giải tích 1 lê xuân đại 1 đạo hàm va vi phân cua hàm một biến sinhvienzone com

C
o

e.

on

Bài giảng điện tử

nZ

TS. Lê Xuân Đại

hV

ie

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

in

m

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

/>
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

1 / 81


C
o

Bài toán thực tế

e.

Bài toán máy bay rơi

hV

ie

nZ

on

Trong lĩnh vực hàng không, giả sử máy bay đang
bay thì hết xăng, độ cao của máy bay khi hết xăng
được mô tả bởi phương trình
H(t) = H0 + v0t − 16t 2, với H0(km) là độ cao của
máy bay lúc hết xăng, v0(km/h) là vận tốc của

máy bay lúc hết xăng. Thời gian từ lúc hết xăng
cho đến khi máy bay đạt độ cao lớn nhất là 0, 3h.
Hãy tìm vận tốc v0 của máy bay khi hết xăng?

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

2 / 81


ie

nZ

on

e.

C
o

Bài toán thực tế

hV
in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

3 / 81


C
o

Bài toán thực tế

nZ

on

e.

Thời gian từ lúc hết xăng cho đến khi máy bay đạt

độ cao lớn nhất là 0, 3h, có nghĩa là khi t = 0, 3
thì v (0, 3) = 0.
Theo công thức, ta có

ie

v (t) = (H(t)) = v0 − 32.t.

hV

Như vậy
v (0, 3) = v0 − 32.(0, 3) = 0 ⇒ v0 = 9, 6(km/h)

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

4 / 81


C
o

Định nghĩa

on

e.

Định nghĩa
Cho hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của
điểm x0. Giới hạn (nếu có) của tỉ số

nZ

f (x) − f (x0)
,
x→x0
x − x0

ie

lim

hV

được gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại x0
và được ký hiệu là f (x0) hay y (x0).

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

5 / 81


C
o

Định nghĩa

on

e.

Định nghĩa
Đạo hàm trái của y = f (x) tại x0 là giới hạn trái
(nếu có)
f (x) − f (x0)
x − x0
x→x0−

nZ

f−(x0) = lim

hV

ie

Đạo hàm phải của y = f (x) tại x0 là giới hạn phải
(nếu có)
f (x) − f (x0)
x − x0
x→x0+

f+(x0) = lim

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

6 / 81


e.

C
o

Định nghĩa

ie

nZ

on

Định lý
Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi
nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x0 và
chúng phải bằng nhau.

hV

f (x0) = f−(x0) = f+(x0)

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

7 / 81


C
o

Định nghĩa

Ví dụ

e.

x, x 0
−x, x < 0

on

Hàm số y = f (x) = |x| =

nZ

|x| − |0|
x
= lim = 1
x→0+ x − 0
x→0+ x
|x| − |0|

−x
f−(0) = lim
= lim
= −1
x→0− x − 0
x→0− x
Như vậy f+(0) = 1 = −1 = f−(0). Do đó hàm số
không có đạo hàm
tại x0 = 0.
/>
hV

ie

f+(0) = lim

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

8 / 81

C
o

Các quy tắc tính đạo hàm

on

e.

Các quy tắc tính đạo hàm

hV

ie

nZ

Định lý
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm hữu hạn u (x0)
tại điểm x0 thì hàm số y = cu = cu(x) với c ∈ R
cũng có đạo hàm hữu hạn y tại điểm x0, lúc này
ta có đẳng thức y = cu = cu (x0).

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

9 / 81


e.

C
o

Các quy tắc tính đạo hàm

hV

ie

nZ

on

Định lý
Nếu hàm số u = u(x) và v = v (x) có đạo hàm
hữu hạn u = u (x) và v = v (x) tại điểm x0 ∈ X
thì tại điểm này hàm số y = u ± v = u(x) ± v (x)
cũng có đạo hàm hữu hạn y tại điểm x0, lúc này
luôn có đẳng thức y = u ± v = u (x0) ± v (x0).

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

10 / 81


C
o

Các quy tắc tính đạo hàm

ie

nZ

on

e.

Định lý

Nếu hàm số u = u(x) và v = v (x) có đạo hàm
hữu hạn u = u (x) và v = v (x) tại điểm x0 ∈ X
thì tại điểm này hàm số y = u.v = u(x).v (x)
cũng có đạo hàm hữu hạn y tại điểm x0, lúc này
luôn có đẳng thức
y = u .v + u.v = u (x0).v (x0) + u(x0).v (x0).

hV

Chú ý. Công thức trên cũng có thể mở rộng cho
mọi số lượng hữu hạn thừa số. (u.v . . . . ω) =
u .v . . . . .ω + u.v
. . . . .ω + . . . + u.v . . . . .ω .
/>
in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

11 / 81


C

o

Các quy tắc tính đạo hàm

hV

ie

nZ

on

e.

Định lý
Nếu hàm số u = u(x) và v = v (x) có đạo hàm
hữu hạn u = u (x) và v = v (x) tại điểm x0 ∈ X
sao cho v (x0) = 0 thì tại điểm này hàm số
u u(x)
cũng có đạo hàm hữu hạn y tại
y= =
v
v (x)
điểm x0, lúc này luôn có đẳng thức
u .v − u.v
u (x0).v (x0) − u(x0).v (x0)
=
.
y =
v2

v 2(x0)

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

12 / 81


C
o

Đạo hàm của hàm hợp

e.

Đạo hàm của hàm hợp

hV

ie

nZ

on

Định lý
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm hữu hạn f (x0)
tại điểm x0 còn hàm số z = g (y ) có đạo hàm hữu
hạn g (y0) tại điểm tương ứng y0 = f (x0) ∈ E (f ),
thì hàm hợp z = h(x) = g (f (x)) có đạo hàm hữu
hạn tại điểm x0, lúc đó luôn có đẳng thức
h (x0) = g (y0).f (x0) hay zx = zy .yx .

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

13 / 81


e.

C

o

Đạo hàm của hàm hợp

nZ

on

Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm y = sin5(4x + 3)

hV

ie

y = 5 sin4(4x + 3). cos(4x + 3).(4x + 3) =
20 sin4(4x + 3) cos(4x + 3).

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

14 / 81


C
o

Đạo hàm của hàm ngược

Đạo hàm của hàm ngược

hV

ie

nZ

on

e.

Định lý
Cho hàm số y = f (x) tăng (hoặc giảm), liên tục
trên khoảng X ⊂ R xác định từ khoảng X ⊂ R
lên toàn khoảng Y ⊂ R và có đạo hàm hữu hạn
f (x0) = 0 tại điểm x0. Khi đó hàm ngược
x = g (y ) = f −1(y ) có đạo hàm hữu hạn tại điểm
tương ứng y0 = f (x0) ∈ Y , và luôn có đẳng thức
1
1
hay xy = .

g (y0) =
f (x0)
yx

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

15 / 81


e.

C
o

Đạo hàm của hàm ngược

nZ

on

Ví dụ
Tìm đạo hàm của hàm ngược của hàm
y = x + x 3, x ∈ R.

hV

ie

Hàm số y liên tục khắp nơi và là hàm tăng, đạo
1
hàm y = 1 + 3x 2 > 0, ∀x ∈ R nên xy =
1 + 3x 2

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

16 / 81


Ý nghĩa hình học

C
o

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

Ý nghĩa hình học

nZ

on

e.

Trong bài toán về tiếp tuyến ta đã chứng minh
được rằng đối với đường liên tục y = f (x) hệ số
góc k0 của tiếp tuyến tại điểm M0(x0, f (x0)) được
tính theo công thức
f (x0 + ∆x) − f (x0)
= f (x0)
∆x→0
∆x

hV

ie

k0 = tan α0 = lim

in

Như vậy, ý nghĩa hình học của đạo hàm của hàm
số f (x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của
ường
y = f (x) />tại điểm M0 (x0 , f (x0 )).
m
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

17 / 81


C
o

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

hV

ie

nZ

on

e.

1. y = C = const ⇒ y = 0
2. y = x ⇒ y = 1
3. y = x µ(x = 0) ⇒ y = µx µ−1
Những trường hợp riêng.
1
1
a) y = ⇒ y = − 2 .
x
x
√
1
b) y = x ⇒ y = √ .
2 x
√
1
c) y = n x ⇒ y = √
.
n n−1
n x
/>
in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

18 / 81


e.

C
o

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

nZ

on

4. y = ax (a > 0, a = 1) ⇒ y = ax ln a.
Trường hợp riêng.
y = e x ⇒ y = e x . vì ln e = 1

ie

5. y = loga |x|(a > 0, a = 1) ⇒ y =

1
.
x ln a

hV

Trường hợp riêng.
1
y = ln |x| ⇒ y = vì ln e = 1
x

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

19 / 81


C
o

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

hV

ie

nZ

on

e.

6. y = sin x ⇒ y = cos x.
7. y = cos x ⇒ y = − sin x.
1
8. y = tan x ⇒ y =
cos2 x
1
9. y = cot x ⇒ y = − 2
sin x
1
10. y = arcsin x(x ∈ (−1, 1)) ⇒ y = √
1 − x2
1
11. y = arccos x(x ∈ (−1, 1)) ⇒ y = − √
1 − x2

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

20 / 81


on

e.

C
o

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

hV

ie

nZ

12.y = arctan x, (x ∈ (−∞, +∞))
1
⇒y =

1 + x2
13.y = arccot x, (x ∈ (−∞, +∞))
1
⇒y =−
1 + x2

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

21 / 81


C
o

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

e.

Những hàm hyperbolic

Định nghĩa

ie

Định nghĩa

nZ

on

e x − e −x
Hàm số sinh x =
được gọi là hàm sin
2
hyperbolic.

hV

e x + e −x
Hàm số cosh x =
được gọi là hàm cos
2
hyperbolic.

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

22 / 81


C
o

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

e.

Định nghĩa

nZ

on

sinh x
Hàm số tanh x =
được gọi là hàm tan
cosh x
hyperbolic.
Định nghĩa

hV

ie

cosh x
Hàm số coth x =
được gọi là hàm cotan
sinh x
hyperbolic.

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

23 / 81


on

e.

C
o

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

Đạo hàm của những hàm sơ cấp

hV

ie

nZ

14. y = sinh x ⇒ y = cosh x
15. y = cosh x ⇒ y = sinh x
1
16. y = tanh x ⇒ y =
cosh2 x
1
17. y = coth x ⇒ y = −
sinh2 x

in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

24 / 81


C
o

Đạo hàm của hàm lũy thừa-mũ

on

e.

Định nghĩa
Cho hàm số u = u(x) > 0 và v = v (x) xác định
trên cùng 1 tập hợp X ⊂ R khi đó hàm số
y = u v = (u(x))v (x) được gọi là hàm lũy thừa-mũ.

hV

ie

nZ

Định lý
Nếu hàm số u = u(x) > 0 và v = v (x) tại một số
điểm x ∈ X có đạo hàm hữu hạn u = u (x) và
v = v (x) thì hàm số y = u v = (u(x))v (x) tại
điểm x này cũng có đạo hàm hữu hạn và lúc này

v
v −1
luôn có bất đẳng
thức
y
=
u
.lnu.v
+
v
.u
.u
/>
in

m

Khái niệm đạo hàm của hàm một biến

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

TP. HCM — 2013.

25 / 81