giai tich 1 nguyen xuan thao bai 9 gt1 bk cuuduongthancong com

PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo



GIẢI TÍCH I
BÀI 9
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (TIẾP THEO)
2. Các tính chất của tích phân xác định
b

∫

∫ g ( x ) dx

a

a
b

a) Tuyến tính. ∃ f ( x ) dx , ∃
b

⇒

b

b

∫ [α f ( x ) + β g ( x ) ] dx = α ∫ f ( x ) dx + β ∫ g ( x ) dx ,
a

a

α, β ∈ » .

a

b) Cộng tính. f(x) khả tích trên khoảng có độ dài lớn nhất từ [a ; b], [a ; c], [c ; b]
b

c

b

a

a

c

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

⇒ f(x) khả tích trên các khoảng cịn lại và có
c) Bảo tồn thứ tự
b

+) f(x) khả tích và không âm trên [a ; b] ⇒

∫ f ( x ) dx ≥ 0
a

b

+) f(x), g(x) khả tích trên [a ; b] và f(x) ≤ g(x) ⇒

∫

b

f ( x ) dx ≤

a

+) f(x) khả tích trên [a ; b] ⇒

b

b

a

a

∫ g ( x ) dx
a

∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx
b

+) Nếu m ≤ f(x) ≤ M trên [a ; b] ⇒ m(b − a) ≤

∫ f ( x ) dx ≤ M(b − a).
a

d) Các định lí trung bình.
- Định lí trung bình thứ nhất. f(x) khả tích trên [a ; b], m ≤ f(x) ≤ M ⇒ ∃µ ∈ [m ; M]
b

để có

∫ f ( x ) dx = µ(b − a).
a

b

Nếu thêm f(x) liên tục trên [a ; b] thì ∃ c ∈ [a ; b]:

∫ f ( x ) g ( x )dx = f (c )(b − a)
a

- Định lí trung bình thứ hai. f(x), g(x) khả tích trên [a ; b], m ≤ f(x) ≤ M và có g(x)
khơng đổi dấu trên [a ; b] ⇒ ∃ µ ∈ [m ; M]:

b

b

a

a

∫ f ( x ) g ( x ) dx = µ ∫ g ( x ) dx

Nếu thêm f(x) liên tục trên [a ; b] thì ∃ c ∈ [a ; b]:

35

b

b

a

a

∫ f ( x ) g ( x ) dx = f ( c ) ∫ g ( x ) dx


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



e) Tính chất
1°/ Tích phân các hàm chẵn, lẻ
 a
a
 2 f ( x ) dx, nếu f ( x ) là hàm chẵn
f ( x ) dx = 
0

−a

nÕu f ( x ) lµ hµm lỴ
 0,
 (n − 1) !! π
π /2
π /2
 n !! . 2 , n ch½n
n
n
2°/
sin xdx =
cos xdx = 
(Warllis)
(
n
−
1)
!!

0
0
n lỴ
,
 n !!
III. Cơng thức đạo hàm theo cận , cơng thức Newton – Leibnitz

∫

∫

∫

∫

x

Định lí. f(x) khả tích trên [a ; b] ⇒ I ( x ) =

∫ f ( t ) dt liên tục trên [a ; b].
a

Nếu thêm f(t) liên tục tại t = x ∈ [a ; b] ⇒ I’(x) = f(x).
Ví dụ 1.
d
a)
dx

x

∫e

−t 2

d
b)
dx

dt

1

1

∫

d
c)
dx

1 + t 3 dt

x

x2

∫

∫

(0)

x3

x2

∫ tan t dt

∫ ln (1 − 2t ) dt
0

x

x →0

∫ sin t 2 dt

π /2


3
( π − 2t ) cos t dt 
e ) lim  tan x

x →0 

x


x


1
4
d ) lim  cot x t 2 sin t dt  ( )
x →0 

4
0



f ) lim

x3

sin3

x

0
2
x → 0 x ln(1 +

(−1)

g ) lim

1
( )
2

x4 )

a

h ) Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ nhất

∫ e x arctan (1 + x ) dx

(a = −1)

0
a

i ) Tìm a để tích phân đạt giá trị nhỏ nhất

∫ e− x arctan (1 − x ) dx

(a = 1)

0

x

x

∫t
k) lim

sin2

∫ t 2 sin3 3t dt

2t dt

0

x →0 x

0
x

x →0

(2)

l) lim

∫ ln (1 + 2t 3 ) dt

(0)

∫ ln (1 − 3t 4 ) dt

0

0

Công thức Newton – Leibnitz: f(x) liên tục trên [a ; b] và có nguyên hàm là F(x)
b

⇒

∫ f ( x ) dx = F(b) − F(a)
a

Ví dụ 2.

1
π
2π
+

 sin + sin
n →∞ n 
n
n
36

d) lim

+ sin

( n − 1) π 

n



PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



π /2

∫

a)

e) lim

x 2 cos x dx ;

∫

+

+

np

,p>0

n p +1
n
k
kπ
f ) lim
sin
2
n →∞
n
2n
k =1

∑

x 3e x dx

n

0
3

c)

+

2p

n →∞

0
1

b)

1p

(

kπ

k

∑ n2 cos 2n
n →∞

g ) lim

∫ 2 − x dx

4

π2
(

k =1

)

2π − 4

π2

)

0

Ví dụ 3. Cửa thẳng đứng của một con đập có dạng hình vng với cạnh bằng 4ft ngập
trong nước và cách mặt nước 2ft. Hãy tính áp lực của nước tác động lên cửa đập.
Ví dụ 4. Một thùng hình trụ có bán kính r, chiều cao h, chứa nước có chiều cao D.
Tính cơng sản ra khi bơm nước qua đáy trên thùng.
Ví dụ 5. Trong buồng đốt của một xi lanh hình trụ chứa một lượng khí nhất định với
áp suất ban đầu là p = 101325N/m2 và thể tích ban đầu là V1 = 0,4m3. Tính cơng
sản ra khi pittơng chuyển động đến vị trí sao cho buồng đốt có thể tích V2 = 0,8m3
(coi nhiệt độ khơng khí khơng thay đổi)
IV. Các phương pháp tính
b

a) Đổi biến số. Xét

∫ f ( x ) dx , f(x) liên tục trên [a ; b].

a

Định lí 1. Xét x = ϕ(t) thoả mãn:
+) ϕ′ (t) liên tục trên [α ; β]
+) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b.
+) Khi t biến thiên trong [α ; β] thì ϕ(t) biến thiên trong [a ; b].
Khi đó ta có

b

β

a

α

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) dt .

Định lí 2. Xét t = ϕ(x) thoả mãn:
+) ϕ(x) biến thiên đơn điệu trên [a ; b] và có đạo hàm liên tục.
+) f(x)dx trở thành g(t)dt, ở đó g(t) liên tục trong [ϕ(a) ; ϕ(b)].
Khi đó ta có

b

ϕ(b)

a

ϕ a

∫ f ( x ) dx = (∫ ) g ( t ) dt

Ví dụ 1.
1

a)

∫
0
2

b)

∫

1
ln 5

c)

∫
0

π

ex
e x + e− x

h)

dx

x2 − 1
dx
x
ex

ex

−1
dx
−e x + 6

∫
0

x sin x
dx
1 + cos2 x

π /2

i)

∫

−π / 2
2/3

k)

∫

1/ 3

37

(

π2
4

)

sin x ( sin x + cos x )
dx (1)
1 + sin 2 x
dx
x 2 ( 3 x + 1)

2

( 2 + 6 ln

3
)
4


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

29

3

( x − 2 )2 / 3
dx
( x − 2 )2 / 3 + 3

∫

d)



3
1

−1
5

( 1 − x 2 )n dx, n ∈ »
∫

e)

1
2

2

e x arctan x
dx
1 + x 6 + sin x 2

∫

f)

−π

π /2

∫

g)

0

∫

m)

0

π

( x + 2)dx

∫

l)

( x − 2)dx

x2

1
0

− 2 x + 10

xdx

(

xdx

∫ ( x 2 + 2 x + 2 )2

o)

(0)

( 2 − ln 3 )

∫ ( x 2 − 2 x + 2 )2

n)

 1 + cos3 x 

ln 
 dx
 1 + sin3 x 

( 2 + ln 3 )

x 2 + 2 x + 10

π
8

(−

−1

1
)
2

+

π

)

8

b) Tích phân từng phần
b

Cho các hàm u, v khả vi liên tục trên [a ; b], khi đó ta có

∫ u dv

b

= uv

b
a

−

a

∫ v du
a

Ví dụ 2.
1

a)

∫

b)

x arctan x dx

−1

∫

g)

∫

1
1

i)

e)

e2 x sin 3 x dx

0
2

x −1
arcsin
dx
x

∫

(

π
2

2
x ( 1 − 2 arctan x ) dx

∫

∫

0

π2
2

−

arccos

x 2 arcsin x
1+

x2

(

π

2x − 1
dx
2x

12

x
dx
x +1

∫

m)

arcsin2 x dx

0
2

(1)

o)

∫
1

arcsin

x −1
dx
x

(
(

+

1
( 3 − 1) )
2

π2
4

π
2

2

x dx

(π)

q)

∫π ( 4 − 5 x ) sin2 x dx

−

2

38

2

− 2)

− 1)

π

2 ) sin2

dx

+ cos x

− 2π + 4 ln 2 )

2

∫π ( 3 x +

∫

h)

1

(π − 2 )

( arccos x ) dx

arccos

− 1)

∫
−1

π

p)

f)

1

2

∫

x 3e2 x dx

x sin x
dx
cos2 x

π2 π

(1 + 3 
− + ln 2  )
2
 8



3
x ( 1 + arctan x ) dx

0
1

n)

0
1

2

(1 +

−1
1

l)

∫

∫

c)

0

−1
1

k)

∫

ln x dx

1/ e
1

π

d)

π /3

e

(2π)


PGS. TS. Nguyễn Xn Thảo



§3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Đặt vấn đề
I. Tích phân suy rộng với cận vơ tận

1. Định nghĩa

∞

A

a

a

f ( x ) dx
∫ f ( x ) dx = Alim
→+∞ ∫

Ta nói tích phân suy rộng hội tụ nếu vế phải tồn tại (hữu hạn) và phân kì trong
trường hợp ngược lại.
a

Tương tự ta định nghĩa

a

f ( x ) dx
∫ f ( x ) dx = Blim
→−∞ ∫

−∞

Ta định nghĩa

B

∞

a

∞

−∞

−∞

a

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

Tích phân trên hội tụ ⇔ cả hai tích phân vế phải hội tụ.

Ví dụ 1. Tính
∞

a)

∫

1
∞

d)

∫

1
∞

g)

∫

0
0

b)

dx
, α ∈»
xα

e)

2x + 1
dx
e2 x

∫

i)

∞

dx
1 + x2

x 22 x −1dx

∫
1

dx
x ( 2 + x2 )

∫

c)

(1)
(
(

h)

2

f)

x 3e − x dx

k)

∫ e−

1
ln 3 )
4

m)

∫

−∞
∞

∫
1

arctan x
dx
x2

x −1dx

x 32 x +1dx

(2)
(

−3
)
4 ln2 3

dx
ln 2
(
)
2
x (1 + x 2 )

2. Các dấu hiệu hội tụ
a) Khi f(x) ≥ 0 và khả tích trên [a ; A], ∀ A > a.
Định lí 1.

∞

A

a

a

∫ f ( x ) dx hội tụ ⇔ ∫ f ( x ) dx ≤ L, ∀ A.

Định lí 2. f, g khả tích trên [a ; A], ∀ A > a; 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀ x ≥ a.
Nếu

Nếu

∞

∞

a
∞

a

∫ g ( x ) dx hội tụ ⇒ ∫ f ( x ) dx hội tụ
∞

∫ f ( x ) dx phân kì ⇒ ∫ g ( x ) dx phân kì
a

a

Have a good understanding!
39

dx

∫ ( 1 + x 2 )2

−∞

1
0

−1
)
8 ln2 2

∫

1
∞

0
∞

−∞
∞

l)

∫

−∞
∞

∞

dx
1 + 4x 2