Bài giảng đại số tuyến tính chương 1 ths nguyễn phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (295.19 KB, 46 trang )
Chương 1:
MA TRẬN − ĐỊNH THỨC
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG
Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 30 tháng 10 năm 2013
1
1
2
3
4
5
Giới thiệu
Ma trận
Các khái niệm
Các phép toán trên ma trận
Các tính chất
Ma trận con
Định thức
Định nghĩa
Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Các tính chất
Định thức con
Hạng của ma trận
Định nghĩa
Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp
Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
Điều kiện tồn tại
Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giới thiệu
Công ty điện tử ABC sản xuất 4 mặt hàng TV, radio, đầu máy VCD và quạt
máy. Công ty có 3 đại lý bán hàng. Bảng sau cho biết số lượng các mặt hàng
bán được của các đại lý trong tháng 9 vừa qua:
Đại lý 1
Đại lý 2
Đại lý 3
TV
120
140
150
radio
150
180
120
đầu máy VCD
80
120
180
Ta có thể viết lại bảng trên như sau:
120 150
q = 140 180
150 120
80
120
180
quạt máy
210
220
250
210
220
250
- Dòng thứ nhất là vector khối lượng hàng hóa bán được trong tháng 9 của đại
lý 1.
- Dòng thứ hai là vector khối lượng hàng hóa bán được trong tháng 9 của đại
lý 2.
- Cột thứ nhất là vector khối lượng TV bán được trong tháng 9 của công ty
ABC.
- Cột thứ nhất là vector khối lượng radio bán được trong tháng 9 của công ty
Ma trận
Các khái niệm
Định nghĩa
- Ma trận cấp m × n là một bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật bao gồm
m dòng và n cột .
- Ma trận A cấp m × n, kí hiệu A = (aij )mxn với i = 1, m, j = 1, n
a11
.
.
.
A = ai1
.
.
.
am1
...
...
...
a1j
..
.
aij
..
.
...
...
amj . . .
↑
cột thứ j
a1n
..
.
ain
..
.
amn
← dòng thứ i
m×n
- Ai∗ = ai1 ai2 · · · ain được gọi là dòng thứ i của ma trận A.
a1j
a
2j
- A∗j = . được gọi là cột thứ j của ma trận A.
..
amj
4
Ma trận
Các khái niệm
Ví dụ:
0
A = 4
8
1
5
9
2
6
10
3
7
11
A là ma trận có 3 dòng và 4 cột
A là ma trận thực cấp 3 × 4
Các phần tử của ma trận A là:
a11 = 0, a12 = 1, a13 = 2, a14 = 3
a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6, a24 = 7
a31 = 8, a32 = 9, a33 = 10, a34 = 11
Định nghĩa
Ma trận không là ma trận có các phần tử đều bằng không (aij = 0, ∀i, j), kí
hiệu là O.
Ví dụ:
O2×3 =
0
0
5
0
0
0
0
Ma trận
Các khái niệm
Định nghĩa
Cho A = (aij )mxn
Khi m=1, ta được ma trận dòng A = (a11 a12 · · · a1n )
a11
a
21
Khi n=1, ta được ma trận cột A = .
..
am1
Ví dụ:
1
2
Ma trận dòng A = (1 2 3) và ma trận cột B =
3
4
6
Ma trận
Các khái niệm
Định nghĩa
Ma trận vuông cấp n là ma trận có n dòng và n cột.
Các phần tử aii lập thành đường chéo chính.
Các phần tử aij với i + j = n + 1 lập thành đường chéo phụ.
Ví dụ:
1
2
3
0
4
5
6
7
A =
9 10 11
8
12 13 14 15 4×4
Ma trận
Các khái niệm
Định nghĩa
Ma trận vuông A = (aij )nxn được gọi là ma trận tam giác trên ⇔ Các phần tử
nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0, ∀i > j.
Ví dụ:
2 1 −3
A = 0 0 0
0 0 1
Định nghĩa
Ma trận vuông A = (aij )nxn được gọi là ma trận tam giác dưới ⇔ Các phần tử
nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0, ∀i < j.
Ví dụ:
2
A = −1
3
8
0 0
0 0
0 3
Ma trận
Các khái niệm
Định nghĩa
Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo ⇔ Các phần tử không nằm trên
đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0, ∀i j
Ví dụ:
1
A = 0
0
0 0
0 0
0 −3
Định nghĩa
Ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 được gọi
là ma trận đơn vị, tức là aij = 0, ∀i j và aii = 1, ∀i. Ma trận đơn vị cấp n được
kí hiệu là In .
1 0 0
1 0
0 1 0
Ví dụ: I2 =
; I3 =
0 1
0 0 1
9
Ma trận
Các khái niệm
Định nghĩa
Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận thỏa 2 điều kiện
1. Các dòng không (nếu có) phải nằm ở dưới cùng.
2. Phần tử khác không đầu tiên của dòng trên (nếu có) phải nằm ở cột bên trái
phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới (nếu có).
Ví dụ:
Cho biết các ma trận sau có phải là ma trận bậc thang theo dòng hay không?
1 0
A = 0 2
0 0
1 0
0 2
C =
0 −1
0 0
2
−1
0
2
−1
1
1
1
0
; B =
0
0
1
0
;D =
0
0
0
2
0
0
0
2
0
6
2
−1
0
1
2
−1
1
0
3
1
0
1
;
3 −1
1 0
0 3
1 1
Ma trận
Các khái niệm
Định nghĩa
Ma trận đối xứng là ma trận vuông thỏa aij = aji , ∀i, j = 1, n
Ví dụ:
−1
A = 1
0
1 0
2 5
5 0
Định nghĩa
A và B cùng cấp
aij = bij , ∀i, j
−2
3
1 −2 x − 1
1
−3 0
1 và B = −3
0
1
Ví dụ: Cho A =
4
1
5
4 y+1 5
x−1=3
x=4
A=B⇔
⇔
1=y+1
y=0
Cho 2 ma trận A, B. A = B ⇔
Ma trận
Các phép toán trên ma trận
Định nghĩa
Ma trận chuyển vị của A = aij
m×n
, kí hiệu là AT = aji
n×m
có được bằng
cách đổi dòng của ma trận A thành cột hoặc đổi cột thành dòng.
Ví dụ:
2 −1
A = 4 0
3 1
2 4
−1 0
T
A =
3 9
1 2
3 1
9 2
−2 0 3×4
3
1
−2
0
4×3
Định nghĩa
Tích của ma trận A = (aij )mxn với một số k là ma trận C = k.A = (cij )mxn với
cij = k.aij , ∀i, j
Ví dụ:
2
A = 1
1
1
1
3
4
0
9
4
⇒ 2A = 2
2
3×3
12
2 8
2 0
6 18
3×3
Ma trận
Các phép toán trên ma trận
Định nghĩa
Tổng 2 ma trận cùng cấp A = (aij )mxn và B = (bij )mxn là ma trận
C = A + B = (cij )mxn với cij = aij + bij , ∀i, j
2 1 4
1 3 1
Ví dụ: Cho ma trận A = 1 1 0 và ma trận B = 1 4 0
1 3 9
4 3 2
3
4
5
Khi đó ma trận A + B = 2 5 0 ; A − B =?
5 6 11
Định nghĩa
Cho ma trận A = (aij )mxp và B = (bij )pxn . Khi đó C = A.B tồn tại và
C = (cij )mxn với cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj
hay
∗
AB = ai1
∗
∗
ai2
∗
∗
...
∗
∗ b1j
∗ ∗ b2j
aip
..
∗
.
∗
∗ bpj
13
∗
∗
= . . .
∗
∗
..
.
cij
..
.
. . .
Ma trận
Các phép toán trên ma trận
Ví dụ: Xác định ma trận C = A.B
A=
2
4
1
1
4
0
1
B = 3
2
2x3
1
0
4
2
1
3
3x3
Giải
C = A.B =
với c11 =
c12 =
2
c13 =
2
2
4
1
1
4
0
1
× 3
2x3
2
1
0
4
2
1
3
=
3x3
1
2 1 4 × 3 = 2.1 + 1.3 + 4.2 = 13
2
1
1 4 × 0 = 2.1 + 1.0 + 4.4 = 18
4
2
1 4 × 1 = 2.2 + 1.1 + 4.3 = 17
3
14
c11
c21
c12
c22
c13
c23
2x3
Ma trận
Các phép toán trên ma trận
Tương tự ta có c21 = 7, c22 = 4, c23 = 9
13 18 17
Vậy C = A.B =
7 4 9
Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa AX = B, biết A =
Giải: Đặt X =
a
b
với B =
, ta có
−1
1
a
b
2a − b = 1
2a + b = 3
⇔
AX = B ⇔
⇔
2 −1
2 1
2
2
=
1
3
a=1
b=1
15
⇔
2a − b
2a + b
. Vậy
X=
=
1
1
1
3
1
3
Ma trận
Các tính chất
Tính chất
A+B=B+A
k.(lA) = (kl).A
A+0=A
k(A + B) = kA + kB
(k + l)A = kA + lA
A + B + C = (A + B) + C =
A + (B + C)
Tính chất
ABC = (AB)C = A(BC)
(kA)B = A(kB) = k(AB)
A(B ± C) = AB ± AC
(A ± B)T = AT ± BT
(B ± C)A = BA ± CA
(A.B)T = BT .AT
Im .Amxn = Amxn = Amxn .In
16
Ma trận
Các tính chất
Chú ý :
AB tồn tại không thể suy ra BA tồn tại
AB và BA cùng tồn tại không thể suy ra AB = BA
A.B = 0 không thể suy ra A = 0 hoặc B = 0
AB = CB không thể suy ra A = C
Cho A = (aij )nxn . Quy ước
A0 = I, A2 = A.A, . . . , An = A · A · · · A · A
n
Ma trận
Các tính chất
Bài toán: Cho ma trận A = (aij )nxn . Xác định f(A), biết
f(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 .
Ta có f(A) = an An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 In .
Ví dụ: Xác định f(A), biết
A=
2
1
1
2
, f(x) = 2x2 − 4x + 3
Giải. Ta có: f(A) = 2A2 − 4A + 3I2
5 4
2 1
2 1
, từ đó suy ra
Tính được A2 =
×
=
1 2
1 2
4 5
10 8
2A2 =
8 10
−8 −4
3 0
Ta có: −4A =
và 3I2 =
−4 −8
0 3
5 4
Vậy: f(A) =
4 5
Ma trận
Ma trận con
Định nghĩa
Cho A = (aij )mxn . Ma trận con cấp k của A là ma trận có được bằng cách lấy
giao của k dòng, k cột bất kỳ của A (k ≤ m, k ≤ n). Kí hiệu Am1 ,...,mk ; n1 ,...,nk
Ví dụ:
0
Cho A = 4
8
1
5
9
2
6
10
0
Khi đó A1,2; 1,2 =
4
Số ma trận con cấp k
3
7
11
1
5
của
3
11
là Ckm .Ckn .
, . . . , A1,3; 2,4 =
A = (aij )mxn
1
9
,...
Ma trận
Ma trận con
Định nghĩa
Cho A = (aij )nxn . Ma trận con tương ứng với phần tử aij của A, kí hiệu là Mij ,
có được bằng cách bỏ đi dòng i và cột j của A.
0 1 2
Ví dụ: Cho A = 3 4 5 . Khi đó
6 7 8
0 1
4 5
0 1
,...
M11 =
, . . . , M23 =
, . . . , M33 =
3 4
7 8
6 7
Số ma trận con tương ứng với một phần tử của A = (aij )nxn là n2 .
Định thức
Định nghĩa
Định nghĩa
Cho A = (aij )nxn
a11
= ...
an1
a12
..
.
an2
···
..
.
···
a1n
..
.
ann
. Định thức của A, kí hiệu là detA
hay |A| với
n = 1 : |A| = a11
n≥2:
|A| = (−1)1+1 a11 |M11 | + (−1)1+2 a12 |M12 | + · · · + (−1)1+n a1n |M1n |
Ví dụ:
a b
c d
Ta có |A| = (−1)1+1 ad + (−1)1+2 bc = ad − bc
a. Cho A =
21
Định thức
Định nghĩa
Ví dụ:
2 −1
3 −2
Ta có |A| = 2(−2) − (−1)3 = −1
a11 a12 a13
c. Cho A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
Ta có |A| =
a
a23
a
a23
a
a22
(−1)1+1 a11 22
+ (−1)1+2 a12 21
+ (−1)1+3 a13 21
=
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a11 a22 a33 + a12 a23 a31+ a21 a32 a13 −a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a23 a32 a11
a11 a12 a13
Quy tắc Sarius: A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
|A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a23 a32 a11
b. Cho A =
Định thức
Định nghĩa
Ví dụ:Tính định thức của các ma trận sau:
1 0 −1
2 1 3
a) A =
−1 2 1
1 2 3 0
−1 0 1 −1
b) B =
2 0 1 1
1 2 0 3
Định thức
Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Định nghĩa
Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột):
di ↔dj
ci ↔cj
1
P1: Hoán vị dòng i (cột i) và dòng j (cột j): A −−−−→ B (A −−−−→ B).
2
P2: Nhân dòng i (cột i) với số λ
3
P3: Nhân dòng j (cột j) với số λ rồi cộng dòng i (cột i): A −−−−−−−−→ B
di →λdi
ci →λci
0: A −−−−−→ B (A −−−−−→ B).
di →di +λdj
ci →ci +λcj
(A −−−−−−−−→ B).
Ví dụ:
1
Cho A = 4
7
1 2
A = 4 5
7 8
1 2
; A = 4 5
7 8
2 3
4
d
↔d
1
2
5 6 −−1−−−→
8 9
7
2
4
3
d →2d1
4 5
6 −−1−−−−→
7 8
9
3
9
d1 →d1 +2d2
6 −−−−−−−−−→ 4
7
9
5 6
2 3
8 9
6
6
9
12
5
8
24
;
15
6
9
Định thức
Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp
Định lý
1
2
3
4
P1: Hoán vị 2 dòng/cột làm định thức đổi dấu.
P2: Nhân một dòng/cột với một số λ
lần.
0 làm định thức biến đổi gấp λ
P3: Nhân một dòng/cột với một số λ rồi cộng vào một dòng/cột khác
không làm định thức thay đổi.
Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển bất kỳ dòng/cột nào
d
|A| =i (−1)i+1 ai1 |Mi1 | + (−1)i+2 ai2 |Mi2 | + · · · + (−1)i+n ain |Min |
cj
|A| = (−1)1+j a1j |M1j | + (−1)2+j a2j |M2j | + · · · + (−1)n+j anj |Mnj |
Ví dụ:
1
a. Cho A = 2
−1
1 0 −3
A = 2 1 1
−1 2 0
⇒ |B| = 17
0 −3
1 1 . Ta có
2 0
d ↔d 2
1 2 1
−−−−−→
−1
|A| = − 12 − 3 − 2 = −17
1 1
0 −3 = B
2 0
