giải tích 1 lê xuân đại 2 tích phân bất định sinhvienzone com

C
o

e.

on

Bài giảng điện tử

nZ

TS. Lê Xuân Đại

hV

ie

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

in

m

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

/>
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

1 / 66


C
o

Bài toán thực tế

Bài toán điều tra dân số

nZ

on

e.

Theo mô hình điều tra dân số về sự tăng trưởng
của dân số thế giới, tốc độ tăng trưởng của dân số
thế giới từ năm 1950 là
p(t) = −0, 012.t 2 + 48.t − 47925, với t là năm
theo lịch, p(t) (triệu người/năm).
Theo kết quả điều tra dân số năm 2000 thì
tổng dân số là 6000 triệu người. Hãy tìm hàm
tổng dân số P(t) theo năm.
Từ hàm tổng dân số P(t) dự đoán dân số thế

/>giới năm 2050

hV

2

ie

1

in

m

Nguyên hàm và tích phân bất định

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

2 / 66


C
o

Bài toán thực tế

e.

1. P(t) chính là hàm ngược lại của đạo hàm
(nguyên hàm) - antiderivative

nZ

on

t3
t2
P(t) = −0, 012. + 48. − 47925.t + C
3
2

hV

ie

Để tìm C ta thay t = 2000 và P(2000) = 6000.
Khi đó ta thu được C = 31856000 và
P(t) = −0, 004.t 3 + 24.t 2 − 47925.t + 31856000
2. Thay t = 2050 ta sẽ dự đoán được tổng dân số
năm 2050 là P(2050) = 9250 triệu người.

in

m

Nguyên hàm và tích phân bất định

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

3 / 66


e.

C
o

Nguyên hàm

hV

ie

nZ

on

Định nghĩa
Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm
số f (x) trong khoảng X , nếu như F (x) liên tục và
khả vi trong X và với mọi ∀x ∈ X luôn có đẳng
thức F (x) = f (x), hoặc là dF (x) = f (x)dx.

in

m

Nguyên hàm và tích phân bất định

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

4 / 66


C
o

Nguyên hàm

hV

ie

nZ

on

e.

Định lý
Nếu hàm số F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x)
trong khoảng X ⊂ R thì hàm số
Φ(x) = F (x) + C , với C là hằng số, cũng là
nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng
X ⊂ R. Ngược lại, nếu những hàm số F (x) và
Φ(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trong
khoảng X ⊂ R thì tồn tại hằng số C ∈ R sao cho
Φ(x) = F (x) + C .

in

m

Nguyên hàm và tích phân bất định

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

5 / 66


Tích phân bất định

C
o

Nguyên hàm và tích phân bất định

nZ

on

e.

Định nghĩa
Cho hàm số F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x)
trong khoảng X ⊂ R, khi đó biểu thức
Φ(x) = F (x) + C , với C là hằng số bất kỳ, được
gọi là tích phân bất định của hàm số f (x)
trong khoảng X .

in

hV

ie

Tích phân bất định này được kí hiệu là f (x)dx.
Như vậy tích phân bất định của f (x) là
f (x)dx = F (x) + C , với F (x) là nguyên hàm
của hàm số f (x) trong khoảng X , còn C là hằng
/>ốm bất kỳ.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

6 / 66


C
o

Tích phân bất định

8.

hV

ie

nZ

on

e.

Bảng công thức tích phân bất định cơ bản
1. 0dx = C .
2. 1.dx = x + C .
µ+1
3. x µdx = xµ+1 + C , µ = −1.
4. dxx = ln |x| + C .
x

5. ax dx = lna a + C , a > 0, a = 1.
6. e x dx = e x + C .
7. √dx 2 = arcsin x + C , x = ±1.
1−x
dx
=
1+x 2

in

m

Nguyên hàm và tích phân bất định

arctan x + C .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

7 / 66


C
o

Tích phân bất định

hV

ie

nZ

on

e.

9. sin xdx = − cos x + C .
10. cos xdx = sin x + C .
11. cosdx2 x = tan x + C .
12. sindx2 x = − cot x + C .
13. sinh xdx = cosh x + C .
13. cosh xdx = sinh x + C .
dx
14. cosh
2 x = tanh x + C .
dx
15. sinh
2 x = − coth x + C .
1
x−a
16. x 2dx
=
ln
|
+ C.
2

2a
x+a |√
−a
17. √ dx2 2 = ln |x + x 2 ± a2| + C .

in

m

Nguyên hàm và tích phân bất định

x ±a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

8 / 66


e.

C
o

Tích phân bất định

hV

ie

nZ

on

Những tính chất của tính phân bất định
Từ định nghĩa tích phân bất định ta trực tiếp suy
ra những đẳng thức sau:
1. d f (x)dx = f (x)dx.
2. dF (x) = F (x) + C .

in

m

Nguyên hàm và tích phân bất định

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

9 / 66


C
o

Tích phân bất định

hV

ie

nZ

on

e.

Quy tắc tính tích phân bất định cơ bản
Quy tắc I. Nếu số a = 0 thì luôn có đẳng thức
sau af (x)dx = a f (x)dx.
Quy tắc II. Luôn có đẳng thức sau
(f (x) ± g (x))dx = f (x)dx ± g (x)dx.
Quy tắc III. Nếu ta có đẳng thức
f (t)dt = F (t) + C thì ta luôn có đẳng thức
1
f (ax + b)dx = F (ax + b) + C , (a = 0).
a

in

m

Nguyên hàm và tích phân bất định

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

10 / 66


C
o

Phương pháp đổi biến

on

e.

Phương pháp đổi biến

hV

ie

nZ

Nội dung chính của phương pháp đổi biến trong
tích phân bất định là khẳng định đơn giản sau: nếu
tích phân bất định g (t)dt = G (t) + C thì tích
phân bất định g (ω(x))ω (x)dx = G (ω(x)) + C .

in

m

Phương pháp tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

11 / 66


Phương pháp đổi biến

C
o

Phương pháp tính tích phân

in

hV

ie

nZ

on

e.

Phương pháp đổi biến được áp dụng trong 2
trường hợp sau:
Trường hợp I. Khi tính tích phân f (x)dx biểu
thức dưới dấu tích phân của nó có thể được biểu
diễn dưới dạng f (x)dx = g (ω(x)).ω (x)dx, với
ω(x) là một số hàm số biến x, thì ta chỉ cần tính
tích phân g (t)dt và sau đó đối với kết quả thu
được ta thay biến t bởi hàm số ω(x).
Chú ý trường hợp thứ I này được áp dụng khi
trong biểu thức f (x)dx có xuất hiện biểu thức
( x)dx.
m
/>TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

12 / 66


e.

C
o

Phương pháp đổi biến

sin3 x cos xdx.

on

Ví dụ
Tính tính phân

nZ

Đặt t = sin x, dt = cos xdx. Khi đó ta có
3

t4
sin4(x)
t dt = +C =
+C .
4
4
3

hV

ie

sin x cos xdx =

in

m

Phương pháp tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

13 / 66


C
o

Phương pháp đổi biến

hV

ie

nZ

on

e.

Trường hợp II. Trong nhiều trường hợp việc tính

tích phân f (x)dx sẽ được đơn giản hóa nếu như
trong biểu thức dưới dấu tích phân của nó thay
vào vị trí của x là 1 hàm mới x = ϕ(t) biến t, khi
đó f (x)dx = f (ϕ(t)).ϕ (t)dt. Vì vậy để tính tính
phân f (x)dx chỉ cần tính tích phân
f (ϕ(t))ϕ (t)dt và sau đó đối với kết quả thu
được ta thay t bởi hàm số t = ω(x) là hàm ngược
của hàm số x = ϕ(t).

in

m

Phương pháp tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

14 / 66


Phương pháp đổi biến

C
o

√

a2 cos2 tdt =

on

a2 − x 2dx =

e.

Ví dụ. Tính tích phân
a2 − x 2dx.
Đặt x = a sin t ⇒ t = arcsin xa , dx = a cos tdt.

x x
arcsin +
a a

hV

a2
=
2

nZ

a2
1
(1 + cos 2t)dt = (t + sin 2t) + C =
2
2

ie

a2
=
2

1
= x
2

in

m

Phương pháp tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

x
1−
a

2

+C =

a2
x
− + arcsin + C .

a
2
/>a2

x2

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

15 / 66


C
o

Phương pháp tích phân từng phân

on

e.

Định lý
Cho những hàm số u = u(x) và v = v (x) khả vi
trong khoảng X ⊂ R. Khi đó ta luôn có đẳng thức
sau udv = uv − vdu.

hV

ie

nZ

Ví dụ
√
Tính tích phân I =
x 2 ± a2dx.
√
Đặt u = x 2 ± a2, dv = dx. Khi đó
xdx
du = √
, v = x.
2
2
x ±a

in

m

Phương pháp tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

16 / 66

C
o

Phương pháp tích phân từng phân

Như vậy

x 2 ± a2 −

e.

x 2 ± a2dx ±a2

x 2 ± a2 − I ± a2

ie

=x

−

x 2dx
√
=
x 2 ± a2

nZ

=x

±

a2

on

x2

I =x

hV

Từ đó suy ra
√
x x 2 ± a2 a2
I =
± ln |x +
2 />2

in

m

Phương pháp tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

√

√

dx
=
x 2 ± a2

dx
x 2 ± a2

x 2 ± a2 | + C .
TP. HCM — 2013.

17 / 66


C
o

Phương pháp tích phân từng phân

hV

ie

nZ

on

e.

Chú ý. Phương pháp tích phân từng phân không
mạnh bằng phương pháp đổi biến tuy nhiên một
số tích phân chỉ tính được bằng phương pháp tích
phân từng phần. Đó là những tích phân có dạng
sau:
x k lnm xdx (k, m ∈ Z0)
x k sin axdx,
x k cos bxdx
e ax sin bxdx,
e ax cos bxdx.

in

m

Phương pháp tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

18 / 66


C
o

Công thức truy hồi

on
(1)

dx
(n ∈ N) (2)
(x 2 + a2)n

hV

với In =

1
x
2n − 1
.
+
In ,
2na2 (x 2 + a2)n
2na2

ie

In+1 =

nZ

Định lý

Luôn có đẳng thức

e.

Công thức truy hồi

in

m

Phương pháp tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

19 / 66


C
o

Công thức truy hồi

hV

ie

nZ

on

e.

Áp dụng công thức tích phân từng phần, đặt
1
u= 2
, dv = dx. Khi đó
(x + a2)n
−2nxdx
, v = x. Vậy
du = 2
(x + a2)n+1
x
x 2dx
In = 2
+ 2n
=
(x + a2)n
(x 2 + a2)n+1
x
(x 2 + a2) − a2
+ 2n
dx =
(x 2 + a2)n
(x 2 + a2)n+1
x
2

+
2nI
−
2na
In+1
n
(x 2 + a2)n

in

m

Phương pháp tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

20 / 66


e.

C
o

Công thức truy hồi

hV

ie

nZ

on

Từ đó suy ra
1
x
In+1 =
+ (2n − 1)In .
2na2 (x 2 + a2)n
dx
1
x
Vì I1 =
=
arctan
+ C nên với n = 1
x 2 + a2 a
a
ta tính được I2. Biết I2 ta tính tiếp I3, v.v. Quá
trình này được gọi là quá trình truy hồi.

in

m

Phương pháp tính tích phân

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

21 / 66


C
o

Công thức truy hồi

dx
(x 2 + 4)2

on

Tính tích phân

e.

Ví dụ

hV

ie

nZ

Theo công thức (1) ta có a = 2, n = 1. Từ đó suy
ra
dx
1 x
1
dx
=
.
+
=
(x 2 + 4)2 8 x 2 + 4 8 x 2 + 4

in

m

Phương pháp tính tích phân

1 x
1
x
= . 2
+ . arctan + C .
8 x + 4 16
2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

22 / 66


C
o

A
(k = 2, 3, . . .);
(x − a)k

on

2)

Mx + N
;
x 2 + px + q

4)

ie

3)

A

;
x −a

nZ

1)

Những phân số sơ cấp

e.

Định nghĩa
Những phân số có dạng

Mx + N
(m = 2, 3, ...)
(x 2 + px + q)m

hV

với A, a, M, N, p, q là những số cố định và
p2
q−
> 0, được gọi là những phân số sơ cấp.
4

in

m

Tính tích phân của những hàm hữu tỉ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

23 / 66


C
o

Những phân số sơ cấp

hV

ie

nZ

on

e.

Tích phân của những phân số sơ cấp là:
A
dx = A ln |x − a| + C .
1.

x −a
2.
A
A
dx
=
+ C , (n = 1).
(x − a)n
(1 − n)(x − a)n−1
Mx + N
M (2x + p)dx
3.
dx
=
+
x 2 + px + q
2 x 2 + px + q
Mp
dx
N−
=
2
(x + p/2)2 + q − p 2/4
M
2
2 ln |x + px + q| +
x+p/2
1
√
√

N − Mp
.
arctan
+C
2
/>2
2

in

m

Tính tích phân của những hàm hữu tỉ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

q−p /4

q−p /4

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

24 / 66


e.

C

o

Những phân số sơ cấp

Mx + N
M
2x + p
dx
=
dx +
(x 2 + px + q)m
2 (x 2 + px + q)m
Mp
dx
N−
=
2
(x 2 + px + q)m

nZ

on

4.

dx
,
(x 2 + px + q)m

hV

ie

M (x 2 + px + q)−m+1
Mp
+ N−
2
−m + 1
2

in

m

Tính tích phân của những hàm hữu tỉ

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TP. HCM — 2013.

25 / 66