Bài giảng Đại số tuyến tính Chương 3 Ánh xạ tuyến tính

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương III
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

281


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương III
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

281


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương III
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính.

281


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương III
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính.

Definition 1.1. Cho V và V là hai không gian vectơ trên K. Ánh
xạ f : V → V gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu f thoả mãn hai
tính chất sau:
(L1 ) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ V (tính bảo tồn phép
cộng);
(L2 ) f (λx) = λf (x), ∀x ∈ V, ∀λ ∈ K (tính bảo tồn phép nhân
với vơ hướng).
281


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương III
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính.
Definition 1.1. Cho V và V là hai không gian vectơ trên K. Ánh
xạ f : V → V gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu f thoả mãn hai
tính chất sau:
(L1 ) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ V (tính bảo tồn phép
cộng);
(L2 ) f (λx) = λf (x), ∀x ∈ V, ∀λ ∈ K (tính bảo tồn phép nhân
với vơ hướng).
281


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó cịn gọi là một phép
biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay tốn tử tuyến
tính trên V .

282


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó cịn gọi là một phép
biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay tốn tử tuyến
tính trên V .
Nhận xét: Cho f : V → V là một ánh xạ, V và V là hai K khơng gian vectơ. Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy:

282


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó cịn gọi là một phép
biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay tốn tử tuyến
tính trên V .
Nhận xét: Cho f : V → V là một ánh xạ, V và V là hai K khơng gian vectơ. Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy:
(1) f là ánh xạ tuyến tính.
⇔ f (λx + µy) = λf (x) + µf (y); ∀x, y ∈ V, λ, µ ∈ K
n

n

⇔f

λ i xi
i=1

λi (xi ); ∀x1 , x2 , ..., xn ∈ V, λ1 , λ2 , ..., λn ∈

=
i=1

K.

282


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó cịn gọi là một phép
biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay tốn tử tuyến
tính trên V .
Nhận xét: Cho f : V → V là một ánh xạ, V và V là hai K khơng gian vectơ. Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy:
(1) f là ánh xạ tuyến tính.
⇔ f (λx + µy) = λf (x) + µf (y); ∀x, y ∈ V, λ, µ ∈ K
n

n

⇔f

λ i xi
i=1

λi (xi ); ∀x1 , x2 , ..., xn ∈ V, λ1 , λ2 , ..., λn ∈

=
i=1

K.
(2) Nếu f là ánh xạ tuyến tính thì:
f (0V ) = 0V , f (−x) = −f (x); ∀x ∈ V.

282


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:

282


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
(1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V , x → O(x) = 0V , rõ
ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không.

282


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
(1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V , x → O(x) = 0V , rõ
ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không.
(2) Ánh xạ đồng nhất idV : V → V, x → idv (x) = x, hiển nhiên
là một toán tử trên V và gọi là toán tử đồng nhất (hay phép biến
đổi đồng nhất) trên V .

282

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
(1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V , x → O(x) = 0V , rõ
ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không.
(2) Ánh xạ đồng nhất idV : V → V, x → idv (x) = x, hiển nhiên
là một toán tử trên V và gọi là toán tử đồng nhất (hay phép biến
đổi đồng nhất) trên V .
(3) Với mỗi λ ∈ K, ánh xạ V → V, x → λx, cũng là một toán tử
tuyến tính trên V và gọi là phép nhân với vơ hướng.

282


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
(1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V , x → O(x) = 0V , rõ
ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không.
(2) Ánh xạ đồng nhất idV : V → V, x → idv (x) = x, hiển nhiên
là một toán tử trên V và gọi là toán tử đồng nhất (hay phép biến
đổi đồng nhất) trên V .
(3) Với mỗi λ ∈ K, ánh xạ V → V, x → λx, cũng là một toán tử
tuyến tính trên V và gọi là phép nhân với vơ hướng.
(4) Phép lấy đạo hàm R[x] → R[x], p(x) → p (x) là một phép
biến đổi tuyến tính trên khơng gian R[x] các đa thưc một biến x.

282

Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
(1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V , x → O(x) = 0V , rõ
ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không.
(2) Ánh xạ đồng nhất idV : V → V, x → idv (x) = x, hiển nhiên
là một toán tử trên V và gọi là toán tử đồng nhất (hay phép biến
đổi đồng nhất) trên V .
(3) Với mỗi λ ∈ K, ánh xạ V → V, x → λx, cũng là một toán tử
tuyến tính trên V và gọi là phép nhân với vơ hướng.
(4) Phép lấy đạo hàm R[x] → R[x], p(x) → p (x) là một phép
biến đổi tuyến tính trên khơng gian R[x] các đa thưc một biến x.

282


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(5) Phép lấy tích phân:
C[a, b]

−→ R
b

F (x)

→

F (x)dx
a

là một ánh xạ tuyến tính từ khơng gian C[a, b] các hàm thực liên

tục trên [a, b] đến không gian R.

283


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(5) Phép lấy tích phân:
C[a, b]

−→ R
b

F (x)

→

F (x)dx
a

là một ánh xạ tuyến tính từ khơng gian C[a, b] các hàm thực liên
tục trên [a, b] đến không gian R.
Property 1.1. Hợp (tích) gf = go f : V → V của hai ánh xạ
tuyến tính f : V → V và g : V → V lại là một ánh xạ tuyến
tính.

283


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(5) Phép lấy tích phân:

C[a, b]

−→ R
b

F (x)

→

F (x)dx
a

là một ánh xạ tuyến tính từ khơng gian C[a, b] các hàm thực liên
tục trên [a, b] đến không gian R.
Property 1.1. Hợp (tích) gf = go f : V → V của hai ánh xạ
tuyến tính f : V → V và g : V → V lại là một ánh xạ tuyến
tính.
Chứng minh. Thật vậy: ∀x, y ∈ V, ∀λ, µ ∈ K ta có:
gf (λx + µy) = g[f (λx + µy)] = g(λf (x) + µf (y))
= λg[f (x)] + µg[f (y)] = λgf (x) + µgf (y).
283


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Do đó gf là một ánh xạ tuyến tính.

284


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân

Do đó gf là một ánh xạ tuyến tính.
Property 1.2. Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vectơ phụ
thuộc tuyến tính lại biến thành một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.
Tức là, nếu f : V → V là một ánh xạ tuyến tính và
{x1 , x2 , ..., xn } là một hệ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ
{f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )} cũng phụ thuộc tuyến tính trong V .

284


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Do đó gf là một ánh xạ tuyến tính.
Property 1.2. Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vectơ phụ
thuộc tuyến tính lại biến thành một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.
Tức là, nếu f : V → V là một ánh xạ tuyến tính và
{x1 , x2 , ..., xn } là một hệ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ
{f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )} cũng phụ thuộc tuyến tính trong V .
Chứng minh. Thật vậy, giả sử λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xn = 0V là
một tổ hợp tuyến tính khơng tầm thường băng khơng của
{x1 , x2 , ..., xn }, tức là có ít nhất một λi = 0. Khi đó
λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) + ... + λn f (xn ) = f (λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xn )
= f (0V ) = 0V .
cũng là một tổ hợp tuyến tính khơng tầm thường bằng không của
284


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hệ
{f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )},
tức là hệ {f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )} phụ thuộc tuyến tính.

285


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hệ
{f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )},
tức là hệ {f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )} phụ thuộc tuyến tính.
Một cách tương đương ta có, nếu hệ {f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )}
độc lập tuyến tính trong V thì hệ {x1 , x2 , ..., xn } độc lập tuyến
tính trong V .

285


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hệ
{f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )},
tức là hệ {f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )} phụ thuộc tuyến tính.
Một cách tương đương ta có, nếu hệ {f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )}
độc lập tuyến tính trong V thì hệ {x1 , x2 , ..., xn } độc lập tuyến
tính trong V .
Tuy nhiên ánh xạ tuyến tính có thể biến một hệ độc lập tuyến tính
thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.

285


Đại Số Tuyến Tính - ThS. Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hệ

{f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )},
tức là hệ {f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )} phụ thuộc tuyến tính.
Một cách tương đương ta có, nếu hệ {f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )}
độc lập tuyến tính trong V thì hệ {x1 , x2 , ..., xn } độc lập tuyến
tính trong V .
Tuy nhiên ánh xạ tuyến tính có thể biến một hệ độc lập tuyến tính
thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.
Property 1.3. Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một
hệ vectơ, tức là nếu f : V → V là một ánh xạ tuyến tính tính và
{x1 , x2 , ..., xn } là một hệ vectơ trong V thì:
rank({x1 , x2 , ..., xn }) ≥ rank({f (x1 ), f (x2 ), ..., f (xn )}).

285