phương trình tham số,phương trình đường thẳng

Hoàn thành ngày 17/02/2015
Thân tặng
GV: Hà Quang Nhị
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
r
r r
1. Vectơ u ≠ 0 đgl vtcp của ( ∆ ) nếu giá của u song song hoặc trùng với ( ∆ )
 di qua M 0 ( x0 ; y0 )
 x = x0 + u1t
r
có phương trình tham số là: 
 vtcp u = ( u1 ; u2 )
 y = y0 + u2t

( ∆ ) : 

( 1)

2. Khi cho t một giá trị cụ thể ta sẽ tìm được một điểm thuộc đường thẳng ( ∆ )
r
3. Nếu ( ∆ ) có vtcp u = ( u1 ; u2 ) thì ( ∆ ) có hệ số góc là k =

Chú ý: nếu u1 ≠ 0 và u2 ≠ 0 thì pt ( 1) có thể viết lại là:
x − x0 y − y0
=
u1
u2

u2
u1

( u1 ≠ 0 )

( 2 ) phương trình này đgl phương trình chính tắc của đường

thẳng (trường hợp a = 0 hoặc b = 0 thì không có pt chính tắc)
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
r
r r
1. Vectơ n ≠ 0 đgl vtpt của đường thẳng ( ∆ ) nếu giá của n vuông góc với ( ∆ )
 di qua M 0 ( x0 ; y0 )
r
có phương trình tổng quát là: a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = 0
 vtpt n = ( a; b )

( ∆ ) : 

2. Muốn tìm một điểm thuộc ( ∆ ) thì chỉ cần cho x một giá trị cụ thể và thế vào pt
của ( ∆ ) sẽ tìm được y và ngược lại (cho y tìm x)

r
r
r
3. Nếu ( ∆ ) có vtpt n = ( a; b ) thì ( ∆ ) có vtcp là u = ( −b; a ) hoặc u = ( b; − a )

Bài tập 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) trong mỗi trường hợp
sau:
r
a) Qua M ( 1; −2 ) và có vtcp u = ( 2; −3)
r

b) Qua gốc tọa độ O và có vtcp u = ( −3;5 )
r

c) Qua N ( 3; 2 ) và có vtpt n = ( −3;7 )
d) Qua M ( 4;1) ; N ( 4; 2 )

e) Qua M ( −5; −8 ) và có hệ số góc k = −3

f) Qua Q ( 2;1) và song song với đường thẳng d có pt: 2 x + y − 5 = 0

g) Qua P ( −1;1) và vuông góc với đường thẳng d có pt: 2 x − 3 y + 1 = 0
giải
 qua M ( 1; −3)
 x = 1 + 2t
r
có phương trình tham số là: 
 y = −3 − t
vtcp u = ( 2; −1)
x −1 y + 3
=
và phương trình chính tắc của ( ∆ ) là:
2
−1

a) ( ∆ ) : 


 qua O ( 0;0 )
r
có phương trình tham số là:

vtcp
u
= ( −3;5 )

r
r
c) ( ∆ ) có vtpt n = ( −3;7 ) ⇒ ( ∆ ) có vtcp là u = ( 7;3)

b) ( ∆ ) : 

 x = −3t

 y = 5t

 qua N ( 3; 2 )
 x = 3 + 7t
r
có phương trình tham số là: 
vtcp u = ( 7;3)
 y = 2 + 3t
uuuur
d) ( ∆ ) qua M ( 4;1) ; N ( 4; 2 ) nên có vtcp là MN = ( 0;1)

( ∆ ) : 

M

 qua M ( 4;1)
 x=4
uuuur

nên có phương trình tham số là: 
 y = 1+ t
vtcp MN = ( 0;1)
uuuur
uuuur
Chú ý: ( ∆ ) qua M ( 4;1) ; N ( 4; 2 ) nên có vtcp là MN hoặc NM ; khi viết ptts thì

N

( ∆ ) : 

( ∆ ) đi qua điểm M hoặc điểm N đều được.
r
e) ( ∆ ) có hệ số góc k = −3 nên ( ∆ ) có vtcp là u = ( 1; −3)
 qua M ( −5; −8 )
 x = −5 + t
( ∆ ) : 
r
nên có phương trình tham số là: 
 vtcp u = ( 1; −3)
 y = −8 − 3t
r
f) ( d ) có vtpt là n = ( 2;1)
r
( ∆ ) song song với đường thẳng d có pt: 2 x + y − 5 = 0 nên ( ∆ ) có vtpt là: n = ( 2;1)
r
⇒ ( ∆ ) có vtcp là: u = ( 1; −2 )
 qua Q ( 2;1)
 x = 2+t
( ∆ ) : 

r
nên có ptts là: 
vtcp u = ( 1; −2 )
 y = 1 − 2t
r
r
g) ( ∆ ) n = ( 2;1) có vtpt là n = ( 2; −3)
( ∆ ) vuông góc với đường thẳng d có pt: 2 x − 3 y + 1 = 0 nên ( ∆ ) có vtcp là:
r
∆
u = ( 2; −3)
 qua P ( −1;1)
 x = −1 + 2t
( ∆ ) : 
r
nên có ptts là: 
vtcp u = ( 2; −3)
 y = 1 − 3t
Chú ý: Hai đường thẳng song song với nhau thì vtcp (vtpt) của đường thẳng
này cũng chính là vtcp (vtpt) của đường thẳng kia.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vtcp (vtpt) của đường thẳng này chính
là vtpt (vtcp) của đường thẳng kia.
Bài tập 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ( ∆ ) trong mỗi trường
hợp sau:
r
a) Qua M ( 1;3) và có vtpt n = ( 2;5 )
r
b) Qua M ( 1; 2 ) và có vtcp u = ( 3;7 )

∆

d

d


c) Qua M ( 4;1) ; N ( 5;3)

d) Qua M ( −5; −8 ) và có hệ số góc k = −3

e) Qua M ( 2;5 ) và song song với đường thẳng d : 3 x + 4 y − 7 = 0

f) Qua M ( 2;5 ) và vuông góc với đường thẳng d : 3 x + 4 y − 7 = 0
g) Qua A ( 5;0 ) ; B ( 0; 2 )

Giải

r
a) ( ∆ ) qua M ( 1;3) và có vtpt n = ( 2;5 ) nên có phương trình tổng quát là:
2 ( x − 1) + 5 ( y − 3) = 0 ⇔ 2 x + 5 y − 17 = 0
r
r
b) ( ∆ ) có vtcp u = ( 3;7 ) ⇒ ( ∆ ) có vtpt là n = ( 7; −3)

Phương trình tổng quát của ( ∆ ) là: 7 ( x − 1) − 3 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 7 x − 3 y − 1 = 0
uuuur

r

c) ( ∆ ) qua M ( 4;1) ; N ( 5;3) nên có vtcp là MN = ( 1; 2 ) ⇒ ( ∆ ) có vtpt là n = ( 2; −1)
Phương trình tổng quát của ( ∆ ) là: 2 ( x − 4 ) − 1( y − 1) = 0 ⇔ 2 x − y − 7 = 0

d) Cách 1: ( ∆ ) có hệ số góc k = −3 nên phương trình ( ∆ ) có dạng: y = −3x + m

( ∆ ) qua M ( −5; −8 ) nên: −8 = −3. ( −5 ) + m ⇒ m = −23
Vậy pt ( ∆ ) là: y = −3 x − 23 hay 3 x + y + 23 = 0

Chú ý: Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k có dạng: y = kx + m
Cách 2: ( ∆ ) qua M ( −5; −8 ) và có hệ số góc k = −3 nên pt ( ∆ ) là:
y − ( −8 ) = −3 ( x − ( −5 ) ) ⇔ 3 x + y + 23 = 0

e) Cách 1: ( ∆ ) song song với đường thẳng d : 3 x + 4 y − 7 = 0 ⇒ ( ∆ ) có vtpt là
r
n = ( 3; 4 )

Phương trình tổng quát của ( ∆ ) là: 3 ( x − 2 ) + 4 ( y − 5 ) = 0 ⇔ 3 x + 4 y − 26 = 0

Cách 2: ( ∆ ) song song với đường thẳng d : 3 x + 4 y − 7 = 0 nên phương trình ( ∆ )
có dạng: 3 x + 4 y + c = 0
( ∆ ) qua điểm M ( 2;5 ) nên: 3.2 + 4.5 + c = 0 ⇒ c = −26
Vậy phương trình tổng quát của ( ∆ ) là: 3 x + 4 y − 26 = 0

f) Cách 1: ( ∆ ) vuông góc với đường thẳng d : 3 x + 4 y − 7 = 0 nên ( ∆ ) có vtcp là:
r
u = ( 3; 4 )

r
⇒ ( ∆ ) có vtpt là n = ( 4; −3)

Phương trình tổng quát của ( ∆ ) là: 4 ( x − 2 ) − 3 ( y − 5 ) = 0 ⇔ 4 x − 3 y + 7 = 0

Cách 2: ( ∆ ) vuông góc với đường thẳng d : 3 x + 4 y − 7 = 0 nên phương trình ( ∆ )
có dạng: 4 x − 3 y + c = 0
( ∆ ) qua điểm M ( 2;5 ) nên: 4.2 − 3.5 + c = 0 ⇒ c = 7
Vậy phương trình tổng quát của ( ∆ ) là: 4 x − 3 y + 7 = 0


Chú ý: Đường thẳng ( ∆ ) / / d : ax + by + c = 0 (a,b,c là các hệ số đã cho trước) nên
pt ( ∆ ) có dạng: ax + by + d = 0 (với d là hệ số ta cần xác định)

Đường thẳng ( ∆ ) ⊥ d : ax + by + c = 0 (a,b,c là các hệ số đã cho trước) nên pt ( ∆ )
có dạng: bx − ay + d = 0 (với d là hệ số ta cần xác định)
uuur
g) ( ∆ ) đi qua A ( 5;0 ) ; B ( 0; 2 ) nên ( ∆ ) có vtcp là AB = ( −5; 2 ) ⇒ ( ∆ ) có vtpt là:
r
n = ( 2;5 )

Phương trình tổng quát của ( ∆ ) là: 2 ( x − 5 ) + 5 ( y − 0 ) = 0 ⇔ 2 x + 5 y − 10 = 0
x y
+ = 1 ⇔ 2 x + 5 y − 10 = 0
5 2
Bài tập 3: Cho tam giác ABC với A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1) ; C ( 1;1) . Viết phương trình

Hoặc: Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn:

tổng quát của cạnh AB, đường trung tuyến AM, đường cao AH của tam giác
ABC; đường trung trực của cạnh AB.
Giải
Phương trình cạnh AB:
uuur
Đường thẳng AB đi qua A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1) nên có vtcp là AB = ( −10; −6 ) ⇒ đường

r

thẳng AB có vtpt là: n = ( 6; −10 )

Phương trình tổng quát của AB là: 6 ( x − 4 ) − 10 ( y − 5 ) = 0 ⇔ 6 x − 10 y + 26 = 0
Phương trình đường trung tuyến AM:
 5



M là trung điểm của BC nên M  − ;0 ÷
 2 
 5 


uuuur  13
13 
r 

AM =  − ; −5 ÷ ⇒ AM có vtpt là n =  5; − ÷
2
 2



Đường trung tuyến AM đi qua A ( 4;5 ) ; M  − ;0 ÷ nên AM có vtcp là
2

Phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là:
5 ( x − 4) −

13
( y − 5) = 0 ⇔ 10 x − 13 y + 25 = 0
2

Phương trình đường cao AH:
uuur
Đường cao AH đi qua A ( 4;5 ) và có vtpt BC = ( 7; 2 )
Phương trình tổng quát của đường cao AH là:
7 ( x − 4 ) + 2 ( y − 5 ) = 0 ⇔ 7 x + 2 y − 38 = 0

Phương trình đường trung trực của AB:
Gọi K là trung điểm của AB nên K ( −1; 2 )

Gọi ( ∆ ) là đường trung trực của AB ⇒ ( ∆ ) đi qua điểm K ( −1; 2 ) và có vtpt
uuur
AB = ( −10; −6 )


Phương trình tổng quát của ( ∆ ) là:

−10 ( x + 1) − 6 ( y − 2 ) = 0 ⇔ −10 x − 6 y + 2 = 0 ⇔ 5 x + 3 y − 1 = 0

Bài toán: Tìm hình chiếu của điểm A trên đường thẳng ∆ (Tìm tọa độ điểm
H ∈ ( ∆ ) sao cho MH ngắn nhất); tìm điểm đối xứng của điểm A qua đường
thẳng ∆
Cách 1:
Bước 1: Viết pt đường thẳng d đi qua A và d vuông góc với ∆
Bước 2: Gọi H là hình chiếu của A trên ∆. Khi đó H = ∆ ∩ d
Bước 3: A′ là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H

là trung điểm của AA′
 x = x0 + u1t
 y = y0 + u2t

Cách 2: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tham số: 

Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ thì H ∈ ( ∆ ) ⇒ H ( x0 + u1t ; y0 + u2t ) ⇒
uuur
tọa độ AH
uuur r
uuur r
Bước 2: Do AH ⊥ ∆ nên AH ⊥ u∆ ⇔ AH .u∆ = 0 ⇒ t ⇒ tọa độ H
Bước 3: A′ là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H
là trung điểm của AA′
A
ax
+
by
+
c
=
0
Cách 3: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tổng quát:
H
Gọi H ( xH ; yH ) là hình chiếu của điểm A trên ∆
 H ∈∆
 AH ⊥ ∆
H ∈ ∆ ⇒ axH + byH + c = 0 (1)
uuur
r

AH ⊥ ∆ ⇔ AH = ( xH − xA ; yH − y A ) cùng phương với n = ( a; b )

Khi đó 

Do đó: b ( xH − x A ) − a ( yH − y A ) = 0 (2)
Giải (1) và (2) ta được tọa độ điểm H
Bài tập 4: Cho đường thẳng ( ∆ ) : x − 2 y + 4 = 0 và điểm A ( 4;1)
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên ( ∆ )

b) Tìm điểm A′ là điểm đối xứng của A qua ( ∆ )
Giải
a) + Gọi H là hình chiếu của A trên ( ∆ )

Đường thẳng AH ⊥ ( ∆ ) ⇒ pt AH có dạng: 2 x + y + c = 0
AH đi qua A nên: 2.4 + 1 + c = 0 ⇒ c = −9
Vậy phương trình AH là: 2 x + y − 9 = 0
+ H = AH ∩ ( ∆ )

A’

∆


14

x=

2
x
+

y
−
9
=
0


 14 17 
5
⇔
⇒H ; ÷
Tọa độ H là nghiệm hệ: 
5 5
x − 2 y + 4 = 0
 y = 17

5
b) A′ là điểm đối xứng của A qua ( ∆ ) ⇔ H là trung điểm của AA′

8
x A + x A′

x
=
′
A
 xH =

 8 29 
5

2
⇔
⇔
⇒ A′  ; ÷
5 5 
 y = y A + y A′
 y ′ = 29
A
H

5
2



Bài toán: Lập phương trình đường thẳng ( d1 ) đối xứng với đường thẳng ( d )
qua I
+ Bước 1: Lấy một điểm A thuộc ( d ) ; gọi A’ là điểm đối xứng của A qua I
(tức I là trung điểm của AA’)
+ Bước 2: Viết pt của đường thẳng ( d1 ) đi qua điểm A’ và song song với ( d )
Bài tập 5: Cho điểm I ( 1;1) và đường thẳng ( d ) : x − 2 y + 2 = 0 . Viết phương trình
tổng quát của đường thẳng ( d1 ) đối xứng với đường thẳng ( d ) qua điểm I. A’
Giải
Dễ thấy A ( 0;1) ∈ ( d ) ; gọi A′ là điểm đối xứng với A qua I suy ra A′ ( 2;1)

d1

Vì ( d1 ) / / ( d ) nên phương trình d1 có dạng: x − 2 y + c = 0

 I

Vậy pt đường thẳng ( d1 ) là: x − 2 y = 0
CHUYỂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Với ∆ cho dưới dạng tổng quát: ( ∆ ) : ax + by + c = 0
Để chuyển về dạng tham số ta thực hiện theo các bước sau:
r
r
a) ∆ có vtpt n = ( a; b ) ⇒ ∆ có vtcp là: n = ( b; − a )
b) Lấy một điểm A thuộc ∆ (cho x tìm y hoặc cho y tìm x)
r
c) Viết pttq của ∆ với ∆ đi qua A và có vtpt n = ( b; − a )

A

( d1 ) qua

A′ ( 2;1) nên: 2 − 2.1 + c = 0 ⇒ c = 0

d

 x = x0 + u1t
 y = y0 + u2t

2. Với ∆ cho dưới dạng tham số: 

+ Để chuyển ∆ về dạng tổng quát ta khử t từ hệ ta sẽ nhận được pt tổng quát
r
hoặc từ pt tham số ta lấy một điểm thuộc ∆ và tìm được vtcp u = ( u1 ; u2 ) ⇒ vtpt
r
n = ( u2 ; −u1 ) rồi viết pt tổng quát của ∆

+ Để chuyển về dạng chính tắc ta rút t từ hệ sẽ nhận được pt chính tắc


 x − x0
 u =t
 x = x0 + u1t
x − x0 y − y0

⇔ 1
⇔
=

y
−
y
u
u2
 y = y0 + u2t
0
1

=t
 u2
x − x0 y − y0
=
3. Với ∆ cho dưới dạng chính tắc:
u1
u2

+ Để chuyển về dạng tổng quát: ta đơn giản pt trên sẽ nhận được pt tổng quát
x − x0 y − y0
=
⇔ u2 x − u1 y − u2 x0 + u1 y0 = 0
u1
u2

+ Để chuyển về dạng tham số ta sử dụng tham số trung gian t sẽ nhận được ptts
 x − x0
 u =t
 x = x0 + u1t
x − x0 y − y0

=
=t ⇔ 1
⇔
u1
u2
 y = y0 + u 2 t
 y − y0 = t
 u2

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho hai đường thẳng d , d ′ có phương trình:

d : ax + by + c = 0; d ′ : a′x + b′y + c′ = 0
Trong trường hợp a′, b′, c′ đều khác 0 ta có:
a b
+ d cắt d ′ ⇔ ≠ , nếu d cắt d ′ thì tọa độ giao điểm của d , d ′ là nghiệm của
a′ b′

hệ:
 ax + by + c = 0

 a′x + b′y + c′ = 0
a b c
+ d Pd ′ ⇔ = ≠
a ′ b′ c ′
a b c
+ d ≡ d′ ⇔ = =
a′ b′ c′

 Cho hai đường thẳng d , d ′ có phương trình:
 x = x′ + u ′t ′
 x = x0 + u1t
0
1
d :
; d′ : 
 y = y0 + u2t
 y = y0′ + u2′t ′
 x + u t = x′ + u ′t ′
0
1
0
1
Ta xét hệ: 
 y0 + u2t = y0′ + u2′t ′
a) Nếu hệ có một nghiệm ( x; y ) thì d cắt d’
b) Nếu hệ vô nghiệm thì d Pd ′

c) Nếu hệ có vô số nghiệm thì d ≡ d ′


Bài tập 6: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu
có) của chúng:
a) d : 3 x + y − 1 = 0 ; d ′ : 4 x + 2 y + 5 = 0
b) d : x − 2 y + 5 = 0 ; d ′ : 2 x − 4 y + 1 = 0
c) d : 8 x + 10 y − 108 = 0 ; d ′ : 4 x + 5 y − 54 = 0
 x = −2t
 x = 1 + 3t ′
; d′ : 
 y = 3 + 6t ′
 y = −3t
 x = 2t
;d′ : x + y − 7 = 0
e) d : 
y = 4 + t

d) d : 

Giải
3 1
a) Ta có: ≠ vậy d cắt d’
4 2

7

 3 x + y − 1 = 0
 x = 2
⇔

Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ: 
4 x + 2 y + 5 = 0
 y = −19


2
1 −2 5
≠ Vậy d//d’
b) Ta có: =
2 −4 1
8 10 −108
c) Ta có: = =
vậy d ≡ d ′
4 5
54
 −2t = 1 + 3t ′
 t =1
⇔
d) Xét hệ: 
 −3t = 3 + 6t ′
t ′ = −1

Vậy d cắt d’ tại A ( −2; −3)
e) Hướng dẫn: đưa d và d’ về cùng một dạng (tham số hoặc chính tắc rồi làm
tương tự như trên)
Bài toán: Tìm trên đường thẳng d: ax + by + c = 0 điểm M sao cho MA+MB
nhỏ nhất, với các điểm A và B cho trước và không thuộc đường thẳng d
 Xác định ( axA + by A + c ) ( axB + byB + c )
 Khả năng 1: ( axA + by A + c ) ( axB + byB + c ) <0 thì A,B khác phía đối với d
Ta luôn có MA + MB ≥ AB

Do đó ( MA + MB ) min = AB đạt được khi A,B,M thẳng hàng ⇔ M = d ∩ AB

 Khả năng 2: ( axA + by A + c ) ( axB + byB + c ) > 0 thì A,B cùng phía đối với d
+ Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d
B
′
′
+ Ta có MA + MB = MA + MB ≥ A B
A hàng ⇔ M = d ∩ A′B
Do đó ( MA + MB ) min = A′B đạt được khi A’, B, M thẳng
A

d

M


M

B

H

A’



M

d

Bài tập 7: Cho hai điểm A ( 0; 2 ) ; B ( 2; −2 ) và đường thẳng d có pt: x − y − 1 = 0 .
Tìm trên đường thẳng một điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Giải
Ta có: ( 0 − 2 − 1) ( 2 + 2 − 1) = −9 < 0 ⇒ A, B khác phía đối với d
Ta có: MA + MB ≥ AB
Do đó ( MA + MB ) nhỏ nhất ⇔ A, B, M thẳng hàng ⇔ M = d ∩ AB
Phương trình đường thẳng AB là: 2 x + y − 2 = 0
 x − y −1 = 0
 x =1
⇔
⇒ M ( 1;0 )
2 x + y − 2 = 0
y = 0
 x = −2 + t
Bài tập 8: Cho đường thẳng ( ∆ ) : 
. Tìm điểm M ∈ ( ∆ ) và cách điểm
 y = −1 + 3t

Tọa độ M là nghiệm hệ: 

A ( 3,5 ) một khoảng bằng 5

M ∈ ( ∆ ) ⇒ M ( −2 + t ; −1 + 3t )

Giải

Theo giả thiết MA = 5 ⇔ MA2 = 25 ⇔ ( 5 − t ) + ( 6 − 3t ) = 25
2

2

 t =1
 8 49 
10t − 46t + 36 = 0 ⇔  18 . Vậy có hai điểm M cần tìm là: M 1 ( −1; 2 ) ; M 2  ; ÷
t =
5 5 
5

2

KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
1) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước
Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và điểm M ( x0 ; yo ) . Khi đó khoảng cách từ
điểm M cho trước đến ∆ được tính bởi công thức: d ( M , ∆ ) =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2

2) Phương trình hai đường phân giác
Cho hai đường thẳng cắt nhau: ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 ; ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 . Khi đó
phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi ∆1 ; ∆ 2 là:
a1 x + b1 y + c1
a12 + b12

=±

a2 x + b2 y + c2
a22 + b22

3) Lưu ý:
+ Nếu phương trình đường thẳng cho dưới dạng tham số, chính tắc thì ta trước
hết phải đưa về dạng tổng quát


+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm
tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Bài tập 9: Tìm khoảng cách từ điểm M ( 1; −2 ) đến các đường thẳng sau:
a) ( ∆1 ) : 3x + 4 y + 15 = 0
 x = 15 + 12t
 y = 6 + 5t

b) ( ∆ 2 ) : 

Giải
a) d ( M , ∆1 ) =

3 xM + 4 yM + 15

=

3 − 8 + 15
=2
5

32 + 42
 x = 15 + 12t
x − 15 y − 6
⇔

=
⇔ 5 x − 12 y − 3 = 0
b) ( ∆ 2 ) : 
12
5
 y = 6 + 5t
d ( M , ∆2 ) = 2

Bài tập 10: Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

( ∆1 ) : x + y − 5 = 0; ( ∆ 2 ) : x + y + 1 = 0

Giải

Lấy M ( 0;5 ) ∈ ( ∆1 )
Vậy d ( ∆1 , ∆ 2 ) = d ( M , ∆ 2 ) = 3 2

Bài tập 11: Tìm những điểm nằm trên đường thẳng ( ∆1 ) : 3x + y − 6 = 0 và có
khoảng cách từ đó đến ( ∆ 2 ) : x + 2 y − 2 = 0 bằng 5

Xét M ( x0 ; y0 ) ∈ ( ∆1 ) ⇒ 3x0 + y0 − 6 = 0 ⇒ y0 = 6 − 3x0 . Vậy M ( x0 ;6 − 3 x0 )
Theo giả thiết: d ( M , ∆ 2 ) = 5 ⇔

x0 + 2 y0 − 2

= 5 ⇔ x0 + 2 ( 6 − 3 x0 ) − 2 = 5
5
 x = 1 ( y0 = 3 )
 −5 x0 + 10 = 5
⇔ −5 x0 + 10 = 5 ⇔ 

⇔ 0
 −5 x0 + 10 = −5
 x0 = 3 ( y0 = −3)

Vậy có hai điểm M cần tìm là: M 1 ( 1;3) ; M 2 ( 3; −3)

Bài tập 12: Cho M ( 1; 2 ) ; N ( 3; −1) ; P ( 2;3) . Lập phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi
qua P đồng thời cách đều M,N
Giải
r
Gọi n = ( a, b ) là vtpt của ( ∆ )
Phương trình ( ∆ ) : a ( x − 2 ) + b ( y − 3) = 0

( ∆ ) cách đều M,N nên:
d ( M , ∆) = d ( N, ∆) ⇔

a.1 + b.2 − 2a − 3b
a 2 + b2

=

(a

2

+ b 2 ≠ 0 ) ⇔ ax + by − 2a − 3b = 0

a.3 + b ( −1) − 2a − 3b
a2 + b2

 2a − 3b = 0 ( 1)
 −a − b = a − 4b
⇔ − a − b = a − 4b ⇔ 
⇔
 − a − b = −a + 4b
 5b = 0 ( 2 )
Trường hợp 1 chọn a=3,b=2 ta được pt đường thẳng ∆ : 3x + 2 y − 12 = 0
Trường hợp 2 chọn a=1,b=0 ta được pt đường thẳng ∆ : x − 2 = 0
Bài tập 13: Cho d : x + 3 y − 6 = 0; d ′ : 3x + y + 2 = 0

a) Chứng minh d cắt d’
b) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’
Giải
a) Vì:

1 3
≠ nên d cắt d’
3 1

b) Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:
 x + 3 y − 6 = 3x + y + 2
x − y + 4 = 0
x + 3y − 6
3x + y + 2
=±
⇔
⇔
10
10

 x + y −1 = 0
 x + 3 y − 6 = − ( 3x + y + 2 )

Bài tập 14: Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của ∆ABC biết
A ( 2;0 ) ; B ( 4;1) ; C ( 1; 2 )

Giải

+ Phương trình cạnh AB: x − 2 y − 2 = 0
+ Phương trình cạnh AC: 2 x + y − 4 = 0
+ Phương trình hai đường phân giác của góc A:
 x + 3y − 2 = 0
x − 2y − 2
2x + y − 4
=±
⇔
5
5
3 x − y − 6 = 0

(d)
( d ′)

+ Xét đường phân giác ( d ) : x + 3 y − 2 = 0
Thế tọa độ điểm B vào vế trái của d : t1 = 4 + 3.1 − 2 = 5 > 0
Thế tạo độ điểm C vào vế trái của d : t2 = 1 + 3.2 − 2 = 5 > 0
Vì t1.t 2 > 0 nên B và C nằm cùng phía đối với d ⇒ d là đường phân giác ngoài
Vậy đường phân giác trong của góc A là: d ′ : 3 x − y − 6 = 0
Bài tập 15: Cho tam giác ABC với A ( 1;0 ) ; B ( 2; −3) ; C ( −2; 4 ) ; ∆ : x − 2 y + 1 = 0 . Xét
xem ( ∆ ) cắt cạnh nào của tam giác ABC

Giải
t A = 1 − 2.0 + 1 = 2

t A .t B > 0
t B = 2 − 2.(−3) + 1 = 9 ⇒ t A .tC < 0
tC .tB < 0
tC = −2 − 2.4 + 1 = −9

vậy ( ∆ ) cắt cạnh AC,BC; không cắt cạnh AB

GÓC HỢP BỞI HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho hai đường thẳng ∆1 : a1 x + b1 y + c1 = 0; ∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0 . Khi đó góc giữa hai
đường thẳng ∆1 ; ∆ 2 được tính theo công thức:


r r
n1.n2
a1.a2 + b1.b2
cos ( ∆1 , ∆ 2 ) = r r =
2
n1 n2
a1 + b12 a22 + b22
r
r
trong đó: n1 = ( a1 , b1 ) ; n2 = ( a2 , b2 ) là các vtpt của ∆1 , ∆ 2

Chú ý:

r r
∆1 ⊥ ∆ 2 ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0

Nếu: ∆1 : y = k1 x + b1 ; ∆ 2 : y = k2 x + b2 thì ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇔ k1.k2 = −1
Bài tập 16: Tìm góc ϕ hợp bởi hai đường thẳng sau:
a) d : x + 2 y + 4 = 0; d ′ : x − 3 y + 6 = 0
b) d : 2 x − y + 5 = 0; d ′ : x − 3 y + 2 = 0

Giải

r
r
a) d có vtpt là n1 = ( 1; 2 ) ; d’ có vtpt là n2 = ( 1; −3)
1.1 + 2. ( −3)

2
⇒ ϕ = 450
2
5. 10
Bài tập 17: Cho đường thẳng ∆ : 3 x − 2 y + 1 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d
đi qua M ( 1; 2 ) và tạo với ( ∆ ) một góc 450
cosϕ =

=

r
+ Gọi n1 = ( a; b ) là vtpt của của d

Giải

Phương trình đường thẳng d có dạng: a ( x − 1) + b ( y − 2 ) = 0
⇔ ax + by − a − 2b = 0
r

+ ∆ : 3x − 2 y + 1 = 0 có vtpt là n2 = ( 3; −2 )

(a

2

+ b2 ≠ 0)

r r
n
3a − 2b
2
1 .n2
=
+ Vì góc hợp bởi d và ∆ là 450 nên: cos45 = r r ⇔
n1 n2
2
a 2 + b 2 13
0

⇔ 26 a 2 + b2 = 2. 3a − 2b ⇔ 26 ( a 2 + b 2 ) = 4 ( 9a 2 − 12ab + 4b 2 )
⇔ 10a 2 − 48ab − 10b 2 = 0

( *)

 a=5
+ Cho b=1 ⇒ ( *) ⇔ 5a − 24a − 5 = 0 ⇔ 
1
a=−
5


2

1
5

Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là: d : 5 x + y − 7 = 0; d ′ : − x + y −

11
=0
5

Bài tập 18: Cho điểm M ( 2;3) . Viết pt đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B
sao cho ABM là tam giác vuông cân tại đỉnh M
Hướng dẫn: + Giả sử d là đường thẳng cần tìm và d lần lượt cắt hai trục Ox,Oy tại
A ( a;0 ) ; B ( 0; b )

uuur uuur
 MA.MB = 0
+ Tam giác ABM vuông cân tại đỉnh M ⇔ 
 MA = MB


 −2a − 3b + 13 = 0
2
2
 a − b − 4a + 6b = 0

+ Từ đó ta có hệ pt: 

( 1)
rút (1) thế vào (2) suy ra pt vn
( 2)

Vậy không tồn tại đường thẳng d cần tìm.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
1. Viết phương trình tham số, pt tổng quát của ∆ trong mỗi trường hợp sau:
r
a) Qua M ( 1;3) và có vtpt n = ( 2;5 )
b) Qua A ( 1; −2 ) ; B ( 4; 2 )
c) Qua A ( 5;0 ) ; B ( 0; 2 )

d) Qua I ( −2;5 ) và có hệ số góc k = −3

2. Cho tam giác ABC với A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1) ; C ( 1;1) . Viết phương trình các cạnh
AB, BC, CA, đường trung tuyến BM, đường cao BK của tam giác ABC; đường
trung trực của đoạn AB
3. Cho đường thẳng ∆ : x − 2 y + 4 = 0 và điểm A ( 4;1)
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A lên ∆
b) Tìm điểm A′ đối xứng của điểm A qua ∆
 14 17 

 8 29 

ĐS: H  ; ÷ ; A′  ; ÷
 5 5
5 5 
4. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) d : 3 x + y − 1 = 0; d ′ : 4 x + 2 y + 5 = 0
b) d : x − 2 y + 5 = 0; d ′ : 2 x − 4 y + 1 = 0

c) d : 8 x + 10 y − 108 = 0; d ′ : 4 x + 5 y − 54 = 0
 x = 5+t
x−4 y+7
;d′ :
=
2
3
 y = −3 + 2t
 x = 5+t
;d′ : x + y − 4 = 0
e) d : 
y
=
−
1
−
t


d) d : 

ĐS: a) d cắt d’;

b) d//d’

c) d ≡ d’

d) d cắt d’

e) d ≡ d’

 x = −2 + t
. Tìm điểm A ∈ d : AB = 10 với B ( 2;1)
 y = −1 + 3t

5. Cho đường thẳng d : 
ĐS: A ( −1; 2 )

 x = −2 − 2t
 y = 1 + 2t

6. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M ( 3;1) trên đường thẳng ∆ : 
1

3

ĐS: H  ; − ÷
2 2

x−2 y+3
=
. Hãy viết phương trình đường thẳng:
1
−2
a) Đi qua A và song song với ∆
b) Đi qua A và vuông góc với ∆

7. Cho điểm A ( −5; 2 ) ; ∆ :

ĐS: a) 2 x + y + 8 = 0
b) x − 2 y + 9 = 0
8. Trên đường thẳng ∆ : x − y + 2 = 0 , tìm điểm M cách đều hai điểm
E ( 0; 4 ) ; F ( 4; −9 )

 133 97 
;− ÷
 18 18 

ĐS: M  −

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương trình đường tròn:
2
2
Phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) = R 2
Nhận dạng phương trình đường tròn:
Phương trình x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với điều kiện a 2 + b 2 − c > 0 là phương trình
đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R = a 2 + b 2 − c
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
2
2
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) = 5
biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M

(

)

5 − 1;1

Giải
+ Đường tròn ( C ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) = 5 có tâm I ( −1; 2 ) ; bán kính R = 5
2

2

r

+ Gọi ∆ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn với vtpt n = ( a; b )

(

)

Phương trình ∆ : a x − 5 + 1 + b ( y − 1) = 0

(a

2

+ b2 ≠ 0 )

+ Để ∆ là tiếp tuyến của đường tròn, điều kiện cần và đủ là d ( I , ∆ ) = R tức là:
d ( I, ∆) =

(

)

a −1 − 5 + 1 + b ( 2 − 1)
a 2 + b2

(

=

− 5a + b
a 2 + b2

⇔ − 5a + b = 5a 2 + 5b 2 ⇔ − 5a + b

)

2

= 5

= 5a 2 + 5b 2


M


R

∆

b=0


⇔
 2b + 5a = 0
+ Trường hợp b = 0 , chọn a = 1 ta được phương trình tiếp tuyến ∆1 : x − 5 + 1 = 0

Trường hợp 2b + 5a = 0 , ta có thể chọn a = 2 ⇒ b = − 5 (thường chọn a là hệ số
của b hoặc chọn b là hệ số của a) ta được phương trình tiếp tuyến
∆2 : 2x − 5 y + 2 − 5 = 0

Để viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, ta thường dung điều kiện sau:
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường
tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn.


Tuy nhiên, để viết phương tình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M cho trước
thuộc đường tròn, ta sẽ giải theo cách được minh họa bởi bài toán sau đây:
2
2
Bài toán 2: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 25 và điểm M ( 4; 2 )
a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm trên đường tròn đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M
Giải
I
a) Thay tọa độ của điểm M vào vế trái của

2
2
phương trình đường tròn ta được: ( 4 − 1) + ( 2 + 2 ) = 25 = VP

Vậy điểm M nằm trên đường tròn
M

b) Gọi ∆ là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm
M
uuur
∆ là đường thẳng đi qua M ( 4; 2 ) và nhận MI = ( −3; −4 ) làm vtpt

Phương trình của ∆ là: −3 ( x − 4 ) − 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 3x + 4 y − 20 = 0
Từ hai bài toán trên, để nhận dạng đề yêu cầu viết pttt của đường tròn tại điểm
M hay đi qua điểm M ta chỉ cần thế tọa độ điểm M vào pt đường tròn, nếu tọa độ
điểm M thỏa mãn pt đường tròn thì nó thuộc bài toán 2 và ngược lại.
Nhận dạng phương trình đường tròn và tìm tâm& bán kính của đường tròn
Cách 1: Đưa pt về dạng x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 , nếu a 2 + b 2 − c > 0 thì pt đã cho
là phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) ; bán kính R = a 2 + b 2 − c
(lưu ý hệ số đứng trước x 2 , y 2 luôn tỉ lệ 1:1 )
Cách 2: Đưa pt về dạng ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 khi đó pt đã cho là pt đường tròn
2

2

tâm I ( a; b ) , bán kính R (cách này các em phải sử dụng thành thạo hằng đẳng thức
2
2
( a − b) ;( a + b) )

Bài tập 1: Xét xem các phương trình sau có phải là phương trình đường tròn
không? Nếu có hãy tìm tâm và bán kính:
a) x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0
b) x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 14 = 0
c) 4 x 2 + 4 y 2 − 8 x − 16 y + 19 = 0
d) 2 x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 = 0
Giải

2
2
a) Phương trình ( C ) có dạng x + y − 2ax − 2by + c = 0
 −2a = −2  a = 1


với  −2b = 4 ⇒ b = −2
 c = −4
 c = −4



Ta có: a 2 + b 2 − c = 1 + 4 + 4 = 9 > 0
Vậy pt đã cho là pt đường tròn
Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = 9 = 3

∆


a=2

b) Phương trình ( C ) có dạng x + y − 2ax − 2by + c = 0 với b = −3
 c = 14

2

2

Ta có a 2 + b 2 − c = −1 < 0 . Vậy pt đã cho không là pt đường tròn
2

2
c) 4 x 2 + 4 y 2 − 8 x − 16 y + 19 = 0 ⇔ x + y − 2 x − 4 y +

19
=0
4


 a =1

Phương trình ( C ) có dạng x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với  b = 2
 19
c =

4
1
2
2
Ta có: a + b − c = 1 + 4 + 4 = > 0
4

Vậy pt đã cho là pt đường tròn
Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; 2 ) , bán kính R =

1
2

d) Phương trình đã cho không là pt đường tròn. (hệ số của x 2 ; y 2 khác nhau)
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Cách 1: Dùng tâm và bán kính

Tìm tọa độ tâm I ( a; b ) và bán kính R của đường tròn ( C )
Viết pt đường tròn ( C ) : ( x − a ) + ( y − b ) = R 2
Cách 2: Dùng phương trình tổng quát (dạng khai triển)
Phương trình đường tròn ( C ) có dạng: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
Lập hệ pt với ẩn số là a,b,c
Giải hệ tìm a,b,c rồi suy ra pt đường tròn
Chú ý:
+ Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R
2

2

+ Cho đường tròn ( C ) tâm I ( a, b ) bán kính R

( C ) tiếp xúc với Ox ⇔ R = b
( C ) tiếp xúc với Oy ⇔ R = a

Bài tập 2: Viết pt đường tròn ( C ) trong mỗi trường hợp sau:
a) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) ; bán kính R = 2

b) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) và đi qua điểm A ( 3; −3)

c) ( C ) có tâm I ( 5;1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x + 2 y − 2 = 0
d) ( C ) có đường kính là AB với A ( 1; 4 ) ; B ( 3;0 )
e) ( C ) đi qua 3 điểm A ( 5;3) ; B ( 6; 2 ) ; C ( 3; −1)


f) ( C ) có tâm nằm trên đường thẳng ( ∆ ) : 2 x − y − 4 = 0 và tiếp xúc với hai trục tọa
độ
g) ( C ) đi qua điểm M ( 2; −1) và tiếp xúc với các trục tọa độ.

h) ( C ) đi qua điểm A ( 1, 2 ) ; B ( 3;1) và tâm I nằm trên ( d ) : 7 x + 3 y + 1 = 0
Giải
a) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) ; bán kính R = 2

Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + y 2 = 4
2

2
b) ( C ) có tâm I ( 2;0 ) và bán kính R = IA = 12 + ( −3) = 10

Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + y 2 = 10
2

c) ( C ) có tâm I ( 5;1) và bán kính R = d ( I , ∆ ) =

5 + 2.1 − 2
1+ 4

= 5

Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − 5 ) + ( y − 1) = 5
2

2

d) ( C ) có tâm I là trung điểm của đoạn AB nên I ( 2; 2 ) và bán kính
R = IA = 1 + 4 = 5

Phương trình đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 5
2

Nhận xét: R = IA = IB =

2

AB
2

e) Cách 1: Phương trình đường tròn ( C ) có dạng: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với
điều kiện a 2 + b 2 − c > 0
( C ) đi qua A ( 5;3) nên: −10a − 6b + c + 34 = 0

( C ) đi qua B ( 6; 2 ) nên: −12a − 4b + c + 40 = 0
( C ) đi qua C ( 3; −1) nên: −6a + 2b + c + 10 = 0

 −10a − 6b + c + 34 = 0
a = 4


Giải hệ: −12a − 4b + c + 40 = 0 ⇔  b = 1
 −6a + 2b + c + 10 = 0
c = 12



Vậy ( C ) có phương trình là: x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 12 = 0
Cách 2: Gọi I ( a; b ) là tâm của đường tròn ( C )

( C ) đi qua 3 điểm A,B,C nên ta có:

IA = IB = IC

 IA = IB
a = 4
⇒ I ( 4;1)
ta được 
 IA = IC
b =1
Bán kính R = IA ( = IB = IC ) = 5

Giải hệ: 

Vậy đường tròn cần tìm có phương trình ( x − 4 ) + ( y − 1) = 5
Để lập pt đường tròn đi qua 3 điểm A,B,C (đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC) ta cần cân nhắc lựa chọn một trong hai hướng sau:
2

2


Hướng 1: Giả sử pt đường tròn ( C ) có dạng: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (1) với
điều kiện a 2 + b 2 − c > 0
Từ đk A,B,C thuộc ( C ) ta được hệ 3 pt với 3 ẩn a,b,c
Thay a,b,c vào (1) ta được pt đường tròn ( C )
Hướng 2: Dựa vào dạng đặc biệt của tam giác:

tâm I là trung diem BC

+ Nếu ∆ABC vuông tại A thì: ( C ) : 
BC

R=

2
tâm I là trong tâm ∆ABC

+ Nếu ∆ABC đều cạnh bằng a thì: ( C ) : 
a 3
R=

3


f) + Phương trình đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) bán kính R có dạng:

( x − a ) + ( y − b) = R2
+ I ( a; b ) ∈ ( ∆ ) ⇔ 2 a − b − 4 = 0
+ ( C ) tiếp xúc với Ox,Oy ⇔ b =
2

2

(1)
a =R

 b=a
b = a ⇔
b = − a
+ Với b = a thay vào (1) ta được a = 4 ( ⇒ b = 4, R = 4 )

Phương trình đường tròn cần tìm là: ( x − 4 ) + ( y − 4 ) = 16

2

2

4

4

4

Với b = −a thay vào (1) ta được: a =  ⇒ b = − ; R = ÷
3
3
3






4

2



4

2

16

Phương trình đường tròn cần tìm là:  x − ÷ +  y + ÷ =
3 
3
9

g) + Phương trình đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) bán kính R có dạng:

( x − a)

2

+ ( y − b) = R2
2

+ Đường tròn ( C ) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy ⇔ a = b = R
+ Trường hợp 1: a = b
2
2
Khi đó pt ( C ) : ( x − a ) + ( y − a ) = a 2
Điểm M ( 2; −1) ∈ ( C ) ⇔ ( 2 − a ) + ( −1 − a ) = a 2 ⇔ a 2 − 2a + 5 = 0
⇒ pt vô nghiệm
+ Trường hợp 2: a = −b
2
2
Khi đó pt ( C ) : ( x − a ) + ( y + a ) = a 2
2

2

a =1
a = 5

2
2
Điểm M ( 2; −1) ∈ ( C ) ⇔ ( 2 − a ) + ( −1 + a ) = a ⇔ a − 6a + 5 = 0 ⇔ 
2

2

2
2
Với a = 1 ⇒ b = −1, R = 1 ta được pt ( C1 ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 1
2
2
Với a = 5 ⇒ b = −5, R = 5 ta được pt ( C2 ) : ( x − 5 ) + ( y + 5 ) = 25

h) Giả sử pt đường tròn ( C ) có dạng: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với đk:
a 2 + b2 − c > 0
A ( 1; 2 ) ∈ ( C ) ⇔ 5 − 2a − 4b + c = 0

B ( 3;1) ∈ ( C ) ⇔ 10 − 6a − 2b + c = 0

Tâm I ( a; b ) ∈ d ⇔ 7a + 3b + 1 = 0


1



 a=2
 5 − 2a − 4b + c = 0

3


Giải hệ 10 − 6a − 2b + c = 0 ⇔  b = − (thỏa)
2
 7 a + 3b + 1 = 0


c = −10




2
2
Vậy pt đường tròn ( C ) : x + y − x + 3 y − 10 = 0
2
2
 IA = IB
Cách 2: Sử dụng 
để tìm a,b; bán kính R=IA
 I ( a; b ) ∈ d
Bài tập 3: Cho hai đường thẳng d1 : 2 x + y − 1 = 0; d 2 : 2 x − y + 2 = 0 . Lập pt đường
tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1 ; d 2 và có tâm thuộc đường thẳng
d : x − y −1 = 0

Giải
+ Giả sử đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) và bán kính R
+ I ( a; b ) ∈ d ⇔ a − b − 1 = 0

( 1)

+ Đường tròn ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng cắt nhau d1 ; d 2 suy ra tâm I
thuộc đường phân giác của góc tạo bởi ( d1 ) ; ( d 2 )

Phương trình hai đường phân giác của góc tọa bởi ( d1 ) ; ( d 2 ) là:
∆ : 2 y − 3 = 0
2x + y −1
2x − y + 2
=±
⇔ 1
4 +1
1+ 4
 ∆2 : 4x + 1 = 0
( 2)
+ Nếu I ∈ ∆1 ⇔ 2b − 3 = 0
5
2

Giải hệ tạo bởi (1) và (2) ta được a = ; b =
R = d ( I , d1 ) ( hoac = d ( I , d 2 ) ) =

11
2 5

3

2




5

2



3

2

121

Phương trình đường tròn ( C1 ) :  x − ÷ +  y − ÷ =
2 
2
20

+ Tương tự I ∈ ∆ 2 ….
2

2

1 
5  121


Phương trình đường tròn ( C2 ) :  x + ÷ +  y + ÷ =
4 
4
80

Bài tập 4: Cho hai đường thẳng d1 : x + 2 y + 3 = 0; d 2 : x + 2 y + 9 = 0 . Lập pt đường
tròn có tâm thuộc đường thẳng d : x + y + 1 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng
( d1 ) ; ( d 2 )

Giải
+ Giả sử đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) và bán kính R
+ d1//d2 ⇒ d ( d1 , d 2 ) = 2 R = 2 3 ⇒ R = 3

+ ( C ) tiếp xúc với d1 ; d 2 ⇒ d ( I , d1 ) = d ( I , d 2 ) ⇔ a + 2b + 6 = 0
+ I ∈ d ⇔ a + b +1 = 0

( 2)

( 1)

+ Giải hệ tạo bởi (1) và (2) ta được a = 4; b = −5 ⇒ I ( 4; −5 )
+ Vậy đường tròn ( C ) : ( x − 4 ) + ( y + 5 ) = 3
2

2

Bài tập 5: Viết phương trình đường tròn ( C ) đi qua điểm A ( −1; −2 ) và tiếp xúc
với đường thẳng d : 7 x − y − 5 = 0 tại điểm M ( 1; 2 )
Giải
C

d
Vì ( ) tiếp xúc với ( ) tại điểm M suy ra tâm I thuộc đường thẳng ∆ có pt
 qua M ( 1; 2 )  x = 1 + 7t
⇒ I ( 1 + 7t ; 2 − t )
r

vtcp n = ( 7; −1)  y = 2 − t
( C ) tiếp xúc với ( d ) ⇔ IM = R ⇔ IM 2 = R 2 = 50t 2

cho bởi: ∆ : 

2
2
Khi đó pt của đường tròn ( C ) có dạng: ( x − 1 − 7t ) + ( y − 2 + t ) = 50t 2
2
Điểm A ( −1; −2 ) ∈ ( C ) ⇔ t = −1 ⇒ I ( −6;3) ; R = 50

Vậy phương trình đường tròn ( C ) : ( x + 6 ) + ( y − 3) = 50
2

2

2
2
Bài tập 6: Cho đường tròn ( C ) : x + y − 4 x − 2 y + 3 = 0 . Lập pt đường tròn ( C1 )

đối xứng với đường tròn ( C ) qua điểm E ( 1; 2 )
Giải
Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) ; bán kính R = 2
Gọi I1 là tâm của đường tròn ( C1 )

Vì ( C ) và ( C1 ) đối xứng với nhau qua điểm E ( 1; 2 ) ⇒ E là trung điểm của
II1 ⇒ I1 ( 0;3)


tâm I1 ( 0;3)

( C1 ) : 

 R = 2

. Phương trình đường tròn ( C ) : x 2 + ( y − 3) = 2
2

2
2
Bài tập 7: Cho đường tròn ( C ) : x + y − 2 x − 4 y + 3 = 0 . Lập phương trình

đường tròn ( C1 ) đối xứng với đường tròn ( C ) qua đường thẳng d : x − 2 = 0
Giải
+ Đường tròn ( C ) có tâm I ( 1; 2 ) ; R = 2
+ Gọi I1 ( x1 ; y1 ) là tâm của đường tròn

trung diem E cua II1 thuoc ( d )
II1 ⊥ d


Vì ( C ) và ( C1 ) đối xứng qua d suy ra: 

1 + x1


 E ∈ d
−2=0
x = 3

⇔  uur
⇔ 1
2
r ⇔
 II1 ⊥ vtcp ud
 y1 = 2
( x1 − 1) .0 + ( y1 − 2 ) .1 = 0


+ Phương trình đường tròn ( C1 ) : ( x − 3) + ( y − 2 ) = 2
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Cho đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b ) , bán kính R
2

2

+ Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C ) tại điểm M ∈ ( C )
uuur
Ta có ∆ đi qua điểm M và nhận IM làm vtpt
+ Các trường hợp còn lại dùng điều kiện tiếp xúc:
Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R
2
2
Bài tập 8: Cho đường tròn ( C ) : x + y + 2 x − 4 y = 0

a) Tìm tâm và bán kính của ( C )

b) Viết pt tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A ( 1;1)

c) Viết pt tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm B ( 4;7 )

d) Viết pt tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
3x + 4 y + 1 = 0

e) Viết pt tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2x + y − 3 = 0

Giải

a) ( C ) có tâm I ( −1; 2 ) ; bán kính R = 5
b) Gọi ∆ là tiếp tuyến cầnuurtìm
∆ đi qua A ( 1;1) và nhận IA = ( 2; −1) làm vtpt

Phương trình của ∆ là: 2 ( x − 1) − 1( y − 1) = 0 ⇔ 2 x − y − 1 = 0

r

c) + Gọi ∆ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn với vtpt n = ( a; b )
Phương trình ∆ : a ( x − 4 ) + b ( y − 7 ) = 0

(a

2

+ b2 ≠ 0 )


M


R

∆


⇔ ax + by − 4a − 7b = 0
+ ( C ) tiếp xúc với ∆ ⇔ d ( I , ∆ ) = R tức là:
−a + 2b − 4a − 7b
d ( I, ∆) =
= 5
a 2 + b2
2
2
⇔ −5a − 5b = 5a 2 + 5b 2 ⇔ 25a 2 + 25b 2 + 50ab = 5a 2 + 5b 2 ⇔ 2a + 2b + 5ab = 0

( *)

1

a=−

2
+ Chọn b = 1 ⇒ ( *) trở thành: 2a + 5a + 2 = 0 ⇔ 
 a = −2
1

+ Với a = − , pttt phải tìm là: x − 2 y + 10 = 0
2
Với a = −2 , pttt phải tìm là: 2 x − y − 1 = 0
d) ∆ / / d : 3x + 4 y + 1 = 0 ⇒ phương trình ∆ có dạng: 3 x + 4 y + c = 0
2

 c = 5 5 −5
= 5 ⇔ 5+ c = 5 5 ⇔ 
25
c = −5 5 − 5
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ∆1 : 3 x + 4 y + 5 5 − 5 = 0; ∆ 2 : 3 x + 4 y − 5 5 − 5 = 0
e) ∆ ⊥ d : 2 x + y − 3 = 0 ⇒ phương trình ∆ có dạng: x − 2 y + c = 0
−1 − 4 + c
c = 10
= 5 ⇔ −5 + c = 5 ⇔ 
∆ tiếp xúc với ( C ) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔
5
c=0
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ∆1 : x − 2 y + 10 = 0; ∆ 2 : x − 2 y = 0
∆ tiếp xúc với ( C ) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔

−3 + 8 + c

Bài tập 9: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) = 20 . Lập phương trình tiếp tuyến
2

2

của đường tròn ( C ) có hệ số góc bằng 2 .
Giải

+ Đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) ; bk R = 2 5
+ Gọi ∆ là tiếp tuyến của đường tròn
+ Đường thẳng ∆ có hệ số góc bằng 2 nên pt ∆ có dạng:

y = 2x + m ⇔ 2x − y + m = 0
+ Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn
4 −1+ m
 m=7
⇔ d ( I, ∆) = R ⇔
= 2 5 ⇔ m + 3 = 10 ⇔ 
4 +1
 m = −13
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: ∆1 : 2 x − y + 7 = 0; ∆ 2 : 2 x − y − 13 = 0

Bài tập 10: Cho đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 10 . Lập pt tiếp tuyến của
2

2

đường tròn ( C ) biết tiếp tuyến tạo với d : 2 x + y − 4 = 0 một góc bằng 450
Giải
2
2
+ Giả sử tiếp tuyến ∆ có phương trình: ax + by + c = 0 ( a + b ≠ 0 ) (1)


∆ là tiếp tuyến của ( C ) ⇔ d ( I , ∆ ) = R ⇔

a −b +c
a 2 + b2

= 10

+ ∆ tạo với d một góc 450
2

2

 2 

2a + b
⇔ cos45 =
⇔ 
=
÷
÷
÷
2
2
2
2
4 +1 a + b
 2   4 +1 a + b 
 a = −3b
2
2
3a + 8ab − 3b = 0 ⇔ 
 a=b
3


−3b − b + c
 c = 14b
= 10 ⇔ c − 4b = 10 b ⇔ 
+ Với a = −3b ⇒
2
c = −6b
( −3b ) + b 2
2a + b

0

Với c = 14b thay vào (1) ta được: −3bx + by + 14b = 0 ⇔ −3 x + y + 14 = 0
Với c = −6b thay vào (1) ta được: −3bx + by − 6b = 0 ⇔ 3 x − y + 6 = 0
b
3

+ Với a = , giải tương tự
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
1. Trong các pt sau, pt nào là pt đường tròn, chỉ rõ tâm và bán kính:
a) x 2 + y 2 − 2 x − 4 y − 4 = 0
b) x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 12 = 0
c) − x 2 − y 2 − 2 x − y − 1 = 0
d) 2 x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 = 0
e) x 2 + y 2 − 2 x − 2 y − 2 = 0
2. Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Tâm I ( 1; −3) ; bán kính R = 1
ĐS: ( x − 1) + ( y + 3) = 1
2

2

b) Đi qua điểm A ( 3; 4 ) và tâm là gốc tọa độ
ĐS: x 2 + y 2 = 25
c) Đường kính AB với A ( 1;1) và B ( 3;5 )
ĐS: ( x − 2 ) + ( y − 3) = 5
2

2

d) Đi qua điểm A ( 3;1) ; B ( 5;5 ) và tâm I nằm trên trục tung.
ĐS: x 2 + ( y − 5 ) = 25
2

e) Đi qua ba điểm A ( 7;1) ; B ( −3; −1) ; C ( 3;5 )
ĐS: x 2 + y 2 − 4 x − 22 = 0
f) Tâm I ( 5;6 ) và tiếp xúc với đường thẳng d : 3 x − 4 y − 6 = 0
ĐS: ( x − 5 ) + ( y − 6 ) = 9
2

2


g) Tâm I ( 1;3) và đi qua điểm A ( 3;1)
ĐS: ( x − 1) + ( y − 3) = 8
2

2

h) Tâm I ( −2; 0 ) và tiếp xúc với đường thẳng d : 2 x + y − 1 = 0
ĐS: ( x + 2 ) + y 2 = 5

2

i) Đi qua điểm M ( 2;1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ
25
2
2
; ( x − 5 ) + ( y − 5 ) = 25
4
j) Đi qua hai điểm M ( 1;1) ; N ( 1; 4 ) và tiếp xúc với trục Ox

ĐS: ( x − 1) + ( y − 1) =
2

2

2

2

5
25
5
25
2


ĐS: ( x + 1) +  y − ÷ = ; ( x − 3) +  y − ÷ =
2
4
2

4


k) Đi qua điểm A ( 3;1) ; B ( 5;5 ) và tâm I nằm trên trục hoành Ox
2

ĐS: ( x − 10 ) + y 2 = 50
2

l) Đi qua điểm A ( 0;1) ; B ( 1;0 ) và tâm I nằm trên d : x + y + 2 = 0
ĐS: x 2 + y 2 + 2 x + 2 y − 3 = 0
m) Đi qua 3 điểm A ( 1;1) ; B ( 3; −2 ) ; C ( 4;3) (gợi ý: tam giác ABC vuông tại A)


7

2



1

2

13

ĐS:  x − ÷ +  y − ÷ =
2 
2
2




3



3

n) Đi qua 3 điểm A 1; ÷
÷; B 1; − 3 ÷
÷; C ( 0;0 ) (gợi ý tam giác ABC đều)
 3  

2

2
4

ĐS:  x − ÷ + y 2 =
3
9

o) ( C ) đi qua điểm M ( 4; 2 ) và tiếp xúc với các trục tọa độ.
ĐS: ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 4; ( x − 10 ) + ( y − 10 ) = 100
2

2

2

2

Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x 2 + y 2 = 4 trong mỗi
trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến song song với d : 3x − y + 17 = 0
b) Tiếp tuyến vuông góc với d : x + 2 y − 5 = 0
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A ( 2; −2 )
ĐS: a) 3 x − y + 2 10 = 0;3x − y − 2 10 = 0
b) 2 x − y + 2 5 = 0; 2 x − y − 2 5 = 0
c) y + 2 = 0; x − 2 = 0
Bài tập 4: Cho điểm M ( 2;3) . Lập pt tiếp tuyến của đường tròn ( C ) đi qua điểm
M
2
a) ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = 5


b) ( C ) : x + y − 4 x + 2 y − 11 = 0
ĐS: a) x − 2 y + 8 = 0 ;
2

2

b) y − 3 = 0