25 de thi hoc sinh gioi lop 9 mon toan

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
Đề chính thức

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2009 – 2010
Mơn thi: TỐN LỚP 9 - BẢNG A
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. (4,5 điểm):
a) Cho hàm số f (x)  (x 3  12x  31)2010
Tính f (a) tại a  3 16  8 5  3 16  8 5
b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5(x 2  xy  y2 )  7(x  2y)
Câu 2. (4,5 điểm):
2
3
2
2
a) Giải phương trình: x  x  x  x  x
1 1 1
x  y  z  2

b) Giải hệ phương trình:  2 1
  4
 xy z 2

Câu 3. (3,0 điểm):
Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1
1

1
 3 3
 3
thức: A  3
3
x  y  1 y  z  1 z  x3  1
Câu 4. (5,5 điểm):
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và
B. Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với
đường tròn tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai
đường thẳng AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác
với điểm A). Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:
a) MI.BE  BI.AE
b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE ln đi qua một điểm cố định.
Câu 5. (2,5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động
trên đoạn AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
NH  PD tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn

nhất.
- - - Hết - - Họ và tên thí sinh:....................................................................................................
Số báo danh:....................
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2009 – 2010

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang )
Mơn: TỐN - BẢNG A
Câu

Ý

Nội dung

Điểm

a  3 16  8 5  3 16  8 5
 a3  32  3 3 (16  8 5)(16  8 5).( 3 16  8 5  3 16  8 5 )
3

a)  a  32  3.(4).a
(2,0đ)  a 3  32  12a
 a 3  12a  32  0
 a 3  12a  31  1
 f (a )  12010  1

(1)
5( x 2  xy  y 2 )  7( x  2 y )
 7( x  2 y ) 5
 ( x  2 y ) 5

Đặt x  2 y  5t (2)
(t  Z )

2
(1) trở thành x  xy  y 2  7t (3)
Từ (2)  x  5t  2 y thay vào (3) ta được
3 y 2  15ty  25t 2  7t  0 (*)

1,
(4,5đ)

2

b)   84t  75t
2
(2,5đ) Để (*) có nghiệm    0  84t  75t  0
0t 

0,25
0,25

Với t  1  

ĐK x  0 hoặc x  1

0,25

 y2  3  x2  1
 y3  2  x3  1

a)

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Vì t  Z  t  0 hoặc t  1
Thay vào (*)
Với t  0  y1  0  x1  0

2,

28
25

0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

(4,5đ) (2,5đ) Với x  0 thỗ mãn phương trình

1
2
1
x 2  x  1( x 2  x)  ( x 2  x  1)
2

Với x  1 Ta có x3  x 2  x 2 ( x  1)  ( x 2  x  1)

 x3  x 2  x 2  x  x 2
 x2  x 1
Dấu "=" Xẩy ra   2
 x  x  1
 x 2  x  1
 2
 x  1  x  1 Vô lý
 x  x  1

1 1 1
 x  y  z  2 (1)

ĐK x; y; z  0
(I ) 
2
1
   4 (2)
2
 xy z
1

1
1
2 2 2
Từ (1)  2  2  2     4
x
y
z
xy xz yz

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

Thế vào (2) ta được:

0,25

2 1
1
1
1
2 2 2
 2 2 2 2  
xy z
x
y

z
xy xz yz
1
1
2 2 2
b)  x 2  y 2  z 2  xz  yz  0
(2,0đ)
1 2 1
1
2 1
 ( 2   2)( 2   2)  0
x
xz z
y
yz z

0,25
0,25
0,25

2

1 1 1 1
       0
x z y z
1 1
 x  z  0

 x y z
1  1  0

 y z

0,25

Thay vào hệ (I) ta được: ( x; y; z )  ( ; ;  ) (TM )

0,25

Ta có (x  y)2  0 x; y

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

1 1
2 2

1
2

 x 2  xy  y 2  xy

3,
(3,0đ)

0,5

0,25

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  0

2

0,25
0,5

Mà x; y > 0 =>x+y>0
Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
 x3 + y3 ≥ (x + y)xy
 x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz
 x3 + y3 + 1 ≥ xy(x + y + z) > 0

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Tương tự:

y3 + z3 + 1 ≥ yz(x + y + z) > 0
z3 + x3 + 1 ≥ zx(x + y + z) > 0
1
1
1


A 

xy(x  y  z) yz(x  y  z) xz(x  y  z)
xyz
A 
xyz(x  y  z)
1
1
A 
xyz
Vậy giá trị lớn nhất của A là 1  x = y = z = 1

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

C

M
A

D
Q
O

4,
(5,5đ)

E

H

K

O'
I

B

N

  BAE
 (cùng chắn cung BE của đường trịn tâm O)
Ta có: BDE
  BMN
 (cùng chắn cung BN của đường tròn tâm O')
BAE
  BMN

 BDE
  BMN
  BDMI là tứ giác nội tiếp
hay BDI
a)
 
(3,0đ)  MDI  MBI (cùng chắn cung MI)
  ABE
 (cùng chắn cung AE của đường tròn tâm O)
mà MDI

  MBI

 ABE
  BAE
 (chứng minh trên)
mặt khác BMI
 MBI ~  ABE (g.g)
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

MI BI
 MI.BE = BI.AE

AE BE
Gọi Q là giao điểm của CO và DE  OC  DE tại Q
  OCD vng tại D có DQ là đường cao
 OQ.OC = OD2 = R2 (1)
Gọi K giao điểm của hai đường thẳng OO' và DE; H là giao điểm

của AB và OO'  OO'  AB tại H.
 H
  900 ;O
 chung
Xét KQO và CHO có Q
b)
 KQO ~ CHO (g.g)
(2,5đ)
KO OQ


 OC.OQ  KO.OH (2)
CO OH
R2
2
Từ (1) và (2)  KO.OH  R  OK 
OH
Vì OH cố định và R khơng đổi
 OK không đổi  K cố định



0,50
0,50
0,50
0,50
0,50

0,50

A
H'
N

P

O
M

B

H

D

C

5,
(2,5đ)
E

ABC vuông cân tại A  AD là phân giác góc A và AD  BC
 D  (O; AB/2)
Ta có ANMP là hình vng (hình chữ nhật có AM là phân giác)
 tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP
  900  H thuộc đường trịn đường kính NP
mà NHP
  AMN
  450 (1)
 AHN

Kẻ Bx  AB cắt đường thẳng PD tại E
 tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE
Mặt khác BED = CDP (g.c.g)  BE = PC
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,25
0,50

0,25
0,50


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
mà PC = BN  BN = BE  BNE vuông cân tại B
  450 mà NHB
  NEB
 (cùng chắn cung BN)
 NEB
  450 (2)
 NHB

  900  H  (O; AB/2)
Từ (1) và (2) suy ra AHB
gọi H' là hình chiếu của H trên AB
HH'.AB
 SAHB 
 SAHB lớn nhất  HH' lớn nhất
2
mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D cùng thuộc đường trịn đường
kính AB và OD  AB)

Dấu "=" xẩy ra  H  D  M  D
Lưu ý:
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
- Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,50

0,50


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

PHỊNG GD&ĐT THẠCH HÀ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2018 – 2019
Mơn thi: Tốn 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)

ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1. (4,5 điểm)



1. Tính giá trị biểu thức A  4  15



10  6



4  15

2. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

M

2018

x2  2x  3

N

2019

x  2x  3

Câu 2. (3,0 điểm)
1. Cho 3 số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = 0. Chứng minh hằng đẳng thức:

1
1 1
1 1 1
 2 2   
2
a
b

c
a b c
2. Tính giá trị của biểu thức: B = 1

1 1
1 1
1
1
 2  1 2  2 ....  1

2
2
1 2
2 3
2018 20192

Câu 3. (4,5 điểm)
1. Cho đa thức f(x), tìm dư của phép chia f(x) cho (x-1)(x+2). Biết rằng f(x)
chia cho x - 1 dư 7 và f(x) chia cho x + 2 dư 1.
2. Giải phương trình:
x 3 - 3x 2 + 2 x + 6 = 0
3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
5x2 + y2 = 17 – 2xy
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

a
b
c



2
bc ca ab
1
1
1
;
;
b)
là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
ab bc ca
a)

Câu 5. (5,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AI.
Tính HI, IM; biết rằng AC= 4/3AB và diện tích tam giác ABC là 24 cm2
2. Qua điểm O nằm trong tam giác ABC ta vẽ 3 đường thẳng song song với 3 cạnh
tam giác. Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC lần lượt tại E và D; đường
thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB và AC lần lượt tại M và N; đường thẳng song song
với cạnh AC cắt cạnh AB và BC lần lượt tại F và H. Biết diện tích các tam giác ODH, ONE,
OMF lần lượt là a2, b2, c2.
a) Tính diện tích S của tam giác ABC theo a, b, c
b) Chứng minh S  3(a2 + b2 +c2)
------------------Hết-----------------

Họ và tên học sinh:…………………………………………………SBD:…………
(Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm, học sinh khơng được sử dụng máy tính bỏ
túi )
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

SƠ LƯỢC GIẢI
Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2018 – 2019
Mơn: TỐN 9
Đáp án

  10  6 4  15  4 
A  4  15.1. 2  5  3   8  2 15. 5  3 
A   5  3 . 5  3  = 5 - 3 = 2
1. Ta có A  4  15

15

 4 15 4 15 . 10  6

Điều kiện xác định của M là x 2  2 x  3  0
 ( x  1)( x  3  0
x 1  0
x 1  0
hoặc 

x  3  0
x  3  0
x  3

 x  1
 2 x  3  0
Điều kiện xác định của N là 

 x  2 x  3  0 (*)
 x  2 x  3  0
x  3
 x2  2x  3  x2  2x  3  0  
(**)
 x  1
Từ (*) và (**) ta được x  3 là điều kiện xác định của M
2

1
1
1
1
1 
1 1 1
 1

 
2. Ta có:      2  2  2  2 
a
b
c
a b c
 ab bc bc 
1
1
1
a
b  1
1

1 2( a  b  c ) 1
1 1
 c
 2  2  2  2


 2 2 2
 2  2  2 
a
b
c
b
c
abc
a
b
c
 abc abc abc  a
Vậy

1
1
1
1 1 1
 2 2   
2
a
b
c
a b c

Theo câu a) Ta có

1
1
1
1 1 1 1 1
1
 2 2      
2
a
b
c
a b c
a b a b

Áp dụng (*) ta có:
1 1
1 1
1
1 1 1 1 1 1
1 2  2  2  2 
  
  
2
1 2
1 1 (2) 1 1 (2) 1 1 2
Tượng tự 1
1

1 1 1 1 1
    ;
22 32 1 2 3

1

(*)

1 1 1
(Vì    0 )
1 1 2

1 1 1 1 1
    ;….
32 42 1 3 4

1
1
1
1
1

 

2
2
2018 2019 1 2018 2019

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Suy ra B  2019 

1
4076360

2019
2019

3. x 3 - 3x 2 + 2 x + 6 = 0
Û ( x + 1)( x 2 - 4 x + 6) = 0
Û x + 1 = 0 (1) hoặc x2 – 4x + 6 = 0 (2)
(1) Û x = -1
(2) Û ( x - 2)2 + 2 = 0 . Do ( x - 2) 2 + 2 ¹ 0 "x nên pt này vơ nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {-1}
Vì ( x -1)( x + 2) = x 2 + x - 2 là đa thức bậc 2 nên f(x) : ( x  1)( x  2) có đa thức dư dạng ax + b
Đặt f ( x)  ( x  1)( x  2).q( x)  ax  b
Theo đề ra f(x) : (x - 1) dư 7  f (1)  7  a  b  7
(1)
f(x) : (x + 2) dư 1  f (2)  1  2a  b  1 (2)
Từ (1) và (2)  a = 2 và b = 5.
Vậy f(x) : [( x -1)( x + 2)] được dư là 2x + 5
5x2 + y2 = 17 – 2xy  4x2 + (x + y)2 = 17
17
 4 x 2  17  x 2 
vì x2 là số chính phương nên x2 = 0; 1; 4
4
Nếu x2 = 0  (x + y)2 = 17 (loại)
Nếu x2 = 1  (x + y)2 = 13 (loại)

Nếu x2 = 4  x = 2 hoặc x = - 2
x = 2  (2 + y)2 = 1  y = - 3 hoặc y = - 1.
x = -2  (-2 + y)2 = 1  y = 3 hoặc y = 1.
Vậy phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; -3), (2; -1), (-2; 3), (-2; 1)
4. Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên b + c > a

 a(b  c)  a 2  a(b  c)  ab  ac  a 2  ab  ac
a
2a
 2a(b  c)  a(a  b  c) 

bc abc
b
2b
c
2c


Tượng tự ta cũng có:
;
ca abc
ba abc
a
b
c
2a
2b
2c






 2 (dpcm)
Suy ra:
bc ca ab abc bca abc
Ta có a + b > c

1
1
1
1
2
2
1






b  c c  a b  c  a c  a  b a  b  c (a  b)  (a  b) a  b
Chứng minh tương tự ta có
Vậy

1
1
1
1
1

1




;
ca ab bc ab bc ca

1
1
1
;
;
là độ dài 3 cạnh của một tam giác (Đpcm)
ab bc ca

5. Do AC= ¾ AB (gt) và AB.AC = 2S = 48, suy ra AC = 6 (cm); AB = 8(cm).
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vng ABC ta tính được BC = 10 cm, suy ra AM = 5 (cm)
(1)
Áp dụng tính chất giữa canh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta tính được
BH 

AB2
 3,6(cm) (2)
BC

Áp dụng tính chất đường phân giác cua tam giác ta có

IB AB
IB
AB
IB
6
30





 IB 
IC AC
IB  IC AB  AC
10 6  8
7

cm (3)
Từ (1), (2) và (3), ta có I nằm giữa B và M; H nằm
giữa B và I
4,8
Vậy: HI = BI - BH 
cm
7
5
MI = BM - BI  cm
7

Ta có các tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với tam giác ABC
Đặt SABC = d2 .
Ta có:

2

SODH a 2  DH 
a DH
 2 
 
;

 BC 
S ABC d
d BC
2

2

S EON b 2  ON 
b HC
 HC 
 2 

 
; Tương tự


 BC 
 BC 

S ABC d
d BC
c BD

d BC
a  b  c DH  HC  DB

1 d  a  b  c
Suy ra:
d
BC

Vậy S  d 2  (a  b  c) 2

2
2
2
2
2
2
Áp dụng BĐT Cosy, ta có: a  b  2ab; b  c  2bc; a  c  2ac
S  ( a  b  c)2  a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca

S  a 2  b2  c 2  ( a 2  b2 )  ( b2  c 2 )  ( c 2  a 2 )  3( a 2  b2  c 2 )
Dấu “=” xẩy ra khi a = b =c, hay O là trọng tâm của tam giác ABC

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa;
Điểm toàn bài quy tròn đến 0,5.

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
THCS
BÌNH ĐỊNH
KHỐ NGÀY 18 – 3 – 2017
Đề chính thức

Mơn thi:
TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian

phát đề)

Ngày thi:

18/3/2017

Bài 1 (6,0 điểm).
1. Cho biểu thức: P =

2m  16m  6
m2 m 3



m 2
m 1



3
m 3

 2

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.
2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số
nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.
Bài 2 (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta ln có:

1 1
4
 
x y x y

b) Cho phương trình: 2 x 2  3mx  2  0 (m là tham số). Có hai nghiệm x1
và x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =  x1  x2 

2

 1  x12 1  x22 



x2 
 x1

2

Bài 3 (2,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:
1
1
1
1 1
1
1 
 2
 2
 



x  yz
y  xz z  xy 2  xy
yz zx 
2

Bài 4 (7,0 điểm).
1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R. M là một
điểm di
động trên cung nhỏ BC của đường trịn đó.
a) Chứng minh MB + MC = MA
b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC,
CA. Gọi
S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di

động ta ln có đẳng thức:
MH + MI + MK =

2 3  S + 2S' 
3R

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M
 = BAC
 . Chứng minh MA là
trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho MAN

tia phân giác của góc NMF

ĐÁP ÁN
Bài 1 (6,0 điểm).
m 1

1a) Rút gọn được P =

m 1

(với m  0, m  1)

1b)
P=

m 1
m 1

= 1+

Ta có: P  N 

2
m 1
2
N
m 1

m  1 là ước dương của 2  m  4; 9

(TMĐK)
Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm.
2) a + b + c  4 (a, b, c  Z)
Đặt a + b + c = 4k (k  Z)  a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b
Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc
= 16k 2  4ak  ack  ac  4k  b   abc
= 64 k 3  16bk 2  16ak 2  4abc  16ck 2  4bck  4ack  abc  abc
= 4 16k 3  4bk 2  4ak 2  abk  4ck 2  bck  ack  2abc (*)
Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1  a+ b + c chia 2 dư 1 (1)
Mà: a + b + c  4  a + b + c  2 (theo giả thiết)
(2)
Do đó (1) và (2) mâu thuẫn  Điều giả sử là sai
 Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2
 2abc  4 (**)
Từ (*) và (**)  P  4

Bài 2 (5,0 điểm).
a)

1 1
4
ab
4
2
2
 


  a  b   4ab   a  b   0 (đúng)
x y x y
ab
a b

b) PT có a, c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt x1 và x2
Ta có: x1  x2  

3m
2
và x1.x2  
2
2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

2

 1  x12 1  x22 
M =  x1  x2   

 = ......=
x
x
 1
2

2
2

1  x1 x2     x  x 2  4x x  1  1  x1 x2  
2
x

x
1



 1 2 
 1 2
1 2 
2
2
 x1 x2   
x1 x2  




9 2 2
=  9 
m  8 2  8  8 2  8
2 

2

Dấu “=” xảy ra khi m = 0
Vậy GTNN của M là 8 2  8 khi m = 0
Bài 3 (2,0 điểm)
Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương x 2 và yz, ta có:

1
1
1 1

 .
x  yz 2 x yz
2 x yz
1
1 1
1
1 1
Tương tự, ta có: 2
và 2
 .
 .

y  xz
2 y xz
z  xy
2 z xy
x 2 + yz  2 x 2 yz  2 x yz 

2

1
1
1
1 1
1
1






2
2
2
x  yz
y  xz z  xy 2  x yz
y xz
z xy
yz  xz  xy
1
1

1
Ta có:
=
(2)


xyz
x yz
y xz
z xy

Suy ra:





(1)

Ta có: yz  xz  xy  x + y + z (3)
Thật vậy: (*)  2 yz  2 xz  2 xy  2 x  2 y  2 z




x

y

 

2



z 

x

 
2



Dấu “=” xảy ra khi x = y = z
Từ (2) và (3) suy ra:
Từ (1) và (4) suy ra:

1

x yz



y 
1

y xz



x



2

 0 (BĐT đúng)

1
z xy



x yz
1
1
1
(4)



xyz
yz xz xy

1
1
1
1 1
1
1 

 2
 2
 



x  yz
y  xz z  xy 2  xy
yz zx 
2

Bài 4 (7,0 điểm).
1.a) Cách 1: Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB
Ta có:  BEM là tam giác đều  BE = BM = EM
 BMA =  BEC  MA = EC
Do đó: MB + MC = MA
Cách 2:
Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MB
Ta có:  BEM là tam giác đều
 BE = BM = EM
 MBC =  EBA (c.g.c)  MC= AE
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Do đó: MB + MC = MA
1.b) Kẻ AN vng góc với BC tại N
Vì  ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác
 A, O, N thẳng hàng  AN =

3
R
2

AN
3
3
 R:
R 3

2
sin ABN 2
2S
2S
1
Ta có: MH .AB  S ABM  MH  ABM = ABM
2
AB
R 3
2 S ACM
2 S ACM
1
=
MK . AC  S ACM  MK 
2
AC
R 3
2 S BCM
2S
1

2S '
= BCM =
MI .BC  S BCM  MI 
2
BC
R 3
R 3
2S '
2
2S '
2
Do đó: MH + MK + MI =
+
+
.S ABMC
 S ABM  S ACM  =
R 3
R 3
R 3
R 3

Ta có: AN = AB.sin 
ABN  AB 

=

2S '
R 3

+

2
R 3

. S  S ' 

2 3  S  2S ' 
3R

2. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K
  BAC

Tứ giác AEDB nội tiếp  CDE
  CDE
 (vì MK // BC).
Mà: MKD
  MAN
  Tứ giác AMKN nội tiếp
Do đó: MKD


AMN  AKN
 D
 (= BAC
 ) D
 D

Ta có: D
3
4

1
2
 DMK có DA là phân giác vừa là đường cao nên cân tại D
 DM = DK

 AMD =  AKD (c.g.c)  
AMD  AKD
 . Ta có: 
  AKN

Nên: 
AMF  AKN
AMF  AMN





NMF
Vậy: MA là phân giác của góc 

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

PHỊNG GD&ĐT HẠ HỊA
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học: 2015 – 2016
Mơn: Tốn
Ngày thi: 4 tháng 12 năm 2015
(Thời gianlàm bài: 150 phút - Đề thi có 01 trang)

Bài 1(3 điểm):
a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x + xy + y = 9.
2
2
b) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a + 3ab  11b chia hết cho 5 thì
a 4  b 4 chia hết cho 5.
Bài 2(4 điểm):
3
2015
a) Cho f ( x)  ( x  12 x  31) .
Tính

f(a) với a  3 16  8 5  3 16  8 5

.

x4 y4
1
b) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn: x  y  1 và
.


a b a b
x 2016 y 2016
2

Chứng minh rằng: 1008  1008 
a
b
(a  b )1008
2

2

Bài 3 (4 điểm ):

2 x  3  5  2 x  3 x 2  12 x  14
2
2
4 x  2 y  2
b) Giải hệ phương trình sau :  2
 x  xy  2
a) Giải phương trình:

Bài 4 (7 điểm ):
Cho đường trịn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động trên nửa
đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vng góc với BC (H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ
BC chứa A dựng hai nửa đường trịn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng
lần lượt cắt AB và AC tại E và F.
a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC.
b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba
điểm I, A, K thẳng hàng.

AH 3
c) Chứng minh tỷ số
khơng đổi.

BC.BE.CF

d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó.
Bài 5 (2 điểm ):
Cho x;y;z dương sao cho
Tìm giá trị lớn nhất của P 

1
1
1


6
x y yz zx

1
1
1


.
3x  3 y  2 z 3 y  3z  2 x 3z  3x  2 y
--------HẾT--------

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GII LP 9
NM HC 2015-2016

Câu

I.a

I.b

Môn Toán 9
Nội dung

a.1,5 im
- T (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vì 10 = 1.10 = 2.5
- Vì x,y  N
- Lập bảng ta tìm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1)
b.1,5 điểm
- Ta có :



4a  3ab  11b  5  5a  5ab  10b
2

2

2

2

  a

2



 2ab  b  5
2

 a  2ab  b  5
2

2

  a  b  5
2

 a  b  5 ( Vì 5 là số ngun tố)
- Ta có: a  b   a  b 2   a  b  a  b  5 (đpcm)
4

II

4

2

Câu a(2 điểm)
a  3 16  8 5  3 16  8 5
 a 3  32  3 3 (16  8 5)(16  8 5).( 3 16  8 5  3 16  8 5 )

 a 3  32  3.(4).a  a 3  32  12a  a 3  12a  32  0
 a 3  12a  31  1  f (a )  12015  1

Chia điểm

0,75
0,75
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5

Câu b(2 điểm)

x 4 y 4 (x 2  y 2 )2


a
b
ab
4
4
4
2 2
 b(a  b) x  a (a  b) y  ab( x  2 x y  y 4 )

Ta cã: ( x 2  y 2 ) 2  1 nªn

 b 2 x 4  a 2 y 4  2abx 2 y 2  0

1

 (bx 2  ay 2 ) 2  0

Tõ ®ã:

x2 y2 x2  y2
1
x 2016 y 2016
1



 1008  1008 

a
b
(a  b )1008
a
b
ab
ab

1

x 2016 y 2016
2
 1008 

1008
a
b
(a  b )1008

III

KL:…
Câu a(2 điểm)

Giải phương trình:

2 x  3  5  2 x  3 x 2  12 x  14

§K: 1,5  x  2,5
+ Sư dơng bÊt đẳng thức cô si hoặc Bu nhi a đánh giá VT 2
+ Đánh giá VP 2

Trang ch: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,5
0,75


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
0,75

 2 x  3  5  2 x
VT  2
Do ®ã: PT  


 x 2
 x  2
VP  2

III

KL.
Câu b(2 điểm)

Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0  x=y hoặc x =

IV

- Nếu x = y thay vào (1) ta được x = 1 ;x = -1
2
- Nếu x =
y Thay vào hệ ta được hệ vơ nghiệm
3
KL : Hệ phương trình có 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1).
N

2
y
3

1
1

K

A
F

M
I
E

B

IV

IV

IV

P

H

O

Q

C

Câu a(1 im)

Xét tam giác vuông ABH có HE AB
AB.AE = AH2
(1)

Xét tam giác vuông ACH có HF AC
AC.AF = AH2
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra AE.AB = AF.AC.
Gãc IAH b»ng 2 lÇn gãc BAH
Gãc KAH b»ng 2 lÇn gãc CAH
Suy ra gãc IAH + gãc KAH =2( gãc BAH + gãc CAH) = 1800
Suy ra I, A và K thẳng hàng
Cõu c(2 im)
Ta cú: AH2 = BH.CH  AH4 = BH2 .CN2 = BE.BA.CF.CA =

AH 3
BE.CF.AH.BC  AH = BE.CF.BC 
=1
BE.CE.BC
3

IV

Câu d(2 điểm)
SPQFE =

1
1
BC

( PE  FQ).FE  BC.FE . Mà FE  PQ hay FE 
2
4
2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,5
0,5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
BC 2
SPQFE 
Dấu đẳng thức xảy ra khi A là điểm chính giữa của nửa
8
V

đường trịn tâm O, đường kính BC.
(2 điểm)

HD Áp dụng BĐT

+

với a; b là các số dương. Ta có:
+

+
+

)=

)

)+

+

)] =

+

)
Tương tự
+

)

+

)

Cộng từng vế của bất đẳng thức ta được:

+
+

)=

+

+

)+

)=

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
PHỊNG GD&ĐT
9 THCS

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP
NĂM HỌC 2012 - 2013

Đề chính thức

Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút (Khơng kể thời gian giao bài)
Bài 1 (5 điểm).
 2 a  1

2 a
:
 , với a ≥ 0
Cho biểu thức: A = 1 




 a 1 1 a a a  a  a 1

1. Rút gon biểu thức A.
2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009 .
Bài 2 (4 điểm).
1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2
 x 3  y 3  3( x  y )
2. Giải hệ phương trình: 
 x  y  1

Bài 3 (4 điểm).
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32)
2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là
hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD.
Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN
Bài 4 (5 điểm).
Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P
là điểm trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL =
CN.
1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL.
2. Chứng minh ∆LMN vng cân
3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP.
Bài 5 (2 điểm).
Cho a b và ab = 6. Chứng minh:

a2  b2
4 3
ab

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
..................................Hết....................................
Họ và tên thí sinh: ........................................................................ Số báo danh:.......................
Họ tên và chữ ký của giá thị 1
Họ tên và chữ ký của giám thị 2
............................................
..................................................

PHÒNG GD&ĐT
THCS

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9

Hướng dẫn chấm mơn tốn
Nội dung

Câu
Câu 1
1 (3,0đ)
5,0 điểm Với điều kiện a 0. Ta có:

Điểm

 2 a  1

2 a
:

A = 1 





 a 1 1 a a a  a  a 1

=


a  2 a 1  1
2 a

: 


a 1
 1  a (a  1)(1  a ) 


=

=



1,0

2

a 1
a 1 2 a

:
a 1
(a  1)(1  a )



1,0

2

a  1 (a  1)(1  a )
(a  1)( a  1) 2

 1 a

2(2,0 đ)
Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009 -1)2
Thì A = 1 + ( 2009  1) 2  2009
Câu 2
1 (2,0đ) Ta có
4,0 điểm (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2
(x2+ 9x +8)(x2 +8x + 8) = 28x2
+ x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình (1)
+ Với x0 chia hai vế (1) cho x2 ta được:
8
x

8
x

(1) <=> ( x   6)( x   9) = 28
Đặt t = x 

1,0
1,0
1,0

0,5

8
x

(1) trở thành (t+6)(t+9) = 28 <=> t2 + 15t + 26 = 0
t  2

t  13

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,5


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
8
= - 2 <=> x2 + 2x + 8 = 0. PT này vô nghiệm.
x
8
Với t = -2 ta có x 
= - 13 <=> x2 +13x + 8 = 0.<=> x = - 13
x

Với t = -2 ta có x 

0,5
0,5

 137 .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = - 13  137 .

2 (2,0 đ)
Hệ phương trình:
 x 3  y 3  3( x  y )
 ( x  y )( x 2  xy  y 2  3 )  0



 x  y  1
 x  y  1
Hệ này tương đương với tuyển của hai hệ phương trình sau:
 x 2  xy  y 2  3  0
x  y  0
(I) và  
(II)

 x  y  1
 x  y  1
1
2

1
2

* Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = (  ; )
* Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình
đầu của hệ (II) ta được x2 +x -2 = 0
Phương trình này có hai nghiệm: x = -1 và x = - 2
Từ đó ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1)
1
2

1
2

Kết luận: Hệ đã cho có nghiêm (x;y) l à: (  ; ); (1; - 2); (2; -1)
Câu 3
1(2,0đ): Ta có: : y = - 2(x - x y - 32) <=> x +(y-x ) = 64
4,0 điểm => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 do x  Z => x  {-1; -2; 1; 0; 1; 2}
Xét các trường hợp:
+ x = 2 => (y - x3)2= 0 => y = 8
+ x = 1 => (y - x3)2= 63 => y  Z => pt này khơng có nghiệm
ngun
+ x = 0 => (y - x3)2= 4 => y = 8 và y = - 8
+ x = - 1 => (y - x3)2= 63 => y  Z => pt này khơng có nghiệm
ngun
+ x = -2 => (y - x3)2= 0 =>y = - 8
Vậy nghiệm của phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8).
2(2,0đ)
2

6

3

6

3 2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,5

0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
0,5
0,5

Ta có ∆AMB và ∆ANC vng cân nên MA = MB và NA = NC

Nên BM + CN = AM + AN
Giả sử: AB ≥AC

0,5
0,5

DC AC

1
DB AB
DN
DC
∆CDN và ∆BDM nên

 1 => DN ≤ DM
DM DB

Theo tính chất phan giác ta có

Câu 4
5,0điểm

Nếu I là trung điểm củaMN thì AD≤ AI và AM+AN= 2AI
Khi đó 2AD≤ 2AI - AM+AN = BM + CN (đpcm)
1(1,0đ)

Đặt ACP = a => ACN = 900 - a
MCN = ACN - 450 = 900 - a - 450 = 450 - a = LAM
2(2,0đ) Do ∆ABC vuông tại A mà AM là trung tuyến nên AM =
CM và AL = CN (gt) MCN = LAM (c/m trên)

Nên ∆AML = ∆CMN => LM = MN và  AML =  CMN
=>LMN = 900 - AML + CMN = 900. Vậy tam giác ∆LMN
vuông cân tại M
3 (2,0đ) Do các ∆LMN, ∆ABC vuông cân nên:
2 S∆LMN = MN2 và 2 S∆ABC = AC2
1
AC.
2
1
Gọi Q là trung điểm của AC thì QM = QN = AC = MN
2

0,5
0,5
1,0
1,0

S ∆ABC = 4S∆LMN (gt) Từ đó suy ra MN =

=> QMN = 600 và QNA = 600 - 450 = 15 0 .
Mặt khác AQ = NQ nên CAP = QNA = 150

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

1,0
1,0


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Câu 5

a 2  b 2 (a  b) 2  2ab
12
Ta có:

 ab 
2,0 điểm
ab
ab
ab
Áp dụng bất đảng thức Côsi : a  b 

12
12
 2 a  b.
4 3
ab
ab

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

1,0
1,0


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 -2017
MƠN TỐN LỚP 9
Thi ngày 08 tháng 12 năm 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

-------------------------------

(Đề thi gồm 01 trang)

Bài 1 (4,0 điểm).
1) Rút gọn biểu thức: A =
2) Cho A 

x2  x



5 3
2  3 5



3 5
2  3 5

x2  x

x  x 1 x  x 1

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình
1) Giải phương trình : x  2 x  1  x  2 x  1 

x3
2

2) Giải phương trình: 2 x 2  5 x  12  2 x 2  3 x  2  x  5 .
Bài 3 (3,0 điểm).
1) Chứng minh rằng với k là số ngun thì 2016k + 3 khơng phải là lập phương
của một số nguyên.
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2  25  y ( y  6)
Bài 4 (7,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên
nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vng góc của C
trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung
điểm của DH.
· = CBH
·
a) Chứng minh CIJ
b) Chứng minh D CJH đồng dạng với D HIB
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường trịn (O) để AH + CH đạt giá trị
lớn nhất.
Bài 5 (2,0 điểm). Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng

a
b

c


 2.
bc
ca
ab

-------------------HẾT-------------------Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..
Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

GD-ĐT Quảng Ngãi

Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016 - 2017
Mơn thi : Tốn 9

Câu

Nội dung
5 3

1. Rút gọn biểu thức: A =

Câu 1
(1,75đ)

5 3

A=

2  3 5
2( 5  3)

A=

2  ( 5  1) 2

2  3 5

3 5



2  3 5



2(3  5)
2  ( 5  1) 2

=

Điểm

3 5



2  3 5

2( 5  3)



2 62 5



2( 5  3)
5 3



2(3  5)
2 62 5
2(3  5)

0,5

x2  x



x2  x

x  x 1 x  x 1
a) ĐKXĐ: x  0

Bài 1
(4 đ)

A

Câu 2
(2,25)



x2  x



x2  x

x  x 1 x  x 1

x

 x







x



 x



x 3 1

x  x 1

 x 





x 1 x  x 1

x  x 1

x  x 1









x  x 1

x 1 x  x  1
x 1  x

x 3 1

0,25
0,5
0,5

x  1  x  x  x  x  2 x

b) B = A + x – 1= 2 x  x  1  x  2 x  1   x  1   2  2

0,5

Dấu “=” xảy ra  x  1  0  x  1 ( TM ĐKXĐ)
Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1

0,25
0,25

2

1) Giải phương trình : x  2 x  1  x  2 x  1 

ĐKXĐ : x  1
Bài 2
(4 đ)

x  2 x 1  x  2 x 1 

Câu 1
(2đ)

0,5

3 5

A= 2 2
2. A 

0,75

x3
2

x3
2

x3
 x  1 2 x  1  1  x  1 2 x  1  1 
2
2
2
x3


x 1 1 
x 1 1 
2
x3
 x  1  1 x  1  1 
(*)
2









Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188

0,25
0,5
0,25
0,25