Bài giảng toán cao cấp

lOMoARcPSD|16911414

BỘ MƠN TỐN – THỐNG KÊ
KHOA CƠ BẢN

THS. NGUYỄN TRUNG ĐƠNG

Slide bài giảng

TỐN CAO CẤP

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()


lOMoARcPSD|16911414

TRƯỜNG ĐẠI HỌC
TÀI CHÍNH - MARKETING
KHOA CƠ BẢN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC
TÀI CHÍNH - MARKETING
KHOA CƠ BẢN

Môn : TỐN CAO CẤP

Mơn : TỐN CAO CẤP

Hình thức đánh giá mơn học

Điểm q trình (30%)
Điểm kết thúc học (70%)
Điểm học phần = (Điểm quá trình + Điểm kết thúc học)

Số tín chỉ : 4
Số tiết : 60
Giảng viên : ThS. Nguyễn Trung Đông
Mail :

Giảng viên : ThS. Nguyễn Trung Đông
Mail :

1

2

NỘI DUNG MƠN HỌC

ĐÁNH GIÁ ĐIỂM Q TRÌNH

Chương 1. Ma trận – Định thức

Gồm các tiêu chí sau

Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính

1) Kiểm tra ngẫu nhiên (50%)

Chương 3. Khơng gian vectơ

2) Bài tập về nhà (20%)

Chương 4. Số thực

3) Chuyên cần (20%)

Chương 5. Phép tính vi phân hàm một biến
Chương 6. Tích phân

4) Tích cực học tập (10%)

Chương 7. Hàm nhiều biến
3

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Chương 8. Phương trình vi phân

4

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt
1) Lê Đình Thúy, Tốn cao cấp cho các nhà
kinh tế, NXB Đại học kinh tế Quốc Dân.
(Phần I: Giải tích và Phần II : Đại số tuyến tính)
2) PGS.TS. Lê Văn Hốt, Tốn cao cấp, Trường
ĐHKT TPHCM.
3) Đỗ Cơng Khanh, Tốn cao cấp, NXB ĐHQG
TPHCM. (Đại số + Giải tích).

4) Lê Sĩ Đồng, Tốn cao cấp, NXB Giáo Dục.
5

5) Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Cơng Tâm, Đinh
Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo trình
giải tích (Một biến + nhiều biến), NXB
ĐHQG TPHCM.
Tiếng Anh
6) Second edition CALCULUS CONCEPTS
AND CONTEXTS JAMES STEWART.
7) Edward T. Dowling, Ph.D, Introduction to
Mathematical economics.
8) Ngoài ra, một số tài liệu khác

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

6

1


lOMoARcPSD|16911414

Bài Giảng
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
(Linear Algebra)
Chương 1
Ma Trận - Định Thức
GV: ThS. Nguyễn Trung Đông

Chương 1
Ma Trận - Định Thức
Ma trận
Định thức của ma trận vuông
Ma trận nghịch đảo
Hạng của ma trận

1

1. Ma Trận (Matrix)

1. Ma Trận (Matrix)

1. Định nghĩa
 a11 a12

a
a 22
A   21
 

 a m1 a m2

2. Ma trận bằng nhau

 a1n 

 a 2n 
 


 a mn 

A, B  M mn

AB
[A]ij  [B]ij , i  1, m, j  1, n

3. Các ma trận đặc biệt
3.1. Ma trận không

A gọi là ma trận cấp m  n , A  Mmxn
Ký hiệu :

A   a ij 

m n

2

hay

A   a ij 

m n

[A]ij là phần tử tại hàng i, cột j trong A
3

0 mn

0 0  0


0 0  0

    


0 0  0

4

1. Ma Trận (Matrix)

1. Ma Trận (Matrix)

3. Các ma trận đặc biệt
3.2. Ma trận vng (Square Matrix)
Là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau.
A  Mnxn hay A  Mn , A được gọi là ma
trận vuông cấp n.
Các phần tử [A]11, [A]22, .. , [A]nn được
gọi là thuộc đường chéo chính của A.
Các phần tử [A]n1, [A]n-1,2, .. , [A]1n được
gọi là thuộc đường chéo phụ của A.

3. Các ma trận đặc biệt
3.2. Ma trận vng
Ví dụ 1:

 1 2 3 


A  0 6 5 
 2 3 5 



 1 2 3 


A  0 6 5 
 2 3 5 



Đường chéo chính

Đường chéo phụ

5

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

6

1


lOMoARcPSD|16911414

1. Ma Trận (Matrix)

1. Ma Trận (Matrix)

3. Các ma trận đặc biệt
3.3. Ma trận chéo (Diagonal Matrix)
Là ma trận vuông mà mọi phần tử
khơng nằm trên đường chéo chính
đều bằng 0.
Ví dụ 2:
5 0 0
A   0 7 0  , gọi là ma trận
0 0 0
chéo cấp 3



3. Các ma trận đặc biệt
3.4. Ma trận đơn vị (Identity Matrix)
Là ma trận chéo mà mọi phần tử nằm
trên đường chéo chính đều bằng 1.
Ký hiệu : In là ma trận đơn vị cấp n.

7

3. Các ma trận đặc biệt
3.5. Ma trận tam giác trên (dưới)
Là ma trận vuông mà mọi phần tử nằm
ở phía dưới (phía trên) đường chéo

chính đều bằng 0.
 5 2 1
Ví dụ 3:


4
0 

A được gọi là ma trận tam giác trên

0 ... 0 

1 ... 0 
... ... ... 

0 ... 1 

8

1. Ma Trận (Matrix)

1. Ma Trận (Matrix)

A   0 7
0 0


1

0

In  
 ...

0

3. Các ma trận đặc biệt
3.6. Ma trận hàng (cột)
Là ma trận chỉ có một hàng (cột). Cịn
được gọi là vectơ hàng (cột).
Một ma trận cấp m  n có thể được xem
như được tạo bởi m vectơ hàng hay
bởi n vectơ cột.
2
Ma trận hàng: A   2 1 0 Ma trận cột: A   1

 0 10
 

9

1. Ma Trận (Matrix)

1. Ma Trận (Matrix)
4. Các phép toán trên ma trận
Cho A, B  Mmn , k  
4.1. Phép nhân ma trận với một số thực
k.A là ma trận được xác định bởi
 kAij  k  Aij ,  i  1, m, j  1, n
(–1).A hay –A được gọi là ma trận đối của A.
4.2. Phép cộng hai ma trận

A + B là ma trận được xác định bởi
 A  Bij   Aij   Bij ,  i  1, m, j  1, n
Phép trừ được định nghĩa là A + (–B)
11

4. Các phép toán trên ma trận
4.3. Tính chất
a. A + B = B + A (tính giao hoán)
b. (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp)
c. A + 0 = A (0 được hiểu là 0mxn)
d. A + (A) = 0
e. h(kA) = k(hA)
f. h(A + B) = hA + hB
g. (h + k)A = hA + kA
h. 1.A = A

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

12

2


lOMoARcPSD|16911414

1. Ma Trận (Matrix)

1. Ma Trận (Matrix)

4. Các phép toán trên ma trận

4.4. Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A  M mn , B  M np
Tích của A và B là ma trận cấp m  p
ký hiệu: AB được xác định bởi
n

 ABij    A ik  Bkj ,

4. Các phép toán trên ma trận
4.4. Phép nhân hai ma trận
Ví dụ 4:

 1 2
 2 3


A   1 1   M3x 2 , B  
  M 2x 2
 2 1 
 2 3



i  1, m , j  1, p

k 1

[AB]ij chính là tích vơ hướng của vectơ hàng thứ i
của ma trận A với vectơ cột thứ j của ma trận B.

 1 2
 -2 5 

  2 3 

AB   1 1  . 
  -4 -2 

 2 3   2 1   2 9 




14

13

1. Ma Trận (Matrix)

1. Ma Trận (Matrix)

4. Các phép tốn trên ma trận
4.5. Tính chất
a. A(BC) = (AB)C
(tính kết hợp)
b. (A + B)C = AC + BC
C(A + B) = CA + CB (tính phân bố)
c. k(AB) = (kA)B = A(kB)
Lưu ý: Tích của A và B khơng chắc
tồn tại và khơng có tính giao hoán.

5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
5.1. Hoán vị hai hàng i và j
Ký hiệu (i) ~ (j)
Ví dụ 5:
3 2

0 1
A
1 3

 5 1

1 5
1 3


2 3  1 3  0 1

3 2
2 4


2 0
 5 1

2 4

2 3
1 5


2 0

15

16

1. Ma Trận (Matrix)

1. Ma Trận (Matrix)

5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
5.2. Nhân hàng i với một số  ≠ 0
Ký hiệu (i) := (i)
Ví dụ 6:

5. Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
5.3. Thay hàng i bởi hàng i cộng với 
lần hàng j
Ký hiệu (i) := (i) + (j)
Ví dụ 7:

 1 2 3 
 1 2 3 
1

  3: 5 3 

A   0 1 4  
 0 1 4 

0 0 5 
0 0 1 





 1 1 0 
 1 1 0 

 3: 3 1 

A   0 1 1  
 0 1 1 




 1 0 2 
 0 1 2 
17

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

18

3


lOMoARcPSD|16911414

1. Ma Trận (Matrix)

1. Ma Trận (Matrix)

6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ
cấp theo hàng
6.1. Chuyển ma trận vng về ma
trận tam giác trên
 1 1 0 
Ví dụ 8:  1 1 0 

6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ cấp
theo hàng
6.2. Chuyển ma trận tam giác trên về ma
trận đơn vị
Nếu các phần tử thuộc đường chéo chính
của ma trận tam giác trên đều khác 0.
Ví dụ 10


A 0
1


 3: 3 1 
1 1  
0
0
0 2 




1 1 
1 2 

 1 1 0 



  0 1 1 
 0 0 1


 3 :  3   2 

19

1. Ma Trận (Matrix)

6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ cấp
theo hàng
6.3. Ma trận bậc thang theo hàng
Là ma trận với hai hàng bất kỳ, số hạng
khác 0 đầu tiên của hàng dưới luôn nằm
bên phải số hạng khác 0 đầu tiên của hàng
trên.
0 1 0 3 5 7 
1 0 2 0 9 6 


0 0
0
0 0
0 0


Ví dụ 12: A   0

0

2 4

0
0

0
0

3
0

0

0

0



6

0
3 ; B   0


5
0
0
0 



2 4 4 7 1 
0 1 0 3

0 0 0 8
0 0 0 0 0 
0
0

 1 1 0 
 1 1 0 
1 0 0



 (1) : (1)  (2) 

1 :  1
A   0 1 1  


0

1
0


2
:
2
3
(2)
:
(2)




      

 0 1 0   I3
(3) :  (3)
 0 0 1
 0 0 1 
0 0 1







20

1. Ma Trận (Matrix)
6. Áp dụng của các phép biến đổi sơ
cấp theo hàng
6.4. Chuyển ma trận bất kỳ về ma
trận bậc thang theo hàng
Ví dụ 13:
 1 1 3 1 
 1 1 3 1 
 1 1 3 1 

 (2):( 2) (1) 
 (3):(3) 3.(2) 

  0 1 1 2  
0 1 1 2 
A   1 2 2 1  
(3): (3)  2.(1)
 2 1 6 3
0 3 0 1
 0 0 3 5 







21

22

1. Ma Trận (Matrix)

1. Ma Trận (Matrix)

7. Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix)
7.1. Định nghĩa
Cho A  Mmxn , chuyển vị của A, ký hiệu
AT là ma trận cấp n  m được định nghĩa
bởi :

7. Ma trận chuyển vị (Transpose Matrix)

 A    A  ji ,  i  1, n, j  1, m
ij
T

Ví dụ 15:

 1 4
 1 2 3


T
A
  M 23 ; A   2 5   M 32
 4 5 6
 3 6




7.2. Tính chất
a.

A 

b.

 A  B

c.

 AB 

T T

T

A
T

 A T  BT

 BT A T

23

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

24

4


lOMoARcPSD|16911414

1. Ma Trận (Matrix)

2. Định thức của ma trận vuông

8. Ma trận đối xứng (Symmetric Matrix)
8.1. Định nghĩa
Ma trận vuông A được gọi là một ma
trận đối xứng khi và chỉ khi A = AT 
các phần tử trong A đối xứng nhau qua
đường chéo chính.
 x 1 3
Ví dụ 16:



1. Ma trận bù
Ký hiệu : Aij, là ma trận nhận được từ
A sau khi bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j.
Ví dụ 17:
1 2 3

A   1 y 5

 3 5 z



25



A   4 5 6   M3
7 8 9



5 6
A11  
,
8 9

1 2
 1 2
A 23  
 , A 33  
  M2
7
8


4 5

26

2. Định thức của ma trận vuông

2. Định thức của ma trận vuông

2. Định nghĩa: Cho A  Mn. Định thức
của A, ký hiệu det(A) hay |A|, là một
số thực được định nghĩa bằng quy nạp
theo n như sau :

3. Nhận xét

Với n = 1, ta có A = (a11), det(A) = a11
Với n  2, giả sử A = (aij)nxn , thì
n

1 j

det(A)  a11a 22  a 21a12
 a1 a 2
B   b1 b 2
c c
2
 1

a3 
b2
b3  , B  a1
c2


c3 

b3
b1 b 3
b b2
 a2
 a3 1
c3
c1 c3
c1 c2

 a1b2 c3  a 2 b3c1  a 3 b1c2  a1b3c2  a 2 b1c3  a 3 b2 c1

j1

27

2. Định thức của ma trận vng

4. Tính định thức cấp 3 bằng quy tắc Sarrus
Xây dựng ma trận A'3x5 từ A3x3 bằng cách viết
cột 1 và cột 2 kế bên cột 3 của A như sau:
a3 

b3 
c3 

det(A)  (1)11 a11 det (A11 )  (1)1 2 a12 det ( A12 )

B  a1  b2 c3  b3c2   a 2  b1c3  b3c1   a 3  b1c2  b2 c1 

det(A)    1 a 1j det A1j

 a1 a 2

A33   b1 b 2
c c
2
 1

a 
a
A   11 12 
 a 21 a 22 

A

/
3 5

 a1

  b1
c
 1

a2

a3

a1

b2

b3

b1

c2

c3

c1

a2 

b2 
c 2 

28

2. Định thức của ma trận vng
5. Ví dụ 18
1 2 3
Det(A)  3 4 0
1 2 5

2
 1


A/   3
4
 1 2


3
0
5

1

2 

4 

1 2 
3

Det(A)  1.4.5  2.0.  1  3.3.  2   3.4.  1  1.0.  2   2.3.5  16

3 số hạng mang dấu cộng trong định thức là tích
các phần tử nằm trên ba đường song song với
đường chéo chính
3 số hạng mang dấu âm trong định thức là tích các
phần tử nằm trên ba đường song song với đường
chéo phụ
29

6. Lưu ý

Công thức tính định thức của ma trận vng
được trình bày ở mục định nghĩa 2 là cơng thức
tính định thức khai triển theo dòng thứ 1. Định
thức của ma trận vuông không đổi khi ta khai
triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ.

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

30

5


lOMoARcPSD|16911414

2. Định thức của ma trận vuông
7. Định lý. Cho A   a  , khi đó
n

i j n n

det(A)   (1)i0  ja i0 j det(A i0 j ) (1)
j1
n

det(A)   (1)i  j0 a i j 0 det(A i j0 ) (2)
i 1

với mọi 1  i0, j0  n

8. Các tính chất của định thức
Tính chất 1: Cho A, B, C  Mn thỏa:
[C]1j = [A]1j + [B]1j
[A]ij=[B]ij=[C]ij  i = 2..n, j = 1…n.
Ta có: detC = detA + detB
Ví dụ 19:

a b bc ca

(1) là công thức khai triển theo hàng i0,
(2) là công thức khai triển theo cột j0.

2. Định thức của ma trận vuông

31

2. Định thức của ma trận vuông
8. Các tính chất của định thức

Tính chất 2: Cho k   và A Mn
Ta có : det(k.A) = kn.detA ,  A  Mn
Ví dụ 20:


1 3 4

A  2 5 1


3 1 2

det(A)  46  det(2A)  23 det A  368

1
2

2
3

3
4

a b c

 1 2 31 2 3
2 3 4
2 3 4

9. Định lý
(i)  (i )
B thì det(B) = det(A)
a. Nếu A 
(i): (i)
b. Nếu A 
 B thì det(B) = .det(A)
(i): (i)  (i)
c. Nếu A B thì det(B) = det(A)
d. Định thức của ma trận tam giác trên bằng
tích các phần tử thuộc đường chéo chính.
e. Định thức của ma trận có hai dịng bất kỳ
tỷ lệ với nhau thì bằng 0.

f. det(A) = det(AT),  A  Mn
35

32

2. Định thức của ma trận vng

8. Các tính chất của định thức
Tính chất 3:  A, B  Mn,
Ta có : det(AB) = det(BA) = det(A).det(B)
Ví dụ 21:
1 2 
3 2


A  
; B  

;
3 4
2 1
det(A)  2; det(B)  1

 det(AB)  det(BA)  det(A)  det(B)  2

33

2. Định thức của ma trận vuông

b c a

34

2. Định thức của ma trận vng
10. Các ví dụ minh họa
1 2 3
4 9 6
2 4 6
1 2 3
a) 4 9 6  45   1 2 3 ; b) 4 9 6  2 4 9 6  90
3 0 0
3 0 0
3 0 0
3 0 0
1 2 3
1 2 3 

 (2):(2) 4(1) 


c)A   4 9 6  
(3): (3)  3(1)
 0 1 6 
 3 2 0
 0 4 9 




1 2 3 



(3): (3) 4(2)

  0 1 6   B
 0 0 33 


det(A)  det(B)  1.1 (33)   33

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

36

6


lOMoARcPSD|16911414

3. Ma trận nghịch đảo

3. Ma trận nghịch đảo

1. Định nghĩa. Cho A, B  Mn. A, B gọi
là hai ma trận nghịch đảo của nhau
khi và chỉ khi AB = BA = In.
Khi đó ta nói A, B là các ma trận khả
nghịch. Ký hiệu A = B-1 hay B = A-1.
Ví dụ 22:

2. Tính chất
A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0
3. Tìm MT nghịch đảo bằng định thức
Cho A  Mn, đặt B   bij     1i j det Aij   M n
T
Ta có
b
 b 
b

 1 3 7
A   2 1 2 
 7 1 4 



1 
 2 5


B   22 53 12 
 9 22
5 


1 0 0


AB  BA   0 1 0 
0 0 1




37

3. Ma trận nghịch đảo

12

det(A)  1

1 
 2 5


A 1   22 53 12 
 9 22
5 

39

40

3. Ma trận nghịch đảo

4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng các
phép biến đổi sơ cấp theo hàng
Ví dụ 24:

5. Định lý

1 3 7

1 0 0

 0 1 0
0 0 1


2

 A I    2
3

5

1 2

 7 1 4


1 0 0

0 1 0
0 0 1 

1 
1 
 2 5




22 53 12   I3 A 1  A 1   22 53 12 
 9 22

5 
5
9 22





38

4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng các
phép biến đổi sơ cấp theo hàng
Bước 1: Lập ma trận  A I n  là ma trận
gồm n hàng và 2n cột, trong đó
n cột đầu chính là ma trận An
n cột cuối là ma trận đơn vị In
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ
cấp trên hàng, nếu có thể chuyển được
ma trận  A I n  về ma trận  In B  ,
khi đó B = A-1

3. Ma trận nghịch đảo

 1 3 7



A   2 1 2
 7 1 4 



1n


b 22  b 2n 
  

b n 2  b nn 

3. Ma trận nghịch đảo

3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định
thức
Ví dụ 23:  1 3 7 


A   2 1 2
 7 1 4 



11


1

1  b 21
A 
BT 
det(A)
det(A)  

 b n1
1



41

Nếu A khả nghịch thì ma trận nghịch
đảo A-1 tồn tại duy nhất.
6. Tính chất
Cho A, A1, A2 khả nghịch cấp n
a)  A -1  =A
-1

c)  A T  =  A -1 
-1

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

b)  A1A 2  =A -12 A1-1
-1

T
42

7


lOMoARcPSD|16911414

4. Hạng (rank) của ma trận

4. Hạng (rank) của ma trận
1. Định thức con

1. Định thức con
Cho A  Mmxn. Định thức con cấp
k của A là định thức của ma trận
vuông cấp k thu được từ A sau khi
bỏ đi một số hàng và cột.

Ví dụ 25. Cho ma trận sau
1 2 3 4 5


6 7 8 9 10 
A
 11 12 13 14 15 


16 17 18 19 20 
1 2 3
 8 9 10 





A1   6 7 8  ; A 2   13 14 15 
16 17 18 
 18 19 20 





43

44

4. Hạng của ma trận

4. Hạng của ma trận

2. Định nghĩa hạng của ma trận
Cho A  Mmxn. Hạng của A là r nếu:
a. Mọi định thức con của A cấp lớn
hơn r đều bằng 0.
b. Trong A tồn tại một định thức con
cấp r khác 0.
Ký hiệu: rank(A) hay r(A).
Ta quy ước rank(0) = 0
 0  r(A)  min{m,n}

2. Định nghĩa hạng của ma trận

Ví dụ 25:

45

1

A  2
2


2
4
5

3

6
0 

r A



2

vì detA = 0, và A có định thức con cấp 2
1 2
0
2 5

46

4. Hạng của ma trận

4. Hạng của ma trận

3. Tính chất
a. Hạng của ma trận khơng đổi qua các
phép biến đổi sơ cấp
b. Rank(A) = Rank(AT)
c. Nếu A là ma trận bậc thang theo hàng
thì hạng của A là số hàng khác 0 của A.
Tìm hạng ma trận bằng cách biến
đổi về ma trận bậc thang theo hàng.

4. Tìm hạng ma trận theo tính chất 3
Ví dụ 26:

47

1

A   1
3

1 2

 1 2
3 6


2 1 0 

2 4 2
6 3 0 
1 0   1 2 1 0 
 

4 2  0 4 3 2
3 0   0 0 0 0 

Vậy rank(A) = 2

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

48

8


lOMoARcPSD|16911414

Bài Giảng
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
(Linear Algebra)
Chương 2
Hệ Phương Trình Tuyến Tính
GV: ThS. Nguyễn Trung Đơng

Hệ tuyến tính Cramer
Hệ tuyến tính tổng quát
Hệ tuyến tính thuần nhất
2

1. Khái niệm chung

1. Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến
tính (Linear Equations System) là một
hệ gồm m phương trình bậc nhất theo
n ẩn số có dạng tổng quát như sau:
 a1n x n
 a 2n x n
...
...
 a mn x n

Khái niệm chung

1

1. Khái niệm chung

 a11x1  a12 x 2  ...
a x  a x
 ...
 21 1
22 2

...

...
...
...
...

a m1x1  a m 2 x 2  ...

Chương 2
Hệ Phương Trình Tuyến Tính

 b1
 b2
... ...
 bm
3

Đặt

 a11 a12
a
a 22
A   21
 

 a m1 a m2

 a1n 
 x1 
 b1 
x 

b 
 a 2n 
2
,X   ,B   2 ,
  
  
 

 
 
 a mn 
 xn 
 bm 
 a11 a12 ... a1n b1 


a 21 a 22 ... a 2n b 2 
A   A B  
 ...
... ... ... ... 


a
a
 m1 m2 ... a mn b m 

Hệ được viết lại ở dạng ma trận : AX=B
A được gọi là ma trận hệ số, B là ma trận cột các
hệ số tự do, X là ma trận ẩn, A là ma trận bổ sung.
4

1. Khái niệm chung

1. Khái niệm chung

2. Định nghĩa

3. Tính chất
a. Hệ phương trình tuyến tính chỉ có thể có duy
nhất 1 nghiệm, vơ nghiệm hoặc vô số nghiệm.
b. Nếu ta đổi thứ tự hai phương trình, nhân hai vế
của một phương trình với một số khác 0, thay
phương trình đó bằng phương trình đó cộng
với một hằng số nhân một phương trình khác
thì ta nhận được hệ mới tương đương với hệ
ban đầu.

C   c1 , c2 ,, c n    n

gọi là nghiệm của hệ

nếu thay X bằng CT thì A.CT=B.
Hai hệ phương trình gọi là tương
đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
5

Các phép biến đổi sơ cấp theo hàng trên ma trận
các hệ số mở rộng cho ta hệ mới tương đương.6

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

1


lOMoARcPSD|16911414

2. Hệ Cramer

2. Hệ Cramer

1. Định nghĩa. Hệ Cramer là hệ phương
trình tuyến tính có số phương trình
bằng với số ẩn và định thức của ma
trận hệ số khác 0
Ví dụ1:
 I

  x1

 3x1
 2x
1

1
A 3

 2x 2



x2
x2

 2
 x3

2

0

1

1  5  0




 1 2 0 


A   3 1 1
 2 1 0 



6
1

(I) Là hệ Cramer

2 1 0

7

2. Hệ Cramer

 3x 2
 x1

 2x1  x 2

 7x1  x 2

 7x 3
 2x 3
 4x 3

 1
 1 3 7
 0 , A   2 1 2  , A  1


 1
 7 1 4 

|A| ≠ 0  (I) là hệ Cramer.
 x  1  7x 3  3x 2  1
1 3
7 1   1
/

2  12x 3

 
A   0 5 12 2    x 2 
 10
5

1
4
0 0

5
5

 x 3   45 : 15  4

9

2. Giải hệ Cramer
c. Sử dụng định thức (cơng thức Cramer)
Ví dụ 3:
 x1

 2x1
7x
1


 3x 2
 x2



1

3

det A  2

1

7 1
1
det A 2  2

1
0

7 1

 7x 3
 2x 3

2. Giải hệ Cramer
c. Sử dụng định thức (công thức Cramer)
Gọi A i , i  1, n là ma trận nhận được từ
A bằng cách thay cột thứ i bằng cột
các hệ số tự do. Khi đó, hệ Cramer có
nghiệm duy nhất :
det A i



, i  1, n 
xi 
det A



2. Hệ Cramer

 I

8

2. Hệ Cramer

2. Giải hệ Cramer
b. Phương pháp Gauss
Ví dụ 2:
 I

2. Giải hệ Cramer
Nhận xét: hệ Cramer AX = B luôn có 1
nghiệm duy nhất.
a. Sử dụng ma trận nghịch đảo
|A| ≠ 0  A khả nghịch  X = A-1.B
b. Phương pháp Gauss: Sử dụng các phép
biến đổi sơ cấp trên dòng để biến ma trận
/
bổ sung A   A B  về A   A / B/  sao cho A /
là ma trận tam giác trên. Nghiệm của hệ

được giải từ dòng dưới lên trên.

 1
 1 3 7
1


 
 0 , A   2 1 2, B = 0
 7 1 4 
1
x 2  4x 3  1


 
det A1

7
1 3 7
x1  det A  1
2  1 , det A1  0 1 2  1

det A 2

4
1 1 4
 10
x 2 
det A
7

1 3 1

det A3

2  10 , det A 3  2 1 0  4
x 3  det A  4
4
7 1 1

11

10

3. Hệ phương trình tuyến tính
tổng qt
1. Định lý Kronecker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m
phương trình, n ẩn số, AX = B. Với
A   A B  , ta có :
a. Nếu rankA  rankA thì hệ vơ nghiệm.
b. Nếu rankA  rankA  n thì hệ có 1 nghiệm
duy nhất.
c. Nếu rankA  rankA  n thì hệ có vô số
nghiệm.

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

12

2

lOMoARcPSD|16911414

3. Hệ phương trình tuyến tính
tổng qt
2. Giải HPTTT tổng quát
Cho HPTTT m phương trình, n ẩn số. Sử dụng
các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để biến
/
A   A B  về A   A / B /  là ma trận bậc thang.
/
a. A có 1 hàng có dạng  0 0 ... 0 b  , b  0
kết luận hệ vô nghiệm.
/
b. Bỏ đi các hàng toàn 0 trong A , trên mỗi dòng
còn lại chọn 1 ẩn cơ sở để giải, các ẩn cịn lại
mang giá trị tự do.
13

3. Hệ phương trình tuyến tính
tổng quát
2. Giải HPTTT tổng quát
2x
Ví dụ 5: 2xx  4xx  x  5x
1

2

2

 1
 x1  3x 2
 3x  7x
2
 1
 2x1  8x 2

1

0
/
A  0

0
0


1 0 2
2 1 1
0

1

2

0

0

3

0

0

0

3

 3x 3
 4x 3

4
4

 5x 4
 9x 4
 2x 4

a1n x n
a 2n x n

...

...

 a mn x n

1

3

 3x 3


x4



2

 2x 4



1

x3

(I)

 1

 1 3 2 1 2   2 : 2  41  1 3 2 1 2 

 3: 3 21 

A   4 1 3 2 1  
  0 13 5 2 7 
 2 7 1 0 1 

 0 13 5 2 5 




 1 3 2 1 2 

 3: 3   2  

Hệ (I) vô nghiệm
 0 13 5 2 7 
0 0 0 0 2 
14



3. Hệ phương trình tuyến tính
tổng quát
1

3

2x 4
4x 4




1
5

 3x 3

 6x 4



9

x3

 2x 4

 10

2

3

2


 x1  x 2
12x1  2x 2

 1 1 2 4
/
A 
 0 2 5 10



(III)

5 

14 

Chọn x1, x2 làm các ACS. Cho x3=m, x4=n; m, n  
15

1. Định nghĩa. Hệ phương trình tuyến
tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả
hệ số tự do bằng 0. Hệ có dạng:



2

 4x1  x 2
 2x  7x
2
 1

1

4. Hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất (homogeneous)

 a11x1  a12 x 2  

a x  a x
 
 21 1
22 2

...
...
...
...
...

a m1x1  a m2 x 2  

2. Giải HPTTT tổng quát
Ví dụ 4:  x  3x  2x 

2. Giải HPTTT tổng quát
3x
 x
 x

Ví dụ 6:  x  x  2x 

 5
 1
 3 (II)
 14
 22

29


 x1  5  2x 4  x 2  3
5  

11  x 2  11  x 4  x 3  2

2
3 
17

4   x 3  3  2x 4 

3
0  
4
 x4 

3

3. Hệ phương trình tuyến tính
tổng quát




0
0

... ...


0

 1
5


W    m  n  2 ;  m  5n  7 ; m ; n  / m, n   
2

 2


16

4. Hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất (homogeneous)
2. Nghiệm của hệ thuần nhất
Hệ thuần nhất chỉ có hai khả năng:
a. Hệ có duy nhất 1 nghiệm là (0,0,..,0) được
gọi là nghiệm tầm thường.
b. Hệ có vơ số nghiệm.
3. Giải hệ thuần nhất. Sử dụng phương pháp
Gauss, nhưng thay vì biến đổi ma trận
A   A B  , ta chỉ cần biến đổi ma trận A.

17

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

18

3


lOMoARcPSD|16911414

4. Hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất (homogeneous)
3. Giải hệ thuần nhất
Ví dụ 7:  x  2x 
1

2

 3x1  5x 2

 4x1  5x 2
 3x1  8x 2

4x 3
 6x 3
 2x 3
 24x 3

 3x 4
 4x 4
 3x 4
 19x 4






0
0
(I)
0
0

 1 2 4 3 
A/  

 0 1 6 5 

Chọn x1, x2 làm các ACS. Cho x3=a, x4=b; a, b  
W   8a  7b ;  6a  5b ; a ; b  / a, b  

19

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

4


lOMoARcPSD|16911414

Bài Giảng
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

(Linear Algebra)

Chương 3. Khơng Gian Vectơ
 Các khái niệm cơ bản

Chương 3. Không Gian Vectơ
(Vector Space)

 Cơ sở và số chiều của
không gian vectơ

GV: ThS. Nguyễn Trung Đông


 Hạng của hệ vectơ
1

2

1. Các khái niệm cơ bản

1. Các khái niệm cơ bản

1. Không gian vectơ
Cho tập hợp V ≠, trên V có hai
phép tốn :

1. Khơng gian vectơ. V ở trên được gọi
là một không gian vectơ trên  , ký
hiệu  V, ,  nếu hai phép tốn trên V

thỏa các tính chất:

 :VV  V

 u, v   u  v
Phép toán trong
gọi là phép cộng

 :V  V

 k, u   ku

Phép tốn ngồi gọi là
phép nhân với số thực
3

a. u+v = v+u

e. h(k.u) = (h.k)u

b. (u+v)+w = u+(v+w)

f. h(u+v) = h.u + h.v

c. ! 0  V : u+0 = u

g. (h+k)u = h.u + k.u

d.  u  V : u+(u) = 0

h. 1.u = u

0 được gọi là phần tử trung hòa của phép cộng.
4

1. Các khái niệm cơ bản

1. Các khái niệm cơ bản

1. Khơng gian vectơ
Ví dụ 1:

1. Khơng gian vectơ
Ví dụ 2:

 a b 

V  M 2     
 / a, b, c, d   
c
d




Xét 3   x, y, z  / x, y, z   , với hai
phép tốn:

V có hai phép tốn:

 x1 , x 2 , x 3    y1 , y 2 , y3    x1  y1 , x 2  y2 , x 3  y3 
k  x1 , x 2 , x 3    kx1 , kx 2 , kx 3 

Cộng hai ma trận
Nhân ma trận với một số thực
 V là một không gian vectơ

 R3 là một không gian vectơ
5

 Rn là một không gian vectơ

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

6

1


lOMoARcPSD|16911414

1. Các khái niệm cơ bản

1. Các khái niệm cơ bản

2. Tổ hợp tuyến tính
Cho  V, ,  là một không gian vectơ.
Với u1, u2, …, un  V và k1, k2, …, kn  ,
ta gọi k1u1 + k2u2 + … + knun là một tổ hợp
tuyến tính các vectơ u1, u2, …, un

Nếu u  V và u = k1u1 + k2u2 + … + knun,
u được gọi là biểu thị tuyến tính qua các
vectơ u1, u2, …, un
NX: một THTT các vt trong V thì cũng thuộc V

2. Tổ hợp tuyến tính
Ví dụ 3 : Cho V = 3, u1=(1,1,0),
u2=(0,1,1), u3=(1,0,1)  V
Với k1, k2, k3  , ta có các tổ hợp
tuyến tính của u1, u2, u3 là :
k1u1  k 2 u 2  k 3u 3 =  k1  k 3 , k1  k 2 , k 2  k 3   3

7

8

1. Các khái niệm cơ bản

1. Các khái niệm cơ bản

3. Không gian vectơ con
Cho V là một không gian vectơ, W là
một tập con khác rỗng của V.
Nếu  u, v  W, k  , ta có
u+v, k.u  W
Thì ta nói W là một khơng gian vectơ
con của V (gọi tắt là không gian
con), ký hiệu W  V

3. Khơng gian vectơ con

Ví dụ 4: Cho V = 2

1. Các khái niệm cơ bản

1. Các khái niệm cơ bản

4. Không gian sinh bởi tập hợp
Cho V là một không gian vectơ,
S = {u1, u2, …, un}  V,
W là tập tất cả các tổ hợp tuyến
tính các vectơ trong S
 W  V.
Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W.
Ký hiệu W = <S> = < u1, u2, …, un >
.

4. Không gian sinh bởi tập hợp
Ví dụ 5: Xét 3 và W  3, với

Xét W1={(x,0) | x  }, nhận thấy
rằng W1≠ và W1  V.
Xét W2={(m,2m) | m  }, nhận
thấy rằng W2≠ và W2  V.

9

10

W   m  n, m  n, n  m, n  
=  m, m, 0    n,  n, n  m, n  

= m 1,1, 0   n 1, 1,1 m, n  

Vậy
W  1,1, 0  , 1, 1,1

11

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

12

2


lOMoARcPSD|16911414

1. Các khái niệm cơ bản

1. Các khái niệm cơ bản

4. Không gian sinh bởi tập hợp
Hệ quả: Tập hợp tất cả các nghiệm của một
HPT thuần nhất theo n ẩn là một khơng
gian vectơ con của n.
Ví dụ  x  2x  4x  3x  0

4. Không gian sinh bởi tập hợp

1

2

3

4

3x 1



5x 2



6x 3



4x 4



0

 4x 1
 3x 1




5x 2
8x 2




2x 3
24x 3

 3x 4
 19x 4




0
0

 I   

V. Khi đó với mọi vectơ v thuộc V,
v là một tổ hợp tuyến tính các phần
tử trong S, nghĩa là:

(I) có nghiệm  8m  7n, 6m  5n, m, n  , m, n  
 Tập hợp nghiệm của hệ :
W  m  8, 6,1, 0   n  7,5, 0,1 / m, n   

Lưu ý: Khi <S> = V, ta nói S sinh ra

v  V, k1 , k 2 ,..., k n   :
v  k1u1  k 2 u 2  ...  k n u n

 8, 6,1, 0  ,  7,5, 0,1
13

14

1. Các khái niệm cơ bản

1. Các khái niệm cơ bản

4. Không gian sinh bởi tập hợp

5. Hệ vectơ độc lập tuyến tính
Cho V là một khơng gian vectơ,
S = {e1, e2, …, en}  V.
S được gọi là độc lập tuyến tính nếu

Ví dụ 6: Chứng minh <S> = V
Xét V = 3, S = {e1,e2,e3}  3, với
e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1)

k1 , k 2 , ..., k n  , k1e1  k 2 e2  ...  k n e n  0

Lấy v = (a,b,c) bất kỳ thuộc 3, chứng minh

k1  k 2  ...  k n  0

<S> = 3 nghĩa là chứng minh v  <S>.

v  <S>   k1,k2,k3 : v = k1e1+k2e2+k3e3
 k1

  k1



 k2

k2

 a

 k3

 k3

 b
 c

1 1 0


A   1 0 1  , DetA  2
0 1 1



15

Ngược lại, S không độc lập tuyến tính và S
được gọi là phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là
k i  0, k1e1  k 2e2  ...  k n en  0

1. Các khái niệm cơ bản

1. Các khái niệm cơ bản

5. Hệ vectơ độc lập tuyến tính

5. Hệ vectơ độc lập tuyến tính

16

Ví dụ 7: CM hệ vectơ độc lập tuyến tính

Ví dụ 8: CMR hệ vectơ độc lập tuyến tính

Xét V =

Xét V = 3, S = {u1,u2,u3}  3, với

3,

S = {e1,e2,e3} 

3,

với

e1=(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1)

u1=(1,-2,1), u2=(2,1,-1), u3=(7,-4,1)

Xét k1e1 + k2e2 + k3e3 = 0,
 k1  k 2

  k1

k2


 0
 k3

 0

 k3

 0

Xét k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0,
 k1

 2k1
 k
 1

S độc lập
tuyến tính

 2k 2

 7k3  0



k2



4k 3

 0



k2



k3

 0

S phụ thuộc
tuyến tính

17

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

3


lOMoARcPSD|16911414

2. Cơ sở và số chiều của KGVT

2. Cơ sở và số chiều của KGVT

1. Định nghĩa. Cho V là một KGVT,
S = {e1,e2,…,en}  V. Ta nói S là một cơ sở
của V nếu
a. <S> = V hay S sinh ra V
b. S độc lập tuyến tính
Khi đó, số chiều của V, ký hiệu dimV = n.
Ta nói rằng V là KGVT hữu hạn chiều,
và mọi cơ sở khác của V cũng đều có
đúng n vectơ.

2. Tọa độ của vectơ
Cho V là một KGVT, S = {e1,e2,…,en} 
V, S là một cơ sở của V. Suy ra :
vV, k1,k2,…,kn   :
v = k1e1+k2e2+…+knen
Khi đó, tọa độ của v đối với cơ sở S,
k 
ký hiệu
 

k

2. Cơ sở và số chiều của KGVT

2. Cơ sở và số chiều của KGVT

2. Tọa độ của vectơ

2. Tọa độ của vectơ

19

Ví dụ 9: Cho V   2 cơ sở

Vậy

20

Ví dụ 10. Cho

S  e1 , e 2  , e1  1, 0  , e 2   0,1

Ta có

1

 vS   2 

 
 kn 

V   2 , S/  f1 , f 2  , f1  1,1 , f 2   1,1

v   a, b    , v  ae1  be 2
a 
 vS   
b
2

Dễ thấy rằng S/ là một cơ sở của V, khi
đó v   a, b    , v  k f  k f
2

S ở trên được gọi là cơ sở chính tắc trong

2 ,

 k1  k 2

 k1  k 2

ĐN tương tự cho cơ sở chính tắc trong  .
n

1 1

 a

 v S

 b

21

2. Cơ sở và số chiều của KGVT
3. Định lý về ma trận đổi cơ sở
Cho V là KGVT với hai cơ sở

2 2

/

ab 


 2

 a  b 


 2 

22

2. Cơ sở và số chiều của KGVT
3. Định lý về ma trận đổi cơ sở
Ví dụ 11: Xét V   3, và hai cơ sở

B  e1 , e2 ,..., en  ; B/  f1 ,f 2 ,..., f n 

Đặt A  f1 B f 2 B ... f n B 
khi đó,  v  V, ta có  v B  A. vB
Ma trận A được ký hiệu là P(B  B / ),
và được gọi là ma trận đổi cơ sở từ B
sang B / .

B  e1 , e2 ,e3  , e1  1, 0, 0  ,e2   0,1, 0  , e3   0,0,1
B /  f1 , f 2 , f3  ,f1  1,1,0  , f 2  1,0,1 , f3   0,1,1
0
 
 1 
 2
 

Xét v có  v

/

B/

 v B  PB  B  v B
/

23

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

/

1


 1
0


1
0
1

00 1
   
11   2
1   2   3 

24

4


lOMoARcPSD|16911414

2. Cơ sở và số chiều của KGVT

2. Cơ sở và số chiều của KGVT

4. Tính chất của ma trận đổi cơ sở
Cho 3 cơ sở S0 ,S1 ,S2 trong khơng gian
vec tơ V.

Ví dụ 13: xét ví dụ ở trên, tìm P  B /  B 

i) P  S1  S2    P  S2  S1  

1 1 0

0 1
0 1 1



Cách 1 P  B  B    1
/

 1/ 2 1/ 2 1/ 2 
1
P  B/  B   P  B  B/     1/ 2 1/ 2 1/ 2 
 1/ 2 1/ 2 1/ 2 



1

Cách 2

ii) P(S1  S2 )  P(S1  S0 )  P(S0  S2 )

P  B /  B   e1 B /

 1/ 2

e2 B e3 B    1 / 2
/

/

 1/ 2


1/ 2
1/ 2
1/ 2

1/ 2 

1/ 2 
1/ 2 

25

26

3. Hạng của hệ vectơ

3. Hạng của hệ vectơ

1. Định nghĩa. Cho V là một KGVT,
S = {v1,v2,…,vn}  V. Số chiều của <S>
được gọi là hạng của S
Ký hiệu rankS = dim<S>
Số phần tử của tập con độc lập tuyến tính

lớn nhất của S được gọi là số vectơ tối
đại của S
Tính chất: hạng của S chính là số vectơ
tối đại của S.

2. Tính chất
Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sau
trên S:
• Hốn vị hai vectơ
• Nhân một vectơ với một số khác 0
• Thay một vectơ bằng vectơ đó cộng
với một hằng số nhân vectơ khác
Thì ta thu được hệ mới S’ và <S’>=<S>

27

3. Hạng của hệ vectơ

2. Giải thuật tìm hạng của hệ vectơ
Cho V là KGVT, S={v1,…,vn}  V, W=<S>
Bước 1: Lập ma trận A với
 v1 
 
v
A 2
 ... 
 
 vn 

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp

trên hàng để đưa A về ma trận bậc thang,
ta nhận được hệ S’ mới sinh ra W. Hạng
của S chính là số các vectơ của S’.
29

28

3. Hạng của hệ vectơ
3. Giải thuật tìm hạng của hệ vectơ
Ví dụ 14: Xét S={v1,…,vn}3,v1=(1,3,0),
v2=(0,2,4), v3=(1,5,4), v4=(1,1,-4).
 v1   1
  
v
0
A 2
 v3   1
  
 v4   1

3
2

0  1 3 0  1
4   0 2 4   0


5 4  0 2 4  0
 
 

1 4   0 2 4   0

3 0
2 4 
0 0

0 0

W  S  v1  1 3 0  , v 2   0 2 4 

v1 , v2 độc lập tuyến tính  rankS = 2

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

30

5


lOMoARcPSD|16911414

3. Hạng của hệ vectơ

3. Hạng của hệ vectơ

4. Khảo sát cơ sở và số chiều của không
gian nghiệm của HPTTT thuần nhất

5. Khảo sát cơ sở và số chiều của khơng gian
các số hạng tự do để HPTTT có nghiệm

Xét hệ (I)

 x1

2 x1
2x
 1



2x 2



x3



3x 4



4x5



0



4x 2



2x3



7x4



5x 5



0



4x 2



2x3



4x 4



2x5



0

Tập nghiệm
W   2m  n, m, n, 0, 0   m  2,1, 0, 0, 0  + n 1, 0,1, 0, 0 

Xét hệ (I)
 x1

2x1
2x
 1

 2x 2



x3

 3x 4

 4x 5

 a

 4x 2
 4x 2

 2x 3
 2x 3

 7x 4
 4x 4

 5x 5
 2x 5

 b
 c

Xét W={(a,b,c) | hệ (I) có nghiệm}, ta có: cơ sở

 u1   2,1, 0, 0, 0  , u 2  1,0,1, 0, 0 

u1, u2 độc lập tuyến tính. Vậy {u1, u2} là cơ sở của
không gian nghiệm W. Số chiều của W = 2

W  1, 2, 2  ,  0,1, 2  ,  0, 0, 32   dim W  3

31

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

32

6


lOMoARcPSD|16911414

Bài Giảng
PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN

Chương 4

SỐ THỰC

GV: ThS. Nguyễn Trung Đơng


Chương 4. Số thực
Các ký hiệu tập số
Tổng tích hữu hạn
Hằng đẳng thức
Bất đẳng thức
Chứng minh bằng quy nạp

1

2

1. Các ký hiệu tập số

1. Các ký hiệu tập số

3. Tập số hữu tỷ (rational number)

1. Tập số tự nhiên (natural integer)

Ký hiệu: 

Ký hiệu: 



  m m  , n   *
n

  0,1, 2,... ;   1, 2,...   \ 0
*

4. Tập số thực (real number): Ký hiệu: 

2. Tập số nguyên (relative integer)

5. Tập số phức (complex number)

Ký hiệu: 

Ký hiệu: 

  ..., 2, 1,0,1, 2,...

  a  bi a, b  , i 2  1

3

1. Ký hiệu tổng, tích

1.

Cho a1 ,a 2 ,...,a n  

2.

n

 a ;a  a
i

1

2

 ...  a n 

i 1

a

n 1

n

a  a  a ; 
i

i 1

i

i 1

n

n

C a

k n k
n

n 1

i 1


ai  



i 1

n


i 1

a n  bn   a  b 

bk

n

a

n k

Nhị thức newton

b k 1

k 1

i

2. Tổng, tích được định nghĩa bằng qui nạp
n 1

a  b 

k 0

n

4

3. Hằng đẳng thức

2. Tổng tích hữu hạn

a1  a 2  ...  a n 




a i   a n 1


5

Ckn 

n!
k!(n  k)!

a  b 
n

n

C a
k 0

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

k
n

n k

bk
6

1


lOMoARcPSD|16911414

4. Bất đẳng thức

3. Hằng đẳng thức
Hệ quả
1.

a  b

n

n



 C (1) a

k
n

k

n k

1. Bất đẳng thức Cauchy
i) Dạng đơn giản

bk

a, b  0,

i 0

ab
 ab
2

ii) Dạng tổng quát

2. Nếu n lẻ
a n  bn   a  b 

n



a1  a 2  ...  a n n

 a1a 2 ...a n
n

(1)k 1 a n  k b k 1

Dấu “=’’ xảy ra

k 1

 a1  a 2  ...  a n

7

4. Bất đẳng thức

4. Bất đẳng thức

2. Bất đẳng thức BCS
i) Dạng đơn giản
2
a, b, x, y  ;  ax  by    a 2  b 2  x 2  y 2 
ii) Dạng tổng quát




n


i 1

2

 
a i bi   
 
 

Dấu “=’’ xảy ra

n


i 1


a i2 



n

8



n  , 1  a   1  na
n

Dấu “=“ xảy ra

 b 
2
i

3. Bất đẳng thức Bernoulli
Cho a  1 . Ta có

i 1

a
a
a
 1  2  ...  n
b1 b 2
bn

n  0  n  1,a  1
9

5. Chứng minh bằng quy nạp
*
Xét hàm mệnh đề: p(n), n  
Nếu

10

5. Chứng minh bằng quy nạp
Ví dụ: Chứng minh các đẳng thức sau
bằng phương pháp quy nạp

n(n  1)
2
n(n  1)(2n  1)
2) 12  22  32  ...  n 2 
6

+ p(1) đúng
+ p(n) đúng  p(n  1) đúng

1) 1  2  3  ...  n 

Thì p(n) đúng với n  *

 n(n  1) 
3) 1  2  3  ...  n  
 2 
3

11

3

3

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

3

2

12

2


lOMoARcPSD|16911414

Bài Giảng
PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN
Chương 5

 Các khái niệm tổng quát

Phép tính vi phân
hàm một biến

GV : ThS. Nguyễn Trung Đơng


Chương 5. Phép tính vi
phân hàm một biến
 Phép tính vi phân hàm một biến
 Tính chất hàm sơ cấp
 Các định lý về số gia hữu hạn

1

 Ứng dụng đạo hàm và vi phân

2

1.1. Định nghĩa

1. Các khái niệm tổng quát

Cho hàm số f có tập xác định là D  

1.1. Định nghĩa

f :D  

1.2. Đồ thị hàm số

x  f (x)  y

1.3. Các phép toán trên hàm số
1.4. Hàm số hợp
1.5. Hàm số ngược
3

1.2. Đồ thị hàm số

4

Đồ thị hàm bậc hai, bậc 3

Đồ thị G  f   M(x, y) / x  D  y  f (x)
Hàm số chẵn
x  D  x  D

f là hàm chẵn  f ( x)  f (x)

Hàm số lẻ
x  D   x  D

f là hàm lẻ
f ( x)  f (x)
Hàm tuần hoàn
xD  x  TD
f là hàm tuần hoàn  
f (x)  f (x  T)

5

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

6

1


lOMoARcPSD|16911414

1.3. Các phép toán trên hàm số
Cho hai hàm số f , g : D   , ta định
nghĩa hàm tổng, hiệu, tích, thương như
sau
f 
f (x)
i)  f  g  (x)  f (x)  g(x) iv)    x  

ii)  f  g  (x)  f (x)  g(x)

g

1.4. Hàm số hợp

Cho f có TXĐ là D , g có TXĐ là D /
f
g
D 
 D / 
 

x  f (x)  u  y  g(u)  g  f (x)

x  D,  g  f  x   g  f (x) 

g(x)

iii)  f  g  (x)  f (x)  g(x)

Với mọi x  D.
7

1.5. Hàm số ngược

8

1.5. Hàm số ngược
Ví dụ 1: Cho hai hàm số sau

Hai hàm f và g được gọi là ngược của
nhau: f : D  ; g : D /  

x 1
3
b 1
a, b   : b  3a  1  a 
 g(b)  a
3
f (x)  3x  1; g(x) 

b  f (a)  g(b)  a, a  D, b  D /

Ký hiệu: g  f 1 hay f  g 1

Vậy g và f là hai hàm ngược của nhau
f 1 (x)  g(x) 

9

x 1
hay g 1 (x)  f (x)  3x  1
3

Lưu ý: Hai hàm ngược của nhau thì đối xứng
với nhau qua đường phân giác thứ nhất.
10

2.1. Giới hạn của hàm số

2. Phép tính vi phân hàm
một biến

Ví dụ 2: Tính giá trị hàm số f (x) 

2.1. Giới hạn của hàm số

sin x
x

2.2. Hàm số liên tục
2.3. Đạo hàm của hàm số
11

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

12

2


lOMoARcPSD|16911414

2.1. Giới hạn của hàm số
1. Định nghĩa. Cho f : D   .
Ta nói f (x) tiến về L  f (x)  L  khi x tiến
(x)  L
về a  x  a  , ký hiệu: limf
x a

2.1. Giới hạn của hàm số
Ví dụ 3: Tính giới hạn hàm số sau
1) lim  x 2  2x  5   4
x 1

Khi đó các giá trị x  D đủ gần a, các
giá trị f (x) tương ứng gần L tùy ý.

2) lim x 2  
x 

3) lim

x 

Định nghĩa trừu tượng bằng ngôn ngữ:   

1
0
x2

lim f (x)  L    0,   0, x  D, x  a    f (x)  L  
x a

13

2.1. Giới hạn của hàm số

Lưu ý:

2. Phép tính về giới hạn

Các dạng vô định thường gặp

(x)  A, limg(x)  B và k   là
Nếu limf
x a
x a
hằng số, thì ta có
iv)lim  kf (x)   kA
i) lim  f (x)  g(x)  A  B
x a
x a

ii) lim  f (x)  g(x)  A  B
x a

ii)lim  f (x)  g(x)  A  B

14

v)lim
x a

f (x) A

g(x) B

x a

Với điều kiện vế phải không xuất hiện dạng vô định

0 
; ; 0 ;   
0 

Hai dạng vô định căn bản: 0 ; 
0



Dạng 0   ;    được đưa về hai
dạng đầu

15

16

2.1. Giới hạn của hàm số

2.1. Giới hạn của hàm số

3. Tiêu chuẩn giới hạn kẹp

Ví dụ 4: Tính giới hạn sau

Nếu f (x)  g(x)  h(x) khi x ở gần a và
lim f (x)  lim h(x)  L
x a

x a

L
thì limg(x)
x a

1) lim x sin
x 0

Ta có
Vậy
17

1
x

 x  x sin

1
x
x

và

1
0
x
1
2) lim

sin x
x 
x2 1

lim   x   lim x  0
x 0

x 0

lim x sin
x 0

Downloaded by Nguynhavy Ha Vy ()

18

3