giải tích 1 lê xuân đại 4 tích phân suy rộng sinhvienzone com

C
o

e.

on

Bài giảng điện tử

nZ

TS. Lê Xuân Đại

hV

ie

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:

in

m

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TP. HCM — 2013.

/>
TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

1 / 64


C
o

Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx

nZ

on

e.

Định nghĩa
Cho hàm số f (x) xác định ∀x a và khả tích
trên mọi đoạn [a, b]. Khi đó trên [a, +∞) xác
b
định hàm số Φ(b) = a f (x)dx. Giới hạn
b

I = lim Φ(b) = lim

b→+∞

ie

b→+∞

f (x)dx
a

hV

được gọi là tích phân suy rộng loại 1 của hàm số
+∞

f (x) trên [a, +∞) và được ký hiệu là

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

f (x)dx.
a

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

2 / 64

C
o
on

b

e.

Định nghĩa
Nếu giới hạn I = lim

f (x)dx tồn tại và hữu

nZ

b→+∞ a

hV

ie

hạn thì tích phân suy rộng loại 1 được gọi là hội
tụ. Nếu giới hạn I không tồn tại hoặc bằng ∞ thì
tích phân suy rộng loại 1 được gọi là phân kỳ.

in

m

Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

3 / 64


C
o

Ý nghĩa hình học

hV

ie

nZ

on

e.

Ý nghĩa hình học

Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞), giá trị
của tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học
là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạn
bởi x = a, trục Ox và đồ thị hàm f (x)

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

4 / 64


C
o

Ý nghĩa hình học

e.

Chú ý.

nZ

on

Từ ý nghĩa hình học của tích phân suy rộng, ta
được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn và khác 0
lim f (x) = A = 0

x→+∞

hV

ie

và f (x) khả tích trên mọi đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞)
+∞

f (x)dx phân kỳ

thì tích phân suy rộng

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

a
/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

5 / 64


C
o

b
Định nghĩa tích phân dạng −∞
f (x)dx

nZ

on

e.

Định nghĩa
Cho hàm số f (x) xác định ∀x b và khả tích
trên mọi đoạn [a, b]. Khi đó trên (−∞, b] xác
b
định hàm số Ψ(a) = a f (x)dx. Giới hạn
b

I = lim Ψ(a) = lim

a→−∞

ie

a→−∞

f (x)dx
a

hV

được gọi là tích phân suy rộng loại 1 của hàm số
b

f (x) trên (−∞, b] và được ký hiệu là

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

f (x)dx.
−∞

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

6 / 64

C
o
on

b

e.

Định nghĩa
Nếu giới hạn I = lim

f (x)dx tồn tại và hữu

nZ

a→−∞ a

hV

ie

hạn thì tích phân suy rộng loại 1 được gọi là hội
tụ. Nếu giới hạn I không tồn tại hoặc bằng ∞ thì
tích phân suy rộng loại 1 được gọi là phân kỳ.

in

m

b
Định nghĩa tích phân dạng −∞
f (x)dx

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

7 / 64


C
o

Ý nghĩa hình học

hV

ie

nZ

on

e.

Ý nghĩa hình học
Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ (−∞, b], giá trị
của tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học
là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạn
bởi x = b, trục Ox và đồ thị hàm f (x)

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

8 / 64


C
o

+∞
Định nghĩa tích phân −∞

nZ

on

e.

Định nghĩa
Nếu hàm số f (x) xác định trên R và khả tích trên
mọi đoạn [a, b] thì ∀c ∈ R tích phân suy rộng loại
1 của hàm f (x) trên (−∞, +∞) được xác định
bởi
+∞

c

−∞

ie

f (x)dx =

+∞

f (x)dx +

−∞

f (x)dx
c

hV

Tích phân suy rộng này được gọi là hội tụ nếu cả
hai tích phân ở vế phải đều hội tụ không phụ
thuộc lẫn nhau. />
in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

9 / 64


C
o

Công thức Newton-Leibnitz

on

e.

Công thức Newton-Leibnitz
Cho hàm số f (x) có nguyên hàm là F (x) trên
[a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b]. Tích

+∞

f (x)dx hội tụ khi và chỉ

nZ

phân suy rộng loại 1

a

ie

khi tồn tại giới hạn hữu hạn
lim F (b) = F (+∞). Khi đó

hV

b→+∞

+∞

a

.
f (x)dx = F (+∞) − F (a) = F (x)|+∞
a

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

10 / 64


e.

f (x)dx = F (b) − F (−∞) = F (x)|b−∞ .

nZ

−∞

on

b

C
o

Công thức Newton-Leibnitz

Lập luận tương tự, ta cũng có

b

f (x)dx hội tụ khi và chỉ

ie

Tích phân suy rộng

−∞

hV

khi tồn tại giới hạn hữu hạn lim F (a) = F (−∞)

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

a→−∞

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

11 / 64

Công thức Newton-Leibnitz

C
o

Tích phân suy rộng loại 1

+∞

F (c) − lim F (a) +

e.

f (x)dx =

a→−∞

lim F (b) − F (c)

b→+∞
+∞
rộng −∞ f

nZ

+

on

−∞

a→−∞

hV

lim F (b)

ie

Tích phân suy
(x)dx hội tụ khi và chỉ
khi tồn tại giới hạn hữu hạn lim F (a) và

f (x)dx = F (+∞) − F (−∞) = F (x)|+∞
−∞ .

in

b→+∞
+∞

m −∞

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

12 / 64


C
o

Ví dụ

e.

Ví dụ
∞

on

Tính tích phân suy rộng I =

cos xdx.

nZ

0

ie

I = sin x|∞
0 = lim sin b − sin 0 = lim sin b.
b→∞

b→∞

hV

Giới hạn này không tồn tại nên tích phân suy rộng
I phân kỳ.

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

13 / 64


C
o

Ví dụ

e.

Ví dụ

−1

on

Tính tích phân suy rộng I =

nZ

−∞

−1

ie

1
I =−
x

dx
x2

1
= 1.
a→−∞ a

= 1 + lim

hV

−∞

Như vậy, tích phân I hội tụ.

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

14 / 64


C
o

Ví dụ

Ví dụ

dx
1 + x2

e.

+∞

Tính tích phân suy rộng I =

nZ

on

−∞

ie

I = arctan x|+∞
−∞ = lim arctan b− lim arctan a =
b→+∞

a→−∞

hV

π
π
− −
= π.
2
2
Vậy, tích phân I hội tụ.

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

=

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

15 / 64


C
o

Ví dụ

Tính tích phân I =

2

xe −x dx

on

+∞

e.

Ví dụ

nZ

0

+∞

hV

ie

1 2
I = − e −x
2

0

1 2 1 1
= lim − e −b + =
b→+∞ 2
2 2

Như vậy, tích phân I hội tụ.

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

16 / 64


+∞

1
α−1

lim

hV

ie

I =−

x→+∞

Khi α > 1 ta có lim

in

a > 0, α ∈ R

nZ

a

Nếu α = 1 thì

dx
,
xα

on

I =

e.

Ví dụ
Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng

ích phân

m

Ví dụ

C

o

Tích phân suy rộng loại 1

x→+∞

1
x α−1

1
x α−1

−

1
aα−1

a1−α
.
= 0 nên I =
α−1

I hội />tụ.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

17 / 64


x→+∞

Ví dụ

1
x α−1

C
o

Khi α < 1 ta có lim

= +∞ nên I phân

on

e.

kỳ.
Khi α = 1 ta có I = lim ln |x| − ln a = +∞
x→+∞

nZ

nên I phân kỳ.
Tóm lại
1

Nếu α > 1 thì I =

2

Nếu α

+∞ dx

ie

hội tụ.
α
x
a
+∞ dx
1 thì I =
phân kỳ.
α
x
a

hV

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

18 / 64


C
o

Tính chất cơ bản của tích phân suy rộng loại 1

e.

Cho f (x) khả tích trên mọi đoạn
[a, b] ⊂ [a, +∞) và c > a. Khi đó tích phân
+∞

on

+∞

f (x)dx,

nZ

a

f (x)dx

c

ie

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Nếu chúng
cùng hội tụ thì
f (x)dx =

a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

+∞

c

hV

+∞

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

f (x)dx

f (x)dx +
a

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

c
TP. HCM — 2013.

19 / 64


C
o

Tính chất cơ bản của tích phân suy rộng loại 1

+∞

e.

Nếu tích phân
+∞

on

f1(x)dx,

f2(x)dx

a

nZ

a
+∞

[λ1f1(x) + λ2f2(x)]dx hội tụ và

ie

hội tụ thì
a

hV

+∞

+∞

[λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x)]dx = λ1

a

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

+∞

f1 (x)dx + λ2
a

f2 (x)dx
a

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

20 / 64


C
o

Hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện

nZ

on

e.

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng của hàm
có dấu không đổi được xác định theo tiêu chuẩn
so sánh. Tuy nhiên, với hàm có dấu tùy ý trong

khoảng lấy tích phân thì ta sẽ khảo sát sự hội tụ
tuyệt đối của tích phân suy rộng

+∞

hV

ie

Định lý
Nếu hàm f (x) và |f (x)| khả tích trên mọi đoạn
[a, b] ⊂ [a, +∞) và tích phân suy rộng
+∞

|f (x)|dx hội tụ thì tích phân
a

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

f (x)dx hội tụ.
a

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

21 / 64


C
o

Hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện

Với ∀x ∈ [a, +∞) ta có
|f (x)| ⇒ 0

f (x)

+∞

ie

Mặt khác, ta có

nZ

a

(f (x) + |f (x)|)dx hội tụ.

a

+∞

+∞

hV

f (x)dx =
a

2|f (x)|

+∞

|f (x)|dx hội tụ nên

Vì 2

f (x) + |f (x)|

on

−|f (x)|

e.

Chứng minh

+∞

(f (x) + |f (x)|)dx −

|f (x)|dx
a

a

+∞

nên tích phân

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

a

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

f (x)dx hội tụ.
/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

22 / 64


C
o

Hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện

Định nghĩa

e.

+∞

on

Nếu tích phân a |f (x)|dx hội tụ thì tích phân
+∞
suy rộng a f (x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối.

nZ

Định nghĩa

+∞

ie

Nếu tích phân a f (x)dx hội tụ nhưng tích
+∞
phân a |f (x)|dx phân kỳ thì tích phân suy
rộng

hV

+∞

f (x)dx được gọi là hội tụ có điều kiện.

a

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

23 / 64


C
o

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

e.

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

+∞

nZ

+∞

on

Ta chỉ xét những hàm f (x) 0, còn trường hợp
f (x) 0 thì ta đưa về hàm −f (x) 0 vì
f (x)dx và −

f (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng

a

a

hV

ie

phân kỳ
Nếu hàm f (x) có dấu thay đổi trên [a, +∞) thì ta
xét sự hội tụ của hàm |f (x)|

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

24 / 64


C
o

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

on

e.

Định lý
Cho f (x) và g (x) khả tích trên mọi đoạn
[a, b] ⊂ [a, +∞) sao cho 0 f (x) g (x),
∀x a.
1

nZ

+∞

ie

a
+∞

f (x)dx hội tụ.
a
+∞

f (x)dx phân kỳ thì

Nếu

hV

2

+∞

g (x)dx hội tụ thì

Nếu

a

g (x)dx phân
a

kỳ.

in

m

Tích phân suy rộng loại 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

/>TÍCH PHÂN SUY RỘNG

TP. HCM — 2013.

25 / 64