giải tích 1 lê xuân đại 3 tích phân xác định sinhvienzone com
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (997.98 KB, 36 trang )
C
o
e.
on
Bài giảng điện tử
nZ
TS. Lê Xuân Đại
hV
ie
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
in
m
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TP. HCM — 2013.
/>
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
1 / 36
Bài toán thực tế
C
o
Tích phân xác định
on
e.
Bài toán xây dựng
in
hV
ie
nZ
Các kỹ sư xây dựng được giao nhiệm vụ
là sạch cổng chào của thành phố, cao 630 m, rộng
630 m. Phương trình của cổng chào là
x2
y = 630 −
. Ý tưởng của các kỹ sư là xây
157, 5
dựng dàn giáo bên dưới cổng chào để có làm sạch
mọi nơi trên cổng chào. Vấn đề quan tâm là
iện tích bên dưới cổng
chào là bao nhiêu?
m
/>TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
2 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Bài toán thực tế
hV
Diện tích bên dưới cổng chào là
315
x2
630 −
dx = 264600(m2)
157, 5
/>−315
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
3 / 36
C
o
Khái niệm tích phân xác định
e.
Khái niệm tích phân xác định
ie
nZ
on
Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [a, b](a < b).
Chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ hữu hạn
[xi−1, xi ](i = 1, . . . , n) bởi những điểm x0 = a <
x1 < x2 < . . . < xi−1 < xi < . . . < xn = b. Trên
mỗi phần nhỏ này [xi−1, xi ] chọn bất kỳ một điểm
n
ξi ∈ [xi−1, xi ] và thành lập tổng σ =
f (ξi )∆xi ,
hV
i=1
với ∆xi = xi − xi−1 > 0. Kí hiệu
λ = max{∆xi , i = 1, . . . , n}.
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
4 / 36
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
on
Định nghĩa
n
f (ξi )∆xi được gọi là tổng tích phân
i=1
nZ
Tổng σ =
hV
ie
của hàm số f (x) trên đoạn [a, b]. Tổng này còn
được gọi là tổng Riemann.
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
5 / 36
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
ie
nZ
on
e.
Định nghĩa
Số hữu hạn I ∈ R được gọi là giới hạn của tổng
tích phân σ khi λ → 0(λ = max∆xi > 0), nếu
như với mọi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho đoạn
[a, b] bị chia thành những đoạn nhỏ với độ dài
∆xi < δ, có nghĩa là λ < δ, luôn có bất đẳng thức
|σ − I | < ε, không phụ thuộc vào cách chia đoạn
[a, b] thành những đoạn nhỏ, và cách chọn điểm ξi
trên những đoạn nhỏ [xi−1, xi ]. Lúc này ta viết
lim σ = I .
in
m
Tích phân xác định
λ→0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
6 / 36
C
o
Khái niệm tích phân xác định
on
e.
Định nghĩa
Nếu tổng tích phân σ có giới hạn hữu hạn khi
λ → 0 có nghĩa là lim σ = I thì I được gọi là tích
λ→0
ie
nZ
phân xác định của hàm số f (x) trong khoảng
[a, b]. Trong trường hợp này những số a, b được
gọi là cận trên và cận dưới của tích phân. Như vậy
hV
b
n
f (x)dx = I = lim σ = lim
a
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
λ→0
λ→0
f (ξi )∆xi .
i=1
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
7 / 36
C
o
Khái niệm tích phân xác định
Ví dụ
1
e.
x 2dx bằng định nghĩa.
Tính tích phân
on
0
hV
ie
nZ
f (x) = x 2, a = 0, b = 1. Chia đoạn [0, 1] thành n
b−a 1
= . Chọn
phần bằng nhau, ∆xk =
n
n
ξk = xk , k = 1, .., n. Khi đó
1
n−1
n
x0 = 0, x1 = , . . . , xn−1 =
, xn = = 1
n
n
n
2
2
1
2
n 2
f (ξ1) =
, f (ξ2) =
, . . . , f (ξn ) =
.
n />n
n
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
8 / 36
C
o
e.
1
. , k = 1, ..n. Từ đó suy
n
12 + 22 + . . . + n2
=
x dx = lim
n→∞
n3
2
0
2
nZ
1
k
n
Khái niệm tích phân xác định
on
Vậy f (ξk )∆xk =
ra
hV
ie
n(n + 1)(2n + 1)
2n3 1
= lim
= lim 3 =
n→∞
n→∞ 6n
6n3
3
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
9 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
10 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
11 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
12 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
13 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
14 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
15 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
16 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
17 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
18 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
19 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
20 / 36
ie
nZ
on
e.
C
o
Khái niệm tích phân xác định
hV
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
21 / 36
C
o
Ý nghĩa hình học
Ý nghĩa hình học
e.
Nếu hàm số f (x) > 0 trên đoạn [a, b] thì tích
on
b
f (x)dx có ý nghĩa hình học là
phân xác định
a
hV
ie
nZ
diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong
y = f (x), x = a, x = b, y = 0
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
22 / 36
C
o
Tính chất cơ bản
a
b
a
b
a
a
b
c
hV
a
b
a
f (x)dx, ∀c ∈ [a, b].
c
b
[f (x) ± g (x)]dx =
a
b
f (x)dx +
ie
f (x)dx =
a
b
nZ
f (x)dx = 0
on
f (x)dx = − f (x)dx
e.
Tính chất cơ bản của tích phân xác định
b
f (x)dx ±
a
g (x)dx
a
b
C .f (x)dx />= C a f (x)dx, ∀C ∈ R
in
m
Tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
23 / 36
C
o
Công thức Newton-Leibnitz
on
e.
Công thức Newton-Leibnitz
b
nZ
f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a),
ie
a
hV
với F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x).
in
m
Phương pháp tính tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
24 / 36
C
o
Công thức Newton-Leibnitz
Tính tích phân I =
dx
cos2 x
on
π/4
e.
Ví dụ
ie
nZ
π/6
π/4
hV
I = tan x|π/6 = tan
in
m
Phương pháp tính tích phân xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
√
π
π
3
− tan = 1 −
4
6
3
/>TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TP. HCM — 2013.
25 / 36
