SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. TÊN ĐỀ TÀI:

Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
2. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học là mơn khoa học nó có vai trị khá quan trọng
trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Tốn học giúp chúng ta có cái
nhìn tổng qt hơn, suy luận chặt chẽ lơ gíc. Học tốt mơn tốn giúp các em học tốt
các mơn học khác. Do đó mỗi em học sinh cần học phải học tập tốt bộ mơn tốn.
Đại số là mơn học mới đối với học sinh lớp 7. Các em cịn có nhiều bỡ ngỡ,
Giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được vận dụng rất nhiều trong
chương trình đại số lớp 7, hay gặp trong các vòng thi Violimpic toán trên mạng và
thi học sinh giỏi toán hàng năm. Dạng tốn này rất đa dạng địi hỏi người học phải
có tư duy sáng tạo, phân tích tổng hợp và biết vận dụng kiến thức đã học mới có
thể giải được.
Để giúp học sinh làm tốt dạng toán: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Đặc biệt là trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 7, nên tơi đã
mạnh dạn trình bày một đề tài mang tính kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp 7
giải một số bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”.
3. PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN:

- Đề tài này được áp dụng trong việc giảng dạy mơn tốn, cho học sinh lớp 7
năm học 2019 – 2020.
B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1. KHẢO SÁT THỰC TẾ:

- Học sinh lớp 7B do tơi dạy tốn gồm 45 em, nhìn chung các em ngoan, có ý
thức học tập, nhưng do sống ở nông thôn, điều kiện kinh tế chưa khá, bên cạnh đó
một số gia đình chưa quan tâm đúng mức tới việc học tập của các em, các em có ít
sách tham khảo, thời gian học cịn ít. Do vậy số học sinh giỏi mơn tốn còn hạn

chế.
- Qua giảng dạy một số tiết ở học kì I, tơi nhận thấy đa số các em học sinh hiểu
bài, nắm vững kiến thức cơ bản và biết vận dụng các kiến thức đó vào làm được
hầu hết các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập. Nhưng với đối tượng học sinh
khá, giỏi thì khơng chỉ dừng lại ở đó, mà cịn phải làm được các dạng bài tập mở
rộng và nâng cao.
- Thực tế tơi thấy học sinh chưa có phương pháp giải bài tập áp dụng tính chất
dãy tỉ số bằng nhau ở dạng khó. Khi gặp các bài tốn ở dạng này các em thường
lúng túng và không biết cách làm.
2. SỐ LIỆU ĐIỀU TRA TRƯỚC KHI THỰC HIỆN:

Qua thực tế kiểm tra tôi nhận thấy số học sinh biết cách giải các bài tập nâng
cao ở dạng này rất thấp chỉ khoảng 13%. Trước tình hình học sinh như trên tơi đã
có kế hoạch xây dựng một chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp
dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”.

1|19


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

Trước khi thực hiên đề tài
Số lượng

Tỉ lệ %

Giỏi

1

2,2%

Khá

5

11,1%

TB

24

53,4%

Dưới TB

15

33,3%

3. NHỮNG BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:

Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giúp đỡ của đồng nghiệp, thông qua
một số tư liệu tham khảo nhắc lại một số cơ sở lý thuyết và giải quyết một số bài
tập ở một số dạng, nhằm giúp các em thấy được sự bổ ích và đạt được kết quả tốt
khi học chuyên đề này.
Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
theo các dạng chính sau:
- Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
- Dạng II: Chia tỉ lệ.

- Dạng III: Chứng minh tỉ lệ thức.
Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
a c ac ac

- Tính chất: Ta ln có  
b d bd bd
a c e a  c  e ma  nc  pe

- Tính chất mở rộng:   
b d f b  d  f mb  nd  pf
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Tìm x, y biết.

x y
 và x  y  20
2 3
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y x  y x  y 20
 


4
2 3 23
5
5
x
  4  x  2.4  x  8

2
y
 4  y  3.4  y  12
3
Vậy: x  8 ; y  12 .
Ví dụ 2: Tìm x, y biết.

x :  3  y : 5 và y  x  24

Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau.
2|19


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

Giải:
Từ: x :  3  y : 5 

x
y
y x



5 3
3 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

y x y  x 24

 

 3
3 5 3  5 8
x
  3  x  5.  3  x  15
5
y
 3  y  3.  3   y  9
3
Vậy: x  15 ; y  9 .
x y
z
 
Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết.
và x  y  z  10
8 12 15

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y
z
x  y  z 10
  
 2
8 12 15 8  12  15 5
 x  8.2  16
y  12.2  24
z  15.2  30
Vậy: x  16 ; y  24 ; z  30 .

Nhận xét: Ơ ví dụ 1 và ví dụ 3 ta áp dụng ngay được tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Trong thực tế nhiều bài tập phải qua q trình biến đổi mới có thể đưa được về
dạng để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Sau đây là một số dạng và
cách biến đổi.
Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết.

x y z
  và. 2 x  3 y  z  34
2 3 4

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi
dãy tỉ số sao cho hệ số của x, y, z ở các tử của dãy tỉ số bằng hệ số của x, y, z trong
đẳng thức, bằng cách áp dụng tính chất cơ bản của phân số. Cụ thể nhân cả tử và
mẫu của tỉ số

x
y
với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số
với 3 rồi áp dụng tính
2
3

chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y. z.
Giải:
Ta có:

x y z 2x 3 y z
  



2 3 4 4 12 4

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 x 3 y z 2 x  3 y  z 34

 

2
4
9 4
494
17
3|19


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

x
 2  x  2.2  x  4
2
y
 2  y  3.2  y  6
3
z
 2  z  4.2  z  8
4
Vậy: x  4 ; y  6 ; z  8 .
x 1 y  2 z  3



Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết.
và x  2 y  3 z  14 .
2
3
4


Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ 4
Giải:
x  1 y  2 z  3 x  1 2 y  4 3z  9





Ta có:
2
3
4
2
6
12
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x  1 2 y  4 3z  9 x 1  2 y  4  3z  9



2

6
12
2  6  12
x  2 y  3z  6 14  6


1
8
8
x 1

 1  x 1  2  x  3
2
y2

1 y  2  3  y  5
3
z 3

 1 z  3  4  z  7
4
Vậy: x  3 ; y  5 ; z  7
Nhận xét: Ở bài này ta cịn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 6: Tìm x, y biết. 7 x  9 y và 10 x  8 y  68
Phân tích đề bài: Ta viết đẳng thức 7 x  9 y về dạng dãy tỉ số bằng nhau sau đó
vận dụng cách làm ở ví 4.
Giải:
Từ: 7 x  9 y 

x y 10 x 8 y

 

9 7 90 56

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
10 x 8 y 10 x  8 y 68



2
90 56 90  56 34



x
 2  x  9.2  x  18
9
y
 2  y  7.2  y  14
7
4|19


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

Vậy: x  18 ; y  14 .
Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết. 2 x  3 y  4 z và x  y  z  169 .
Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức 2 x  3 y  4 z về dạng dãy tỉ số bằng
nhau sao cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1.
Cách làm chia các tích cho 12 [ vì: BCNN  2;3; 4   12 ] sau đó làm như ví dụ 3

Giải:
Từ: 2 x  3 y  4 z 

2x 3 y 4z x y z


  
12 12 12 6 4 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x  y  z 169
  

 13
6 4 3 6  4  3 13

x
 13  x  6.13  x  78
6
y
 13  y  4.13  y  52
4
z
 13  z  3.13  z  39
3
Vậy: x  78 ; y  52 ; z  39 .
x y
 và x. y  112
Ví dụ 8: Tìm x, y biết.
4 7



Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi
dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y bằng cách lập luận để chứng tỏ x  0
x y
rồi nhân hai vế của hai tỉ số 
với x. Thay x. y  112 vào rồi tính.
4 7
Giải:
x y
Vì x. y  112  x  0 Nhân cả hai vế của  với x ta được:
4 7
x 2 xy 112


 16
4
7
7
x2

 16  x 2  4.16  x 2  64  x  8
4
112
 y  14
Nếu x  8  8. y  112  y 
8
112
 y  14
Nếu x  8  8 y  112  y 

8
Vậy: x  8 ; y  14 hoặc x  8 ; y  14
Nhận xét: Ở bài này ta cịn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
5|19


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

x y y z
 ;  và x  2 y  3 z  19
2 3 2 3
x y y z
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số  ;  về một dãy ba tỉ số bằng nhau
2 3 2 3
bằng cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ 4
Giải:
x y
x y
   
x y z x 2 y 3z
2 3
4 6

    
y z
y z  4 6 9 4 12 27
  
2 3
6 9 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x 2 y 3 z x  2 y  3 z 19




1
4 12 27 4  12  27 19
x
  1  x  4.1  4
4
y
 1  y  6.1  y  6
6
z
 1  z  9.1  z  9
9
Vậy: x  4 ; y  6 ; z  9
x y z
Ví dụ 10: Tìm x, y, z biết.   và 2 x 2  2 y 2  3 z 2  100 .
3 4 5
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi
dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện x 2 ; y 2 ; z 2 bằng cách bình phương các tỉ số sau
đó làm giống ví dụ 4.
Giải:
x y z
x 2 y 2 z 2 2 x 2 2 y 2 3z 2
Từ:   






3 4 5
9 16 25 18
32
75
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x 2 2 y 2 3 z 2 2 x 2  2 y 2  3 z 2 100




4
18
32
75
18  32  75
25
 x 2  9.4  36  x  6
y 2  16.4  64  y  8
z 2  25.4  100  z  10
x y z
Từ    x, y, z cùng dấu
3 4 5
Vậy: x  6; y  8; z  10 Hoặc x  6; y  8; z  10
Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết.

6|19

“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

x y
x z
 ;
 (1) và x 3  y 3  z 3  1009
2 3
4 9
x y
x z
 ;

Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số
về một dãy ba tỉ số bằng
2 3
4 9
nhau giống ví dụ 8 rồi lập phương các tỉ số để xuất hiện x 3 ; y 3 ; z 3 sau đó áp dụng
tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z.
Giải:
x y
x y
  
Ta có:
2 3
4 6
x y z
x3
y3
z3
   



4 6 9
64 216 729
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x3
y3
z3
x3  y 3  z 3
1009




 1
64 216 729 64  216  729 1009
 x3  64.  1  64  x  4
Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết.

y 3  216.  1  216  y  6

z 3  729.  1  729  z  9
Vậy: x  4 ; y  6 và z  9
a b c
Ví dụ 12: Cho   và a  b  c  0 ; a  2012 . Tính: b, c.
b c a
Phân tích đề bài: Vì a  b  c  0 ta áp dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng nhau
để tìm giá trị của dãy tỉ số này rồi từ đó tìm ra giá trị của a, b, c.
Giải:
Vì a  b  c  0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b c abc
  
1
b c a bca

Mà a  2012  b  2012
b  2012  c  2012
Vậy: a  b  c  2012
a
b
c


Ví dụ 13: Cho ba tỉ số bằng nhau
khi a  b  c  0 .
bc ac ab
Tính giá trị mỗi tỉ số đó.
Phân tích đề bài: Vì a  b  c  0 nên khơng thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau với ba tỉ số. Ta chỉ có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với hai tỉ số.
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
7|19


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

a
b

a b


 1 và:
bc ac bc

b
c
bc


 1
a c a b c b

Vậy mỗi tỉ số đã cho bằng có giá trị bằng -1
Ví dụ 14: Tìm x biết.
2x  1 3 y  2 2x  3 y 1
 1


5
7
6x
Phân tích đề bài: Ta nhận thấy tử số của tỉ số thứ ba bằng tổng hai tử số của hai tỉ
số đầu do đó, áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau của hai tỉ số đầu để tìm x.
Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x  1 3 y  2 2 x  3 y 1



 2
5
7
12
Từ  1 và  2   6 x  12
x2
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm x, y biết.
x y
x
y

a)  và x  y  30
b)
và 2 x  y  34
6 9
19 21
x y
c)  và x. y  180
d) x : y  4 : 5 và x. y  5
4 5
x y
x y
e)  và x 2 . y 2  4
f)  và x 4 . y 4  16
2 4
2 4
Bài 2: Tìm x, y, z biết.
x y z
 

a)
và x  y  z  9
2 3 4
x y z
b)   và x  3 y  4 z  62
4 3 9
x y z
 
c)
và 5 x  y  2 z  28
10 6 21
2x 3y 4z


d)
và x  y  z  49
3
4
5
x 9 y 7
e)  ;  và x  y  z  15
y 7 z 3
x y z
f)  
và x. y.z  810
2 3 5
Bài 3: Tìm x, y, z biết.
x 7 y 5
a)  ; 
và 2 x  5 y  2 z  100

y 20 z 8

8|19


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

x 1 y  2 z  3


và 2 x  3 y  z  50
2
3
4
12 x  15 y 20 z  12 x 15 y  20 z


c)
và x  y  z  48
7
9
11
Bài 4: Tìm các số t1 , t2 ,....., t9 biết.
b)

t 9
t1  1 t 2  2 t3  3


 ........  9

và t1  t2  .....  t9  90
9
8
7
1

Dạng II: Chia tỉ lệ.
I - Chú ý:
1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c  x : y : z  a : b : c ( Hay
2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c  x : y : z 

x y z
  )
a b c

1 1 1
: : ( Hay ax  by  cz )
a b c

II – Bài tập:
Ví dụ 1: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng
chúng tỉ lệ với 3; 4.
Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều
rộng (còn được gọi là hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều
dài. Hai cạnh của chúng tỉ lệ với 3; 4 vậy cạnh ngắn tỉ lệ với 3 còn cạnh dài tỉ lệ
với 4.
Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b  0  a  b  . Vì hai cạnh hình chữ

a b
 .

3 4
Chu vi hình chữ nhật là 2  a  b  nên ta có: 2  a  b   28  a  b  14
Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng bài áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
Giải:
Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b  0  a  b 
nhật ti lệ với 3 và 4 nên ta có:

Theo bài ra ta có:

a b

và 2  a  b   28
3 4

Từ 2  a  b   28  a  b  24
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b a  b 14
 
 2
3 4 3 4 7
 a  3.2  6 ;  b  4.2  8
Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6cm và 8cm.
9|19


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có số đo các góc µA, Bµ , Cµ lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3. tính
số đo các góc của tam giác ABC.
µ ,C

µ lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3.
Phân tích đề bài: Ở bài này cho các góc µA, B
µ ,C
µ là số đo ba góc cần tìm.
Vậy ta lấy ln µA, B
µA B
µ C
µ
Vì số đo các góc µA, Bµ , Cµ lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 nên ta có:  
1 2 3
µ C
µ  1800
Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam ta có: µA  B
Giải:
µ ,C
µ
Gọi ba góc trong và góc ngồi của tam giác ABC lần lượt là: µA, B

Theo bài ra ta có:

0

µA B
µ C
µ
µ C
µ  1800
và µA  B
 
1 2 3

0

µ ,C
µ  1800
 µA, B



Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
µA B
µ C
µ µA  B
µ C
µ 1800
  

 300
1 2 3
1 2  3
6
0
0
 µA  1.30  30 ;

µ  2.300  600 ;
B
µ  3.300  900
C
µ ,C

µ của tam giác ABC lần lượt là: 300 ; 600 ;900
Vậy số đo ba góc µA, B

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. Các góc ngồi
tương ứng tỉ lệ với các số nào.
µ ,C
µ .
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là: µA, B

µ µ µ
µ ,C
µ tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có A  B  C
Vì ba góc µA, B
7

5

3
µ C
µ  1800
Tổng ba góc của một tam giác bằng 180 nên ta có: µA  B
0

Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,
Mà tổng của góc ngồi và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau.
Giải:
µ ,C
µ và
Gọi ba góc trong và góc ngồi của tam giác ABC lần lượt là: µA, B



µ ,C
µ  1800
µA1 ; B
µ 1; C
µ 00  µA, B
1

Theo bài ra ta có:

µA B
µ C
µ
µ C
µ  1800 .
và µA  B
 
7 5 3

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
10 | 1 9




“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

µA B
µ C

µ µA  B
µ C
µ 1800
  

 120
7 5 3
753
15
0
0
0
 µA  7.120  840  µA1  180  84  96

µ  1800  600  1200
µ  5.120  600  B
B
1
µ  1800  360  1440
µ  3.120  360  C
C
1
µ :C
µ  960 :1200 :1440  4 : 5 : 6
µ
A :B
1

1

1

Vậy các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với: 4 : 5 : 6 .
Ví dụ 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá mỗi
loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.
Phân tích đề bài:
Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 2000a  5000b  10000c
Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: a  b  c  16
Giải:
Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c
Theo bài ra ta có: 2000a  5000b  10000c và a  b  c  16
a b c
Từ: 2000a  5000b  10000c   
5 2 1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a  b  c 16
  
 2
5 2 1 5  2 1 8
 a  5.2  10 ; b  2.2  4 c  1.2  2
Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và 2
tờ.
Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2: 3: 4. Hỏi ba chiều cao tương
ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào.
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là: h1 , h2 , h2 .
Vì cạnh và chiều cao tương ứng của một tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
nên ta có 2h1  3h2  4h3 
Giải:

h1 h2 h3
 h1 : h2 : h3  6 : 4 : 3
 
6 4 3

Gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là: h1 , h2 , h3 .  h1 , h2 , h3
Theo bài ra ta có: 2h1  3h2  4h3 


 0

h1 h2 h3
 
6 4 3

h1 : h2 : h3  6 : 4 : 3

Vậy ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó của tam giác tỉ lệ với 6 : 4 : 3 .
11 | 1 9


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

Ví dụ 6: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp
thành ba loại: Giỏi, khá và trung bình. Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số
học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi loại.
Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là:
*
a, b, c a, b, c  N





Vì số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3 nên ta có:

a b

2 3

Số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 nên ta có:

b c
 .
4 5

Lớp học có 35 em nên ta có: a  b  c  35
Giải:
*
Gọi số học sinh giỏi, Khá trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c  a, b, c  N 
a b
b c

Theo bài ra ta có:  ;
và a  b  c  35
2 3
4 5
a b
a b 
  

c
2 3
8 12  a b
  
b c
b
c
8 12 15
 
 
4 5 12 15 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b
c
a  b  c 35
  

1
8 12 15 8  12  15 35
 a  8.1  8 ; b  12.1  12 ; c  15.1  15
Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: 8 em, 12 em, 15 em.
Ví dụ 7: Độ dài các cạnh góc vng của một tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15, cạnh
huyền dài 51cm. Tính độ dài hai cạnh góc vng.
Phân tích đề bài:
Gọi độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng đó lần lượt là: a, b
a b
Vì hai cạnh tỉ lệ với 8: 15 nên ta có: 
8 15
Áp dụng định lí Pi – Ta – Go vào tam giác vng đó ta được: a 2  b 2  512
Giải:

Gọi độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng đó lần lượt là: a, b
a b
Theo bài ra ta có: 
và a 2  b 2  512 (Định lí Pi – Ta – Go)
8 15
a b
a2
b2
2
2
2
2
2
Từ a  b  51
 a  b  2601 và   
8 15
64 225
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a2
b2
a 2  b2 2601



9
64 225
289
289
 a 2  64.9  576  a  24 ; b 2  225.9  2025  b  45 .
12 | 1 9

“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

Vậy độ dài hai cạnh góc vng của tam giác vng đó là: 24cm, 45cm.
Ví dụ 8: Ba kho A, B, C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm

1
số
7

1
2
số gạo của kho đó, xuất ở kho C đi
số gạo
7
9
của kho đó. Khi đó số gạo của ba kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu,
biết rằng kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo
Phân tích đề bài: Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c
1
1
8a
Số gạo ở kho A sau khi thêm
số gạo của kho A là: a  a 
.
7
7
7
1

8b
1
Số gạo ở kho B sau khi xuất số gạo của kho B là: b  b 
.
9
9
9
2
5c
2
Số gạo ở kho C sau khi xuất
số gạo của kho C là: c  c 
7
7
7
Vì sau khi thêm vào kho A và xuất ở kho B và kho C thì số gạo của ba kho bằng
8a 8b 5c


nhau nên ta có:
7
9
7
Lúc đầu kho B nhiều hơn kho A là 20 tạ nên ta có: b  a  20
Giải:

gạo của kho đó, xuất ở kho B đi

Gọi số gạo ở ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c  a, b, c  0  .

1
8a
Số gạo ở kho A sau khi thêm là: a  a 
.
7
7
1
8b
Số gạo ở kho B sau khi xuất là: b  b 
.
9
9
2
5c
Số gạo ở kho C sau khi xuất là: c  c 
7
7
8a 8b 5c


Theo bài ra ta có:
và b  a  20
7
9
7
8a 8b 5c
a
b
c


 


Từ
7
9
7
35 45 56
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
b
c
ba
20




2
35 45 56 45  35 10
 a  35.2  70 ;
b  45.2  90 ;
c  56.2  112

Vậy: số gạo ở mỗi kho lúc đầu lần lượt là 70 kg, 90 kg và 112 kg.
Ví dụ 9: Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cái cầu hết 38 triệu đồng. Xí
nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3km, xí
nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng
13 | 1 9

“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với
khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu.
Phân tích đề bài: Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c
Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí
40 20 30
: :
nghiệp đến cầu nên ta có: a : b : c 
1,5 3 1
Tổng số tiền mà ba xí nghiệp cần đóng là 38 triệu nên ta có: a  b  c  38
Giải:
Gọi số tiền phải góp của ba xí nghiệp lần lượt là: a, b, c  a, b, c  0 
Theo bài ra ta có:
40 20 30
a :b :c 
: :
và a  b  c  38
1,5 3 1
40 20 30
a b c
: :  8: 2:9   
Từ a : b : c 
1,5 3 1
8 2 9
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a  b  c 38
  


2
8 2 9 8  2  9 19
 a  8.2  16 ; b  2.2  4 ; c  9.2  18
Ba xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu lần lượt là: 16 triệu đồng, 4 triệu
đồng bà 18 triệu đồng.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 64m. Tính độ dài mỗi cạnh biết
rằng chúng tỉ lệ với 3 và 5.
Bài 2: Tính chiều dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 30m và ba cạnh tỉ lệ
với 4: 5: 6.
Bài 3: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ
với 1: 2: 3.
Bài 4: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích
300m 2 . Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận

1
diện tích cịn lại. Diện
5

tích cịn lại của vườn sau khi hai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C, 7D,
7E tỉ lệ với

1 1 5
: : . Tính diện tích vườn giao cho mỗi lớp.
2 4 16

Bài 5: Ba công nhân được thưởng 100000 đồng, số tiền thưởng phân chia tỉ lệ với
mức sản xuất của mỗi người. Biết mức sản xuất của người thứ nhất so với mức sản
xuất của người thứ hai bằng 5: 3, mức sản xuất của người thứ ba bằng 25% tổng số
mức sản xuất của hai người kia. Tính số tiền mỗi người được thưởng.

Bài 6: Có ba gói tiền gói thứ nhất gồm tồn tờ 500 đồng, gói thứ hai gồm tồn
2000 đồng, gói thứ ba gồm tồn tờ 5000 đồng. Biết rằng tổng số tờ giấy bạc của ba
gói là 540 tờ và số tiền ở các gói bằng nhau
Bài 7: Cho tam giác ABC có các đường cao ha , hb , hc tỉ lệ thuận với 2; 3; 4. Chu
vi tam giác ABC bằng 13. Tính độ dài cạnh lớn nhất của tam giác ABC.
14 | 1 9


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

Bài 8: Ba tổ cơng nhân có mức sản xuất tỉ lệ với 5; 4; 3. Tổ I tăng năng xuất 10%,
tổ II tăng năng xuất 20%, tổ III tăng năng xuất 10%. Do đó trong cùng một thời
gian, tổ I làm được nhiều hơn tổ II là 7 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm
được trong thời gian đó.
Bài 9: Tìm ba số tự nhiên biết rằng BCNN của chúng bằng 3150, tỉ số của số thứ
nhất và số thứ hai là 5: 9, tỉ số của số thứ nhất và số thứ ba là 10: 7.
Bài 10: Số tự nhiên M được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các
bình phương của ba phần đó là 9512. Tìm A.
Bài 11: Số tự nhiên A được chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Biết tổng
các bình phương của ba phần đó là 564. Tìm A.
Bài 12: Chia số A thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; 4. Tổng các lập phương của
ba số đó là 9512. Tìm A.
Dạng III: Dạng chứng minh tỉ lệ thức.
Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Sau đây là một số cách chứng
minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

a c
 với b, c, d  0 . Và c   d
b d
ab cd


Chứng minh rằng:
b
d

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức

Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân
tích suy ln ngược để tìm ra hướng chứng minh. Khi chứng minh ta chứng minh
theo chiều xuôi. Khi chứng minh chú y điều kiện có nghĩa của tỉ lệ thức.
Có:

a c
a b
ab b
ab cd
  Cần CM:   Cần CM:
  để CM:

b d
c d
cd d
b
d

Giải:

a c
a b a b
   

b d
c d cd
b ab
cd ab
 


d cd
d
b
ab cd

hay:
(đpcm)
b
d
a c
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức  với b, c, d  0 . Và a  b; c   d
b d
a
c

Chứng minh rằng:
ab cd
a c
a b
a a b
a
c
    



Phân tích đề bài:
b d
c d
c cd
ab cd
Từ

Giải:

15 | 1 9


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

a c
a b ab
   
b d
c d cd
a ab
a
c
 


(đpcm)
c cd
a b cd

ab cd

Ví dụ 3: Cho
( a, b, c, d  0 và a  b, c   d ).
a b c d
a c
Chứng minh rằng  .
b d
Từ:

Phân tích đề bài:

ab cd
a b a b
a b
a c



   
ab c d
cd cd
c d
b d

ab cd
ab ab




ab cd
cd cd
a b
a c
   
(đpcm)
c d
b d
a c
ac a 2  c 2
Ví dụ 4: Cho tỉ lệ thức  . với a, b, c, d  0 Chứng minh:

b d
bd b 2  d 2
Giải:

Từ:

Phân tích đề bài:

2

2

a c
a c a c 
ac a 2 c 2
ac a 2  c 2
  .      





b d
b d b d 
bd b 2 d 2
bd b 2  d 2
Giải:
2

2

a c
a c a  c 
ac a 2 c 2
Từ:   .       


b d
b d b d 
bd b 2 d 2
a2 c2 a2  c2
Mà: 2  2  2
(2)
b
d
b  d2
ac a 2  c 2
Từ (1) và (2) 
(đpcm)


bd b 2  d 2
a c
Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức  . với a, b, c, d  0 và c  d
b d

 a  b
2
cd
2

Chứng minh:



ab
cd

Phân tích đề bài:

16 | 1 9

(1)


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

a c
a b a b
a b  a b 

ab  a  b 
   
 . 

 
b d
c d cd
c d cd 
cd  c  d  2
2

2

Giải:
Từ:

a c
a b a b
   
b d
c d cd

a b  ac 
ab  a  c 
 . 

 
c d bd 
cd  b  d  2
2

2

 a  b
2
cd
2

Hay



ab
(đpcm)
cd

a a2  c2
Chứng minh rằng:  2
b b d2

a c
Ví dụ 6: Cho  với a, b, c  0
c b
Phân tích đề bài:
2

2

a c
a c a c

a a2 c2
a a2  c2
  .        2  2   2
c b
c b c  b
b c
b
b c  b2
Giải:
2

2

a c
a c a c
Từ:   .      
c b
c b c b
a a2 c2
 .  2  2 (1)
b c
b
a2 c2 a2  c2 a2  c2
Mà: 2  2  2
(2)

c
b
c  b2 b2  c2
a a2  c2

Từ (1) và (2)   2
(đpcm)
2
b b c
5
5
a c
Ví dụ 7: Cho tỉ lệ thức  với a, b, c, d  0 và a   b; c   d  0 .
b d
3
3
Chứng minh các tỉ lệ thức sau:
Phân tích đề bài:

Giải:

3a  5b 3c  5d

3a  5b 3c  5d

a c
a b
3a 5b 3a  5b 3a  5b
3a  5b 3c  5d
   






b d
c d
3c 5d 3c  5d 3c  5d
3a  5b 3c  5d

Từ:

a c
a b
3a 5b 3a  5b
   


b d
c d
3c 5d 3c  5d
17 | 1 9

(1)


“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

3a 5b 3a  5b


(2)
3c 5d 3c  5d
3a  5b 3c  5d


Từ (1) và (2) 
3c  5d 3c  5d
3a  5b 3c  5d


(đpcm).
3c  5d 3c  5d

Mà:

Bài tập áp dụng:

a c
  1 với a, b, c, d  0 . Chứng minh rằng:
b d
ab cd
a
c
a b c  d



a)
b)
c)
b
d
ab cd
a
c

Bài 1: Cho tỉ lệ thức

a2 b3
a b


với a  2; b  3 . Chứng minh rằng
a 2 b 3
2 3
Bài 3: Cho a  d  b  c và a 2  d 2  b 2  c 2  b, d  0  .
Chứng minh rằng bốn số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức.
Bài 2: Cho tỉ lệ thức:

Bài 4: Cho tỉ lệ thức

a c
 Chứng minh các tỉ lệ thức sau (với giả thiết các tỉ số
b d

đều có nghĩa).

 a  b
2
cd
2

a)

a 2  b2

 2
c  d2

b)

2a  5b 2c  5

3a  4b 3c  4d

2005a  2006b 2005c  2006d
2012a  2013b 2012c  2013d


d)
2013a  2014b 2013c  2014d
2006c  2007 d 2006a  2007b
Bài 5: Cho b 2  ac ; c 2  bd với b, c, d  0 ; b  c  d ; b3  c 3  d 3

c)

3

a 3  b3  c3  a  b  c 
Chứng minh rằng: 3


b  c3  d 3  b  c  a 
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau

a

a
a1 a2 a3


 ........  8  9
a2 a3 a4
a9 a1

và a1  a2  .......  a9  0 . Chứng minh rằng: a1  a2  a3  .......  a9
a 2  b 2 ab
Bài 7: Cho 2
với a, b, c, d  0 ; c   d .

c  d 2 cd
a c
a d
CMR hoặc  hoặc 
b c
b d

a b c
ax 2  bx  c
 
Bài 8: Cho p 
. Chứng minh rằng nếu
thì giá trị của P
a1 b1 c1
a1 x  b1 x  c1
không phụ thuộc vào x.
18 | 1 9

“Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG:
Với phương pháp dạy học theo các chuyên đề, đặc biệt là chuyên đề “Hướng
dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”. Các em
khơng những khơng cịn sợ dạng tốn này mà cịn rất thích làm bài tập dạng này.
Trước khi thực hiên đề tài
Số lượng

Tỉ lệ %

Sau khi thực hiên đề tài
Số lượng

Tỉ lệ %

Giỏi

1

2,2%

8

17,8%

Khá

5

11,1%

19

42,2%

TB

24

53,4%

15

33,3%

Dưới TB
15
33,3%
3
6,7%
Như vậy sau khi thực hiện đề tài kết quả học sinh nắm được phương pháp giải bài
tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và áp dụng làm bài kiểm tra rất tốt.
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Nâng cao và phát triển toán 7.
2. Nâng cao và các chuyên đề đại số 7.
3. Bài tập nâng cao và các chuyên đề toán 7.
4. Bồi dưỡng toán 7.

5. Các chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7.
E. NHỮNG KIẾN NGHỊ SAU Q TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
Phịng giáo dục cần tổ chức một chuyên đề hướng dẫn làm sáng kiến kinh
nghiệm giới thiệu những sáng kiến kinh nghiệm hay để giáo viên có dịp trao đổi
bàn bạc và học tập ở đồng nghiệp.
Trên đây là một số kinh nghiệm trong việc dạy học sinh lớp 7 giải bài tốn áp
dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, mong hội đồng khoa học góp ý kiến bổ xung
cho đề tài được tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
Thị trấn Phùng, ngày 26 tháng 3 năm 2020
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của
mình viết, khơng sao chép nội dung của người khác
Tác giả:

Nguyễn Thị Ngọc.

19 | 1 9