TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 12 HỌC KỲ I NĂM HỌC 2022 2023

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY


TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 12

Họ tên HS: …………….………….
Lớp:

………………..………

Tài liệu lưu hành nội bộ

1


MỤC LỤC
CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ............................. 3
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 3
BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ....................................................................................... 6
BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ..................... 9
BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ ................................................................... 10
BÀI 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ...................... 11
BÀI 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ ..................... 13

CHƯƠNG II : HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT ..... 20
BÀI 1: LUỸ THỪA .......................................................................................................... 20
BÀI 2: LOGARIT.............................................................................................................. 22
BÀI 3: HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT ........................... 24
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ ......................................................................................... 25
BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ............................................................................. 27

BÀI 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ................................................................................ 29
BÀI 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ..................................................................... 29

NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ...................... 30
CHƯƠNG I :KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG ................................ 31
BÀI 1: KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN ...................................................................... 31
BÀI 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU .............................................. 34
BÀI 3: KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN ......................................... 36

CHƯƠNG II : KHỐI TRÒN XOAY .......................................................................... 38
BÀI 1: MẶT CẦU – KHỐI CẦU ..................................................................................... 38
BÀI 2: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN ............................................................ 39
BÀI 3: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ .................................................................. 40
BÀI 4: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH.................................................................................... 40
VẤN ĐỀ 1: MẶT CẦU – KHỐI CẦU ........................................................................ 41
VẤN ĐỀ 2: MẶT NÓN – HÌNH NÓN – KHỐI NÓN ................................................ 41
VẤN ĐỀ 3: MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ .................................................. 42

2


CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Đinh nghóa:



Hàm số f đồng biến trên K  x1, x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2 





Hàm số f nghịch biến trên K  x1, x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2 



2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I .

 
f '  x   0, x  I .

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f ' x  0, x  I .
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I .

 
 
f '  x   0, x  I ( f '  x   0 tại một số hữu hạn điểm) thì
f '  x   0, x  I thì f không đổi trên I .

a) Nếu f ' x  0, x  I ( f ' x  0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I .
b) Nếu
c) Nếu

f nghịch biến trên I .

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số.
Câu 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

x2
5
x
4
4

c) y  x 2  4 x  3

a) y   2 x 2  4 x  5

b) y 

d) y  x3  2 x 2  x  2

e) y  (4  x)( x  1)2

f) y  x3  3x 2  4 x  1
i) y 

g) y 

1 4
x  2 x2  1
4

h) y   x 4  2 x 2  3

k) y 

2x 1
x5

l) y 

x 1
2x

m) y  1 

1
2 x 2  x  26
n) y 
o) y   x  3 
1 x
x 2
Câu 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y  6 x 4  8x3  3x 2  1

b) y 

1 4 1 2

x  x 2
10
10

x2  1
x2  4

3

1
1 x

4 x 2  15x  9
p) y 
3x

c) y 

x2  x  1
x2  x  1


d) y 

2x 1

e) y 

x2

x

f) y  x  3  2 2  x

x 2  3x  2

h) y  x 2  x 2

g) y  2 x  1  3  x

i) y  2 x  x 2

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Cho hàm số y  f (x, m) , m là tham số, có tập xác định D.

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.
 Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.

Chú ý:
1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:

 a  b  0
c  0
 y '  0, x  R  
a  0
  0

 a  b  0
c  0
 y '  0, x  R  
a  0
  0

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x)  ax 2  bx  c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 

b
)
2a

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a,
ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x)  ax 2  bx  c với số 0:

  0

 0  x1  x2  P  0
S  0

  0

 x1  x2  0  P  0
S  0

 x1  0  x2  P  0

5) Để hàm soá y  ax3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d thì
ta thực hiện các bước sau:

 Tính y.
 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
a  0
  0


(1)

 Biến đổi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2

(2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Câu 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác

định) của noù:
3

a) y  x  5x  13

x3
 3x 2  9 x  1
b) y 
3

4

c) y 

2x 1
x2


x 2  2mx  1
x2  2 x  3
e) y  3x  sin(3x 1)
f) y 
xm
x 1
Câu 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tậ p
xác định) của nó:
d) y 

a) y  5x  cot(x 1)

c) y  sin x  cos x  2 2 x

b) y  cos x  x

Câu 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó:

a) y  x3  3mx 2  (m  2) x  m
c) y 

xm
xm

b) y 

x3 mx 2

 2x 1
3
2

d) y 

mx  4
xm

Câu 4. Tìm m để hàm số:

a) y  x3  3x 2  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

1
1
b) y  x 3  mx 2  2mx  3m  1 nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
3
2

1
c) y   x 3  (m  1) x 2  (m  3) x  4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
3
Câu 5. Tìm m để hàm số:

a) y 

x3
 (m  1) x 2  (m  1) x  1 đồng biến trên khoaûng (1; +).
3

b) y  x3  3(2m  1) x 2  (12m  5) x  2 đồng biến trên khoảng (2; +).
c) y 

mx  4
(m  2) đồng biến trên khoảng (1; +).
xm

d) y 

xm
đồng biến trong khoảng (–1; +).
xm
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định
do đề bài chỉ định.
 Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.
 Dựa vào định nghóa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục

xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Câu 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) x 

x3
 sin x  x, với x  0
6

c) x  tan x, với 0  x 


2

b)

2
1

sin x  tan x  x, với 0  x 
3
3
2

d) sin x  tan x  2 x, với 0  x 

Câu 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

5


2


a)

tan a a

 , với 0  a  b 
tan b b
2

b) a  sin a  b  sin b, với 0  a  b 

c) a  tan a  b  tan b, với 0  a  b 


2


2

Câu 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin x 

2x



, với 0  x 



b) x 

2

c) x sin x  cos x  1, với 0  x 

x3
x3 x 5
 sin x  x  
, với x  0
6
6 120


2

BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. Khái niệm cực trị của hàm số

) và x0  D.

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D 

a x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D va x0  (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của hàm f .
b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0.

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có
đạo hàm.

III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a;
b)\{x0}
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
 Tìm f (x).
 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
6

 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
Câu 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:

b) y  x3  2 x 2  2 x  1

a) y  3x 2  2 x3

x4
e) y  x 4  4 x 2  5
 x2  3
2
3x 2  4 x  5
 x 2  3x  6
g) y 
h) y 
x2
x 1
Câu 2. Tìm cực trị của các hàm soá sau:
d) y 

4 x2  2 x  1

a) y  ( x  2)3 ( x  1)4

b) y 

d) y  x x 2  4

e) y  x 2  2 x  5

2 x2  x  3

1
c) y   x 3  4 x 2  15 x
3

x4
3
 x2 
2
2
2
x  2 x  15
i) y 
x 3
f) y  

c) y 

3x 2  4 x  4
x2  x  1

f) y  x  2 x  x 2

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0.
Chú ý:
 Hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân
biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
+ y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d
+ y( x0 )  Ax0  B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.

ax 2  bx  c P( x )
 Hàm số y 
=
(aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm
a' x  b'
Q( x )
b'
phân biệt khác  .
a'
Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:
P ( x0 )
P '( x0 )
y( x0 ) 
hoặc y( x0 ) 
Q( x0 )
Q '( x0 )

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm

ngoại lai.
 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí
Vi–et.
Câu 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

a) y  x3  3mx 2  3(m2  1) x  m3

b) y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1

x 2  m(m2  1) x  m4  1
c) y 
xm

x 2  mx  m  2
d) y 
x  m 1

7


Câu 2. Tìm m để hàm số:

a) y  (m  2) x3  3x 2  mx  5 có cực đại, cực tiểu.
b) y  x3  3(m  1) x 2  (2m2  3m  2) x  m(m  1) có cực đại, cực tiểu.
c) y  x3  3mx 2  (m2  1) x  2 đạt cực đại tại x = 2.

1
d) y  mx 4  2(m  2) x 2  m  5 có một cực đại x  .
2

x 2  2mx  2
e) y 
đạt cực tiểu khi x = 2.
xm
Câu 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

a) y  x3  3x 2  3mx  3m  4

 x 2  mx  5
x 3
Câu 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
c) y 

b) y  mx3  3mx 2  (m  1) x  1
d) y 

x 2  (m  1) x  m2  4m  2
x 1

a) y  ax3  bx 2  cx  d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng

1
4
tại x =
3
27

b) y  ax 4  bx 2  c coù đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x =

3.

x 2  bx  c
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
x 1
ax 2  bx  ab
d) y 
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
bx  a
ax 2  2 x  b
e) y 
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
x2  1
Câu 5. Tìm m để hàm số :
c) y 

a) y  x3  2(m  1) x 2  (m2  4m  1) x  2(m2  1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

1 1 1
  (x  x ) .
x1 x2 2 1 2
1
b) y  x 3  mx 2  mx  1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1  x2  8 .
3
1
1
c) y  mx 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1  2 x2  1 .
3
3
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1) Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d .

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.
 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
 y1  f ( x1 )  Ax1  B
 y  f ( x )  Ax  B
 2
2
2

 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
P( x) ax 2  bx  c
2) Hàm số phân thức y  f ( x) 
.

Q( x)
dx  e

8


 Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì y0 

P '( x0 )
.
Q '( x0 )

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
P '( x ) 2ax  b
ấy là:
.
y


Q '( x )
d
Câu 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :

a) y  x3  2 x 2  x  1

b) y  3x 2  2 x3

c) y  x 3  3x 2  6 x  8

Câu 2. Khi haøm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

đồ thị hàm soá:
a) y  x3  3mx 2  3(m2  1) x  m3

b) y  x3  3(m  1) x 2  (2m2  3m  2) x  m(m  1)

Câu 3. Tìm m để hàm số:

a) y  2 x3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với
đường thẳng y = –4x + 1.
b) y  2 x3  3(m  1) x 2  6m(1  2m) x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c) y  x3  mx 2  7 x  3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với
đường thẳng y = 3x – 7.

BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghóa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D  R).

 f ( x )  M , x  D
a) M  max f ( x )  
D
x0  D : f ( x0 )  M

 f ( x )  m, x  D
b) m  min f ( x )  
D
x0  D : f ( x0 )  m

2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x)  f (b), min f ( x)  f (a) .
[a;b]

[a;b]

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì max f ( x)  f (a), min f ( x)  f (b) .
[a;b]

[a;b]

VẤN ĐỀ : Tìm GTLN, GTNN của hàm số theo 2 cách

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
 Tính f (x).
 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].
 Tính f (x).

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).
 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a;b]

m  min f ( x )  min  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a;b]

Câu 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

9


a) y  x 2  4 x  3

b) y  4 x3  3x 4

d) y  x2  x  2

e) y 

x 1

x2  2 x  2
Câu 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

c) y  x 4  2 x 2  2
f) y 

2 x2  4 x  5
x2  1

a) y  2 x3  3x 2  12 x  1 treân [–1; 5]

b) y  3x  x 3 treân [–2; 3]

c) y  x 4  2 x 2  3 treân [–3; 2]

d) y  x 4  2 x 2  5 treân [–2; 2]

3x  1
treân [0; 2]
x 3
4 x2  7x  7
g) y 
treân [0; 2]
x2

x 1
treân [0; 4]
x 1
1  x  x2
h) y 
treân [0; 1]
1  x  x2

e) y 

f) y 

i) y  100  x2 trên [–6; 8]
Câu 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm soá sau:

k) y  2  x  4  x

a) y  2sin2 x  cos x  1

b) y  cos2x  2sin x 1

BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
1. Định nghóa:
 Đường thẳng x  x0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim  f ( x)   ;
lim  f ( x)   ;

lim f ( x)   ;

xx0

xx0

xx0

lim f ( x)  

xx0

 Đường thẳng y  y0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu ít nhất một

trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x)  y0 ;
lim f ( x)  y0
x

x

 Đường thẳng y  ax  b, a  0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim  f ( x)  (ax  b)  0 ;

x

lim  f ( x)  (ax  b)  0

x

2. Chú ý:
a) Nếu y  f ( x) 

P( x)
là hàm số phân thức hữu tỷ.
Q( x)

 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x  x0 .
 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
 Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.
b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các
công thức sau:

f ( x)
a  lim
;
b  lim  f ( x)  ax 
x  x
x 
hoaëc

a  lim

x 

f ( x)
;
x

b  lim  f ( x)  ax 
x 

Câu 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

10


10 x  3
2x  5
b) y 
1 2x
x 1
2

( x  2)2
x  4x  3
e) y 
y
1 x
x 1
Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
2 x
x
b) y 
y
2
x  4x  5
9  x2
2 x 2  3x  3
x3  x  1
e) y 
y
x2  x  1
x2  1
Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
4x  2
b) y 
y  x2  4 x
x2  9

a) y 
d)
Câu 2.

a)
d)
Câu 3.

a)

2x  3
2x
7x2  4 x  5
f) y 
2  3x
c) y 

c) y 
f) y 

x2  4 x  5
x2  1
x4  x  4

c) y 

x3  1
1
x2  4 x  3

x 1
x 2  3x  2
3
2

3
d) y  x
e) y  3x  x
f) y 
x 1
x 2
Câu 4. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
2  x2
x 3
3
y

a) y 
b)
c) y 
2
2
2
2
3 x  2(m  1) x  4
x  x m2
4 x  2(2m  3) x  m  1
3
x 3
x 1
d) y 
e) y 
f) y 
2
2

2
2
2
2 x  2mx  m  1
x  2(m  2) x  m  1
x  2(m  1) x  m  2

BÀI 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
 Tìm tập xác định của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
 Vẽ đồ thị của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y.
– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.
+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
(trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì
có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
2. Hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) :
 Tập xác định D = R.
 Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
 Các dạng đồ thị:
a>0

11

a<0


y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
 ’ = b2 – 3ac > 0

y

y

I
0

0

x

x

I

y’ = 0 có nghiệm kép
 ’ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 voâ nghiệm
 ’ = b2 – 3ac < 0

y

y
I

I

0

0

x

x

3. Hàm số trùng phương y  ax 4  bx 2  c (a  0) :
 Tập xác định D = R.
 Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Các dạng đồ thị:
a>0

a<0
y

y

y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
 ab < 0
0

x

0

x

x

y

y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
 ab > 0

0

y

0

x

ax  b
(c  0, ad  bc  0) :
cx  d
 d
 Tập xác định D = R \   .
 c
d
a

 Đồ thị có một tiệm cận đứng là x   và một tiệm cận ngang là y  . Giao điểm của hai
c
c
tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
 Các dạng đồ thị:

4. Hàm số nhất biến y 

12


y

y

0

0

x

ad – bc > 0

x

ad – bc < 0

Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

b) y  x 3  3x 2  3x  5

a) y  x3  3x 2  9 x  1

x3
1
 x2 
3
3
Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm soá:

c) y   x 3  3x 2  2

d) y  ( x  1)2 (4  x)

e) y 

f) y   x3  3x 2  4 x  2

a) y  x 4  2 x 2  1

b) y  x 4  4 x 2  1

c) y 

d) y  ( x  1)2 ( x  1)2
e) y   x 4  2 x 2  2
Câu 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm soá:
2x 1
x 1
a) y 

b) y 
x2
x 1
1 2x
3x  1
d) y 
e) y 
1 2x
x 3
Câu 4. Vẽ đồ thị của các hàm số:
3

a) y  x  3 x  2

b) y  x3  3x2  2

x4
5
 3x 2 
2
2

f) y  2 x 4  4 x 2  8

3 x
x4
x 2
f) y 
2x 1
c) y 

c) y  x4  2x2  3

d) y 

x 1
x 1

BÀI 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta
giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.
2. Đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
 Phương trình ax3  bx 2  cx  d  0 có 3 nghiệm phân biệt.
 Hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có cực đại, cực tiểu và yCĐ .yCT  0 .
Câu 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:


x2
3
 y    3x 
2
2
a) 
x
1
y  

2 2


2x  4
y 
b) 
x 1
 y   x 2  2 x  4

3

c)  y  4 x  3 x
y   x  2

 y  x 4  x 2  1
d) 
2
 y  4 x  5


y  x3  5x 2  10 x  5
e) 
2

y  x  x  1

2

y  x
f) 
x 1

 y  3 x  1

Câu 2. Tìm m để đồ thị các hàm số:

13


( x  2)2  1
; y  mx  1 cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
x2
2 x 2  3x  m
b) y 
; y  2 x  m cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
x 1
mx 2  x  m
c) y 
; y  mx  2 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
x 1
x2  4 x  5
d) y 
; y  mx  2 cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
x2
( x  2)2
e) y 
; y  mx  3 cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau.
1 x
mx 2  x  m
f) y 
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
x 1

Câu 3. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a) y 

a) y  x3  3x 2  mx  2m; y   x  2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b) y  mx3  3mx 2  (1  2m) x  1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) y  ( x  1)( x 2  mx  m2  3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d) y  x3  2 x 2  2 x  2m  1; y  2 x 2  x  2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e) y  x3  2 x 2  m2 x  3m; y  2 x 2  1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Câu 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:
a) y  x 4  2 x 2  1; y  m cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b) y  x 4  m(m  1) x 2  m3 caét trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c) y  x 4  (2m  3) x 2  m2  3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Câu 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số:
3x  1
; y  x  2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn nhất.
a) y 
x4
4x 1
; y   x  m cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB
b) y 
2x
ngắn nhất.

2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
 Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)
 Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về một

trong các dạng sau:
y
(C)
Dạng 1:
F(x, m) = 0  f(x) = m
(1)
c.
(d) : y = m
m
A
c.
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
yCĐ c.
c.
c.
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
xA
x
yCT
 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
c.
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2:
F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
14

Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng
như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.
Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số
nghiệm của phương trình:
a) y  x3  3x  1; x3  3x  1  m  0

b) y   x3  3x  1; x3  3x  m  1  0

c) y  x3  3x  1; x3  3x  m2  2m  2  0

d) y   x3  3x  1; x3  3x  m  4  0

e) y  

x4
f) y  x 4  2 x 2  2; x 4  2 x 2  m  2  0
 2 x 2  2; x 4  4 x 2  4  2m  0
2
VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3  bx2  cx  d  0 (a  0) (1)
Gọi (C) là đồ thị của hàm số baäc ba: y  f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d
Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành

Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3
 Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm  (C) và Ox có 1 điểm chung
 f không có cực trị (h.1a)

  f có 2 cực trị
(h.1b)

 yCĐ .yCT  0
y

y

(C)

(C)
yCĐ
A

x0

O

(h.1a)

A
x0

x

yCT
x1 o

x2

x

(h.1b)

 Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox
 f có 2 cực trị

 yCĐ .yCT  0

(h.2)

y

y
(C)

(C)
yCĐ
A
x0 o

(H.2)

yCĐ
A

B
x1

x'0

x

(yCT = f(x0) = 0)

B x2
x0 x1 x'0 o
yCĐ

C
x"0

 Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
 f có 2 cực trị
(h.3)

 yCĐ .yCT  0
Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu
 Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

15

x
(H.3)


 f có 2 cực trị
 y .y  0
  CÑ CT

 xCÑ  0, xCT  0
a. f (0)  0 (hay ad  0)
y

o

A

yCT

y

a>0
yCÑ
B x2

xA x1 xB

(C)

a<0

yCÑ
f(0)

C
xC

o

x

yCT

A x1 B
xA
xB x2

f(0)

C
xC

x
(C)

 Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt
 (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
 f có 2 cực trị
 y .y  0
  CĐ CT
 xCĐ  0, xCT  0
a. f (0)  0 (hay ad  0)
a>0

A

B x2

xA x1 xB

y

(C)

(C)

f(0)
yCÑ
C
xC o
yCT

a<0

y

yCÑ
A x1 B
C
xA
xB x2 xC o
yCT
f(0)

x

x

Câu 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:

a) 2 x3  3(m  1) x 2  6mx  2  0

b) x3  3x 2  3(1  m) x  1  3m  0

c) 2 x3  3mx 2  6(m  1) x  3m  12  0

d) x3  6 x 2  3(m  4) x  4m  8  0

e) 2 x3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  2  m  0
f) x3  3mx  2m  0
Câu 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghieäm:
a) x3  (m  1) x 2  (2m2  3m  2) x  2m(2m  1)  0

b) x3  3mx  2m  0

c) x3  (2m  1) x 2  (3m  1) x  (m  1)  0
d) x3  3x 2  3(1  m) x  1  3m  0
Câu 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) x3  3mx 2  3(m2  1) x  (m2  1)  0

b) x3  6 x 2  3(m  4) x  4m  8  0

1 3
x xm 0
3
Câu 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
c) 2 x3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  2  m  0

d)

a) x3  3mx 2  3(m2  1) x  (m2  1)  0

b) x3  6 x 2  3(m  4) x  4m  8  0

1 3 5 2
7
x  x  4x  m   0
d) x3  mx 2  (2m  1) x  m  2  0
3
2
6
Câu 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:
c)

a) 2 x3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  2  m  0

b) x3  3mx 2  3(m2  1) x  (m2  1)  0

c) x3  3x2  9x  m  0

d) x3  x2  18mx  2m  0

3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG.
16


1. Ý nghóa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0  x0 ; f ( x0 )  .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0  x0 ; f ( x0 )  laø:

y – y0 = f (x0).(x – x0)
(y0 = f(x0))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương
 f ( x)  g( x)
trình sau có nghiệm:
(*)
 f '( x)  g '( x)

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
3. Nếu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình ax 2  bx  c  px  q coù nghiệm kép.
VẤN ĐỀ : Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương
 f ( x)  g( x)
trình sau có nghiệm:
(*)
 f '( x)  g '( x)

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
2. Nếu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau  phương trình ax 2  bx  c  px  q coù nghiệm kép.
Câu 1. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:

a) (C1) : y  x3  (3  m) x2  mx  2; (C2 ) : trục hoành c) (C1) : y  x3  m( x  1)  1; (C2 ) : y  x  1
b) (C1) : y  x3  2 x2  (m  1) x  m; (C2 ) : trục hoành d) (C1): y  x3  2 x2  2 x 1; (C2 ): y  x  m
Câu 2. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:

a) (C1 ) : y  x 4  2 x2  1; (C2 ) : y  2mx2  m

b) (C1 ) : y   x 4  x2  1; (C2 ) : y   x 2  m

1
9
c) (C1 ) : y   x 4  2 x 2  ; (C2 ) : y   x 2  m d) (C1) : y  ( x  1)2 ( x 1)2 ; (C2 ) : y  2 x2  m
4
4
e) (C1 ) : y 

(2m  1) x  m2
; (C2 ) : y  x
x 1

f) (C1 ) : y 

x2  x  1
; (C2 ) : y  x 2  m
x 1

6. HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.
 Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
 Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
 Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định.
Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) .
Đồ thị (C) của hàm số y  f ( x) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như
sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.

17


Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  .

Đồ thị (C) của hàm số y  f  x  có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như
sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.
+ Đồ thị (C) là hợp của hai phần trên.

Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C). Dùng đồ thị (C) biện luận

số nghiệm của phương trình (1):

a) (C): y  x 3  3x 2  6 ; (C): y  x3  3x2  6 ; x3  3x 2  6  m

(1)

b) (C): y  x 4  2 x 2  3 ; (C): y  x4  2x2  3 ; x 4  2 x 2  3  m

(1)

2x  2
2x  2 2x  2
; (C): y 
;

(1)
m
x 2
x 2
x 2
Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C). Dùng đồ thị (C) biện luận
số nghiệm của phương trình (1):
e) (C): y 

3

3

a) (C): y  2 x3  9 x 2  12 x  4 ; (C): y  2 x  9 x 2  12 x  4 ; 2 x  9x2  12 x  m
b) (C): y 

2x
2x
; (C): y 
; (m  2). x  m  0 (1)
x 1
x 1

7. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
P( x )
Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ y 
có toạ độ là những số nguyên:
Q( x )

P( x )
a
 Phân tích y 
thành dạng y  A( x ) 
, với A(x) là đa thức, a là số nguyên.
Q( x )
Q( x)


 Khi đó  x 
y 

 Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là ước số

của a.
 Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.

18


Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:
x  10
x2
x2
a) y 
b) y 
c) y 
x 2
x2
x 1

Áp dụng.

4
x2  2 x
f) y  x  1 
x 1
x 1
VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x)
đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d  d là trung trực của đoạn AB
 Phương trình đường thẳng  vuông góc với d: y = ax = b có dạng:
1
: y   x  m
a
(C)
 Phương trình hoành độ giao điểm của  và (C):
(d)
1
f(x) =  x  m
(1)
a
B
 Tìm điều kiện của m để  cắt (C) tại 2 điểm
A
I
phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1).
 Tìm toạ độ trung điểm I của AB.
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d  I  d, ta tìm
được m  xA, xB  yA, yB  A, B.

 x  xB
Chú ý: A, B đối xứng nhau qua trục hoành   A
 yA  yB
d) y 

x2  x  1
x 2

e) y 

()

 x   xB
 A, B đối xứng nhau qua trục tung   A
 y A  yB
 x  xB
 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b   A
 yA  yB  2b
 x  x  2a
 A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a   A B
 y A  yB
Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
x4
;
d : x  2y  6  0
d : x  2y  0
a) (C) : y  x3  x;
b) (C ) : y 
x 2

Áp dụng.

x2  x  1
x2
;
; d : y  x 1
d : y  x 1
d) (C) : y 
x 1
x 1
VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I  I là trung điểm của AB.
 Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),
có hệ số góc k có dạng: y  k( x  a)  b .
 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
I
A
f(x) = k(x  a)  b (1)
 Tìm điều kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).
 Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I  I là trung điểm của AB, ta tìm được k  xA, xB.
 x   xB
Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O   A
 y A   yB
c) (C) : y 

Câu 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua ñieåm I:

19

B


a) (C) : y  x3  4 x 2  x  2;

I (2;4)

c) (C) : y  x3  3x 2  2 x  1;

I  O(0;0)

e) (C ) : y 

3x  4
;
2x 1

x2  x  2
;
x 1
x4
;
d) (C ) : y 
x 1
2 x 2  5x  1
e) (C) : y 
;
x 1
b) (C ) : y 

I (1;1)

 5
I  0; 
 2

I  O(0;0)

I  2; 5

VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách

Kiến thức cơ bản:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B:

AB =

( xB  x A )2  ( yB  yA )2

2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thaúng : ax + by + c = 0:
ax0  by0  c
d(M, ) =
a2  b 2
3) Diện tích tam giaùc ABC:

2
1
1
AB. AC.sin A 
AB2 .AC 2   AB.AC 

2
2

S=

Câu 1. Cho đồ thị (C) và điểm A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất. Chứng minh rằng

khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại M.
a) (C) : y  x 2  1;

b) (C ) : y  x 2 ;

A  O(0;0)

A(3;0)

A(9;1)
c) (C) : y  2 x 2  1;
Câu 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến d là
nhỏ nhất.

x2  4 x  5
; d : y  3x  6
a) (C) : y  2 x  3x  2 x  1; d : y  2 x  1 b) (C) : y 
x2
x 1
; d : y  2 x  3
d : y  2( x  1)
c) (C) : y  x  x 2 ;
d) (C ) : y 

x 1
CHƯƠNG II : HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
4

2

BÀI 1: LUỸ THỪA
1. Định nghóa luỹ thừa
Số mũ 

Cơ số a

Luỹ thừa a

a  an  a.a......a (n thừa số a)
a  a 0  1
1
a   a n  n
a

  n N *
 0

aR
a0

  n ( n  N * )

a0

m
(m  Z , n  N * )
n
  lim rn (rn  Q, n  N * )

a0

a   a n  n a m ( n a  b  b n  a)

a0

a  lima rn



m

2. Tính chất của luỹ thừa
 Với mọi a > 0, b > 0 ta coù:

a .a   a 

;

a
 a 

a

 a > 1 : a  a     ;



; (a )   a . ; (ab)  a .b
0 < a < 1 : a  a    

20

a
a
;    
b
b


 Với 0 < a < b ta có:

am  bm  m  0 ;
am  bm  m  0
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.

+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghóa và tính chất của căn thức
 Căn bậc n của a là số b sao cho bn  a .
 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta coù:
a na
n
n

(b  0) ;

ab  n a.n b ;
b nb

Nếu

n

p q
n
m
 thì a p  aq (a  0) ; Đặc biệt
n m

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì

n

p

a p   n a  (a  0) ;
n

a

mn

a  mn a

mn m

a

anb.

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì
Chú ý:

n

anb.

+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:

C  A(1  r )N

Câu 1. Thực hiện các phép tính sau::
3

2
6
3 .  15 .84

b) B 
6
4
92.  5 .  6 

7
3
18 .24.  50 

d) E 
 254 .  4 5 .  272

2

 7
7  2
a) A   1    .    .  7  .   
 8  7
 14 
3

c) C

3
2
4

2
 83
3

e) F 

3

1256.  16  .  2 
3

2

25  5 





1

1

2

f) G 

4

1

g) H  4 3  10 3  253

2

1
3

1

 53

23.21  53.54   0,01 .102
0

103 :102   0,25  102

 0,013



Câu 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

b3 a
,  a, b  0 
a b

a)

4

x2 3 x ,  x  0

b)

5

d)

3

23 3 2
3 2 3

e)

43 8

a

c)
f)

5

23 2 2

5

b2 b

3

b b

Câu 3. Đơn giản các biểu thức sau:

a1,5  b1,5

a) a

0,5

b

0,5

 a0,5b0,5

ab



 a0,5  2
a0,5  2  a0,5  1

b) 
.
a  1  a0,5
 a  2a0,5  1

2b0,5
a0,5  b0,5

21


1
1

1  3 1
 1
2
2
 x2  y2
x  y  x2 y2
2y


c) 
.
1
1
1
1
 2
 xy xy
2 y xy 2  x 2 y
xy

x



1
1
1  1
1
 1
2

2
2
2
 x 2  3y 2

x  3y
x y

d) 
.
2
xy 
2
1
 1
  x2  y2 




1
1
1
1
1
1
 4
 4
 2


4
4
f)  a  b  .  a  b  .  a  b 2 





2
1 2
4
 13
  23

3
3 3
e)  a  b  .  a  a .b  b 3 



Câu 4. So sánh các cặp số sau:

 2

a)  0,01

2

 
 

b)   vaø  
4
4

 2

vaø 10

e)  0,001

d) 5300 vaø 8200
g)

k)

3

 2

vaø  2 



1
4

4
h)  
5

5

3  1 vaø  3  1

2
2

4

 3
l) 

 5 

0,3

6

vaø

5
vaø  
4

 2

c) 52
3

100

5

f) 4

3

vaø 53

2

 2

vaø  0,125

2

i) 0,0210 vaø 5011

 2
vaø 

 2 

 2

 
m)  
2

5
2

 
vaø  
2

10
3

Câu 5. So sánh hai số m, n nếu:
m

a) 3,2  3,2
m

n

b)
n

 3
 3
d) 
e)
 

 2 
 2 
Câu 6. Có thể kết luận gì về số a nếu:

a)  a  1



2
3



1
3

d) 1  a 
g) a

3

a

7

 2


m

1
1
c)     
9

9

n

  2
m

n

3

1

5  1   5  1



1
3

b)  2a  1



1
2

e)

3

 2  a 4

  2  a

h)

1

17
a



  a  1
 1  a 

m

a

  2a  1

f)



m

1
8

n

2  1   2  1

1
c)  
a

0,2

 a2

1

2

n

 1 2  1 
f)     
a
a
i) a0,25  a



1
2

3

BAØI 2: LOGARIT
1. Định nghóa
 Với a > 0, a  1, b > 0 ta coù: loga b    a  b


Chú ý: loga b có nghóa khi a  0, a  1
b  0
 Logarit thập phân:

lg b  log b  log10 b

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

 1
ln b  loge b (với e  lim 1    2,718281 )
 n

n

2. Tính chất
 loga 1  0 ;

loga ab  b ;

loga a  1;

 Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó:

22

loga b

a

 b (b  0)


+ Nếu a > 1 thì loga b  loga c  b  c
+ Neáu 0 < a < 1 thì loga b  loga c  b  c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta coù:

b
 loga    loga b  loga c  loga b   loga b
c

 loga (bc)  loga b  loga c

4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:
loga c
 logb c 
hay loga b.logb c  loga c
loga b
 loga b 

1
logb a

 loga c 

1



loga c (  0)

Câu 1. Thực hiện các phép tính sau:

b) log5

a) log2 4.log 1 2
d) 4
g)

log2 3

4
log 3 2

9

1
.log27 9
25

f) 27

log9 2

 4log8 27

h) log3 6.log8 9.log6 2

i) 92log3 2

 4log81 5

l) 25log5 6  49log7 8

m) 5

o) 31log9 4  42log2 3  5log125 27

p) log

e) log

2 2

loga3 a.loga4 a1/3
log 1 a7

c) loga 3 a

8

a

log3 5

k) 81
n) 9

1
log6 3

log9 36

 27

4

4log9 7

3

1
log8 2

32 log5 4

6

3.log3 36

Câu 2. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log2 14  a . Tính log49 32 theo a.
b) Cho log15 3  a . Tính log25 15 theo a.
c) Cho log7 2  a . Tính log 1 28 theo a.
2

Câu 3. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

49
theo a, b.
8
b) Cho log30 3  a ; log30 5  b . Tính log30 1350 theo a, b.
a) Cho log25 7  a ; log2 5  b . Tính log 3 5

c) Cho log14 7  a ; log14 5  b . Tính log35 28 theo a, b.
d) Cho log2 3  a ; log3 5  b ; log7 2  c . Tính log140 63 theo a, b, c.
Câu 4. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghóa):

a) b

loga c

c

loga b

b) logax (bx) 

loga b  loga x
1  loga x

c)

loga c
 1  loga b
logab c

ab 1
 (logc a  logc b) , với a2  b2  7ab .
3
2
1
e) loga ( x  2 y)  2 loga 2  (loga x  log a y) , với x 2  4 y2  12 xy .
2
d) logc

23


BÀI 3: HÀM SỐ LUỸ THỪA HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Khái niệm
a) Hàm số luỹ thừa y  x ( là hằng số)
Số mũ 

Hàm số y  x

Tập xác định D

 = n (n nguyên dương)

y  xn

D=R

 = n (n nguyên âm hoặc n = 0)

y  xn

D = R \ {0}

 là số thực không nguyên

y  x

D = (0; +)

Chú ý: Hàm số y 

1
xn

không đồng nhất với hàm số y  n x (n  N *) .

b) Hàm số mũ y  a x (a > 0, a  1).
 Taäp xác định:
D = R.
 Tập giá trị:
T = (0; +).
 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
 Đồ thị:

y

y=ax

y

y=ax
1

1

x

x

a>1

0
c) Hàm số logarit y  loga x (a > 0, a  1)
 Tập xác định:
D = (0; +).
 Tập giá trị:
T = R.
 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
 Đồ thị:
y
y
y=logax

O

x

1

x

1

y=logax

O

0
a>1
2. Giới hạn đặc biệt


1
lim(1  x) x
x 0

x

 1
 lim 1    e
x  

x

ln(1  x )
1
x 0
x

 lim

3. Đạo hàm

24

ex  1
1
x0 x

 lim




 x    x 1 ( x  0) ;

 n x  

Chú ý:





1
n

n x n1

u   u 1.u

 ax   ax ln a ;
ex   ex ;

 au   au ln a.u
 eu   eu .u

 loga x   x ln1 a ;

 loga u   u lnu a

 ln x   1

 ln u   u

x

 n u  

 với x  0 nếu n chẵn 
 với x  0 nếu n lẻ  .




(x > 0);

u
n n1

n u

u

Câu 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3

x 1
x 1

a) y  x 2  x  1

b) y  4

d) y  3 sin(2 x  1)

e) y  cot 1  x2

c) y  5

3

x2  x  2

x2  1

f) y  3 sin

x 3
4

Câu 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  ( x 2  2 x  2)e x

b) y  ( x 2  2 x)e x

2x  x2

d) y  e

e) y  x.e

g) y  2 x.ecos x

h) y 

Câu 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) y  e2 x .sin x

1
x x
3

f) y 

3x

e2 x  e x
e2 x  e x

i) y  cos x.ecot x

2

x  x 1

a) y  ln(2 x 2  x  3)

b) y  log2 (cos x)

c) y  e x .ln(cos x )

d) y  (2 x  1) ln(3x 2  x )

e) y  log 1 ( x3  cos x)

f) y  log3 (cos x)

2

g) y 

ln(2 x  1)

h) y 

ln(2 x  1)
x 1

2x 1
Câu 4. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
a) y  x.e



x2
2;

xy  (1  x 2 )y



i) y  ln x  1  x 2

b) y  ( x  1)e x ; y  y  e x

c) y  e4 x  2e x ;

y  13y  12 y  0

g) y  e x .sin x;

y  2 y  2 y  0

d) y  a.e x  b.e2 x ; y  3y  2 y  0

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản:

Với a > 0, a  1:

b  0
ax  b  
 x  loga b

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:



Với a > 0, a  1:

25

a f ( x )  ag( x )  f ( x )  g( x )