7 .
D. 10 .
Lời giải
Ta có mx + m 2  18 + 5 x đúng với x  −2  ( m − 5 ) x + m 2 − 18  0 đúng với x   −2; +  ) .
A. 9 .

B. 8 .

2

Đặt f ( x ) = ( m − 5 ) x + m − 18 .

Trang 9


m − 5  0
m  5
Ta có ( m − 5 ) x + m 2 − 18  0 đúng với x   −2; +  )  
 2
 f ( −2 )  0
 m − 2m − 8  0
m  5

 −2  m  4 . ( 3)
−2  m  4
Vì m nguyên và thuộc đoạn  −1; 5 nên m  −1;0;1;2;3;4 .
Câu 9.

Vậy tổng các giá trị nguyên của m bằng 9 .
( m − 3) x  1 − x − x − 1 1 ; m  0 có tập nghiệm là S . Tìm tất cả các giá trị
Cho bất phương trình
()
2m
2
m
của m để S  ( 3; + ) .
1

B. m  ( −;0 )   ; +  .
2


1 
D. m   ;1 .
2 
Lời giải
( m − 3) x  1 − x − x − 1  2m − 1 .x  m + 2 * .
Ta có
()
2m
2
m
2m
2m
2m − 1
Xét dấu
2m

1
A. m = .
2
 1
C. m   0;  .
 2

m+2
 m+2
1


+) Với m  ( −;0 )   ; +  ta có (*)  x 

. Suy ra S = 
; +  .
2m − 1
 2m − 1
2


−5m + 5
m+2
1 
3
 0  m   ;1 .
Khi đó S  ( 3; + ) 
2m − 1
2m − 1
2 
1 
1

Kết hợp điều kiện m  ( −;0 )   ; +  ta có m   ;1 .
2

2 
m+2
 1
+) Với m   0;  ta có (*)  x 
.
2m − 1
 2
m+2 


 1
Suy ra S =  −;
 . Suy ra khơng có giá trị của m   0;  để S  ( 3; + ) .
2m − 1 
 2

1
5
+) Với m = ta có (*)  0 x  . Suy ra (*) có tập nghiệm là S =  .
2
2
1
Ta có   ( 3; +  ) nên chọn m = .
2
1 
Vậy m   ;1 thoả mãn yêu cầu bài toán.
2 
Câu 10. Tập hợp gồm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x 2 − ( 5m − 5 ) x + 6m 2 − 10m  0
nghiệm đúng x   −1;1 là ( −; a   b; +  ) , với a  b , a, b  . Lúc đó giá trị nhỏ nhất của

P = 3t − 4t 2 , t   a; b  là.
A. −10 .
Trang 10

B. −13 .

5
C. − .
2

D.

9
.
16


Lời giải
Xét bất phương trình: x − ( 5m − 5 ) x + 6m − 10m  0, (1) .
2

2

2
2
Phương trình x − ( 5m − 5 ) x + 6m − 10m = 0 có 2 nghiệm x = 2m , x = 3m − 5 .

+) TH1: 2m = 3m − 5  m = 5 , lúc đó (1) đúng x  , nên ta nhận m = 5 .
+) TH2: 2m  3m − 5  m  5 .
2
2
Ta có x − ( 5m − 5 ) x + 6m − 10m  0, x   −1;1
2  m
1  3m − 5

.

m  − 1
2

m

−
1


2
1

So với điều kiện m  5 , ta có m   −; −    2;5 ) .
2

+) TH3: 2m  3m − 5  5  m .
2
2
Ta có x − ( 5m − 5 ) x + 6m − 10m  0, x   −1;1
1
2  m
1  2m

.

3m − 5  −1  m  4

3
So với điều kiện 5  m , ta có 5  m .

1
1


+) Kết hợp các trường hợp, ta được m   −; −    2; +  ) . Suy ra a = − , b = 2 .
2
2

 1 
+) Xét P = 3t − 4t 2 , t   − ; 2  .
 2 
Ta có bảng biến thiên của P

Vậy min P = −10 , khi t = 2 .
 1 
 − 2 ;2



Câu 11. Tìm m để mọi x   0; + ) đều là nghiệm của bất phương trình ( m2 − 1) x 2 − 8mx + 9 − m2  0
A. m  .

(m

2

B. m   −3; −1 .

− 1) x − 8mx + 9 − m  0 (1)
2

C. m  ( −3; −1) .

D. m  −3; −1 .

Lời giải

2

m = 1
+) m2 − 1 = 0  
 m = −1
Với m = 1 bất phương trình (1) có dạng −8 x + 8  0  x  1 . Do đó m = 1 khơng thoả mãn.
Với m = −1 bất phương trình (1) có dạng 8 x + 8  0  x  −1 . Do đó m = −1 là một giá trị cần tìm.
+) m 2 − 1  0  m  1 . Khi đó vế trái là tam thức bậc hai có  = m 4 + 6m 2 + 9  0 m nên
tam thức luôn có 2 nghiệm x1  x2 .

Trang 11


Suy ra mọi x   0; + ) đều là nghiệm của bất phương trình ( m2 − 1) x 2 − 8mx + 9 − m2  0 khi và chỉ

m  1


m2 − 1  0
  m  −1

m2 − 1  0
8m

 0  m  1
khi 
  x1 + x2 = 2

 0  
 −3  m  − 1 .
m

−
1
m
−
1
x

x

0

2
 1



  −3  m  −1
9 − m2
0
 x1 x2 = 2

m −1

 1  m  3
Từ đó suy ra m   −3; −1 .

Câu 12. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để bất phương trình ( 4m2 + 2m + 1) x − 5m  3mx − m − 1
có tập nghiệm là  −1; + ) . Tính tổng tất cả các phần tử của S .
A.

9
.
4

B.

3
C. − .
4

3
.
4

9
D. − .
4

Lời giải
Chọn C
( 4m2 + 2m + 1) x − 5m  3mx − m − 1  ( 4m2 − m + 1) x  4m − 1
 x

4m − 1
( do 4m2 − 12m + 1  0, x  R )
4m 2 − m + 1

 m=0
4m − 1
Khi đó, bất phương trình có tập nghiệm là  −1; + ) 
.
= −1  
m = − 3
4m 2 − m + 1

4

3
3

Vậy S = 0; −  , nên tổng các phần tử của S bằng − .
4
4

2 x2 − 2 6 x + 1
Câu 13. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên nhỏ hơn 20 của tham số m để bất phương trình
m
x2 + 1
nghiệm đúng với mọi x  ?
A. 15 .
B. 16 .
C. 17
D. 18 .

Lời giải
Chọn B

2 x2 − 2 6 x + 1
Ta có
 m  2 x 2 − 2 6 x + 1  ( x 2 + 1) m  f ( x) = ( 2 − m ) x 2 − 2 6 x + 1 − m  0
x2 + 1
- Xét m = 2 : f ( x) = −2 6 x − 1  0  x  −

1
2 6

. Không thoả mãn.

2 − m  0
- Xét m  2 : Yêu cầu bài toán  f ( x)  0, x  R  
 ' = 6 − (2 − m)(1 − m)  0

 m2

  m  4  m  4
  m  −1

Vì m nguyên và nhỏ hơn 20 , nên m  4,5, 6,...,19 . Vậy có 16 giá trị m .
Trang 12


Câu 14. Cho f ( x ) = x 2 − ( m2 + m + 1) x + m3 + m2 với m là tham số thực. biết rằng có đúng hai giá trị m1 , m2
để f ( x ) không âm với mọi giá trị của x . Tính tổng m1 + m2 .
A. 1 .
B. −1 .
C. 2

D. −2 .

Lời giải
Chọn A
f ( x )  0,x 
a  0

  0

 ( m 2 + m + 1) − 4 ( m3 + m 2 )  0
2

 m 4 + 2m 2 ( m + 1) + ( m + 1) − 4m 2 ( m + 1)  0
2

 m 4 − 2m 2 ( m + 1) + ( m + 1)  0
2

 ( m 2 − m − 1)  0
2

 m2 − m − 1 = 0 .

Theo Viet ta có m1 + m2 = 1 .
Câu 15. Số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bất phương trình mx 2 − ( 4m + 3) x + ( m − 8 )  0 nghiệm
đúng với x 
A. 3 .

là?
B. 0 .

Đặt f ( x ) = mx 2 − ( 4m + 3) x + ( m − 8 )
Trường hợp 1:

m = 0  f ( x ) = −3x − 8  0  x 

D. 4 .

C. 2 .
Lời giải

−8
(không thỏa mãn x 
3

), suy ra m = 0 loại

Trường hợp 2:
m  0  f ( x )  0 x 

m  0
a  0


2
  0
( 4m + 3) − 4m ( m − 8 )  0

m  0
m  0

−9
−1


  −9
m
−1 
2
2
6
12m + 56m + 9  0
 2  m  6
Do m nguyên nên m  −4; −3; −2; −1 . Vậy tìm được 4 giá trị nguyên của tham số m .

Câu 16. Cho biếu thức f ( x) = x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 3 . Tìm điều kiện của tham số m để f ( x)  0 thỏa mãn
với mọi x   −1; 2 .
A. m  2

B. m  1

C. m  1
Lời giải

D. m  2

Chọn C
f ( x) = x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 3
Xét
biểu
thức

là
tam
thức
bậc
2
2
  = (m − 1) − (2m − 3) = (m − 2)  0 m
Nếu   = 0  m = 2  f ( x)  0 với mọi x   m = 2 không thỏa mãn bài tốn.

2

có

Trang 13


Nếu m  2     0  tam thức có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1  x2 ) khi đó ta có

 x1 + x2 = 2m − 2

 x1 x2 = 2m − 3

và f ( x)  0  x   x1 ; x2   f ( x)  0 x   −1; 2   −1; 2   x1; x2 

( x1 + 1)( x2 + 1)  0
 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 1  0
 x1  −1  2  x2  

( x1 − 2)( x2 − 2)  0
 x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4  0

m  1
2m − 3 + (2m − 2) + 1  0


5  m 1

2m − 3 + 2(2m − 3) + 4  0
m  3

m  1
Vậy 
thỏa mãn bài toán.
m  2
Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc

 −10;10

để bất phương trình

x3 − x 2 + ( m − 2 ) x + m  0 nghiệm đúng với mọi x  0 ?

A. 7 .

B. 8 .

C. 9 .
Lời giải

D. 10 .

Chọn D
Ta có x3 − x 2 + ( m − 2 ) x + m  0  x3 − x 2 − 2 x + m ( x + 1)  0

(

)

 ( x + 1) ( x 2 − 2 x ) + m ( x + 1)  0  ( x + 1) ( x 2 − 2 x + m )  0 .

Với x  0 thì x + 1  0 , khi đó ( x + 1) ( x 2 − 2 x + m )  0 với mọi x  0  x 2 − 2 x + m  0 với mọi
x  0  m  − x 2 + 2 x với mọi x  0 .
Đặt f ( x ) = − x 2 + 2 x . Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) trên ( 0; +  )

Trên ( 0; +  ) thì max f ( x ) = 1 khi x = 1.
Suy ra: x3 − x 2 + ( m − 2 ) x + m  0 đúng với mọi x  0 khi m  max f ( x ) trên ( 0; +  ) hay m  1 .
Kết hợp với điều kiện m là số nguyên và m   −10;10 nên m  1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 .
Vậy có tất cả 10 giá trị của tham số m thỏa yêu cầu bài toán.
x2 + 5x + m
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để với mọi x  ta có −1  2
 7.
2 x − 3x + 2
5
5
5
A. −  m  1 .
B. 1  m  .
C. m  − .
D. m  1 .
3
3

3
Lời giải
Chọn A
2

3 7

Vì 2 x − 3x + 2 = 2  x −  +  0 , x  , nên
4 8

2

−1( 2 x 2 − 3 x + 2 )  x 2 + 5 x + m
13x 2 − 26 x + 14 − m  0 (1)
x2 + 5x + m

−1  2
7 
 2
.
2
2
2 x − 3x + 2
3
x
+
2
x
+
m

+
2

0
2
(
)
x
+
5
x
+
m

7
2
x
−
3
x
+
2
(
) 


Trang 14


Tập nghiệm của bất phương trình −1 

nghiệm là

x2 + 5x + m
 7 là
2 x 2 − 3x + 2

khi và chỉ khi (1) và ( 2 ) cùng có tập

.

Tập nghiệm của (1) là
khi và chỉ khi tam thức bậc hai 13 x 2 − 26 x + 14 − m có biệt thức thu gọn
 = 13(−13 + 13m)  0  m  1 (3).
Tập nghiệm của ( 2 ) là

khi và chỉ khi tam thức bậc hai 3 x 2 + 2 x + m + 2 có biệt thức thu gọn

 = −5 − 3m  0  m  −

5
(4).
3

5
Kết hợp (3) và (4), ta có −  m  1 .
3
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc  −10;10 của m để bất phương trình mx 2 − 4 x + m  0 vô

nghiệm?
A. 9 .

B. 10 .

D. 11 .

C. 8 .
Lời giải

Chọn A
Ta có mx 2 − 4 x + m  0 vô nghiệm  mx 2 − 4 x + m  0 , x 

. (I )

Trường hợp : m = 0 , bất phương trình ( I ) thành −4 x  0  x  0  m = 0 không thỏa yêu cầu
bài toán.

m  0
 m0


 m 2.
2
   0
4 − m  0
Mà m nguyên và m   −10;10 nên m  2;3; 4;5;6;7;8;9;10 .
Trường hợp : m  0 , mx 2 − 4 x + m  0 , x 

Vậy có 9 giá trị của m thỏa u cầu bài tốn.
Câu 20. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để bất phương trình 3x 2 − 2 ( m + 1) x − ( 2m2 − 3m + 2 )  0 nghiệm
đúng với mọi x trên khoảng ( 2; +  ) .

A. 1 .

B. 2 .

D. 4 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn D
Đặt f ( x ) = 3x 2 − 2 ( m + 1) x − ( 2m2 − 3m + 2 ) . Ta có f ( x ) là tam thức bậc hai với a = 3  0 và
 ' = ( m + 1) + 3 ( 2m2 − 3m + 2 ) = 7m2 − 7m + 7  0 với mọi m 
2

.

Do đó phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 ).
Ta có f ( x )  0, x  ( 2; +  )  x1  x2  2  x1 − 2  x2 − 2  0

 2 ( m + 1)
4

( x1 − 2 ) + ( x2 − 2 )  0
 x1 + x2  4
3




2

x
x
−
2
x
+
x
+
4

0
(
)
( x1 − 2 )( x2 − 2 )  0
2 ( m + 1)
1
2
1
2

 − ( 2m − 3m + 2 )
−
2.
+40

3
3

m  5
3

 m5



3  −2  m  .
2
2
 − 2m − m + 6  0
 − 2  m  2

Vì m nguyên nên m  −2, − 1,0,1 .
Câu 21. Tìm m để bất phương trình (m − 1) x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 3  0 đúng với x 
A. m  ( −;1 .
B. m  ( −;1) .

.

C. m  ( −;1   2; + ) .D. m  ( −;1)  ( 2; + ) .
Lời giải
Xét (m − 1) x − 2(m − 1) x + 2m − 3  0 (1)
2

Trang 15


TH1: m = 1
2
Thay vào (1) ta được 0 x − 0 x − 1  0 đúng với x 
 m = 1 (nhận)
TH 2: m  1

.

m  2
 '  0 ( m − 1)( 2 − m )  0


(1) nghiệm đúng với x   
   m  1  m  1 .
m  1
m  1
m  1

Vậy m  1 thì thỏa u cầu bài tốn.
Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên m   −2020;2021 để bất phương trình mx 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3  0
vô nghiệm
A. 2018.
B. 2019.
C. 2020.
D. 2017.
Lời giải

Trường hợp 1: m = 0 ta có bất phương trình trở thành 4 x − 3  0  x 

3
(không thỏa mãn)
4

Trường hợp 2: m  0
Bất phương trình vơ nghiệm khi và chỉ khi mx 2 − 2 ( m − 2 ) x + m − 3  0, x 

m  0
a  0
m  0



m4
2
   0
m  4
( m − 2 ) − m ( m − 3)  0
m 
u cầu bài tốn  
nên có 2017 số.
5  m  2021
Câu 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để biểu thức
A. 19 .

B. 20 .

(

C. 3 .
Lời giải

)

− x2 + 4x − 5
 0 với mọi x 

x 2 + 2mx + 4
D. 5 .

Ta thấy − x 2 + 4 x − 5 = − x 2 − 4 x + 4 − 1 = − ( x − 2 ) − 1  0, x 
2

nên biểu thức

?

− x2 + 4x − 5
0
x 2 + 2mx + 4

với mọi x   x 2 + 2mx + 4  0, x    = m2 − 4  0  −2  m  2
Mà m  nên m  −1;0;1 . Vậy có 3 số nguyên m thỏa mãn đề bài.

(

)

Câu 24. Cho biểu thức f ( x ) = 3x 2 − 6 ( m + 1) x + 3 m 2 + 2m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m   −20; 21 để f ( x)  0 với mọi x trên khoảng ( −2;0 ) và ( 2;3) ?

B. 3 .

A. 37 .

C. 38 .
Lời giải

D. 36 .

x = m
2
2
Xét f ( x ) = 0  3x − 6 ( m + 1) x + 3 m + 2m = 0  3 ( x − m )( x − m − 2 ) = 0  
.
x = m + 2
Ta có bảng xét dấu của biểu thức f ( x )

(

Để
biểu

)

m+2
.m
0 +
+
thức f ( x)  0 với mọi x trên khoảng ( −2;0 ) và ( 2;3) ta có các trường hợp sau:
x
f ( x)

+

( −2;0 )  ( − ; m )
 3  m mà m   −20; 21 khi đó ta có 19 giá trị nguyên của m thỏa

TH1: 
( 2;3)  ( − ; m )
mãn đề bài.
( −2;0 )  ( m + 2; + )
 m + 2  −2  m  −4 mà m   −20; 21 khi đó ta có 17 giá trị
TH2: 
( 2;3)  ( m + 2; + )
nguyên của m thỏa mãn đề bài.
Trang 16


( −2;0 )  ( − ; m )
0  m
0  m
TH3: 


 m = 0 . Khi đó ta có 1 giá trị nguyên của m
m + 2  2
m  0
( 2;3)  ( m + 2; + )
thỏa mãn đề bài.
Vậy ta có 37 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m đê bất phương trình −1 
với mọi x  R .
A. 1 .

B. 2 .

Do 2 x 2 − 3x + 2  0 x 

x2 + 5x + m
 7 nghiệm đúng
2 x 2 − 3x + 2
D. 4 .

C. 3 .
Lời giải

nên

x + 5x + m
7
2 x 2 − 3x + 2
 −2 x 2 + 3 x − 2  x 2 + 5 x + m  7 ( 2 x 2 − 3 x + 2 )

−1 

2

 −3 x 2 − 2 x − 2  m  13x 2 − 26 x + 14
Đặt f ( x ) = −3x 2 − 2 x − 2 và g ( x ) = 13x 2 − 26 x + 14
Khi đó u cầu bài tốn thỏa khi m lớn hơn hoặc bằng giá trị lớn nhất của f ( x ) = −3x 2 − 2 x − 2
và nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của g ( x ) = 13x 2 − 26 x + 14 với mọi x 

.


5
 1

5
m  f  −  = −
3  −  m  1.

 3
3
m  g (1) = 1


Câu 26. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số f ( x ) = ( m − 2 ) x 2 − ( m2 − 2m ) x − m 2
nhận giá trị âm với mọi số thực x . Trung bình cộng các phần tử của S là
1
1
2
A. .
B. 0 .
C. .
D. .
3
2
3
Lời giải
Trường hợp 1: m − 2 = 0  m = 2 . Khi đó f ( x ) = −4  0 với mọi x  . (1)
Trường hợp 2: m − 2  0  m  2 .
Khi đó f ( x )  0 với mọi x 


m − 2  0
m  2


 2
2
2
  0

( m − 2m ) + 4m ( m − 2 )  0

m  2
m  2
m  2
m  2
 2

 4
 4
 m − 4  0  −2  m  2
3
2
3
2
2
m − 4m + 4m + 4m − 8m  0
 m − 4m  0
m  0
m  0


 −2  m  2; m  0

Do m   m  1 . ( 2 )

Từ (1) và ( 2 )  S = 1; 2 .
2
.
3
Câu 27. Gọi S là tập các giá trị của tham số m để bất phương trình x 2 − 4mx − 7m − 7  0 có tập nghiệm
là  a; b  sao cho b − a = 6 . Khi đó tích các giá trị m là:

Trung bình cộng các phần tử của S là

A.

1
.
2

B. −

1
.
2

C.

3
.
2

D. −

3

.
2

Lời giải
Chọn B
2
Ta có: x 2 − 4mx − 7m − 7  0  ( x − 2m )  4m2 + 7m + 7



x − 2m  4m 2 + 7 m + 7  2 m − 4 m 2 + 7 m + 7  x  2 m + 4 m 2 + 7 m + 7
Trang 17


 Tập nghiệm của bất phương trình là:  2m − 4m2 + 7m + 7; 2m + 4m2 + 7m + 7 




Theo đề ta có:

b − a = 6  2 4m 2 + 7 m + 7 = 6



 m = −2
4m + 7 m + 7 = 3  4m + 7 m − 2 = 0  
m=1

4

2

2

Vậy tích các giá trị

m là:

−2.

1
1
=−
4
2

Câu 28. Tìm m để bất phương trình (m − 1) x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 3  0 nghiệm đúng với x 
A. m  ( −;1 .

.

B. m  ( −;1) .

C. m  ( −;1   2; + ) .

D. m  ( −;1)  ( 2; + ) .
Lời giải

Chọn A
Ta có: (m − 1) x 2 − 2(m − 1) x + 2m − 3  0 (1)

TH1: m = 1 (1)  −1  0 (Đúng)
Suy ra m = 1 nhận
TH 2: m  1

(1) nghiệm đúng với x 

 '  0 ( m − 1)( 2 − m )  0


m

1
m  1


m  2

   m  1  m  1
m  1

Vậy m  1 thì thỏa đề.
Câu 29. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình mx 2 − 4 ( m − 1) x + m − 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt

x1 ; x2 thỏa

x12 + x22 + x1 + x2 − 8  0

8

A. m  ( −;1)   ; +  .

5

C. m 

8

B. m  ( −;0 )  ( 0;1)   ; +  .
5


 8
D. m  1;  .
 5

.

Lời giải
Chọn B
mx 2 − 4 ( m − 1) x + m − 5 = 0
Ta có:
(1)
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì:
m  0
m  0
 2
m0

3
m
−

3
m
+
4

0,

m
 '  0

4 ( m − 1)

 S =
m

P = m − 5
m
Theo định lý Vi-et ta có: 

x12 + x22 + x1 + x2 − 8  0  ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + x1 + x2 − 8  0
2

16 ( m − 1) 2 ( m − 5 ) 4 ( m − 1)
10m2 − 26m + 16

−
+
−
8


0

 0 (vì m  0 )
m2
m
m
m2
2

Trang 18


8

m

 10m − 26m + 16  0 
5

m  1
Kết hợp điều kiện m  0
2

8

m  ( −;0 )  ( 0;1)   ; + 
5
 thì thỏa đề.
Ta có
2

2
Câu 30. Cho bất phương trình ( m − 4 ) x + ( m − 2 ) x + 1  0 . Tập tất cả các giá trị của tham số m làm cho
bất phương trình vơ nghiệm có dạng ( −; a   b; +  ) . Tính giá trị của a.b .
A. −

20
.
3

B. 4 .

C. −4 .

D.

20
.
3

Lời giải
Chọn A
Xét bất phương trình ( m2 − 4 ) x 2 + ( m − 2 ) x + 1  0 (1)

m = 2
Trường hợp 1: m 2 − 4 = 0  
 m = −2
Với m = 2 thì (1)  1  0 : vô nghiệm. Vậy m = 2 thỏa mãn.
Với m = −2 thì (1)  −4 x + 1  0  x 

1

. Vậy m = −2 không thỏa mãn.
4

Trường hợp 2: m  2
Bất phương trình (1) vơ nghiệm  ( m2 − 4 ) x 2 + ( m − 2 ) x + 1  0 x  R

m  2

10

  m  −2
a = m2 − 4  0
m−


 
3
2
10  
2

=
m
−
2
−
4
m
−
4


0
m

−
(
)
(
)


m

2

3

  m  2

10 
20

Từ hai trường hợp trên ta có m   −; −    2; +  ) . Vậy a.b = − .
3
3

x2 + 5x + m
Câu 31. Xác định m để với mọi x ta có −1  2
7.
2 x − 3x + 2

5
5
5
A. −  m  1 .
B. 1  m  .
C. m  − .
D. m  1 .
3
3
3
Lời giải
Chọn A
x 2 + 5x + m
 7 có tập nghiệm là
Ta có: −1  2
khi hệ sau có tập nghiệm là
2 x − 3x + 2
2 x 2 − 3x + 2  0 x  )

(do

2
−1( 2 x 2 − 3 x + 2 )  x 2 + 5 x + m
13x − 26 x + 14 − m  0 (1)

 2
có tập nghiệm là
 2
2
3

x
+
2
x
+
m
+
2

0
2
(
)
x
+
5
x
+
m

7
2
x
−
3
x
+
2
(
) 


Ta có (1) có tập nghiệm là khi  '  0  −13 + 13m  0  m  1 (3)

( 2)

có tập nghiệm là

khi  '  0  −5 − 3m  0  m  −

5
(4)
3
Trang 19


5
Từ (3) và (4), ta có −  m  1 .
3
Câu 32. Cho S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho bất phương trình
( m + 1) x 2 + ( 4m + 2 ) x + 4m + 4  1 có tập nghiệm là R. Tính số phần tử của tập hợp S .
mx 2 + 2 ( m + 1) x + m
A. 1.
B. 0.
C. 10.
D. vô số.
Lời giải
Chọn A
Nhận thấy, bất phương cho có tập nghiệm là R thì phải có tập xác định là R, tức là phương trình
mx 2 + 2 ( m + 1) x + m = 0 (1) vô nghiệm
* Xét m = 0 : không thỏa mãn (1) vô nghiệm.

* Xét m  0 : (1) vô nghiệm   '(1) = 2m + 1  0  m  −
Khi

đó

mx 2 + 2 ( m + 1) x + m  0, x ,

1
( 2)
2
nên

bất

phương

cho

 ( m + 1) x 2 + ( 4m + 2 ) x + 4m + 4  mx 2 + 2 ( m + 1) x + m  x 2 + 2mx + 3m + 4  0

Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm là R   '(3)

( 3)
= m2 − 3m − 4  0  m   −1; 4 .

1

Đối chiếu với ( 2 ) ta được m   −1; −  . Vậy S = −1 .
2


Suy ra số phần tử của tập hợp S là 1.
Dạng 2. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
x2 + m
Câu 33. Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 2
 2 nghiệm đúng với mọi giá trị
x + 2x + 2
thực của x là
A. 7 .
B. Vô số.
C. 3 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện x 2 + 2 x + 2  0  x   D = .
x2 + m
x2 + m
 2
 2 (1)  −2  2
2
x + 2x + 2
x + 2x + 2
Ta có x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1) + 1  1; x 
2

 x 2 + m  −2 ( x 2 + 2 x + 2 )
3 x 2 + 4 x + m + 4  0 ( 2 )
x2 + m


nên −2  2

.
2
 2
2
2
x + 2x + 2
− x − 4 x + m − 4  0 ( 3)
x
+
m

2
x
+
2
x
+
2

(
)



Để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x  bất phương trình ( 2 ) , ( 3)

nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x .
1' = 4 − 3 ( m + 4 )  0 m  − 8

3.

 '
 2 = 4 + ( m − 4 )  0
m  0
 Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn đề bài là m = −2; m = −1; m = 0 .
2
2
Câu 34. Cho bất phương trình x − 6 x + 2 ( m + 2 ) x − 3 + m + 4m + 12  0 (1) . Có bao nhiêu giá trị nguyên

của m thuộc đoạn  −10;10 để bất phương trình (1) đúng với mọi x  ( −2 ; 5 ) .
A. 12 .
Đặt x − 3 = t .
Trang 20

B. 13 .

C. 14 .
Lời giải

D. 15 .


Theo bài −2  x  5  −5  x − 3  2 . Suy ra 0  x − 3  5 tức t   0; 5 ) .
Khi

đó,

x 2 − 6 x + 2 ( m + 2 ) x − 3 + m 2 + 4m + 12  0

đúng

với

mọi

x  ( −2 ; 5 )



t 2 + 2 ( m + 2 ) t + m 2 + 4m + 3  0 đúng với mọi t   0; 5 ) .
2
2
Đặt f ( t ) = t + 2 ( m + 2 ) t + m + 4m + 3 = ( t + m + 1)( t + m + 3) .

Bảng xét dấu:

0  −m − 1  m  −1
2
2

Khi đó, t + 2 ( m + 2 ) t + m + 4m + 3  0 đúng với mọi t   0; 5 )  
.
5  −m − 3  m  −8
Vì m nguyên thuộc đoạn  −10;10 nên m  −10; −9; −8;0;1;2...;10 .
Vậy số giá trị nguyên của m là 14 .
Câu 35. Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
thực của x là
A. 7 .

B. Vô số.

Do x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1) + 1  0, x 
2

x2 + m
 2 nghiệm đúng với mọi giá trị
x2 + x + 2

C. 3 .
D. 5 .
Lời giải
x2 + m
nên 2
 2  x2 + m  2 ( x2 + x + 2)
x +x+2

 x 2 + m  2 ( x 2 + x + 2 )
 x 2 + 2 x + 4 − m  0 (1)


 2
2
2
3x + 2 x + 4 + m  0 ( 2 )
−2 ( x + x + 2 )  x + m
Ycbt  tìm m để bất phương trình (1) , ( 2 ) nghiệm đúng với mọi x

 (1)  0

 ( 2)  0

m  3
1 − 4 + m  0
11



11 .  −  m  3 Vì m nên chọn m−3; −2;..., 3
3
1 − 12 − 3m  0
m  − 3
Vậy có 7 giá trị m thỏa mãn đề bài.
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   −2020; 2020 để bất phương trình
1
1
 − x 2 + 2 x + − m luôn đúng với mọi x .
2
2
A. 2020 .
B. 2018 .
C. 4038
D. 4039 .
Lời giải
Chọn C
1
1

4 x − 2m −  − x 2 + 2 x + − m

1
1

2
2
BPT 4 x − 2m −  − x 2 + 2 x + − m  
2
2
 4 x − 2m − 1  x 2 − 2 x − 1 + m

2
2
4 x − 2m −

Trang 21


m  x2 + 2 x − 1
 x2 + 2x − m −1  0

 2
m  − 1 x2 + 2 x
 x − 6 x + 3m  0

3
m  x2 + 2 x − 1
Ta cần tìm giá trị của tham số m sao cho 
với mọi x .
m  − 1 x2 + 2 x

3
1
2

Vẽ đồ thị các hàm số y = x + 2 x − 1 và y = − x 2 + 2 x trên cùng một hệ trục tọa độ.
3

1
1
hoặc m  − 3 − thỏa mãn ycbt.
4
4
Mặt khác: m   −2020; 2020 , m  . Do đó m  −2020;...; −2; 2;...; 2020 .
Vậy có tất cả 4038 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn ycbt.
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn  −2021; 2021 để bất phương trình:
Dựa vào đồ thị ta tìm được m  3 −

x 2 + 4 x  a ( x + 2 + 1) có nghiệm.

C. 2025 .
D. 2018 .
Lời giải
2
Đặt t = x + 2 , điều kiện: t  0 . Dễ thấy: t = x 2 + 4 x + 4 nên t 2 − 4 = x 2 + 4 x . Bất phương trình đã
B. 2026 .

A. 4043 .

cho trở thành: t 2 − 4  a ( t + 1)  t 2 − at − a − 4  0

(1)

Đặt f ( t ) = t − at − a − 4.
2

Để bất phương trình x 2 + 4 x  a ( x + 2 + 1) có nghiệm thì bất phương trình (1) phải có ít nhất một
nghiệm t  0. Ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Phương trình f ( t ) = 0 có một nghiệm t = 0 . Khi đó: −a − 4 = 0  a = −4 .
Trường hợp 2: Phương trình f ( t ) = 0 có hai nghiệm trái dấu. Khi đó: −a − 4  0  a  −4 .
Trường hợp 3: Phương trình f ( t ) = 0 có hai nghiệm dương. Khi đó:
a 2 + 4a + 16  0
  0


 a  .
 S  0  a  0
P  0
−a − 4  0



Vậy để bất phương trình đã cho có nghiệm thì a  −4 nên có 2026 giá trị nguyên của a thỏa mãn
yêu cầu bài toán.
Câu 38. Cho bất phương trình x 2 + 4 x + x + 2 − m  0 . Xác định m để bất phương trình có nghiệm.
A. −
Trang 22

17
 m  −4 .
4

B. m  −4 .

C. m  −

17
.
4

D. m  −4 .


Lời giải
Chọn D
Đặt t = x + 2  t  0 .
Khi đó bất phương trình x 2 + 4 x + x + 2 − m  0 trở thành t 2 + t − 4  m .
u cầu bài tốn tương đương với tìm m để bất phương trình t 2 + t − 4  m có nghiệm t  0 .
Xét hàm số f ( t ) = t 2 + t − 4, t   0; +  ) . Ta tìm được min f ( t ) = −4 .
0; + )

Vậy để bất phương trình t + t − 4  m có nghiệm t  0 thì m  −4 .
Câu 39. Tìm tập giá trị của biểu thức x − a biết rằng 2 x + 4 − 2a + x − 2 + a  3.
2

 −1 3 
A.  ;  .
 2 2

 −1 3 
B.  ;  .
 2 2

 −7 −1 
D.  ;  .

 2 2 

 −7 −1 
C.  ;  .
2 2
Lời giải

Chọn C
Đặt y = x − a , bất phương trình đã cho trở thành
2 y + 4  3 − y + 2a − 2
2 y + 4 + y + 2a − 2  3  
2 y + 4  −3 + y + 2a − 2
 −7 + y + 2a − 2  2 y  −1 − y + 2a − 2
−7 1
−1 1
+ y + 2a − 2  y 
− y + 2a − 2
2 2
2 2
 −7 −1 
Suy ra y   ;  .
2 2
−7
−7
11
+ 2a − 2 = 0  a = .
+ y=
khi và chỉ khi
2
2

4
−1
−1
5
+ 2a − 2 = 0  a = .
+ y=
khi và chỉ khi
2
2
4
−
7
−
1


Vậy tập giá trị của x − a là đoạn  ;  .
2 2
2
Câu 40. Cho hàm số y = x + 2 x + 3 + x − a + 1 , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a   −10;10 sao


cho giá trị nhỏ nhất của hàm số lớn hơn 2?
A. 20.
B. 21.

D. 11.

C. 12.
Lời giải

Chọn A
Tập xác định: D =
Để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + 2 x + 3 + x − a + 1 lớn hơn 2  Tìm a để bất phương trình:
x 2 + 2 x + 3 + x − a + 1  2 , x 

 x − a + 1  − x 2 − 2 x − 1 , x 

 x − a + 1  − x2 − 2 x − 1
 
, x 
2
− x + a − 1  − x − 2 x − 1

 x 2 + 3x + 2  a
  2
, x 
 x + x  −a

( x 2 + 3 x + 2 )  a
min
 2
( x + x )  − a

min

1
1



a  − 4
a  − 4


.
 −a  − 1
a  1


4
4
Các giá trị nguyên a   −10;10 là: a  −10; −9; −8;.... − 1;1; 2;....;10 , vậy có 20 giá trị cần tìm.

Dạng 3. Bất phương trình chứa căn
Câu 41. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai bất phương trình 2

x − 1 + 4 − 4 x − 1 + 4  2 và

x − x − m + m  0 tương đương.
A. m  0 .
B. m = 1 .
2

2

Trang 23


C. m  1 .

D. Khơng có giá trị m thỏa.
Lời giải

Xét bất phương trình 2

x − 1 + 4 − 4 x − 1 + 4  2 (1) ta có tập xác định 1; + ) .

Khi đó (1) tương đương với 2

x −1 + 1  2 

x −1 + 4 − 2

 x −1 + 4  1+ 2 x −1 + 1 + x −1 + 1  1 
Tập nghiệm của bất phương trình (1) là 1 .

x −1 + 4  1+

x −1 + 1 .

x −1 + 1  1  x −1 + 1  x = 1 .

Xét bất phương trình x 2 − x − m 2 + m  0  x 2 − x + m (1 − m )  0 (2)
Ta có vế trái của (2) có hai nghiệm x = m , x = 1 − m .
Để hai bất phương trình 2

x −1 + 4 − 4 x −1 + 4  2

(1)

và x 2 − x − m 2 + m  0

( 2)

tương

đương thì m = 1 − m = 1 (vơ lý).
Vậy khơng có giá trị m thỏa u cầu bài tốn.
Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình mx 2 + 5 x + 2  − x 2 + 3x − 2 có nghiệm.
A. −7  m  −3 .
B. m  −7 .
C. m  −3 .
D. m  −7 .
Lời giải
2

− x + 3x − 2  0
1  x  2
mx 2 + 5 x + 2  − x 2 + 3x − 2   2

2
2
mx + 5 x + 2  − x + 3x − 2 ( m + 1) x  −2 x − 4

 1 x  2
 1 x  2



−2 4  

4 2 (*).
m + 1  x − x 2
m  − x 2 − x − 1
1

 t 1
1

1 
Đặt t = vì x  1; 2 nên t   ;1 . Ta có (*) trở thành: 
.
2
x
2 
m  −4t 2 − 2t − 1
1 
Xét hàm số f ( t ) = −4t 2 − 2t − 1 , t   ;1 .
2 
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán thỏa mãn m  −7 .
Câu 43. Cho bất phương trình x 2 − 4 x + − x 2 + 4 x − 3 + m − 1  0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m khơng
vượt q 2021 để bất phương trình nghiệm đúng với x  1;  .
A. 2020 .

C. 2017 .
Lời giải

B. 2019 .

D. 2018 .

Chọn D
Điều kiện − x 2 + 4 x − 3  0  x  1;
Đặt t = − x 2 + 4 x − 3

.

( 0  t  1) suy ra x 2 − 4 x = −3 − t 2 .

Ta có bất phương trình −3 − t 2 + t + m − 1  0  m  t 2 − t + 4 (*) .
Xét f ( t ) = t 2 − t + 4 trên  0;1
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng x  1;
t   0;1  m  4 .
Trang 24

 thì bất phương trình (*)

nghiệm đúng với mọi


m 
Kết hợp đk bài tốn 
ta có m  4;5;...; 2021 có 2018 giá trị.
m  2021
Câu 44. Có bao nhiêu số nguyên m  1; 20 sao cho bất phương trình ( x + 6 )( 2 − x )  x 2 + 4 x + m + 2
nghiệm đúng với mọi x   −6; 2 .
B. 16 .

A. 15 .

D. 11 .

C. 14 .
Lời giải

Chọn A
 Điều kiện ( x + 6 )( 2 − x )  0  −6  x  2 .


( x + 6 )( 2 − x )  x 2 + 4 x + m + 2
 − x 2 − 4 x + 12  x 2 + 4 x − 12 + m + 14

 Đặt t = − x 2 − 4 x + 12; t   0; 4 .
 Bất phương trình trở thành: t  −t 2 + m + 14  t 2 + t − 14  m
 Xét hàm số f ( t ) = t 2 + t − 14 trên  0; + ) .
Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra m  6 .
 Số giá trị nguyên m  1; 20 là 15 .
Câu 45. Tìm các giá trị của m đề hàm số y =
A. m = 0 .

B. m  1 .

2 x 2 − 2 ( m + 1) x + m2 + 1
xác định trên .
m2 x 2 − 2mx + m2 + 2
C. m  ( −;0 ) .
D. m  .

Lời giải

Chọn D

 2 x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 1
0

Điều kiện xác định của hàm số:  m 2 x 2 − 2mx + m 2 + 2
.
 m 2 x 2 − 2mx + m 2 + 2  0

*

Xét

tam

thức

bậc

hai

f ( x ) = 2 x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 1 .

Ta

có

f = ( m + 1) − 2 ( m2 + 1) = − ( m − 1)  0 và hệ số a = 2  0 . Suy ra với mọi m ta ln có

2

2

f ( x ) = 2 x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 1  0, x 

. (1)

* Xét biểu thức g ( x ) = m x − 2mx + m + 2 .
2

2

Nếu m = 0 thì g ( x ) = 2  0, x 
Nếu

m0

thì

2

.

g ( x ) = m 2 x 2 − 2mx + m 2 + 2

là

tam

thức

bậc

hai.

Khi

đó

g = m2 − m2 ( m2 + 2 ) = −m2 ( m2 + 1)  0 và hệ số a = m 2  0 .
Trang 25