Phuong trinh tham so cua duong thang

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Phương trình tham số của đường thẳng
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
1. Vecto chỉ phương
- Cho đường thẳng d, vecto u  0 gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu
có giá song song hoặc trùng với d.
- u là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì ku cũng là vecto chỉ phương của
đường thẳng d.
- Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến vuông góc với nhau hay nói cách khác
vecto chỉ phương của d là u ( a, b ) thì vecto pháp tuyến là n ( −b, a )
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A ( x0 , y0 ) nhận u (a, b) làm
vecto chỉ phương, Ta có:
 x − x0 = at
B ( x, y )  d  AB = tu  
 y − y0 = bt
 x = x0 + at
 
, a 2 + b2  0 , t 
 y = y0 + bt

- Đường thẳng d đi qua điểm A ( x0 , y0 ) , nhận u (a, b) là vecto chỉ phương, phương
trình chính tắc của đường thẳng là

x − x0 y − y0
với (a, b  0)
=
a
b

- Nếu M    M ( x0 + at , y0 + at )
3. Bài tập ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d
trong các trường hợp sau:
a. Phương trình đi qua điểm A (1, 2 ) nhận u (1, −1) làm vecto pháp tuyến.
b. Phương trình đi qua điểm B ( 0,1) vng góc với đường thẳng y = 2 x + 1 .
c. Phương trình song song với đường thẳng 4 x + 3 y − 1 = 0 và đi qua điểm
M(0, 1)
Hướng dẫn giải
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

a. Gọi điểm M(x, y) thuộc d ta có:
 x −1 = t
 x = 1+ t
AM = tu  

 y − 2 = −t  y = 2 − t
x −1 y − 2
Phương trình chính tắc là:
=
1
−1

b. Ta có đường thẳng y = 2 x + 1 có vecto pháp tuyến n = ( 2, −1)
Do đường thẳng d vng góc với đường thẳng y = 2 x + 1 nên VTPT n của

y = 2 x + 1 là VTCP u của d  n = u = ( −2,1)

 x = 0 + 2t
 y = 1− t

Ta có phương trình tham số của d là: 

x y −1
=
2
−1
c. Do d song song với đường thẳng 4 x + 3 y − 1 = 0

Phương trình chính tắc của d là:
 ud = u = ( −3, 4 )

 x = −3t
 y = 1 + 4t

Phương trình tham số của d là: 
Phương trình chính tắc của d là:

x
y −1
=
−3
4

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d
trong các trường hợp sau:

a. Đường thẳng d đi qua 2 điểm A ( −1,1) , B ( 2, −1)
 x = 3t
 y = 1 + 2t

b. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng  : 
Hướng dẫn giải

a. Ta có đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B nên d nhận AB = ( 3, −2 ) làm vecto chỉ
phương.
 x = −1 + 3t
 y = 1 − 2t

Phương trình tham số của đường thẳng d là: 
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:

x + 1 y −1
=
3
−2

b. Ta có d song song với   ud = u = ( 3, 2 )
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

 x = 3t
 y = 2t

Phương trình tham số của đường thẳng d là: 
Phương trình chính tắc của d là:

x y
=
3 2

Ví dụ 3: Cho 3 điểm A ( −2,1) , B ( −1,5 ) , C ( −2, −3)
a. Viết phương trình tham số AB, AC
b. Viết phương trình tham số đường trung trực cạnh BC
c. Viết phương trình đường thẳng song song với AB và đi qua trung điểm của BC
Hướng dẫn giải
a. Phương trình đường thẳng AB nhận AB = (1, 4 ) làm vecto pháp tuyến
 x = −2 + t
và phương trình chính tắc của d là:
 y = 1 + 4t

Phương trình tham số AB là: 
x + 2 y −1
=
1
4

 x = −2
 y = −3 − 4t

Tương tự với đường thẳng AC có phương trình tham số là: 

b. Đường trung trực của BC đi qua trung điểm của BC và nhận BC = ( −1, −8 ) làm
vecto pháp tuyến. Vậy vecto chỉ phương của đường thẳng trung trực là u ( 8, −1)

−1 − 2 −3

 xM = 2 = 2
Gọi M là trung điểm của BC khi đó: 
 y = 5−3 =1
 M
2
−3

+ 8t
x =
2

Phương trình tham số đường trung trực BC là: 
 y = 1− t

a. Do đường thẳng d tìm song song với AB nên ud = u AB = (1, 4 )
 3 
 2 
3

x = − + t
Vậy phương trình tham số của d là: 
2
 y = 1 + 4t

Theo câu b, trung điểm của BC là M  − ,1

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết
a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường
thẳng và 2 trục tọa độ.
b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1
Hướng dẫn giải
a. Gọi phương trình tổng quát là:
y = ax + b
Do PTĐT đi qua 2 điểm A, B nên ta có:
2 = −3a + b
 3 1
 ( a; b ) =  − ; − 

 4 4
−4 = 5a + b
3
4

Vậy PT tổng quát cần tìm là: y = − x −

1
4

1

 1

1






Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: y = 0  x = −  A  − ;0 
3
 3 
1
 1 
 OA =  − ;0   OA =
3
 3 
1

Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là: x = 0  y = −  B  0; − 
4
4
1
1

 OB =  0; −   OB =
4
4

1
1 1 1 1
 SOAB = .OA.OB = . . =

2
2 3 4 24

b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b
Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1
⇒ a = -2
Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b
Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188




Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

⇒ 1 = 3.(-2) + b
⇒b=7
Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7
4. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC có A ( −2,1) , B (1, −5 ) , C ( 2,3)
a. Viết phương trình tham số các cạnh AB, BC, AC
b. Viết phương trình đường trung tuyến AM, CP với M, P lần lượt là trung điểm
của cạnh BC, AB.
a. Viết phương trình tham số đường cao AH
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BC
c. Đường thẳng đi qua B và vng góc với y = 2x -3
Bài 2: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) trong các
trường hợp sau:
a. Đường thẳng đi qua 2 điểm A ( −2, 0 ) , B (1,3)

b. Đường thẳng đi qua M ( 3, −2 ) song song với đường thẳng 2 x + 5 y − 4 = 0
c. Đường thẳng có hệ số góc k = 1 đi qua điểm D ( −1, −1)
d. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và vng góc với đường thẳng x − y − 1 = 0
Bài 3:
1. Cho 3 điểm A(-4;1), B(0;2), C(3;-1).
a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB, BC, CA.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Viết phương trình tham số của đường thẳng AM.
2. Cho tam giác ABC có A(1;4); B(-9;0); C(7;1)
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB, BC, CA.
b) Viết phương trình tham số đường trung tuyến của tam giác ABC.
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

 x = 4 − 3t
; ( d2 ) : x + 2 y − 1 = 0
 y = −1 + 2t

Bài 4: Cho 2 đường thẳng ( d1 ) : 

a) Tìm tọa độ giao điểm A của d1 và d2
b) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của:
+ Đường thẳng đi qua A và vng góc với d1
+ Đường thẳng đi qua A và song song với d2

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242
6188