SKKN Sử dụng có hiệu quả phần mềm Geogebra trong dạy học và phát triển năng lực học sinh môn Hình học lớp 11

Đề tài:

“SỬ DỤNG CÓ HIỆU QUẢ PHẦN MỀM GEOGEBRA
TRONG DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH
MƠN HÌNH HỌC LỚP 11”
Mơn: Tốn

Năm học: 2021 - 2022


SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI 2
===***===

Đề tài:

“SỬ DỤNG CÓ HIỆU QUẢ PHẦN MỀM GEOGEBRA
TRONG DẠY HỌC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH
MƠN HÌNH HỌC LỚP 11”

Mơn

: Tốn

Người thực hiện

: Trần Thanh Bình

Tổ

: Tốn - Tin

Năm thực hiện

: 2021 - 2022

Điện thoại liên hệ : 0399 115 113


MỤC LỤC
PHẦN MỘT: ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................ 2
3. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................... 2
5. Tính mới của đề tài............................................................................................... 3
PHẦN HAI: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ............................................................ 4
I. CƠ SỞ KHOA HỌC........................................................................................... 4
1. Cơ sở lý luận ........................................................................................................ 4
1.1 Khái niệm về phương tiện dạy học .................................................................... 4
1.1.1. Khái niệm về phương tiện ............................................................................. 4
1.1.2. Phương tiện dạy học (PTDH)......................................................................... 4
1.2. Mơ hình hóa trực quan ...................................................................................... 5
1.3. Năng lực số ........................................................................................................ 5
2. Cơ sở thực tiễn .................................................................................................... 5
II. BIỆN PHÁP TỔ CHỨC DẠY HỌC THƠNG QUA THIẾT KẾ MƠ HÌNH
DẠY HỌC BẰNG PHẦN MỀM GEOGEBRA ĐỂ DẠY HỌC PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC HỌC SINH MƠN HÌNH HỌC LỚP 11. ....................................... 6
1. Sử dụng phần mềm geogebra làm phương tiện trực quan trong dạy học hình học
lớp 11. ....................................................................................................................... 6
1.1. Mơ hình cho bài phép biến hình- phép tịnh tiến ............................................... 7

1.2. Mơ hình cho bài đại cương về đường thẳng và mặt phẳng .............................. 12
1.3. Mơ hình cho bài đường thẳng và mặt phẳng song song .................................. 19
2. Hướng dẫn học sinh sử dụng phần mềm geogebra để vẽ hình 2d, 3d. ............... 29
3. Minh họa kế hoạch bài dạy có sử dụng phần mềm geogebra thiết kế các mơ hình
trực quan trong dạy học phát triển năng lực. .......................................................... 30
PHẦN BA: KẾT LUẬN ........................................................................................ 46
1. Kết quả thực hiện ............................................................................................... 46
2. Ý nghĩa của đề tài ................................................................................................ 46
3. Đề xuất ................................................................................................................ 46


PHẦN MỘT: ĐẶT VẤN ĐỀ
1.

Lí do chọn đề tài

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 đã được Hội nghị Trung ương 8
(khóa XI) thơng qua đề ra quan điểm chỉ đạo về đổi mới căn bản và toàn diện giáo
dục và đào tạo trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa. Sau
một thời gian thực hiện nghị quyết thì nền GD-ĐT có chuyển biến rõ rệt trong đó kế
hoạch triển khai chương trình sách giáo khoa mới, đổi mới phương pháp dạy và học
được từng bước thực hiện. Công nghệ thông tin được đẩy mạnh ứng dụng trong dạy
và học cũng như trong công tác quản lý, điều hành. Nghiên cứu nâng cao phương
pháp dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học nhằm phát huy được
năng lực học sinh.
Theo công văn 4095/BGDĐT- CNTT 2018 về ứng dụng CNTT hỗ trợ đổi mới
nội dung, phương pháp dạy học, học và kiểm tra đánh giá nêu: “ Đẩy mạnh ứng dụng
CNTT hỗ trợ đổi mới nội dung, phương pháp dạy và học, kiểm tra đánh giá trong tất
cả các môn học. Ưu tiên triển khai các giải pháp mang tính đồng bộ ( bao gồm kho
học liệu số, bài giảng e-learning, phần mềm thiết kế bài giảng điện tử, phần mềm

mơ phỏng, thí nghiệm ảo và phần mềm dạy học)”.
Việc hình thành và phát triển các năng lực toán học là mục tiêu cần phải đạt
trong tiết học như năng lực tư duy và lập luận, năng lực mơ hình hóa tốn học, năng
lực giải quyết vấn đề, năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học tốn...
Khai thác cơng nghệ thơng tin đặc biệt là những phần mềm ứng dụng nhằm
mục đích tạo ra được cách tiếp cận bài học vừa nhẹ nhàng vừa hiệu quả để học sinh
khơng thấy sợ mơn tốn cũng như là hình học khơng gian để phát huy được năng lực
người học trong giai đoạn mới.
Việc học toán nói chung và việc học mơn hình học khơng gian nói riêng của
học sinh THPT đa phần gặp nhiều khó khăn trong việc tiếp cận và hình thành kiến
thức do việc tiếp cận thiếu tính trực quan, mơ phỏng các hình vẽ chưa thật sự rõ
ràng, hình tĩnh, khơng sinh động trong hình vẽ, nhiều tính chất u cầu học sinh thừa
nhận nhưng học sinh không dễ dàng chấp nhận nó và vì vậy mà học sinh khơng nắm
vững được các tính chất đó nên việc vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập toán
cũng như các bài tốn có liên quan đến thực tiễn trở nên khó khăn, làm cho đa phần
học sinh thấy hình học khơng gian khó học vì vậy học sinh khơng thích học mơn
hình khơng gian.
Vận dụng các phương tiện dạy học hiện đại cũng như các phần mềm hỗ trợ dạy
học phát triển phẩm chất và năng lực học sinh trong thời kỳ chuyển đổi số đối với
nền giáo dục hiện nay là một trong những nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên
hiện nay, đòi hỏi người giáo viên phải tiếp cận và tiên phong trong việc chuyển đổi
số trong dạy học. Hiện nay có rất nhiều các phần mềm hỗ trợ giáo viên trong việc
thiết kế bài giảng nhằm tạo ra được bài giảng tốt, đáp ứng được yêu cầu trong dạy
1


học phát triển phẩm chất và năng lực học sinh thì tơi thấy phần mềm Geogebra là
một phần mềm hữu ích, dễ sử dụng và khai thác được tất cả các nội dung dạy học
của chương trình dạy học của mơn tốn đặc biệt là trong hình học khơng gian, có thể
mơ phỏng động các hình hình học khơng gian nhằm giúp học sinh thấy trực quan

hơn từ đó học sinh có thể phát hiện ra các tính chất của hình và vì vậy học sinh dễ
dàng tiếp cận và hình thành được kiến thức và vận dụng kiến thức nó dễ hơn, thấy
được sự gần gũi của tốn học với đời sống. Quan trọng là giáo viên phải biết khai
thác có hiệu quả phần mềm phục vụ cho bài giảng của mình đạt được theo yêu cầu
đặt ra.
Vì các lí do đó, nên tơi đã chọn đề tài nghiên cứu là:“ Sử dụng có hiệu quả
phần mềm Geogebra trong dạy học và phát triển năng lực học sinh môn hình
học lớp 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Sáng kiến đi khai thác một phần ứng dụng của phần mềm Geogebra vào thiết
kế các mơ hình động của các hình trong hình học lớp 11 để làm học liệu trong các
hoạt động của kế hoạch bài dạy, nhằm trực quan hóa các hình vẽ một cách sống
động, giúp học sinh dễ quan sát, dễ hình dung đặc biệt là các hình khơng gian để từ
đó định hướng được cách giải, phát hiện ra được các tính chất của hình.
Hướng dẫn học sinh biết sử dụng một số chức năng công cụ vẽ hình của phần
mềm Geogebra trong vẽ hình phẳng, hình khơng gian, mơ hình hóa các hình ảnh
thực tế, giúp học sinh dễ quan sát hình, biết tìm ra được các tính chất của hình để từ
đó định hướng được cách giải quyết vấn đề dễ dàng hơn đặc biệt là trong việc học
hình học lớp 11.
3.

Đối tượng nghiên cứu

Đề tài của tôi được tiến hành đối với học sinh lớp 11A1 (gồm 41 học sinh)
trường THPT Hoàng Mai 2. Nghiên cứu về việc thiết kế các kế hoạch bài dạy có sử
dụng phần mềm Geogebra trong hình học lớp 11, góp phần tiếp cận hình thành, củng
cố cũng như vận dụng kiến thức hình học lớp 11 theo phát triển năng lực của học
sinh trong năm học 2021-2022.
Phiên bản phần mềm sử dụng Geogebra 5.0.
4.

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu hướng dẫn sử dụng phần mềm Geogebra, trang chủ của
phần mềm vào xây dựng kế hoạch bài dạy:
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các giáo trình dạy học, tài liệu,
trang Web: , sách giáo khoa, sách bài tập lớp 11.
Từ việc nghiên cứu các quy tắc vẽ hình trong Geogebra, sử dụng nó để hỗ trợ
trong vẽ hình, dự đốn các tính chất, dự đốn lời giải.
2


Phương pháp lấy ý kiến, quan sát: Lấy ý kiến góp ý từ các giáo viên bộ mơn
Tốn, dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên cũng như việc học của học sinh về các
giờ học có sử dụng phần mềm Geogebra trong dạy học
Thực nghiệm sư phạm: Bằng thực nghiệm sư phạm kiểm chứng tính hiệu quả
của việc sử dụng phần mềm trong việc hỗ trợ giảng dạy cũng như phát triển năng
lực số của học sinh.
5.

Tính mới của đề tài

Giáo viên biết sử dụng, khai thác có hiệu quả phần mềm Geogebra trong việc
thiết kế các mô hình động của các hình trong các ví dụ, các tính chất, các định lí, các
bài tốn về tìm giao tuyến, quỹ tích, cực trị…tạo ra học liệu trực quan cho việc xây
dựng kế hoạch bài dạy.
Ứng dụng được phần mềm vào giải các bài tốn khó, từ mơ hình động giúp học
sinh phát hiện ra yếu tố bất biến, quỹ tích…
Giúp học sinh phát triển năng lực số đây là một mục tiêu trong chương trình
phổ thơng 2018 mà giáo viên phải hình thành và phát triển cho học sinh. Học sinh

biết sử dụng các thiết bị hiện đại trong việc học, biết sử dụng phần mềm cũng như
biết khai thác tài nguyên, học liệu giúp việc học trở nên dễ dàng hơn như: biết vẽ
hình, biết mơ hình hóa các vật dụng trong thực tế liên quan đến bài học, đặc biệt là
trong việc vẽ hình khơng gian, tìm ra các yếu tố đặc biệt trong hình. Học sinh có thể
chủ động hơn trong việc học của mình, khơng cịn cảm giác” sợ” khi học hình khơng
gian nữa.

3


PHẦN HAI: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. CƠ SỞ KHOA HỌC
1. Cơ sở lý luận
1.1 Khái niệm về phương tiện dạy học
1.1.1. Khái niệm về phương tiện
Phương tiện là tất cả những gì dùng để tiến hành cơng việc, được cảm nhận bằng
giác quan, nhưng không phải bằng tư duy.
Phương tiện được coi là cái để làm một việc gì nhằm đạt tới một mục đích nào
đó bao gồm các điều kiện, các công cụ để thực hiện cho các giai đoạn hoặc cả q
trình đạt mục đích đó. Phương tiện là yếu tố quan trọng chi phối hiệu quả của hoạt
động. Phương tiện được sử dụng mà càng sắc bén và hữu hiệu thì năng suất, chất
lượng của hoạt động càng cao, làm cho mục đích định trước càng dễ dàng được thực
hiện.
1.1.2. Phương tiện dạy học (PTDH)
PTDH được hiểu là cái mà giáo viên và học sinh dùng trong q trình dạy học
để đảm bảo cho nó đạt được các mục đích đã hướng dẫn trong các điều kiện sư phạm.
Trong lịch sử phát triển của giáo dục học đã có rất nhiều định nghĩa khác nhau
về PTDH. PTDH là một tập hợp những đối tượng vật chất được giáo viên sử dụng
với tư cách là phương tiện để điều khiển hoạt động nhận thức của học sinh.
Còn đối với học sinh, PTDH nó là nguồn cung cấp tri thức cần lĩnh hội, thứ để

tạo ra tri thức, kỹ năng, kỹ xảo và phục vụ mục đích giáo dục. PTDH được bao gồm
tập hợp các khách thể vật chất, tinh thần đóng vai trị phụ trợ để giúp cho thầy – trị
có thể thực hiện những mục đích, nhiệm vụ và nội dung của quá trình giáo dục – huấn
luyện.
Trong lý luận dạy học, thuật ngữ PTDH được dùng để chỉ những thiết bị dạy học
(như các loại đồ dùng trực quan, dụng cụ máy móc…), những trang thiết bị, kỹ thuật
mà thầy trò dùng khi giải quyết nhiệm vụ dạy học, nó khơng dùng để chỉ các hoạt
động của giáo viên và học viên.
PTDH là công cụ tiến hành thực hiện nhiệm vụ của hoạt động dạy và học, giúp
cho người dạy và người học tác động tới đối tượng nghiên cứu nhằm phát hiện ra
logic nội tại, nắm bắt và nhận thức được bản chất của nó để tạo nên sự phát triển
những phẩm chất nhân cách cho người học.
PTDH được coi là một trong những nhân tố của q trình dạy học có tác dụng
quyết định tới kết quả của cả hoạt động dạy của giáo viên và học sinh, yếu tố phương
tiện được chúng ta quan tâm chỉ ở góc độ cách thức làm như thế nào và làm bằng gì?
để thực hiện nhiệm vụ dạy học. Với ý nghĩa đó, PTDH là vật mang tin được sử dụng
4


trong dạy học như là cái giá mang cụ thể của việc tiếp thu các tri thức trừu tượng nhằm
nâng cao hiệu quả của q trình này.
1.2. Mơ hình hóa trực quan
Mơ hình hóa trực quan là việc sử dụng các ngơn ngữ thiết kế có tính chất đồ
họa và các mô tả ngắn gọn để thể hiện các bản thiết kế phần mềm. Mơ hình hóa trực
quan cho phép trừu tượng hóa các hệ thống ở mức cac hơn, trong khi đó vẫn duy trì
được ngữ nghĩa và cấu trúc căn bản của hệ thống, giúp cho người đọc bản thiết kế
dễ nắm bắt cấu trúc tĩnh và ứng xử động của hệ thống.
1.3. Năng lực số
Năng lực số của UNICEF-2019: Năng lực số ( Digital Literacy) đề cập đến kiến
thức, kỹ năng và thái độ cho phép trẻ phát triển và phát huy tối đa khả năng trong

thế giới công nghệ số ngày càng lớn mạnh trên phạm vi toàn cầu, một thế giới mà
trẻ vừa được an toàn, vừa được trao quyền theo cách phù hợp với lứa tuổi cũng như
phù hợp văn hóa và bối cảnh địa phương.
2. Cơ sở thực tiễn
Phần mềm Geogebra: Phần mềm GeoGebra là phần mềm hồn tồn miễn phí
với mã nguồn mở, có cả giao diện tiếng Việt, là phần mềm tốn học động , kết hợp
đặc tính của một phần mềm hình học động và hệ thống đại số máy tính. Cho phép
người dùng làm việc trên nhiều đối tượng tốn học: hình học (cả hình học phẳng lẫn
hình học khơng gian), đại số, giải tích, thống kê, xác suất... xuất hiện ở nhiều cấp/
bậc học. Được giới thiệu trong nhiều sách giáo khoa toán học ở các bậc học đặc biệt
là sách giáo khoa thực hiện chương trình 2018. Phần mềm hoạt động trên nhiều hệ
điều hành (Windows, Max, Linux) và được phát triển thành các ứng dụng dùng trên
hệ điều hành điện thoại thông minh (Ios, Android). Đặc biệt liên tục cập nhật các
công nghệ mới như công nghệ thực tế ảo tăng cường (Augmented Reality-AR) cho
phép người dùng “ nhúng” một đối tượng hình học khơng gian (ảo) vào thế giới
thực tế. Trong điện thoại thông minh học sinh cài 3D Calculator có tích hợp cơng
nghệ AR nó có thể hỗ trợ tương tác với nội dung ảo ngay trong đời thật như chạm,
có thể phủ một lớp hình ảnh lên trên ảnh thật.
Nhiều giáo viên đã và đang bước đầu tìm hiểu việc khai thác phần mềm
Geogebra trong dạy học mơn tốn, và các nhà trường cũng như các tổ bộ môn đã bắt
đầu quan tâm đến nội dung này trong việc soạn kế hoạch bài dạy có sử dụng ICT
trong dạy học.
Việc thiết kế kế hoạch bài dạy trong phát triển năng lực đòi hỏi giáo viên phải
có nhiều nguồn học liệu phục vụ cho tiết học của mình đạt hiệu quả cao, một trong
những học liệu quan trọng là các mơ hình trực quan đặc biệt các mơ hình này được
thiết kế trong mơi trường động giúp học sinh khám phá hình học khơng gian một
cách dễ dàng hơn, thấy mơn học khơng cịn khô khan nữa .
5

Đối với học sinh: Chất lượng đại trà còn yếu đặc biệt là đối với mơn hình học
lớp 11, học sinh có khả năng tư duy, tưởng tượng hình học không nhiều nên việc
tiếp thu bài học gặp rất nhiều khó khăn gây ra tình trạng chán học mơn hình.
II. BIỆN PHÁP TỔ CHỨC DẠY HỌC THÔNG QUA THIẾT KẾ MƠ
HÌNH DẠY HỌC BẰNG PHẦN MỀM GEOGEBRA ĐỂ DẠY HỌC PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH MƠN HÌNH HỌC LỚP 11.
1.
SỬ DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA LÀM PHƯƠNG TIỆN
TRỰC QUAN TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11.
Hình học lớp 11 đặc biệt là hình học khơng gian là một trong những nội dung
khó đối với học sinh để hình thành các khái niệm, chứng minh định lý và tìm phương
pháp giải bài tập, việc giáo viên biết khai thác và sử dụng có hiệu quả phần mềm
Geogebra thiết kế các mơ hình hình học động làm phương tiện trực quan trong dạy
học giúp học sinh dự đoán, chứng minh, minh họa, tiếp cận khái niệm... Một cách
đúng đắn và nhẹ nhàng.
Một số biện pháp sử dụng phần mềm Geogebra trong dạy học:
học.

Biện pháp 1: Sử dụng Geogebra để biểu diễn trực quan các đối tượng toán toán

Giáo viên sử dụng khả năng biểu diễn trực quan của Geogebra để minh họa các
đối tượng tốn học và tính chất của chúng với học sinh. Trên lớp giáo viên chiếu các
đối tượng toán học này để học sinh quan sát các tính chất của hình.
Biện pháp 2: Tổ chức các hoạt động thực nghiệm để khám phá kiên thức mới
Giáo viên có thể tổ chức cho học sinh quan sát các thay đổi của đối tượng tốn
học để khám phá ra các tính chất bất biến của chúng. Từ đó đưa ra các các phỏng
đốn về tính chất của đối tượng tốn học. Các phỏng đốn sẽ được chứng minh để
khẳng định và thơng báo như một định lí, hệ quả ...
Giáo viên tạo hoặc hướng dẫn học sinh tạo ra các đối tượng toán học. Đặt ra
các câu hỏi về sự thay đổi một thuộc tính nào đó của đối tượng trên màn hình và yêu

cầu học sinh tìm kiếm, quan sát , đề xuất các tính chất bất biến của đối tượng. Giáo
viên cơng bố các tính chất mà học sinh tìm được như là định lí, hệ quả...
Biện pháp 3: Tổ chức các hoạt động thực hành với phần mềm Geogebra
Sau khi học xong nội dung tốn giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng
phần mềm Geogebra trực tiếp hoặc qua các đoạn vi deo để thiết kế các mơ hình hình
học, sử dụng các tính năng, nút lệnh của phần mềm và yêu cầu học sinh thực hành
do giáo viên đề xuất.
Trong thiết kế kế hoạch bài dạy thì giáo viên có thể kết hợp nhiều biện pháp sử
dụng phần mềm Geogebra khác nhau để đáp ứng yêu cầu của tiết học và quan trọng
là tạo ra giờ học hiệu quả có chất lượng.
6


Sau đây là một số mơ hình được thiết kế trong chương trình hình học lớp 11 để
tạo học liệu phục vụ cho thiết kế bài dạy, trong đề tài này tơi chỉ đưa ra một số mơ
hình của một số bài có trong các hoạt động dạy học gồm: Hoạt động mở đầu, hoạt
động hình thành kiến thức, hoạt động luyện tập, hoạt động vận dụng.
1.1.

MƠ HÌNH CHO BÀI PHÉP BIẾN HÌNH- PHÉP TỊNH TIẾN

Để thiết kế bài dạy này giáo viên có thể tạo ra các file Geogebra như sau:
Hoạt động 1: Hoạt động mở đầu
Giáo viên: Trình chiếu file Geogebra cho học sinh quan sát tạo hứng thú vào
bài học).

H1: Các em quan sát hình ảnh về bản đồ từ hình (H1 ),(H2 ),(H3 ) so với hình ( H )
và hình (H4 ) so với hình ( H ) và có nhận xét gì về hình dạng, kích thước, vị trí của
các hình đó.
H2: Học sinh quan sát mơ hình từ file Geogebra khi đẩy một cánh cửa trượt

sao cho chốt của cánh cửa dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B thì từng điểm trên cánh
cửa cũng dịch chuyển một đoạn bằng bao nhiêu và theo hướng như thế nào so với

véc tơ AB ?

7


Hoạt động 2: Hoạt động hình thành kiến thức
H1: Học sinh quan sát mơ hình động từ file Geogebra và trả lời câu hỏi: Cứ mỗi
điểm M thì dựng được bao nhiêu điểm M ' là hình chiếu vng góc của nó lên đường
thẳng ( d ).







H2: Cho véc tơ v và điểm M , dựng được bao nhiêu điểm M ' sao cho MM '  v ?
Giáo viên: Cho học sinh quan sát mơ hình động Geogebra để từ đó hình thành
định nghĩa phép tịnh tiến cho học sinh.

8


Giáo viên: Củng cố kiến thức thơng qua các ví dụ được thiết kế động trong
phần mềm Geogebra.
Ví dụ 1: Phép tịnh tiến Tu biến các điểm A, B , C thành các điểm A ', B ', C '

Ví dụ 2: Phép tịnh tiến Tv biến hình ( H ) thành hình ( H ')

H3: Giáo viên cho học sinh quan sát mơ hình động và nhận xét về hai véc tơ
Từ đó giáo viên chốt kiến thức của TC1.



MN và M ' N ' .

9


H4: Học sinh quan sát mơ hình và rút ra nhận xét . Sau đó giáo viên có thể chốt
tính chất 2.

Hoạt động 3: Hoạt động luyện tập
Bài tập 1: Cho tam giác ABC
có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC

qua phép tịnh tiến theo véc tơ AG .
tơ

HĐTP 1: Cho học sinh xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến véc

AG . Sau đó giáo viên cho học sinh kiểm chứng lại kết quả qua mơ hình Geogebra


AG .

HĐTP 2: Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Qua phép tịnh tiến véc tơ

Tìm ảnh của các điểm A, B, C . Hãy lên vẽ lại ảnh của chúng lên bảng.

Bài tập 2: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định trên đường tròn (O ) tâm O ,
điểm A di động trên đường tròn (O ) . Chứng minh rằng khi A di động trên đường
tròn (O ) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.
HĐTP1: Giáo viên cho học sinh quan sát mơ hình qua file Geogebra
và nhận


xét
về quỹ đạo chuyển động của trực tâm H . Nhận xét về véc tơ OM và DC ? Véc
tơ OM có thay đổi khi A chuyển động không?

10


HĐTP 2: Giải quyết bài toán
Gọi H là trực tâm của ABC và M là trung điểm BC . Tia BO cắt (O ) tại D . Vì

BCD  900 , nên DC  AH . Tương tự AD  CH . Do đó ADCH là hình bình hành. Từ đó
 


suy ra AH  DC  2
OM . Ta thấy 2OM không đổi nên H là ảnh của A qua phép tịnh

tiến theo véc tơ 2OM . Vậy khi A di động trên đường trịn (O ) thì H di động trên
 .
đường tròn (O ') là ảnh của (O ) qua T2OM
Hoạt động 4: Hoạt động vận dụng

Vận dụng 1: Cho đường trịn tâm O bán kính R cố định, AB là một đường kính
cố địnhcủa đường trịn, MN là đường kính di động. Tiếp tuyến tại B cắt AM , AN lần
lượt tại P và Q . Tìm quỹ tích trực tâm tam giác MPQ .
HĐTP 1: Thiết kế mơ hình động khi cho đường kính MN di động cho học sinh
quan sát và phát hiện quỹ tích trực tâm H và từ đó định hướng cách giải.
HĐTP 2:

  900  QA  MA nên QA là đường cao của MPQ kẻ từ Q . Gọi H là trực
Vì NAM
tâm của MPQ thì H  QA và MH  PQ , suy ra MH  AB (vì cùng vng góc với PQ ).

Tương tự ta có QH  BM ( vì cùng vng góc với AP ). Do đó HMBA là hình bình
 
 . Do M chạy trên đường tròn
hành, nên MH  BA . Vậy H là ảnh của M qua phép T
BA
(O ; R ) , trừ hai điểm A, B nên H chạy trên đường tròn là ảnh của (O ; R ) qua phép tịnh
 bỏ đi hai điểm A (là ảnh của B trong phép T ) và B (là ảnh của A trong
tiến T
1
BA
BA
 ). Giả sử T (O )  E . Khi đó quỹ tích trực tâm H của MPQ là đường
phép tịnh tiến T
BA
BA
tròn tâm E bán kính R bỏ đi hai điểm A và B1 .
Vận dụng 2: Cho hai đường thẳng song song 1, 2 và hai điểm A, B . Tìm điểm
M  1 , N   2 sao cho MN  1 và AM  MN  NB là ngắn nhất.
HĐTP 1: Thiết kế mơ hình động để học sinh quan sát và rút ra nhận xét kết quả

bài toán

11


HĐTP 2:



Giả sử M  1; N  2 sao cho MN  1 . Gọi a là véc tơ vng góc với 1 và
 
a  NM . Xét phép tịnh tiến Ta ta có : Ta ( B )  B '; Ta ( N )  M ; Ta ( M )  M '; Ta ( A)  A ' . Khi
đó : Ta ( AMNB )  A ' M ' MB . Do đó AM  MN  NB  A ' M ' M ' M  MB ' (*). Do M ' M
khơng thay đổi với mọi vị trí của M  1 nên từ (*) suy ra
( AM  MN  NB)min  ( A ' M ' MB ')min  ( AM  MB ')min . Vì AM  MB '  AB ' mà A, B ' cố
định nên ( AM  MB ')min khi và chỉ khi A, M , B ' thẳng hàng. Nếu gọi M1 1; N1 2 là
hai điểm cần tìm thì M1  AB ' 1 . Cịn N1 là hình chiếu của M 1 lên 2 .
1.2.
MƠ HÌNH CHO BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ
MẶT PHẲNG
Để xây dựng kế hoạch bài dạy này, giáo viên có thể tạo ra các mơ hình bằng
phần mềm Geogebra như sau:
Hoạt động 1: Hoạt động mở đầu
HĐTP 1: Cho học sinh xem video hình ảnh Kim tự tháp ở Ai Cập, các vật dụng
trong đời sống hàng ngày.
HĐTP 2: Cho học sinh quan sát một số mơ hình khơng gian vẽ trong Geogebra

12

Hoạt động 2: Hoạt động hình thành kiến thức

HĐTP 1: Cho học sinh quan sát mơ hình điểm thuộc mặt phẳng, điểm khơng
thuộc mặt phẳng. Từ đó học sinh nắm một cách trực quan điểm thuộc mặt phẳng.

HĐTP 2: Học sinh quan sát mơ hình của hình hộp, hình chóp tam giác rồi yêu
cầu học sinh vẽ lại theo vị trí quan sát, từ đó giáo viên hình thành cho học sinh quy
tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian.

13


HĐTP 3: Học sinh quan sát các mơ hình động từ đó giáo viên giới thiệu các
tính chất thừa nhận cho học sinh.
Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm khơng thẳng hàng

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng
thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

HĐTP 4: Cho tam giác ABC , M là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn BC . Hãy
cho biết M có thuộc mặt phẳng ( ABC ) không và đường thẳng AM có thuộc mặt phẳng
( ABC ) khơng?
GV: Cho học sinh quan sát mơ hình động và học sinh ghi nhớ tính chất

14


Tính chất 5: Nếu Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng cịn

có một điểm chung khác nữa.

Hoạt động 3: Hoạt động luyện tập
sau:

Bài tập 1: Giáo viên thiết kế mơ hình động để hướng dẫn học sinh giải ví dụ
Cho 4 điểm khơng đồng phẳng A, B, C, D trên hai đoạn AB, AC lấy hai điểm M , N

AM
AN
 1 và
 2 . Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng ( DMN ) với các
BM
NC
mặt ( ABD), ( ACD), ( ABC ), ( BCD).

sao cho

HĐTP 1: Cho học sinh quan sát mơ hình động trong các trường hợp để từ đó
học sinh tìm ra được giao tuyến của hai mặt phẳng.

HĐTP 2: Giáo viên yêu cầu học sinh xác định các giao tuyến của các cặp mặt
phẳng sau khi xem mơ hình.
Bài tập 2: Cho hai đường thẳng cắt nhau Ox, Oy và hai điểm A, B không nằm
trong mặt phẳng (Ox, Oy ) . Biết rằng đường thẳng AB và mặt phẳng (Ox, Oy ) có điểm
chung. Một mặt phẳng ( ) thay đổi luôn luôn chứa cạnh AB và cắt Ox, Oy lần lượt tại
M , N . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn đi qua một điểm cố định khi ( )
thay đổi.
HĐTP 1: Cho học sinh quan sát mơ hình động bằng phần mềm Geogebra để
giúp học sinh định hướng cách giải.

15


HĐTP 2:
Gọi I  AB  (Ox, Oy ) . Vì AB, (Ox, Oy ) cố định nên I cố định.
Vì M , N , I  ()  (Ox, Oy ) nên chúng luôn thẳng hàng. Vậy đường thẳng MN
luôn đi qua điểm I cố định khi ( ) thay đổi.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song. Gọi M là một điểm
thuộc miền trong của tam giác SCD .
a.

Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng ( SBM ) .

b.

Tìm giao tuyến của hai hai mặt phẳng ( SBM ) và ( SAC ) .

c.

Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng ( SAC ) .

d.
Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng ( ABM ) , từ đó suy ra giao tuyến
của hai mặt phẳng ( SCD ) và ( ABM ) .
HĐTP 1: Thiết kế mơ hình xuất hiện tương ứng từng câu để gợi ý học sinh giải
quyết bài tốn
- Mơ hình gợi ý câu a.

16

- Mơ hình gợi ý câu b,c,d

giải

HĐTP 2: Từ các mơ hình đã có giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh tìm cách
a.

Trong ( SCD ) kéo dài SM cắt CD tại N . Do đó N  CD  ( SBM )

b.

Ta có ( SBM )  ( SBN ) . Trong ( ABCD ) gọi E  AC  BN .

Do đó SE  ( SAC )  ( SBM ).
c.

Trong ( SBN ) gọi I  BM  SE . Do đó I  BM  ( SAC ) .

d.

Trong ( SAC ) gọi P  SC  AI . Do đó P  SC  ( ABM ) .

Vậy ( SCD )  ( ABM )  PM .
Hoạt động 4: Hoạt động vận dụng
Vận dụng 1: Trong mặt phẳng ( P ) cho tứ giác ABCD , trong đó AB và CD cắt
nhau. S là điểm nằm ngoài ( P ) , M là điểm di động trên SB . Mặt phẳng đi qua M và
cạnh AD cắt SC tại N . Giả sử AM  DN  I . Chứng minh rằng khi M di động trên
SB thì I ln nằm trên một đường thẳng cố định.
HĐTP 1: Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình và suy nghĩ tìm cách giải? Tìm

các yếu tố cố định của bài toán?
HĐTP 2: Giáo viên gợi ý cho học sinh tìm lời giải thơng qua mơ hình động mà
giáo viên thiết kế trên phần mềm Geogebra bằng việc trả lời câu hỏi: Khi cho M di
động trên SB hãy quan sát sự di chuyển của điểm I và cho biết điểm I đi qua những
điểm cố định nào?
17


HĐTP 3:

Giả sử AB  CD  F thì F cố định vì AB; CD cố định. Điểm S cố định nên đường
thẳng SF cố định. Ta lại có ( SAB )  ( SCD )  SF .
Mặt khác: I  AM ; AM  ( SAB )  I  ( SAB ) và I  DN ; DN  ( SDC )  I  ( SDC )
.Suy ra I  ( SAB )  ( SDC ) hay I  SF . Vậy khi M di động trên SB thì I ln nằm trên
đường thẳng cố định SF .
Vận dụng 2: Trong mặt phẳng ( P ) cho hình thang ABCD ( BC  AD) và điểm
S  ( P ) . Mặt phẳng (Q ) di động chứa đường thẳng AB và giả sử cắt SC , SD tương ứng
tại M , N . Mặt phẳng ( R ) di động chứa đường thẳng CD và giả sử cắt SA, SB tương
ứng tại P, Q .
a.

Chứng minh rằng MN , PQ luôn đi qua điểm cố định.

b.
Gọi I  AN  BM ; J  CQ  DP . Chứng minh đường thẳng nối I , J luôn
đi qua một điểm cố định.
c.
Gọi K  AM  BN ; L  CP  DQ . Chứng minh các đường thẳng nối K , L
luôn đi qua một điểm cố định.
HĐTP 1: Giáo viên thiết kế mơ hình động của bài tốn và cho học sinh quan

sát từ đó hướng dẫn học sinh tìm phương án trả lời. Giáo viên có thể hướng dẫn qua
từng bước dựng hình.

18


HĐTP 2: ( Hướng dẫn học sinh giải bài tập)
a.
Giả sử AB  CD  E suy ra E cố định. Ta có M , N , E đồng thời thuộc hai
mặt phẳng ( ABMN ) và ( SCD ) nên M , N , E nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng ấy
hay M , N , E thẳng hàng. Vậy đường thẳng nối M , N luôn đi qua điểm E cố định.
Tương tự PQ cũng đi qua điểm E cố định.
b.

Ta có I  AN  BM nên I  AN ; I  BM suy ra I  ( SAD ); I  ( SBC ) .

Do đó I  ( SAD )  ( SBC ). Tương tự J  ( SAD )  ( SBC ) .
Vậy I , J , S thẳng hàng. Vậy IJ luôn đi qua điểm S cố định.
c.

 K  AM
 K  BN

Giả sử BD  AC  O suy ra O cố định. Vì K  AM  BN  

Suy ra K  ( SAC )  ( SBD ).
Tương tự L  ( SAC )  ( SBD) . Mà ( SAC )  ( SBD )  SO . Vậy KL luôn đi qua các
điểm cố định S và O . ( KL là đường thẳng cố định).
1.3.
SONG

MƠ HÌNH CHO BÀI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG

Hoạt động 1: Hoạt động mở đầu
Giáo viên có thể cho học sinh tìm một số hình ảnh về đường thẳng song song
với mặt phẳng trong thực tế; Dùng phần mềm Geogbra trên điện thoại mô phỏng các
hình ảnh đó và dùng chức năng AR trình chiếu lên Tivi.
Hoạt động 2: Hoạt động hình thành kiến thức
HĐTP 1: Giáo viên cho học sinh quan sát mơ hình động về vị trí của đường
thẳng và mặt phẳng rồi nhận xét về số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng
( )

19


Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Hãy cho biết vị trí tương đối
của từng đường thẳng A ' D '; BB '; AD với mặt phẳng ( ABCD ) .
HĐ: Cho học sinh quan sát các mơ hình và nhận xét về vị trí trương đối giữa
các đường thẳng

HĐTP 2: (Tiếp cận định lí 1) Cho học sinh quan sát mơ hình động và học sinh
nhận xét xem d và ( ) có điểm chung khơng? u cầu học sinh giải thích?
20


Từ nhận xét đó giáo viên hướng dẫn cho học sinh chứng minh định lí và đưa ra
phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD .Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm AB, AC , AD. Gọi
G là trọng tâm ACD , trên đoạn BC lấy điểm Q sao cho QC  2QB
a.

không?
b.

Các đường thẳng MN , NP, PM có song song với mặt phẳng ( BCD )
Chứng minh rằng QG  ( ABD ) .

HĐ : Thiết kế mơ hình động gợi ý cho học sinh quan sát và nhận dạng được
định lí 1 để trả lời câu hỏi mà giáo viên đưa ra.
- Mơ hình gợi ý cho học sinh trả lời câu hỏi:

HĐTP 3: (Tiếp cận định lí 2) Cho học sinh quan sát mơ hình động và u cầu
học sinh nhận xét về vị trí của a và b
21


Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD . Lấy điểm M là điểm thuộc miền trong của tam
giác ABC . Gọi ( ) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD
. Xác định thiết diện tạo bởi ( ) và tứ diện ABCD . Thiết diện đó là hình gì?
HĐ: Thiết kế mơ hình theo các bước để hướng dẫn học sinh biết cách dựng giao
tuyến của hai mặt phẳng sử dụng kết quả định lí 2, học sinh quan sát được nhiều góc
độ. Từ đó tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) và tứ diện ( ABCD ) .

HĐTP 4: (Tiếp cận hệ quả 2) Giáo viên đưa ra mơ hình và yêu cầu nhận xét về
vị trí của của d và d ' . Từ đó giáo viên chốt kết quả thu được

HĐTP 5: ( Tiếp cận Định lí 3) Cho học sinh quan sát các bước xác định mặt
phẳng ( ) thơng qua thiết kế mơ hình từ đó học sinh hình thành kiến thức của định
lí.

22