Quy-tac-dem

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Quy tắc đếm
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Phương pháp
1. Quy tắc cộng
a. Định nghĩa: Xét một cơng việc A.
Giả sử A có k phương án Ai , i = 1, k thực hiện công việc A
Nếu có a1 cách thực hiện phương án A1 .
Nếu có a2 cách thực hiện phương án A2 .
Nếu có a3 cách thực hiện phương án A3 .
…
Nếu có ak cách thực hiện phương án Ak .
Mỗi cách thực hiện phương án Ai không trùng với cách thực hiện Aj , ( i  j, i, j 1, k )
Thì khi đó có a1 + a2 + .... + ak cách thực hiện công việc A
b. Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đôi một rời nhau, khi đó A1  A2  ...  An = A1 + A2 + ... + An

2. Quy tắc nhân
a. Định nghĩa: Xét cơng việc A.
Giả sử A có k công đoạn Ai , i = 1, k thực hiện cơng việc A. Cơng đoạn A1 có a1 cách thực
hiện, cơng đoạn A2 có a2 cách thực hiện,…, Cơng đoạn Ak có ak cách thực hiện. Khi đó
cơng việc có a1.a2 ...ak cchs thực hiện cơng việc.
b. Cơng thức quy tắc nhân
Nếu các tập A1 , A2 ,..., An đơi một rời nhau, khi đó A1  A2  ...  An = A1. A2 ... An

3. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp theo quy tắc cộng
Để đếm số cách thực hiện một công việc A theo quy tắc cộng ta cần phân tích xem cơng
việc A đó có bao nhiêu phương án thực hiện, mỗi phương án có bao nhiêu cách lựa chọn.

4. Phương pháp đếm bài toán tổ hợp theo quy tắc nhân
Để đếm số cách thực hiện công việc A theo quy tắc nhân, ta cần phân tích cơng việc A
được chia làm bao nhiêu giai đoạn A1 , A2 ,..., An và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạn Ai .

5. Các dạng bài toán đếm thường gặp
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Bài tốn 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên:
• ai  0,1, 2,3,...,9 , a1  0
• X là số chẵn  an là số chẵn
• X là số lẻ  an là số lẻ
• X chia hết cho 3  a1 + a2 + a3 + ... + an chia hết cho 3
• X chia hết cho 5  an  0,5
• X chia hết cho 6  x là số chẵn và chia hết cho 3
• X chia hết cho 8  an − 2 an −1an chia hết cho 8
• X chia hết cho 9  a1 + a2 + a3 + ... + an chia hết cho 9
• X chia hết cho 11  tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn
là một số chia hết cho 11.
Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Bài tốn 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học

II. Bài tập ví dụ minh họa
Bài 1: Khi đi từ thành phố A đến thành phố B có 8 con đường, từ thành phố B đến thành
phố C có 5 con đường. hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố C,
biết rằng bắt buộc phải đi qua thành phố B
Hướng dẫn giải

Từ A đến B có 8 con đường
Từ B đến C có 5 con đường
Vậy từ A đến C có 8.5 = 40 con đường
Bài 2: Từ các số tự nhiên 0,1, 2, 4,5, 6,8 có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có 4 chữ số
đơi một khác nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là abcd , a, b, c, d  0,1, 2, 4,5, 6,8
Cách 1: Đếm trực tiếp
Do số tự nhiên cần tìm là số chẵn nên d  0, 2, 4, 6,8
TH1: d = 0 . Vậy d chỉ có 1 cách chọn
Với mỗi cách chọn d ta có 6 cách chọn a, a  1, 2, 4,5, 6,8
Vói mỗi cách chọn a, d  ta có 5 cách chọn b, b  {1, 2, 4,5, 6,8} \ a

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Với mỗi cách chọn a, d , b ta có 4 cách chọn c, c {1, 2, 4,5, 6,8} \ a, b
Vậy với d = 0 ta có 6.5.4.1 = 120 số
TH2: d  0 , số tự nhiên cần tìm là số chẵn vậy d có 4 cách chọn
Với mỗi cách chọn d và a  0 nên a có 5 cách chọn, a  1, 2, 4,5, 6,8 \ d 
Với mỗi cách chọn a, d  , ta có 5 cách chọn b, b  {0,1, 2, 4,5, 6,8} \ a, d 
Do đó ta có 4 cách để chọn c
Vậy với d  0 ta có 4.5.5.4 = 400 số
 Có tất cả 120 + 400 = 520 số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ
dãy số 0,1, 2, 4,5, 6,8
Cách 2: Đếm gián tiếp hay tính phần bù
Ta gọi :
A = { Tập hợp các số số tự nhiên có 4 chữ số được tạo bởi dãy số 0,1, 2, 4,5, 6,8 }

B = { Tập hợp các số tự nhiên lẻ có 4 chữ số được tạo bởi dãy số 0,1, 2, 4,5, 6,8 }
C ={ Tập hợp các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số được tạo bởi dãy số 0,1, 2, 4,5, 6,8 }
C = A−B

Dễ dàng tính được A = 6.6.5.4 = 720 số
Xét B:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là abcd , a, b, c, d  0,1, 2, 4,5, 6,8
Do B là tập các số tự nhiên lẻ có 4 chữ số tạo bởi dãy số 0,1, 2, 4,5, 6,8 nên d  1,5 vậy d
có 2 cách chọn
Ta có: a  0, a  d  a có 5 cách chọn
Số cách chọn b là 5 cách và số cách chọn c là 4 cách
Vậy B = 2.5.5.4 = 200 số
 C = A − B = 720 − 200 = 520 số

Bài 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh gồm 3 học sinh nữ, 2 học sinh nam vào một
bàn dài sao cho:
a. 3 học sinh nữ ngồi cạnh nhau
b. 2 học sinh nam ngồi kề nhau
Hướng dẫn giải
a. Số cách sắp xếp thỏa mãn là: 3!.3! = 36
b. Số cách sắp xếp thỏa mãn là: 2!.4! = 48
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Bài 4: Trong một giải thi đấu bóng đá có 20 đội tham gia thi đấu với phương thức đấu
vịng trịn, biết cứ 2 đội thì gặp nhau đúng 1 lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra.
Hướng dẫn giải
Cứ 1 đội sẽ đấu 19 trận vậy 20 đội sẽ đấu 20.19 = 380 trận

Nhưng theo cách tính như vậy thì mỗi đội sẽ đấu với nhau 2 lần
Vậy số trận đấu xay ra mà mỗi đội gặp nhau 1 lần là: 380 : 2 = 190 trận
Bài 5: Cho tập A = 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8
a. Có bao nhiêu tập con chứa số 1 mà khơng chứa số 5
b. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 5 chữ số không bắt đầu bằng 123
Hướng dẫn giải
a. Giả sử tập B = 2,3, 4, 6, 7,8 không chứa 5
Gọi C là tập con của A và thỏa mãn đề yêu cầu bài toán bằng số tập con khi và chỉ khi
C\{2} là tập con của B. Do đó, số tập con xủa A thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng số tập
con của B bằng 26 = 64
b. Gỉa sử số tự nhiên lẻ có 5 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập A là abcde
Vì abcde là số lẻ nên e  1,3,5, 7 nên có 4 cách chọn e
4 số cịn lại được lập từ 7 chữ số còn lại của tập A\{e} nên có 7.6.5.4 = 840 cách
Vậy có tất cả 4.840 = 3360 số tự nhiên lẻ
Có 5.4 = 20 số tự nhiên có 5 chữ số bắt đầu bằng 123
Vậy số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 3360 – 20 = 3340

III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Trên giá sách có 20 quyển sách Tốn, 12 cuốn sách Văn, 7 cuốn sách Tiếng Anh,
mỗi cuốn sách là khác nhau. Mỗi học sinh được lựa chọn 5 cuốn sách trên giá. Hỏi học
sinh có bao nhiêu cách chọn sách mà có đủ cả 3 mơn Tốn, Văn, Tiếng Anh.
Bài 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người A, B, C, D vào 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể
chứa cả 4 người.
Bài 3: Cho dãy số 1, 2, 4,5, 7,8
a. Có thể lập dk bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số từ dãy số trên
b. Có thể lập được bao nhiêu chữ số lẻ có 4 chữ số từ dãy số trên
c. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số chia hết cho 5
d. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau và không vượt
quá 4120

Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188


Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Bài 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp 2 cuốn sách Toán, 5 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách Tiếng
Anh lên giá sách sao cho cuốn sách cùng mơn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách
đơi một khác nhau.
Bài 5: An có 10 bơng hoa, 4 bông hoa hồng, 3 bông hoa hướng dương, 3 bông hoa cẩm
chướng cắm . An cần chọn ra 4 bơng hoa để cắm vào lọ hoa, hỏi có bao nhiêu cách để An
cắm hoa sao cho hoa trong lọ phải có đủ 3 loại hoa.
Bài 6: Có 6 nam, 4 nữ cùng ngồi vào 1 tổ gồm 5 bàn, mỗi bàn 2 người:
a. Có bao nhiêu cách sắp xếp nam nữ ngồi cùng bàn
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 2 bàn liên tiếp chỉ nam ngồi cùng nhau.
Xem thêm các bài tiếp theo tại: />
Trang chủ: | Email hỗ trợ: | Hotline: 024 2242 6188